המבנה של הכפולות של שניים

מספרים טבעיים נראים כמו משולש, עם 1 בתור קדקוד, אבל לכפולות של 2 אין כאלה מותרות, ולכן יש להן צורה של טרפז עשוי מנקודות:
 2,4,6,8,10 
וכן הלאה, 
אבל כאשר אנו מסתכלים מקרוב אנו רואים כי המבנה של המספרים הטבעיים חוזר דרך הדלת האחורית, עם חריג אחד: כל מספר מופיע פעמיים!

מבט חדש על המבנה של המספרים המשולשים

מספרים משולשים הם הסכום של הנקודות מ 1 לבסיס.

במספרים זוגיים כמו 4 אנו רואים [בצד שמאל למעלה] 10 נקודות שהן הסכום של

 1 + 2 + 3 + 4

אבל אנחנו יכולים לארגן אותן אחרת [ראו צד ימין למעלה] ולסכם את השורה הראשונה ואת השורה האחרונה ביחד עם סכום השורה השנייה והשורה השלישית

1 + 4 = 5

2 + 3 = 5

5 + 5 = 10

במספרים אי זוגיים כמו 3 אנו רואים [בצד שמאל למטה] 6 נקודות שהן הסכום של 1 + 2 + 3 אבל אנחנו יכולים לארגן אותם אחרת [ראה למטה בצד ימין] ולסכם את השורה הראשונה ואת השורה השנייה יחד עם סכום השורה האחרונה:

1 + 2 = 3

3 + 3 = 6

ההמחשה הזאת מאפשרת להבין טוב יותר מדוע הנוסחה למציאת מספר משולש אי זוגי היא המספר כפול מרכזו

כמו לדוגמה המספר המשולש של 5 שהוא 15 בגלל שכופלים את המרכז 3 במספר 5. חמש מורכב מ

 1+2+3+4+5

ואנחנו מחברים את 1+5 (שתי שלשות) עם 2+4 (עוד שתי שלשות) ועם 3 ומקבלים חמש שלשות.

 הנוסחה למציאת מספר משולש זוגי היא המספר כפול מרכזו חלקי שניים

לדוגמה המספר המשולש של שש הוא

1+2+3+4+5+6

המרכז הוא שני מספרים: שלש וארבע

3+4=7

7.6=42

וחצי מ 42 הוא 21 שהוא המספר המשולש של שש

אבל לפי ההמחשה לעיל

1+6=7

2+5=7

3+4=7

בסך הכל 21 

ולא צריך ללכת לאיבוד עם החלוקה של 42 לשניים.

מספרים המכילים מספר ואת הכפל שלו

כאשר מתבוננים בעמודת הכפולות של 12 בולט לעין שהאיברים הראשונים שלה מורכבים משתי ספרות כך שהאחת היא כפל של השנייה.

12 מורכב משתי ספרות: 1 ו -2 ו -2 הוא פעמיים 1 

24 מורכב משתי ספרות: 2 ו- 4 ו- 4 הוא פעמיים 2.

36 מורכב משתי ספרות: 3 ו 6 ו 6 הוא פעמיים 3.

זה קורה כי כל איבר בעמודה של הכפולות של 12 הוא למעשה 4 פעמים האיבר המקביל לו בעמודה של 3 [וסכום הספרות של 12 הוא 3] .

רק עכשיו אנחנו יכולים להעריך את העובדה כי 3 הוא כבר מספר שמכיל בתוכו מספר כפול [1 + 2]. וכך גם לגבי 6, 9 ו -12.

השיעור של תאודורוס

בדיאלוג של אפלטון תאיטיטוס, שנכתב לפני יותר
מ2000 שנה, מסכם תאיטיטוס לסוקרטס שיעור שקיבל מהמתמטיקאי תיאודורוס. [פסקה 147]

תיאודורוס בחן מקרוב את המספרים מ -3 ל -17 והראה לו ששורשי המספרים שהם כפולות של מספרים אחרים הם מספרים שלמים, אבל לריבועים של מספרים ראשוניים אין שורשים שהם מספרים שלמים.

=

הערה: במספרים מלבניים צלע אחת קצרה יותר מהשנייה.

אינסוף ככרטיס חד סטרי

פרדוקס הדיכוטומיה של זנון דורש פיצול מרחק לשני חלקים שוב ושוב:

1/2; 1/4; 1/8; 1/16; 1/32; 1/64

זה דומה מאוד לסדרה של מכפילי 2:

 2; 4; 8; 16; 32; 64

אתה תמיד יכול להוסיף איבר לסדרות אלה על ידי הכפלה או חצייה. הסדרה היא אינסופית.

אבל אם אתה עובר מן האיבר האחרון אל הראשון אתה מגיע בסופו של דבר ל
שניים חלקי שניים וזה נגמר שם

או לחצי כפול שניים... וזה נגמר שם.

המבשר של ה"גלגולים"

ה"גלגולים" קורים כאשר אנו מוסיפים 9 למספר כלשהו וסכום הספרות שלו נשאר זהה. למשל:

5 + 9 = 14; 14 = 1 + 4 = 5; 14 + 9 = 23; 2 + 3 = 5

נהגתי לחשוב שזו תכונה ייחודית של 9, אבל כשאנחנו מסדרים את הכפולות של 3 בשלש עמודות אנו רואים את אותה התופעה:

12 = 1 + 2 = 3; 21 = 2 + 1 = 3; 30 = 3 + 0 = 3

וכו'.
וזה נכון גם לגבי הזרמים האחרים:

איך האיברים של כל סדרה בונים את המספר הבא

מבט חדש על המבנה של המספר המשולש

בדרך כלל אנו נוטים לראות את המספר המשולש כהצטברות של המספרים שקדמו לו, החל מאחד, והוספת המספר האחרון לסכום שלהם:

1

1 + 2

1 + 2 + 3

1 + 2 + 3 + 4

וכן הלאה.

או אם אנו יודעים כי 21 הוא מספר משולש של 6, אנו מוסיפים 7 כדי לקבל את המספר המשולש של 7 ומקבלים 28 בלי להוסיף את כל המספרים מ 1.

אבל בגלל ש 28, למשל, הוא מספר משולש של 7 אנחנו יכולים להוסיף אותם יחד ולהוסיף 1 כדי להגיע למספר המשולש הבא :

28 + 7 + 1 = 36

המספרים המשולשים של הזרם של 1-4-7

הטבלה הראשונה מציגה את סדרת המספרים הטבעיים מסודרת ב 9 עמודות. בסידור זה סכום הספרות בכל עמודה זהה למספר הראשון.

1 = 10 = 1 + 0 = 1
19 = 1 + 9 = 10 = 1 + 0 = 1

כאשר תוסיף 9 למספר כלשהו, ספרות המספר החדש יסוכמו באותו מספר כמו המספר המקורי

1234 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 1

1234 + 9 = 1243 = 1 + 2 + 4 + 3 = 10 = 1

הטבלה השנייה מציגה את המספרים המשולשים מסודרים ב 9 עמודות. בסידור זה סכום הספרות מתחת למספרים 1, 4 ו -7 מסתכם  באחד.

55 = 5 + 5 = 1
190 = 1 + 9 + 0 = 10 = 1

הסיבה כנראה היא כי המספרים בכל עמודה כזו רחוקים 9 מקומות אחד מהשני ... כמו בטבלה הראשונה.

מעין הוכחה לכך שאפס הוא מספר

כאשר אני מסדר את סדרת המספרים הטבעיים בתשע עמודות אני מקבל בכל עמודה את רשימת המספרים שיש להם את אותו סכום של ספרות כמו למספר הראשון שבראש כל עמודה. לדוגמה:

 2= 11 [1+1] 

 20=[2+0} 

 29= [2+9=11=1+1=2] 

הטור הראשון הוא יוצא דופן אך קשה להבחין בכך, כי אנחנו ממהרים לסכם 10 כמו 1 

 1+0=1

19=1+9=10=1

  

אבל אם נסתכל יותר מקרוב נראה כי עמודה זו נשלטת למעשה על ידי עשרות והמספר היחיד שאינו עשר הוא האחד שבראש העמודה.

כאשר אני מסדר את סדרת המספרים הטבעיים בעשר שורות, אני מקבל בשורה העשירית את מכפילי העשר: 10, 20, 30 ... [באנגלית אפילו שמותיהם מתחרזים] וברור לגמרי ש 0 הוא מספר כמו כל תשעה אחרים, שכן הוא יכול להיות הסיומת של מספר. ישנן עשר אפשרויות לסיים מספר ו 0 היא אחת מהן.

בטבלה בת תשעה הטורים היה קשה לראות את התופעה הזאת, וזה היה אפילו קשה יותר להסביר מאיפה הגיע ה0 למספרים 10, 20 וכו'.

בדרך כלל אנו אומרים כי O הוא מספר שלא נספר, כי 10 משמעותו קבוצה אחת של עשרה מספרים שאיננה כוללת את היחידות המקוריות 1-9, אבל כאן, כשרואים את הסיומות באופן כל כך ברור, ה 0 מתפקד כמו כל המספרים האחרים  המקוריים 1-9.

המחשה של החזקות של עשר

הדגמה נוספת של המעבר מריבוע לריבוע

הריבוע של 2 מורכב מ 2 ועוד קו אחד זהה 
הריבוע של 3 מורכב מ 3 ועוד שני קווים זהים
הריבוע של 4 מורכב מ 4 ועוד שלושה קווים זהים
וכן הלאה

באשר לקוביות
הקובייה של 2 מורכבת מן הריבוע של 2 ועוד ריבוע אחד זהה [4 + 4 = 8]
הקובייה של 3 מורכבת מהריבוע של 3 בתוספת שני ריבועים זהים [9 + 9 + 9 = 27]
הקובייה של 4 מורכבת מהריבוע של 4 ועוד שלושה ריבועים זהים [16 + 16 + 16 + 16 = 64]
וכן הלאה

המחשת המעוקבים

מספר מעוקב הוא מיקום של קובייה בתוך קובייה

באיור אנחנו רואים קובייה שמורכבת מעשרים ושבע קוביות

שנמצאות בשלוש קומות

כמו חדרים בבניין

אם אנחנו רוצים לאתר את הדייר בקומה שמתחת לחמש 

עלינו להוסיף לו תשע

19 10 1

20 11 2

21 12 3

22 13 4

23 14 5

24 15 6

25 16 7

26 17 8

27 18 9

הערות ללוח הכפל

הכפולות של 2 כבר נמצאות בעמודה של הכפולות של 1

אלא שהן מהוות מחצית ממספר האיברים של הכפולות של 1

חיבור האיברים מהעמודה של ה-1 עם האיברים של העמודה של ה-2

מייצר את העמודה של 3

טטרקטיס בממד השני

בטטרקטיס המקורי אנחנו מדברים על 1 + 2 + 3 + 4 = 10

בממד השני אנו רואים תופעה חדשה:

1 הוא 1 וסכום השורה שלו הוא 1 שהוא גם 1 בחזקה שלישית

2 הוא 4 וסכום השורה שלו הוא 8 שהוא 2 בחזקה שלישית

3 הוא 9 וסכום השורה שלו הוא 27 שהוא 3 בחזקה שלישית

4 הוא 16 וסכום השורה שלו הוא 64 שהוא 4 בחזקה שלישית

ואנחנו יכולים להמשיך את הסדרה עד שנתעייף
=
בונוס:

מכפלת ארבעת המספרים הראשונים היא 24

מכפלת ארבעת המספרים הראשונים בריבוע היא

576

שהוא הריבוע של 24

טטרקטיס בממד השלישי

בטטרקטיס המקורי אנחנו מדברים על
 1 + 2 + 3 + 4 = 10
בממד השלישי אנו רואים תופעה חדשה:
1 הוא 1 וסכום השורה שלו הוא 1 שהוא 1 בריבוע
2 הוא 8 וסכום השורה שלו הוא 16 שהוא 4 בריבוע
3 הוא 27 וסכום השורה שלו הוא 81 שהוא 9 בריבוע
4 הוא 64 וסכום השורה שלו הוא 256 שהוא 16 בריבוע
ואנחנו יכולים להמשיך את הסדרה עד שנתעייף

סכום הספרות על האלכסונים של הריבוע של 9

בפינה העליונה משמאל:

 1 

ולאחר מכן 

11 = 1 + 1 = 2 

עד

 81 = 8 + 1 = 9

משמאל למטה:

 73 = 7 + 3 = 10 = 1 

עד

 17 = 1 + 7 = 8 

ולאחר מכן 

9

 האלכסונים נפגשים במספר 41 

שהוא

 4 + 1 = 5

:שהרי חמש הוא באמצע התשע 

111151111

סכום העמודות האנכיות הוא תמיד המספר הראשון של העמודה:

העמודה הראשונה מתחילה ב- 1 ומסתיימת ב- 

73 = 7 + 3 = 10 = 1 + 0 = 1

העמודה השנייה מתחילה ב 2 ומסתיימת ב

 74 = 7 + 4 = 11 = 2

וכן הלאה

שברים הם העיקרון של הסדרות ההנדסיות

1/2

1 הוא החצי של 2

2 הוא החצי של 4

4 הוא החצי של 8

וכן הלאה

1/3

1 הוא השליש של 3

3 הוא השליש של 9

9 הוא השליש של 27

וכן הלאה

1/4

1 הוא הרבע של 4

2 הוא הרבע של 8

8 הוא הרבע של 32

וכן הלאה

המבנה של הקוביות

תבנית בכיוון אחד

 במספרים הזוגיים בלבד ישנה תבנית שלפיה:

כל מספר שמתחלק ב-6 מתחלק ב-3 אבל לא כל מספר שמתחלק ב3 מתחלק ב-6, למשל 9 או 15

כל מספר שמתחלק ב-4 מתחלק ב-2, אבל לא כל מספר שמתחלק ב2 מתחלק ב-4 למשל 6 או 10

כל מספר שמתחלק ב-8 מתחלק בארבע אבל לא כל מספר שמתחלק ב-4 מתחלק ב-8 למשל 12 או 20 

כל מספר שמתחלק ב-10 מתחלק ב-5  אבל לא כל מספר שמתחלק ב 5 מתחלק ב -10 למשל 25

מספרים עשרוניים נמצאים כבר בכפולות של חמש

אנחנו רגילים לחפש את המספרים העשרוניים בכפולות של עשר, אחרי שסידרנו את הממספרים הטבעיים בעשר עמודות. אבל המספרים העשרוניים נמצאים כולם כבר בכפולות של המספר חמש, הם בעצם הכפולות הזוגיות של המספר חמש, אלא שהם מעורבבים שם עם הכפולות האי זוגיות שלו, וצריך לסדר אותן, לפיכך, בשתי עמודות, כמו שבשביל להפריד את הזוגיים מהאי זוגיים, שנמצאים כולם במעורבב בסדרה של המספרים הטבעיים, צריך לסדר אותם בשתי עמודות.

שיטת המעבר מקובייה לקובייה

הצד השמאלי של הטבלה מציג את הגנומונים, המספרים שאנו מוסיפים לריבוע כדי לבנות את הריבוע הבא. הם תמיד במבנה של 2x + 1. [מ 4 ל 9 אנו מוסיפים 5 אשר עשוי משניים שניים ועוד אחד]. הגנומונים, כאשר הם מסודרים כסדרה מהווים את הסדרה של האי זוגיים.

בצד ימין של הטבלה אני מנסה להתמודד עם הגנומונים בתלת ממד.

מספרים משולשים בממד השלישי

המבנה הפנימי של ריבועים ושל קוביות

כולנו יודעים ש 
2x2 = 4 
וש 
2x2x2 = 8
אבל כאן לפנינו תצוגה חלופית שמראה את אותה התוצאה. 
מה שבאמת מדהים הוא ששתי התצוגות ניתנות להדמיה גאומטרית. 
הראשונה על ידי קווים שיוצרים ריבועים וקוביות. החלק הדו ממדי בשנייה על ידי הגנומון.החלק התלת-ממדי בשנייה על ידי הכפלת הגנומון. למשל, פעמיים אחד ועוד שלש או שלש פעמים אחד ועוד שלש ועוד חמש.

עץ המספרים של ניקומאכוס בתלת ממד

היקפי הריבועים

המספרים הטבעיים מופיעים על הטור של האחד שהוא גם הטור של התוהו והבוהו, כי כל התופעות המספריות מופיעות בו ביחד: זוגיים ואי זוגיים, זרמים, ריבועים, מספרים משולשים, מספרים ראשוניים וכן הלאה.

כאשר מסדרים את המספרים בשני טורים מפרידים את הזוגיים מהאי זוגיים באופן כל כך יסודי שלעולם לא יהיה מספר זוגי על הטור האי זוגי או מספר אי זוגי על הטור של הזוגי. 

כאשר מסדרים את המספרים בשלושה טורים מקבלים את "הזרמים", ובטור השלישי של הזרמים מקבלים את הכפולות של שלש. 

כאשר מסדרים את המספרים בארבעה טורים מקבלים בטור הרביעי את היקפי הריבועים: 

1=4

2=8

3=12

4=16

5=20

6=24

7=28

8=32

9=36 

10=40 

מעניין שהאות מ"ם סופית שנראית כמו שרטוט של היקף של ריבוע - [ם] - ערכה בגימטריה 40, והיא ההיקף של הריבוע של עשרת המספרים הראשונים.
=
הערה:
הזרם של הכפולות של השלש הוא בעצם גם הזרם של היקפי המשולשים שווי הצלעות.