חולשת האריתמטיקה

שורש ריבועי של 10 הוא 3.162277660168379

אבל מכפלה של המספר הזה בעצמו לא נותנת 10 אלא 9.999999999999998

ואם נאריך את מספר המקומות העשרוניים זה אולי ייתן באיזה שהוא שלב

9.999999999999999

אבל אף פעם לא עשר עגול ושלם.

המספר החסר - 0.000000000000001

מונע מן האריתמטיקה להיות מדע מושלם.

כאשר מספר שייך לסדרת המספרים הריבועיים אין בעיה

לחשב את השורש הריבועי שלו בצורה מושלמת

אבל יש מספרים שאינם שייכים לסדרה זו כמו 10

ואז התוצאה של השורש הריבועי נותנת מספר אי רציונלי ארוך ואינסופי

שמכפלתו בעצמו איננה 10

ביוון הקדומה לא היו הגאומטריה והאריתמטיקה מדעים נפרדים

המספר כשהוא בריבוע הוצג כריבוע שעשוי מנקודות

ואילו השורש שלו הוצג כקו שעשוי מנקודות

וכך לדוגמה הריבוע של ארבע הוצג כארבע שורות של ארבע נקודות

והשורש הריבועי שלו כשורה אחת של ארבע נקודות

אבל לא הייתה תצוגה גאומטרית הולמת למספר 10 בתור ריבוע

שניתן להוציא ממנו שורש ריבועי

כך שההמצאה של החישוב האריתמטי שמתעלם מהגאומטריה

הייתה אחד הגורמים לכך שכיום הגאומטריה והאריתמטיקה הם מדעים נפרדים

חיבורי הקצוות

1+9=10

[1+2]+[8+9]=3+17=20

[1+2+3]+[7+8+9]=6+24=30

[1+2+3+4]+[6+7+8+9]=10+30=40

[1+2+3+4+5]+[5+6+7+8+9]=15+35=50

[1+2+3+4+5+6]+[4+5+6+7+8+9]=21+39=60

[1+2+3+4+5+6+7]+[ 3+4+5+6+7+8+9]=28+42=70

[1+2+3+4+5+6+7+8]+[2+3+4+5+6+7+8+9]=36+44=80

[1+2+3+4+5+6+7+8+9]+[1+2+3+4+5+6+7+8+9]=45+45=90

וכך גם לגבי
1+99=100
[1+2]+[98+99]=200

וכך גם לגבי
1+999=1000
[1+2]+[998+999]=2000

וכן הלאה

התחלת הריבוי

אנחנו רגילים לחשוב שהאחד מתרבה בשיטת העתק הדבק. הוא, כביכול, מעתיק את עצמו, ומניח את העותק של עצמו לצדו. אבל בעצם לא הוא מעתיק את עצמו אלא אנחנו, אלה שמנסים להבין את המספרים שבהם אנחנו משתמשים.

אז הנה עוד אפשרות להתבוננות בתופעה של התחלת ההתרבות שהיא, לטעמי, אפשרות הרבה יותר מוחשית:

לכל קו יש שני קצוות, שהם נקודות, שהן נקודות קצה. נקודות אלה הן גלויות. אבל יש עוד נקודה אחת סמויה מן העין באמצע שבין שתי הנקודות הגלויות. כאשר מחלקים את הקו לשניים אנחנו מקבלים שני קווים שלכל אחד מהם יש  שני קצוות, שהם נקודות, שהן נקודות קצה, ובסך הכל יש לנו עכשיו ארבע נקודות, וכולן גלויות. האחת היא הנקודה הימנית בקו המקורי. השנייה- השמאלית בקו המקורי. ושתי הנוספות הן ההכפלה של נקודת האמצע הסמויה.

ולהפך: כאשר מחברים שני קווים, אחת מנקודות הקצה של הקו הראשון ואחת מנקודות הקצה של הקו השני מתחברות לנקודת אמצע נסתרת.