יום שבת, 7 בדצמבר 2019

הטטרקטיס כסמל של החלק שזהה לשלם


כאשר הטטרקטיס בנוי מנקודות המשולש שווה הצלעות שמכיל את עשר הנקודות אינו נראה כמוהן, כי אין לו צורה של נקודה.
בממד השני כבר רואים שכל אחד מעשרת המשולשים שמרכיבים את הטטרקטיס זהה בצורתו למשולש שווה הצלעות שמכיל אותם.
וכך גם בממד השלישי: כל אחת מעשר הפירמידות נראית זהה לפירמידה שמכילה את כולן.
לפיתגוראים, שהאמינו שהעולם מורכב ממספרים ומצורות גיאומטריות, היה ברור, שהטטרקטיס מלמד שמה שלמטה זהה במבנה שלו למה שלמעלה ולהפך, שהפרט זהה במבנה שלו לכלל ולהפך, ושאם תדע את המבנה של עצמך תדע גם את המבנה של העולם ולהפך.

יום חמישי, 5 בדצמבר 2019

טטרקטיס של השיטה העשרונית

בקדקוד היחידות
תחתיהן העשרות
תחתיהן המאות
ובסיס - האלפים

יום חמישי, 14 בנובמבר 2019

תהיות לגבי הסיבות לקדושתו של הטטרקטיס בעיניי הפיתגוראים



למגן דוד יש צורה גאומטרית מדהימה: הוא עשוי משני משולשים שווי צלעות אשר בהתחברם יוצרים צורה משוכללת אחרת - משושה שעל כל אחת מצלעותיו יש  משולש שווה צלעות, כך שאם מקפלים את המשולשים האלה כלפי פנים המשולש הם מתאחדים בצורה מושלמת עם המשושה. אבל אין שום עדות לשימוש של המגן דוד אצל הפיתגוראים, שהם אלה שהמציאו את הגאומטריה. לעומת זאת ידוע שהם העריצו את הצורה הגאומטרית שנקראת טטרקטיס, טענו שכל תופעה מספרית ניתן להראות באמצעות הטטרקטיס, והתייחסו אליו כאל סמל מקודש.
הטטרקטיס מוכר, בדרך כלל, בצורת משולש שווה צלעות שעשוי מנקודות. בראשו נקודה אחת, בשורה שמתחתיו שתיים, מתחתיה שלש ובבסיס ארבע. מה שמדהים בצורה הזאת הוא שהנקודה שבקדקודה ביחד עם שתי הנקודות שמתחתיה יוצרים משולש שווה צלעות. וכל נקודה בבסיס של המשולש הזה משמשת קדקוד למשולש שווה צלעות. ושלושת המשולשים האלה יוצרים משולש שווה צלעות. ושלש נקודות הבסיס שלו כל אחת מהן יוצרת משולש שווה צלעות. ושוב, כל נקודה בבסיס של המשולש הזה משמשת קדקוד למשולש שווה צלעות, והתופעה הזאת חוזרת ומתרחשת ככל שמוסיפים שורות עד לאין סוף.
לקדקוד של המשולש הראשון, העליון, קראו הפיתגוראים אחד. לשתי הנקודות שמתחתיו הם קראו שניים. השורה של שלש הנקודות נקראה שלש, והבסיס של ארבע הנקודות נקרא ארבע. חשוב לציין שאצל הפיתגוראים עוד לא הייתה הפרדה בין צורות לבין מספרים ובין גאומטריה לבין אריתמטיקה, והם נהגו לתאר תופעות מספריות באמצעים גאומטריים.
אבל יש צורה גיאומטרית עוד יותר מדהימה מהטטרקטיס-של-הנקודות והיא הצורה של הטטרקטיס-של-המשולשים, כאשר האחד הוא המשולש שקדקודו הוא אותו הקדקוד של הטטרקטיס של הנקודות. השניים הוא שני המשולשים שמתחתיו. השלש הוא שלשת המשולשים שמתחתיהם, הארבע הוא ארבעת המשולשים שמתחתיהם. וכל המשולשים האלה מרכיבים משולש שווה צלעות אחד.
את הצורה הזאת ניתן להמשיך עד לאין סוף עם חמישה משולשים מתחת לארבעת משולשי הבסיס, עם ששה משולשים מתחת לחמישה וכן הלאה.
קדושתו של הטטרקטיס נבעה לא רק מצורתו אלא גם ממשמעותו המספרית. החיבור של הנקודה שבקדקוד עם השתיים שמתחתיה עם השלש שמתחתיהן ועם הארבע שבבסיס - נותן עשר נקודות שמייצגות את המספר עשר, שכידוע משמש כיסוד של השיטה העשרונית, שיש לה משמעות מרכזית ביעילות של האריתמטיקה בחישובים למיניהם. גם העשר היה מספר מקודש בעיני הפיתגוראים.
התפיסה המקובלת של המספרים נשענת על דימוי גאומטרי: אנחנו משייכים לכל מספר נקודה שממוקמת על קו שאורכו אינסופי. אחד הוא נקודת המוצא. שתיים הוא שתי נקודות. שלש הוא שלש נקודות וכן הלאה. מקובלת קצת פחות, אבל מוכרת מאד, היא התצוגה של המספרים מאחד עד שתים עשרה על גבי שעון עגול, כאשר כל מספר מיוצג על ידי נקודה על קו, עגול, והמעגל, כידוע, אין לא התחלה ואין לו סוף, והוא אינסופי.
בטטרקטיס של הנקודות יש ערבוב של נקודות, שהן מושג של הממד הראשון, עם משולש, שמכיל את כולן, אבל הוא שייך לממד השני, ממד השטח. לעומת זאת בטטרקטיס של המשולשים, שתיארתי לעיל, המשולשים שמרכיבים את הטטרקטיס, והמשולש שנוצר מהם ומכיל אותם - הם כולם בני אותו ממד, הם כולם בני ממד השטח. בעיניי, הקסם של יצירת משולש אחד משלושת המשולשים הראשונים הוא יותר מרשים, יותר "קופץ לעין", מן הקסם שנוצר מיצירתו משש נקודות. ועוד יותר מרשים שמשולש אחד נוצר מעשרת המשולשים הראשונים ולא מעשרת הנקודות הראשונות. ועוד יותר מרשים שכל המספרים כולם מיוצגים  בסופו של דבר במשולש אחד, שהוא מושג של שטח, ולא כנקודות על גבי קו אחד שיש לו התחלה אבל אין לו סוף.




יום שני, 5 באוגוסט 2019

מה סופרים המספרים?

בעולם החומרי המספרים סופרים דברים, אבל בעולם של המספרים הטהורים הם סופרים את עצמם: היחידות סופרות תחילה את האחדים [למשל, בחמש יש חמש פעמים את המספר אחד], אחר כך את העשרות [למשל שלושים משמעותו שהשלוש סופר את העשרות], ואחר כך את המאות, האלפים וכן הלאה. מה שפיוטי בתובנה הזאת הוא שהעשרות המאות האלפים וכן הלאה הם יותר נספרים מאשר מספרים. 

יום ראשון, 4 באוגוסט 2019

תורת מספרים טהורה

תורת מספרים טהורה צריכה להשתחרר מן המינוחים הגאומטריים שיש כיום באריתמטיקה: במקום המונח "מספר משולש" עליה למצוא מונח שיסמן את הצטברות המספרים מאחד ועד המספר המבוקש. 
אין במספרים מרחק שווה בין מספר למספר, כמו בגיאומטריה, ולכן מושגי המרחק אינם רלוונטיים בהם. 
ריבוע של מספר הוא חזקה. זה לא רלוונטי לאריתמטיקה שניתן לסדר נקודות בצורת ריבוע כך שמספרן הוא מספרו של המספר בחזקה שנייה. 
וכך גם לגבי מספרים מעוקבים לא רלוונטי לאריתמטיקה טהורה שהם בצורת קובייה. הם בחזקה שלישית ותו לא.
משפט פיתגורס הוא משפט גיאומטרי טהור שקובע יחס בין שטחי ריבועי הניצבים במשולש ישר זווית לבין שטח הריבוע שעל היתר שלו. מספרים שכרוכים בו [כמו 3,4 5] לא שייכים לגאומטריה. 
גם פאי הוא עניין של גאומטריה. הוא היחס שבין היקף העיגול לקוטרו. כל העניין המספרי העצום שהמספר הזה עורר אינו שייך לגאומטריה. הפיתגוראים המשיכו לפתח את הגיאומטריה אך עצרו את פיתוח האריתמטיקה, אחרי שגילו [באופן גיאומטרי] שהמספרים הלא שלמים מסבכים להם את החיים. באריתמטיקה נתנו כבוד ללא שלמים שבהם זלזלו הפיתגוראים. פאי הוא מספר לא שלם שנולד בגיאומטריה ואומץ באריתמטיקה. הוא בן כלאיים. איזו הצדקה יש לו באריתמטיקה? הוא לא מספר לא שלם מהסוג של יחס הזהב שהוא יחס גיאומטרי בין קווים.  
טשטוש התחומים בין גאומטריה למתמטיקה בולט במשפט לינדמן שהוא הוכחה מתמטית שממנה נובע שאי אפשר לבנות באמצעות סרגל ומחוגה עיגול ששטחו שווה לשטח של ריבוע. 

יום שישי, 2 באוגוסט 2019

ריבוע של כל מספר בנוי משני המספרים המשולשים שלו

סטיקר: 4=3+3

ריבוע של כל מספר בנוי משני המספרים המשולשים שלו, אלא שהבסיס של כל מספר משולש כזה נספר פעם אחת בלבד, כי הנקודות שלו חופפות לבסיס של המשולש השני. 
וכך: 
המספר המשולש של 2 הוא 3. פעמיים 3 הם 6. 6 פחות הריבוע של 2 שהוא 4 נותן 2. כלומר יש שתי נקודות חופפות.
המספר המשולש של 3 הוא 6. פעמיים 6 הם 12. 12 פחות הריבוע של 3 שהוא 9 נותן 3. כלומר יש 3 נקודות חופפות.
וכן הלאה.

יום חמישי, 1 באוגוסט 2019

השפעה אפשרית של הטטרקטיס על ספר יצירה



לכל טטרקטיס יש 10 נקודות [צהוב ואדום] אך מתוכן 7 חופפות [כתומות]. שולי המשולשים המקוריים נשארים שלמים ורק המשושה הפנימי עשוי מהנקודות החופפות!
לטטרקטיס הייתה חשיבות מרכזית בתורת המספרים של הפיתגוראים, ולכן הם עיינו במשך דורות על גבי דורות בכל מה שניתן להפיק ממנו. הידע הזה לא נעצר בגבולות שבין הארצות, והגיע גם לידיעת היהודים. אולי התובנה המסוימת הזאת בעניין שילוב  שני הטטרקטיסים להקסגרמה הייתה מוכרת למחבר ספר יצירה, ולכן קבע בחלוקת האותיות לקטגוריות את שבע הכפולות [בג"ד בכר"ת].

התבוננות במספרים כמו שהפיתגוראים התבוננו בהם

 טטרקטיס
אם מתרכזים בראשי הגפרורים רואים את הטטרקטיס בנקודות

משפט פיתגורס
בדרך כלל אנו חושבים על הריבועים שבונים על שלושת הצדדים של המשולש המיוחד הזה. כאן אני מנסה להדגיש שאם הניצבים הם 3 ו -4, היתר חייב להיות 5.

יום שני, 29 ביולי 2019

ארבעה טטרקטיסים

בכחול - הטטרקטיס הראשון
באדום - השני
בירוק - השלישי והרביעי


הריבוע של הארבע מורכב לא רק מארבע כפול ארבע אלא גם מארבעה ריבועים
והשלוש משלושה
והשניים משניים
והאחד מאחד


התפתחות המספרים כאדוות



אחד בריבוע באדום
שניים בריבוע בתכלת
שלוש בריבוע בצהוב
ארבע בריבוע בירוק

יום חמישי, 25 ביולי 2019

עשר כמרכזו של מעגל


על לוח הכפל אנו רואים שעשר הוא יחידה. הוא כמו 9, ו- 8 ... ההבדל היחיד הוא שהוא מתחיל את סדרת עשרות. הוא נמצא בפינה, בנקודת המפגש של שני קווים שאורכם זהה. זו הסיבה שאנחנו יכולים להסתכל עליהם כרדיוסים, ועל העשר כעל מרכז המעגל.
אותו מצב חוזר ב- 100-1000-10000 כאשר 100 מחליף את 1 [באיור למעלה] 1000 מחליף את 10 ו- 10000 מחליף את 100 וכן הלאה.

יום שישי, 19 ביולי 2019

מרכזו של מספר כמרכזו של מעגל



שניים הוא מרכזו של שלוש ויש מרחק של אחד בינו לבין שלוש ואחד, ולכן הוא מרכזו של מעגל שהרדיוס שלו אחד.
שלוש הוא המרכז של חמש ויש מרחק של שנים בינו לבין אחד וחמש, ולכן הוא מרכזו של מעגל שהרדיוס שלו שניים.
ארבע הוא המרכז של שבע ויש מרחק של שלש בינו לבין אחד ושבע, ולכן הוא מרכזו של מעגל שהרדיוס שלו שלש, וכן הלאה


במספרים הזוגיים כל מספר ועוד עצמו יוצרים מעגל
שמרכזו בין המספר לבין ה ועוד עצמו.
שניים רחוק שניים מהאפס ושניים מהארבע
שלש רחוק שלוש מהאפס ושלוש מהשש

וכן הלאה


בסדרת המספרים הטבעיים כל מספר מלבד האחד דחוס בין שני מספרים שהמרחק שלו מהם הוא של יחידת מדידה אחת ולכן ניתן לשרטט מעגל שמרכזו 2 ובקצוות הקוטר שלו 1 ו-3 או מעגל שמרכזו 3 ובקצוות הקוטר שלו 2 ו-4  וכן הלאה


בזרמים כל מספר מלבד האחד דחוס בין שני מספרים שהמרחק שלו מהם הוא של 3 יחידות מדידה ולכן ניתן לשרטט מעגל שמרכזו 5 ובקצוות הקוטר שלו 2 ו-8 או מעגל שמרכזו 6 ובקצוות הקוטר שלו 3 ו-9  וכן הלאה.

טבעו הבלתי אפשרי של של המעגל האוקלידי

 אוקלידס מגדיר קו כמה שאין לו רוחב, ומעגל כאוסף כל הנקודות שמרוחקות מרחק שווה מנקודה אחת. התבוננות בשתי ההגדרות ביחד מלמדת על טבעו הבלתי אפשרי של של המעגל: א. הוא נוצר מקווים שאין  להם רוחב ולכן אין לו שטח. ב. החיבור של כל הנקודות האלה בקו אחד שאנחנו קוראים לו מעגל אינו קיים באמת, ולא ניתן להוכיח אותו, למרות שניתן לצייר אותו. מה שקיים הוא רק נקודות  וניתן להמחיש את המרחק השווה של כל אחת מהן מנקודת מרכז באמצעות קו ישר שהוא רדיוס של מעגל, אבל אין אצל אוקלידס קו שהוא היקף של עיגול. לפיכך החקירה של היחס בין היקף המעגל לבין הקוטר שלו היא לא רציונלית ולא פלא שהיא מניבה מספר לא רציונלי. התופעה הזאת מזכירה לי ווידאו שמורכב מתמונות סטילס שהרצתן במהירות מסוימת גורמת לאשליה של תנועה. לאור כל זאת רק טבעי לשאול אם המעגל הוא אשליה של תנועה, והאם אנחנו רואים כל נקודה עליו כסטילס ומריצים את כולן במהירות מסוימת כדי לקבל אותו כווידאו. 

יום רביעי, 17 ביולי 2019

עיגול הריבוע


מאותם 40 קיסמי שיניים שמופיעים בצילום בצורת ריבוע
יצרתי עיגול די מגושם
אבל נדמה לי שהוא כבר מאפשר להתחיל לדמיין
את הנוסחה למציאת שטח עיגול
שבה מופיע משום מה הרדיוס בריבוע

יום שלישי, 16 ביולי 2019

הפרדת הזוגיים מהאי זוגיים בסיפור המקראי על בריאת העולם


[בראשית א, ט-י] וַיֹּאמֶר אֱלֹהִים: יִקָּווּ הַמַּיִם מִתַּחַת הַשָּׁמַיִם אֶל מָקוֹם אֶחָד וְתֵרָאֶה הַיַּבָּשָׁה... וַיְהִי-כֵן. וַיִּקְרָא אֱלֹהִים לַיַּבָּשָׁה אֶרֶץ...
בסיפור המקראי על בריאת העולם נברא האור  ביום הראשון. האור הוא האחד גם לפי השיטה של הפיתגוראים. ביום השלישי מפריד האל בין הזוגיים [לכן שמים מופיע כמילה בעלת סיומת זוגית] לבין האי זוגיים [הארץ]. הפירוש הזה מתייחס לזה שבטור המספרים הטבעיים יש תוהו ובוהו, ותופעות מספריות רבות מופיעות שם בלי הפרדה ובלי סדר.


יום ראשון, 14 ביולי 2019

גאומטריה ואריתמטיקה הן כמו מילים ומוזיקה

גאומטריה ואריתמטיקה
הן כמו מילים ומוזיקה
יתכן שיש מנגינות רבות עבור אותן מילים
וייתכן שיש מילים רבות
למנגינה אחת

להלן צורות גאומטריות שונות לאותן מספר:


קווים מקבילים הם צורה גאומטרית אחת
שכל המספרים ממחישים אותה
על קו אחד מונחים הזוגיים ועל השני...
האי זוגיים


יום חמישי, 11 ביולי 2019

עקבות של גאומטריה באלף בית הלטיני


מספרים כהמחשה של תופעה גיאומטרית


המחשבה המקובלת היא שגאומטריה ממחישה את המספרים [1] אבל ניתן לראות את משפט פיתגורס כמשוואה עם שלושה נעלמים, שמספקים אותה מספרים כמו 3,4,5... כלומר שהמספרים הם המחשה של תופעה גיאומטרית.
ניתן לראות את כל הנקודות שעל הטטרקטיס והמשכו [החל מנקודה אחת בקודקוד, שתיים בשורה מתחתיה, שלש בשורה מתחתיה וכן הלאה] כמשוואה שניתנת להמחשה על ידי המספרים הזוגיים והאי זוגיים, כאשר כל האי זוגיים מופיעים על חוצה הזווית, וכל הזוגיים על שוקי המשולש ולשני צדדי חוצה הזווית. כלומר שכל המספרים הם המחשה של תופעה גיאומטרית.
==========
הערה:
[1] בספרו "היסטוריה של המתמטיקה" מציין ג'ון סטילוול ש"מעורר השתאות שיש למשפט פיתגורס, שהוא עובדה מספרית טהורה, פירוש גאומטרי. ממבט ראשון נדמה שאין קשר בין תחומי הידע של אריתמטיקה וגאומטריה. אריתמטיקה מבוססת על ספירה, שהיא התגלמות של תהליך בדיד, ואילו גאומטריה עוסקת באובייקטים רציפים כמו קווים, ומשטחים. אלמנטים רציפים אינם ניתנים לבנייה מבדידים באמצעות תהליכים של בדידים. יש ציפייה לראות עובדות גיאומטריות ולא להגיע אליהן באמצעות חישוב. משפט פיתגורס היה הרמז הראשון לקשר עמוק ונסתר בין אריתמטיקה וגאומטריה שנמשך לכל אורך ההיסטוריה של המתמטיקה. הקשר הזה היה לעתים קשר של שיתוף פעולה ולעתים של עימות, כמו שקרה אחרי גילוי אי הרציונליות של שורש שניים. לעתים קרובות רעיונות חדשים צצים מתוך אזורים שיש ביניהם מתח, ופתרון הקונפליקט מאפשר לרעיונות בלתי ניתנים להשלמה לשתף פעולה באופן פורה. המתח בין אריתמטיקה וגאומטריה הוא ללא ספק העמוק ביותר במתמטיקה, והוא הוביל למשפטים העמוקים ביותר, שמשפט פיתגורס הוא הראשון שבהם, ובעל ההשפעה הרבה ביותר"...
מקור:
Mathematics and Its History, Third Edition, 2010 by John Stillwell. P. 3

יום שני, 8 ביולי 2019

טטרקטיס בהפשטה



במרכז יש שבע [ירוק] מוקף לגמרי בששה [אדומים]
ובפינות [בכחול]: האחד שנשען על 7 שנשען על 2.
כל הפעולה מתרחשת בין ההתחלה והסוף, בין
הכריכה הקדמית לבין הכריכה האחורית.

זה מזכיר לי את צב העולם במיתולוגיה ההינדית.

יום חמישי, 4 ביולי 2019

המעבר מאחד לשניים בשלושת הממדים

המעבר מאחד לשניים במספרים נעשה פשוט באמצעות הוספה של אחד.

מאחד בריבוע לשניים בריבוע באמצעות הגנומון 3. [1+3]

מאחד בשלישית לשנים בשלישית באמצעות הכפלת הגנומון [2+6]


בגיאומטריה האחד הוא קטע קו והשניים הוא קטע קו באורך כפול.

כשטח הוא מוכפל במלבן שאורכו שני ריבועים [1]
כנפח באמצעות תיבה שאורכה שתי קוביות. אבל מעניין להזכיר שהיוונים הקדמונים בנו ריבוע ששטחו כפול על אלכסון של ריבוע של אחד, והתמודדו ללא הצלחה עם הכפלת נפח הקובייה באמצעות סרגל ומחוגה. הם הצליחו לפתור את הבעיה באמצעים אחרים. ניתן לבנות משמונה קוביות זהות בגודלן קובייה של שניים-בשלישית כמו בגנומון של המספרים [2+6].
=
[1]

מעניין לראות את משפט פיתגורס כהוכחה לבניית הריבוע של חמש משני הריבועים שקדמו לו במסגרת בניית המספרים לפי הממד השני 

יום שלישי, 2 ביולי 2019

יחסים וממדים



ממד ראשון
האחד הוא שליש מהשלוש.
השניים הוא שני-שליש מהשלוש.
השליש והשני-שליש יוצרים את השלוש.
הם יוצרים אותו כקו שיש עליו שלש נקודות.

ממד שני
השלוש הוא שליש מריבועו.
השש הוא שני-שליש מריבועו של השלוש.
ביחד הם יוצרים את התשע.
הם יוצרים אותו כשטח שיש לו צורה של ריבוע

ממד שלישי
התשע הוא שליש ממעוקבו של השלוש
ה-18 הוא שני-שליש ממעוקבו של השלוש
ביחד הם יוצרים את ה-27.
הם יוצרים אותו כנפח שיש לו צורה של קובייה



יום שבת, 29 ביוני 2019

מספרים טבעיים לפי ממדיהם



המספרים הראשוניים הם מבחינה גאומטרית קווים, או צלעות של ריבועים ושל מלבנים, ולכן הם שייכים לממד הראשון.
הממד השני כולל את מספרי השטח שהם מבחינה גאומטרית ריבועים, מלבנים וגם משולשים, שהרי כל שני מספרים משולשים עוקבים בונים ריבוע.
הממד השלישי, ממד הנפח, כולל את המספרים המעוקבים.
המספר שניים הוא מספר ראשוני, הוא קו, הוא צלע בריבוע שלו שהוא כבר בממד השני, ממד השטח. 8 הוא המעוקב שלו והוא בממד השלישי.

מספרים משולשים בונים מספרים בריבוע


כידוע כל שני מספרים משולשים עוקבים בונים מספר בריבוע. יוצא מזה שכל אחד מהם בונה שני מספרים בריבוע. באחד מהם הוא יוצר משולש קטן ובשני הוא יוצר משולש גדול. לפיכך מספר משולש שייך למספרים של הממד השני, ממד השטח, ביחד עם המספרים בריבוע והמספרים המלבניים, בעוד שלממד הראשון שייכים המספרים הראשוניים ולממד השלישי המספרים המעוקבים.
להלן הריבועים שביצירתם נוטלים חלק המספרים המשולשים הראשונים.

יום שישי, 28 ביוני 2019

המבנה התלת ממדי של המספרים



זה לא מובן מאליו שהמספרים הטבעיים הם כפולות של אחד. בשביל לגלות זאת צריך ללכת מהכפולות של שלש לכפולות של שניים, ולהבין, שכמו ששלוש הוא הכפולה הראשונה של שלוש, ושניים הוא הכפולה הראשונה של שניים, כך האחד הוא הכפולה הראשונה של אחד, ושניים הם הכפולה השנייה שלו...
באופן דומה זה לא מובן מאליו שכל מספר ראשוני הוא קו, שכל מספר בריבוע הוא ריבוע, ושכל מספר בשלישית הוא קובייה. בשביל לגלות זאת צריך ללכת מן הקובייה אל הריבוע ומן הריבוע אל הצלע של הריבוע, שהוא קו.
בעצם, הדו-ממד של המספרים כולל לא רק ריבועים אלא גם שטחים אחרים, והתלת ממד שלהם כולל לא רק קוביות אלא גם נפחים אחרים. לדוגמה, עשר הוא מלבן שמורכב מעשרה ריבועים של אחד, שהם תוצאה של הכפלה של צלע של שניים בצלע של חמש.
המבנה התלת ממדי של המספרים מבליט את החשיבות של המספרים הראשוניים, וממחיש את ההתאמה העמוקה שבין העולמות המקבילים של המספרים ושל הצורות הגאומטריות.   

יום שלישי, 25 ביוני 2019

יש יותר זוגיים מאי זוגיים

כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשתי עמודות רואים שמספר המספרים הזוגיים שווה למספרם של המספרים האי זוגיים, אבל כאשר מסדרים אותם בצורת משולש רואים שהאי זוגיים שמסודרים על חוצה הזווית הם מיעוט שבמיעוט בקרב המספרים הזוגיים. 
בסידור זה יש בשורה הראשונה אחד שהוא אי זוגי, אחריו שניים שהוא זוגי, אחריו 
2+1
שהוא אי זוגי
אחריו 4 שהוא זוגי
אחריו 4+1
שהוא אי זוגי
וכן הלאה
בנוסף ניתן לראות שהאי זוגי
הוא המרכז של המספר
ושהוא מהווה אחד חלקי השורה שבה הוא נמצא. באיור לעיל יש 21 אחדים ומתוכם רק 3 הם אי זוגיים!

יום ראשון, 23 ביוני 2019

המבנה של המספרים המשולשים של הזרמים


כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשלש עמודות מקבלים בעמודה הראשונה את סדרת המספרים שנקראת הזרם של 147.
כמו לכל מספר יש גם למספרי הזרם הזה מספרים משולשים שהם המספר כולל כל קודמיו. לפיכך מספרו המשולש של 4 הוא 10 כי הוא כולל את 1,2,3,ו-4; ומספרו המשולש של 7 הוא 28 כי הוא כולל את המספרים מאחד עד שבע כולל השבע.
בין המספר המשולש של האיבר הראשון בזרם זה,1, לבין השני, יש הפרש של 9.
בין האיבר השלישי לשני יש הפרש של שתי תשיעיות
בין האיבר הרביעי לשלישי יש הפרש של שלש תשיעיות וכן הלאה.
סכום הספרות של כל המספרים המשולשים של 147 הוא 1.
1+9=10 … 1+0=1
2+8=10 … 1+0=1
הסיבה לכך היא שתשע הוא מספר ששומר על סכום הספרות של המספר המקורי.
בזרם של 147 המעבר מאיבר לאיבר הוא באמצעות הוספת תשיעיות ולכן נשמר סכום הספרות של המספר הראשון בסדרה שהוא 1.
===
המבנה של המספרים המשולשים של 258

המספרים המשולשים הראשונים של 258 הם:
3, 15, 36, 66, 105, 153
להלן המעבר ממספר למספר
3+(1.9) +3=15
15+(2.9) +3=36
36+(3.9) +3=66
66+(4.9) +3=105
105+(5.9) +3=153

בגלל שהמעבר ממספר למספר כרוך בהכפלה ב9 (שמשמרת את סכום הספרות המקורי) אבל גם בתוספת של 3, סכום הספרות נשאר במסגרת הזרם של 369 ואינו חוזר רק על השלש שהתחיל את הסדרה
==
המבנה של המספרים המשולשים של 369

המספרים המשולשים הראשונים של 369 הם:
6, 21, 45, 78, 120
להלן המעבר ממספר למספר
6+(1.9)+6=21
21+(2.9)+6=45
45+(3.9)+6=78
78+(4.9)+6=120

בגלל שהמעבר ממספר למספר כרוך בהכפלה ב9 (שמשמרת את סכום הספרות המקורי) אבל גם בתוספת של 6, סכום הספרות נשאר במסגרת הזרם של 369 ואינו חוזר רק על השש שהתחיל את הסדרה

המספרים המעוקבים על האלכסון של קוביית הקוביות


המספרים המעוקבים מופיעים על האלכסון של קובייה שמכילה את הקוביות הקודמות לה.
הקובייה שאורך הצלע שלה 1 נכנסת לתוך הקובייה שאורך הצלע שלה 2, שבה יש שמונה קוביות בגודל של הקובייה של ה-1.
הקובייה שאורך הצלע שלה 2 נכנסת לתוך הקובייה שאורך הצלע שלה 3, שבה יש 27 קוביות בגודל של הקובייה של ה-1.
הקוביות האחרונות בכל קובייה מתחברות על ידי אלכסון הקובייה, בדומה לתופעה של התחברות הריבועים על האלכסון של לוח הכפל.


יום שבת, 22 ביוני 2019

העמודה השמינית


כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשמונה עמודות מקבלים בעמודה השמינית את הכפולות של שמונה: 8, 16, 24...
סכום הספרות של הכפולות האלה הוא בסדר יורד
   
16=7
24=6
לעומת הכפולות של 10 או של 1 שסכום הספרות שלהן הוא בסדר עולה
ולעומת הכפולות של 9 שדורכות במקום ושוות תמיד ל-9.

העמודה השישית


כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בעמודה אחת מקבלים בה את הכפולות של המספר אחד, שכוללות את המספרים הזוגיים והאי זוגיים בלי שיש ביניהם הפרדה.
כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשתי עמודות מקבלים את האי זוגיים בעמודה אחת ואת הכפולות של 2 באחרת.
כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשלש עמודות מקבלים בעמודה השלישית את הכפולות של שלש, שכוללות את המספרים שמתחלקים בשלש, ובשתי העמודות האחרות את המספרים שאינם מתחלקים בשלוש.
כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשש עמודות מקבלים בעמודה השישית את הכפולות של שש שמסכמות את סכומי האיברים המקבילים בעמודות של 1-2-3.

יום שישי, 21 ביוני 2019

הזוגיים של האי זוגיים


כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בעמודה אחת מקבלים את הכפולות של המספר אחד כאשר המספרים הזוגיים והאי זוגיים מופיעים בהן ביחד, בלי שיש ביניהם הפרדה.
כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשתי עמודות מקבלים את האי זוגיים בעמודה אחת ואת הכפולות של 2 באחרת. בכך נדמה לנו שפתרנו את בעיית הפרדת המינים, אבל היא חוזרת שוב בכפולות של כל מספר אי זוגי: בכפולות של ה-3 נמצא את ה-6 ואת ה-12 שהם זוגיים, בכפולות של ה-5 את העשר והעשרים שהם זוגיים, בכפולות של השבע את ה-14 וה-28 שהם זוגיים וכן הלאה.
כדי לסנן את הזוגיים מבין כל עמודה שכזו צריך לרשום את מספריה בשני טורים.
בלוח הכפל אנחנו רואים שחצי מהעבודה כבר נעשתה כי הכפולות של 2 כבר מסוננות, וכך גם הכפולות של שש ושל עשר. כלומר לוח הכפל בנוי מחמש עמודות מעורבות [1,3,5,7,9], שלש מסוננות [2,6,10], ושתיים שהן כפולות של עמודות זוגיות [4, 8]
לאור כל זאת ניתן לומר ששניים הוא הזוגי של אחד, שש הוא הזוגי של שלש, עשר הוא הזוגי של חמש, 14 של ה-7, 18 של ה-9.  

הכפולות של ארבע


כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בארבע עמודות מקבלים בטור הרביעי את הכפולות של המספר ארבע. ניתן לשרטט אותן באופן גאומטרי כהיקפים של ריבועים. בריבוע הראשון אורך הצלע הוא 1, בשני- 2, וכן הלאה. מה שיפה בסידור הזה הוא שהריבועים נכנסים אחד לתוך השני.
סידור זה מקבל משמעות נוספת על רקע סידורים אפשריים אחרים של המספרים הטבעיים.
כאשר מסדרים אותם בעמודה אחת מקבלים את הכפולות של 1, שמכילות את כל התופעות המספריות.
כאשר מסדרים אותם בשתי עמודות מקבלים את הכפולות של 2, המספרים הזוגיים, בטור השני, ואת המספרים האי זוגיים בטור הראשון.
כאשר מסדרים אותם בשלש עמודות מקבלים בטור השלישי את הכפולות של המספר 3, שמתחלקות בשלש, ואילו בשתי העמודות האחרות מקבלים את המספרים שאינם מתחלקים בשלש.
כאשר מסדרים אותם בתשע עמודות מקבלים בכל עמודה את המספרים שסכום הספרות שלהם זהה לזה שבראש העמודה.
כאשר מסדרים אותם בעשר עמודות מקבלים בכל עמודה את המספרים שהספרה האחרונה שלהם זהה לזו של המספר שבראש העמודה.

יום חמישי, 20 ביוני 2019

הכפלה וחילוק באחד


אי אפשר לחלק אחד למספרים שלמים. החלוקה למספרים שלמים מתחילה משניים, שמחלק את השניים לשני אחדים שלמים. מאותה סיבה גם אי אפשר לחלק אחד בעצמו. זה אותו דבר כמו לחלק באחד, רק במילים אחרות.

גם אי אפשר להכפיל מספר באחד. כפל משמעו ריבוי [באנגלית Multiplication ] כאשר מכפילים 2 ב-4 מקבלים 4, ו4 זה יותר משניים. כאשר מכפילים 4 באחד מקבלים 4, שזה אותו דבר. ההכפלה באחד היא בזבוז אנרגיה. היא לא משנה דבר.
אומרים שהאחד אינו מספר ראשוני, כי הוא מתחלק רק באחד ובעצמו, אבל החלוקה באחד, כפי שתיארתי לעיל, היא בדיחה שאנשים מתייחסים אליה ברצינות.
אומרים שהמספרים הראשוניים בונים את יתר המספרים, אבל האחד בונה את כל שאר המספרים יותר מכל מספר ראשוני רשמי, ולראייה: כל מספר בהתחלקו בעצמו חושף את האחדים מהם הוא מורכב.

יום רביעי, 19 ביוני 2019

הסבר של ניקומאכוס לאופן שבו ריבועים יוצרים ריבועים



בסדרת הכפולות של אחד [1, 2, ,3, 4] הריבוע של אחד מופיע במקום הראשון.
בסדרת הכפולות של שניים [2, 4, 6 , 8] הריבוע של שניים מופיע במקום השני. אם מחברים את האיבר שלפני הריבוע לאיבר שאחריו
2+6=8
ומוסיפים לתוצאה את הריבוע פעמיים מקבלים את הריבוע של הארבע [16], שהוא הריבוע של 4:
2+6=8; 4+4=8; 8+8=16
בסדרת הכפולות של שלוש הריבוע של שלוש [9] מופיע במקום השלישי. לפניו 6 אחריו 12 שהם 18 ועוד פעמיים הריבוע שווה לריבוע של שש [36], שהוא הריבוע של 6.
בסדרת הכפולות של ארבע הריבוע של ארבע מופיע במקום הרביעי [4, 8, 12, 16, 20] לפניו 12 ואחריו 20 שהם 32 ועוד פעמיים הריבוע של 16 [32] ... מקבלים 64 שהוא הריבוע של 8.
וכך הלאה.
מקור:
Nicomachus of Gerasa,  Introduction  to  Arithmetic,  Book 1,  Juan F. Balboa  Translation  , 2018, p. 64