סכום הספרות כמזהה של המספרים המתחלקים בשלש

כאשר מרכזים את כל המספרים השלמים החיוביים בשלושה טורים מקבלים את הזרמים:

1  2  3

4  5  6

7  8  9

הטור השלישי הוא הטור של הכפולות של שלש, אבל הוא כולל גם את הכפולות של שש ושל תשע. כדי להפריד ביניהן מחלקים את הטור השלישי לשלושה טורים, טור של ה-3, טור של ה-6, וטור של ה-9 – וקל לראות שמתחת לטור של השלש סכומם של כל המספרים 3, מתחת לטור של השש סכומם של כל המספרים 6 ומתחת לטור של התשע סכומם של כל המספרים הוא 9... ושכל מספר שכזה מתחלק ב-3

קל לזהות את המספרים המתחלקים ב -2 וב -5 אבל נראה שקשה יותר לזהות במבט ראשון את המספרים המתחלקים ב -3.

כדי לסדר את המספרים הטבעיים לפי הסיומת צריכים להוסיף 10 לכל אחת מעשר היחידות הראשונות.

אז אנו יכולים לראות כי אלה השייכים לזרם של ה-369 יכולים להתחלק ב-3 אם סכום הספרות לפני כל אחד מהם הוא 3 או 6 או 9.

טטרקטיס בתור עצרת

הטטרקטיס אלם

הוא לא יכול להגיד לנו אם לחבר או להכפיל

 את מספריו

זרמים וסכום הספרות

                             זרמים הם המספרים הטבעיים כשהם מסודרים ב 3 עמודות. מעל אנחנו רואים איור לזרם 369, אבל התופעה שהאיור ממחיש חלה גם על הזרמים האחרים (147 ו 258).

כאשר סופרים 369 וממשיכים ל -12, 15, 18 ול -21, 24, 27 וכן הלאה - רואים שסכום הספרות בכל מספר נשאר זהה: 3 הוא 12 [2 + 1 = 3] ו- 3 הוא 21, ו 3 הוא 30 ... תופעה זו עוזרת לנו למקם כל מספר בזרם שלו. אם 345 הוא 3 + 4 + 5 = 12 = 3 הוא שייך לזרם של 369. אם 346 =13= 4 הוא שייך 
לזרם של 147...

הסבר לסימטריות של ניקומאכוס

כל מספר מורכב מחיבור של אחדים. שניים הם אחד ועוד אחד, ו 55 הם 55 אחדים שמחוברים ביניהם.

====

1

121

12321

1234321

123454321

הסימטריה של ניקומאכוס

כאן מוצגים ריבועי המספרים מאחד עד חמש

אבל זו סדרה שניתן להמשיך עד אינסוף

הסימטריה של ניקומאכוס מראה לנו מה קורה כאשר היחס בין האחדים משתנה מחיבור לכפל:

אחד כפול אחד הם אחד

אחד ועוד אחד [שהם שניים] כפול אחד ועוד אחד הם ארבע. בדרך כלל אנחנו מתייחסים לארבע כאל הריבוע של שניים, אבל ניקומאכוס מציג לנו מבט חדש שלפיו האחד ועוד אחד הוא אחד עשרה ו11 כפול 11 הם 121.

אם נתעלם מההרגל לקרוא מספר כזה בשיטה העשרונית ה 121 מורכב מאחד ועוד אחד ועוד שניים שהם 4 שהוא הריבוע של אחד ועוד אחד [שהם שניים] כפול אחד ועוד אחד 

באיור  למעלה ניתן לראות שיש התאמה בין המיקום העשרוני של המספרים לבין המיקום הגיאומטרי שלהם בריבוע: 121 שהם מאה אחת ועוד שתי עשרות ועוד יחידה אחת.

תורת המספרים מורכבת מסדרה ארוכה של תגליות "פשוטות" כמו זו שגילה ניקומאכוס (60-120 לספירה). לגלות תגלית כזאת יכול היה כל מי שהתבונן במכפלות של אחדים. לא צריך ללמוד מתמטיקה לדוקטורט בשביל לגלות תגלית שכזאת. התגליות הראשונות מהסוג הזה מיוחסות לפיתגוראים החל מהמאה השביעית לפני הספירה. כל תגלית שכזאת מעוררת השתאות על הסדר של המספרים, על היופי שלהם, על המבנה שלהם, על היכולת להציג אותם בצורה גיאומטרית. נדמה שהחכמה של המספרים היא על אנושית, ושאם אדם בודד המציא אותם... לא מתקבל על הדעת שהוא ידע מראש את כל מה שיגלו בהם הבאים אחריו.

חכמת המספרים של היוונים הדהימה את כל מי שנתקל בה. היא מעידה על ביג בנג של התבונה האנושית שהתחולל ביוון ואשר גלי ההדף שלו הגיעו, להערכתי, עד למחברי התנ"ך. 

כחול לבנים וורוד לבנות

כאשר מסדרים את כל המספרים הטבעיים בטור אחד הזוגיים והאי זוגיים מופיעים עליו לסירוגין. כאשר מסדרים  את כל המספרים הטבעיים בשני טורים האי זוגיים מופיעים על הטור האחד ואילו הזוגיים על השני אם מקפיאים את תמונת ארבעת המספרים הראשונים רואים שהזוגיים מופיעים על הקו הניצב האחד ואילו האי הזוגיים  על השני. זוהי התצוגה החד ממדית של הפרדת המינים.  

באיור שלפנינו מסודרים כל המספרים הטבעיים בשלושה טורים, אחרי שמקפיאים את תמונת תשעת המספרים המקוריים. כעת ההפרדה היא דו ממדית כאשר הזוגיים [בוורוד] יוצרים ריבוע משלהם ואילו האי זוגיים יוצרים ריבוע משלהם,והחמש, שהוא אי זוגי, מופיע במרכזם של שני הריבועים.

מאחר ותשעת המספרים המקוריים מופיעים שוב ושוב בהמשכי הטורים (כאשר 10 הוא הגלגול השני של האחד, 11 הוא הגלגול השני של 2 וכן הלאה) התצוגה הזאת נכונה לגבי כל המספרים.

השבע שבעשר

   בתוך הטטרקטיס יש מספר אחד שמוקף על ידי תשעה מספרים אחרים, אבל מתוכם יש רק ששה שנוגעים בו ובשכניהם. תכונה זו מייצרת בתוך הקבוצה של העשר קבוצה של שבע שאיננה כוללת את קדקודי המשולש 

גנומונים בתור המבנה של הקובייה

אנו רואים כאן את הקובייה של 3 שעשויה מ27 קוביות [אבנים].

צבועות באדום - 3 קוביות של 1.

צבועות בכחול - 9 קוביות של 3.

צבועות בירוק - 15 קוביות של 5.

 3 + 9 + 15 = 27

=

"בקומה העליונה" אנו רואים את הריבוע של 1 [אדום]. כאשר אנו מוסיפים לאחד את 3 האבנים הכחולות מקבלים 4 שהוא הריבוע של 2. כאשר אנו מוסיפים לריבוע של 2 את חמש האבנים הירוקות מקבלים 9 שהוא הריבוע של 3

 1 + 3 + 5 = 9 . הגנומונים, המספרים האי זוגיים, בונים את הריבוע.

=

המבנה הידוע של הקובייה הוא

3X3X3

האיור משמש כהדגמה של המבנה החלופי שלה: 3 + 9 + 15 = 27

שמונה מעגלים שנוגעים בתשיעי שבמרכזם

היה ידוע לי כי ששה מטבעות מקיפים ונוגעים באופן מושלם במטבע שביעית, אבל זה ש 8 מטבעות 

מקיפים ונוגעים 

במטבע תשיעית זה גילוי חדש בשבילי
=
אבל יש הבדל חשוב בין השבעה 
שכל אחד מהם נוגע גם במרכזי וגם בשכניו 
לבין התשעה 

שכל אחד מהם נוגע בשכניו אבל רק הזוגיים נוגעים במרכזי

המחשה של מספרים אי זוגיים

הנטייה הטבעית שלי היא להתייחס אל האי זוגיים כאל המקור ואל הזוגיים כאל ההעתק שלו. כאן אני מציג את האפשרות שהזוגיים קודמים לאי זוגיים. שבתחילה אני בורא במחשבה את הזוגי ורק אחר כך אני מוסיף לו אחד.
המרכז של 3 הוא 2, יש אחד לשמאלו ואחד לימינו.
המרכז של 5 הוא 3, יש 2 מעליו ו- 2 מתחתיו.
המרכז של  7 הוא 4, יש 3 מעליו ו- 3  מתחתיו.
המרכז של  9 הוא 5, יש 4 מעליו ו-4 מתחתיו.

לוח הכפל בתור נוסחה

שתי שפות

כאשר אחד מכפיל את עצמו הוא יוצר ריבוע נסתר. בגיאומטריה רואים שזה ריבוע אבל במספרים אחד כפול אחד שווה אחד. כאשר שנים מכפיל את עצמו, זה כבר יוצר ריבוע שידוע שהוא ריבוע הן בגיאומטריה והן במספרים, וכך גם לגבי המספרים הבאים.

החשיבות העיקרית של הבדל זה בין שתי השפות הוא שכאשר אנו מדברים על, למשל, 2 בריבוע אנו רואים בגיאומטריה כי הריבוע שנוצר עשוי מ 4 ריבועים של אחד, וכאשר אנו מדברים על 2 מעוקב אנו רואים כי הוא עשוי מ 8 קוביות של אחד, אבל בשפה של המספרים אנו רואים רק כי 2 בריבוע מכיל 4 אחדים, ו 2 מעוקב מכיל 8 אחדים... הממדים הולכים לאיבוד.

הממדים של תשעת המספרים הראשונים

מרכזו של הגנומון של הריבוע

גנומון הוא ההפרש בין שני ריבועים עוקבים, או המספר שמוסיפים לריבוע הקטן כדי לקבל את הריבוע הגדול

וכך, 5 הוא הגנומון שמוסיפים לריבוע של 2 כדי שיואיל בטובו להפוך לריבוע של 3 

ובמספרים נטו: 9=4+5

הגנומון הזה הוא מספר אי זוגי

ולכן יש לו מרכז שמחלק אותו לשני חלקים שווים

וכך

2 הוא המרכז של 3

121

3 הוא המרכז של 5

11311

וכן הלאה

התופעה שרציתי להביא לפניכם היא זו:

2 הוא המרכז של  3

ואילו 3 הוא הגנומון של הריבוע של 2

3 הוא המרכז של  5

ואילו 5 הוא הגנומון של הריבוע של 3

4 הוא המרכז של  7

ואילו 7 הוא הגנומון של הריבוע של 4

וכן הלאה

הסבר לאיור:

שניים [בירוק] הם עותק של צלע אחת של הריבוע של שניים [בכחול]

ועוד שניים [בירוק] הם עותק של צלע אחרת של הריבוע של שניים [בכחול]

וביניהם [באדום] על חוצה הזווית,  מופיע ה-3

בתור אלמנט חדש

===


וזו הסיבה לכך שכל הריבועים בלוח הכפל מופיעים על חוצה הזווית:

  

בראשית כח יב: והנה מלאכי אלוהים עולים ויורדים בו

כאשר אנו מסתכלים על הספרה האחרונה של המספרים בלוח הכפל אנו רואים כי הספרות האחרונות של 9 מסודרות בדיוק בכיוון ההפוך לזה של תשעת המספרים הראשונים החל מאחד

חמש בתור מפסק

כאשר מתבוננים בספרה האחרונה של המספרים בלוח הכפל רואים שחמש הוא המספר היחיד שיש לו רק שתי אפשרויות לסיום: 5 או 0. אולי ניתן להשתמש בתופעה זו לייצור מתגי On-Off.

שינויי צורות

 בדרך כלל כאשר אנו מוסיפים מספרים למספרים איננו רואים את הגיאומטריה שלהם. 

כאן אנו רואים כיצד 

4+4=8

וכיצד שני ריבועים הופכים לקובייה

1 + 2 + 3 + 4 = (1 + 4) + (2 + 3) = 10

ומשולש משנה צורה למלבן עם אותן אבני בניין

חלוקת מספרים ראשוניים לשני מספרים שלמים

חלוקת מספרים זוגיים לשני מספרים שלמים ושווים אפשרית אבל חלוקת מספרים ראשוניים לשני מספרים שלמים ושווים היא משימה בלתי אפשרית. עם זאת, מספרים ראשוניים עשויים משני חלקים שווים ועוד אחד, ואם מוסיפים את האחד הזה לאחד החלקים השווים חלוקת המספרים הראשוניים לשני מספרים שלמים [לא שווים] היא  משימה שניתנת לביצוע.

סידור המספרים הראשוניים

בדרך כלל אנחנו מסדרים את המספרים הטבעיים בעשרה טורים, ומסמנים את המספרים הראשוניים כדי להראות עד כמה פראית התפוצה שלהם. 

הפעם אני מנסה ללכת בדרך ההפוכה, ואני משאיר לכם לסמן את המספרים הטבעיים כדי להראות לכם עד כמה פרועה התפוצה שלהם.

המכנה המשותף של המספרים הראשוניים בתצוגה גאומטרית

בדרך כלל אנחנו יודעים על המספרים הראשוניים בצורתם המספרית, וקשה לנו להבין מן התצוגה המספרית מהו המכנה המשותף להם, כי הם מופיעים כאיברים שנמצאים במרווחים בלתי שווים בסדרת המספרים הטבעיים. אבל בתצוגה הגיאומטרית שלהם קל להבחין בכך שהצורה של המספר הראשוני היא צורה של קו, שהוא בעצם עובר של מקבילית, כי הוא ממתין להיות מוכפל ולהפוך למקבילית, בין אם היא מלבן, ריבוע, או קובייה, שהיא מכפלה של ריבוע.

לוח הכפל כמכולה של כל המספרים שאינם ראשוניים

כל המספרים הם או ראשוניים או לא-ראשוניים.

בשורות הראשונות, האופקית והאנכית, של לוח הכפל, הראשוניים מעורבבים עם הלא-ראשוניים, והם איברים בסדרת המספרים הטבעיים, שהיא הסדרה של הכפולות של אחד.

אבל מן השורה השנייה ואילך אנחנו מקבלים את כל המספרים הלא-ראשוניים מרוכזים באזור אחד.

האיור לעיל הנו רק קטע מלוח כפל ענק ואינסופי, אבל אנחנו יכולים להתאים את גודלו לצרכים שלנו.

מבנה הכפילויות של המספרים האי זוגיים

הסדרה של המספרים הטבעיים היא למעשה הסדרה של הכפילויות של 1:

1X1=1

2X1=2

3X1=3 ...

סדרה זו מתחילה עם מספר אי זוגי [1] וכאשר אתה מוסיף אי זוגי [1] לאי זוגי [1] אתה מקבל מספר זוגי [2].

וכאשר ממשיכים ומחברים

 2 + 1

שזה למעשה חיבור של זוגי לאי זוגי... התוצאה היא מספר אי זוגי [3].

וככה זה עובד עבור הכפילויות של

 3, 7,5, 9

וכל מספר אי זוגי אחר.

כך שזה לא רק זה שמחצית מהמספרים הטבעיים הם זוגיים, אלא גם מחצית מהכפילויות של המספרים האי זוגיים הן גם מספרים זוגיים. אבל הם לא זוגיים חדשים ... הם אותם הזוגיים שמופיעים בעמודה של המספר 2.

הגדרת הנפח

נפח הוא מה שאין לו משקל

כפולות המספרים כהיקפים של מצולעים

כאשר אנחנו מסדרים את המספרים הטבעיים בשתי עמודות אחת מהן תכלול את המספרים האי זוגיים ואילו השנייה את הזוגיים.

אבל כאשר אנחנו מסדרים את המספרים הטבעיים ביותר משתי עמודות יהיו תמיד בעמודה האחרונה כל המספרים שמציינים את היקפו של מצולע כלשהו.

וכך, כאשר אנחנו מסדרים את המספרים הטבעיים בשלש עמודות יהיו בעמודה השלישית הכפולות של שלש. שלש הוא היקפו של משולש שאורך צלעו אחד. שש הוא היקפו של משולש שאורך צלעו שניים. תשע הוא היקפו של משולש שאורך צלעו שלש וכן הלאה.

כאשר אנחנו מסדרים את המספרים הטבעיים בארבע עמודות יהיו בעמודה הרביעית הכפולות של ארבע. ארבע הוא היקפו של ריבוע שאורך צלעו אחד. שמונה הוא היקפו של ריבוע שאורך צלעו שניים. 12 הוא היקפו של ריבוע שאורך צלעו שלש. וכן הלאה.

כאשר אנחנו מסדרים את המספרים הטבעיים בעשר עמודות יהיו בעמודה העשירית הכפולות של עשר. עשר הוא היקפו של מצולע משוכלל בעל עשר צלעות שאורך צלעו אחד. 20 הוא היקפו של מצולע משוכלל שאורך צלעו שניים. 30 הוא היקפו של מצולע משוכלל שאורך צלעו שלש. וכן הלאה.

ריבועים זוגיים צלעותיהם ושורשי צלעותיהם

כאשר אנו מסדרים את המספרים הטבעיים בשתי עמודות, אנו מקבלים בעמודה השנייה את הכפילויות של המספר 2.
כל הריבועים של הכפילויות האלה ניתנים לחלוקה על ידי 4 [מכיוון שהריבועים נוטים להיות בעלי ארבע צלעות (- :)], והצלעות הן ריבועים בפני עצמם.