יום שבת, 29 ביוני 2019

מספרים טבעיים לפי ממדיהם



המספרים הראשוניים הם מבחינה גאומטרית קווים, או צלעות של ריבועים ושל מלבנים, ולכן הם שייכים לממד הראשון.
הממד השני כולל את מספרי השטח שהם מבחינה גאומטרית ריבועים, מלבנים וגם משולשים, שהרי כל שני מספרים משולשים עוקבים בונים ריבוע.
הממד השלישי, ממד הנפח, כולל את המספרים המעוקבים.
המספר שניים הוא מספר ראשוני, הוא קו, הוא צלע בריבוע שלו שהוא כבר בממד השני, ממד השטח. 8 הוא המעוקב שלו והוא בממד השלישי.

מספרים משולשים בונים מספרים בריבוע


כידוע כל שני מספרים משולשים עוקבים בונים מספר בריבוע. יוצא מזה שכל אחד מהם בונה שני מספרים בריבוע. באחד מהם הוא יוצר משולש קטן ובשני הוא יוצר משולש גדול. לפיכך מספר משולש שייך למספרים של הממד השני, ממד השטח, ביחד עם המספרים בריבוע והמספרים המלבניים, בעוד שלממד הראשון שייכים המספרים הראשוניים ולממד השלישי המספרים המעוקבים.
להלן הריבועים שביצירתם נוטלים חלק המספרים המשולשים הראשונים.

יום שישי, 28 ביוני 2019

המבנה התלת ממדי של המספרים



זה לא מובן מאליו שהמספרים הטבעיים הם כפולות של אחד. בשביל לגלות זאת צריך ללכת מהכפולות של שלש לכפולות של שניים, ולהבין, שכמו ששלוש הוא הכפולה הראשונה של שלוש, ושניים הוא הכפולה הראשונה של שניים, כך האחד הוא הכפולה הראשונה של אחד, ושניים הם הכפולה השנייה שלו...
באופן דומה זה לא מובן מאליו שכל מספר ראשוני הוא קו, שכל מספר בריבוע הוא ריבוע, ושכל מספר בשלישית הוא קובייה. בשביל לגלות זאת צריך ללכת מן הקובייה אל הריבוע ומן הריבוע אל הצלע של הריבוע, שהוא קו.
בעצם, הדו-ממד של המספרים כולל לא רק ריבועים אלא גם שטחים אחרים, והתלת ממד שלהם כולל לא רק קוביות אלא גם נפחים אחרים. לדוגמה, עשר הוא מלבן שמורכב מעשרה ריבועים של אחד, שהם תוצאה של הכפלה של צלע של שניים בצלע של חמש.
המבנה התלת ממדי של המספרים מבליט את החשיבות של המספרים הראשוניים, וממחיש את ההתאמה העמוקה שבין העולמות המקבילים של המספרים ושל הצורות הגאומטריות.   

יום שלישי, 25 ביוני 2019

יש יותר זוגיים מאי זוגיים

כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשתי עמודות רואים שמספר המספרים הזוגיים שווה למספרם של המספרים האי זוגיים, אבל כאשר מסדרים אותם בצורת משולש רואים שהאי זוגיים שמסודרים על חוצה הזווית הם מיעוט שבמיעוט בקרב המספרים הזוגיים. 
בסידור זה יש בשורה הראשונה אחד שהוא אי זוגי, אחריו שניים שהוא זוגי, אחריו 
2+1
שהוא אי זוגי
אחריו 4 שהוא זוגי
אחריו 4+1
שהוא אי זוגי
וכן הלאה
בנוסף ניתן לראות שהאי זוגי
הוא המרכז של המספר
ושהוא מהווה אחד חלקי השורה שבה הוא נמצא. באיור לעיל יש 21 אחדים ומתוכם רק 3 הם אי זוגיים!

יום ראשון, 23 ביוני 2019

המבנה של המספרים המשולשים של הזרמים


כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשלש עמודות מקבלים בעמודה הראשונה את סדרת המספרים שנקראת הזרם של 147.
כמו לכל מספר יש גם למספרי הזרם הזה מספרים משולשים שהם המספר כולל כל קודמיו. לפיכך מספרו המשולש של 4 הוא 10 כי הוא כולל את 1,2,3,ו-4; ומספרו המשולש של 7 הוא 28 כי הוא כולל את המספרים מאחד עד שבע כולל השבע.
בין המספר המשולש של האיבר הראשון בזרם זה,1, לבין השני, יש הפרש של 9.
בין האיבר השלישי לשני יש הפרש של שתי תשיעיות
בין האיבר הרביעי לשלישי יש הפרש של שלש תשיעיות וכן הלאה.
סכום הספרות של כל המספרים המשולשים של 147 הוא 1.
1+9=10 … 1+0=1
2+8=10 … 1+0=1
הסיבה לכך היא שתשע הוא מספר ששומר על סכום הספרות של המספר המקורי.
בזרם של 147 המעבר מאיבר לאיבר הוא באמצעות הוספת תשיעיות ולכן נשמר סכום הספרות של המספר הראשון בסדרה שהוא 1.
===
המבנה של המספרים המשולשים של 258

המספרים המשולשים הראשונים של 258 הם:
3, 15, 36, 66, 105, 153
להלן המעבר ממספר למספר
3+(1.9) +3=15
15+(2.9) +3=36
36+(3.9) +3=66
66+(4.9) +3=105
105+(5.9) +3=153

בגלל שהמעבר ממספר למספר כרוך בהכפלה ב9 (שמשמרת את סכום הספרות המקורי) אבל גם בתוספת של 3, סכום הספרות נשאר במסגרת הזרם של 369 ואינו חוזר רק על השלש שהתחיל את הסדרה
==
המבנה של המספרים המשולשים של 369

המספרים המשולשים הראשונים של 369 הם:
6, 21, 45, 78, 120
להלן המעבר ממספר למספר
6+(1.9)+6=21
21+(2.9)+6=45
45+(3.9)+6=78
78+(4.9)+6=120

בגלל שהמעבר ממספר למספר כרוך בהכפלה ב9 (שמשמרת את סכום הספרות המקורי) אבל גם בתוספת של 6, סכום הספרות נשאר במסגרת הזרם של 369 ואינו חוזר רק על השש שהתחיל את הסדרה

המספרים המעוקבים על האלכסון של קוביית הקוביות


המספרים המעוקבים מופיעים על האלכסון של קובייה שמכילה את הקוביות הקודמות לה.
הקובייה שאורך הצלע שלה 1 נכנסת לתוך הקובייה שאורך הצלע שלה 2, שבה יש שמונה קוביות בגודל של הקובייה של ה-1.
הקובייה שאורך הצלע שלה 2 נכנסת לתוך הקובייה שאורך הצלע שלה 3, שבה יש 27 קוביות בגודל של הקובייה של ה-1.
הקוביות האחרונות בכל קובייה מתחברות על ידי אלכסון הקובייה, בדומה לתופעה של התחברות הריבועים על האלכסון של לוח הכפל.


יום שבת, 22 ביוני 2019

העמודה השמינית


כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשמונה עמודות מקבלים בעמודה השמינית את הכפולות של שמונה: 8, 16, 24...
סכום הספרות של הכפולות האלה הוא בסדר יורד
   
16=7
24=6
לעומת הכפולות של 10 או של 1 שסכום הספרות שלהן הוא בסדר עולה
ולעומת הכפולות של 9 שדורכות במקום ושוות תמיד ל-9.

העמודה השישית


כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בעמודה אחת מקבלים בה את הכפולות של המספר אחד, שכוללות את המספרים הזוגיים והאי זוגיים בלי שיש ביניהם הפרדה.
כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשתי עמודות מקבלים את האי זוגיים בעמודה אחת ואת הכפולות של 2 באחרת.
כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשלש עמודות מקבלים בעמודה השלישית את הכפולות של שלש, שכוללות את המספרים שמתחלקים בשלש, ובשתי העמודות האחרות את המספרים שאינם מתחלקים בשלוש.
כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשש עמודות מקבלים בעמודה השישית את הכפולות של שש שמסכמות את סכומי האיברים המקבילים בעמודות של 1-2-3.

יום שישי, 21 ביוני 2019

הזוגיים של האי זוגיים


כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בעמודה אחת מקבלים את הכפולות של המספר אחד כאשר המספרים הזוגיים והאי זוגיים מופיעים בהן ביחד, בלי שיש ביניהם הפרדה.
כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשתי עמודות מקבלים את האי זוגיים בעמודה אחת ואת הכפולות של 2 באחרת. בכך נדמה לנו שפתרנו את בעיית הפרדת המינים, אבל היא חוזרת שוב בכפולות של כל מספר אי זוגי: בכפולות של ה-3 נמצא את ה-6 ואת ה-12 שהם זוגיים, בכפולות של ה-5 את העשר והעשרים שהם זוגיים, בכפולות של השבע את ה-14 וה-28 שהם זוגיים וכן הלאה.
כדי לסנן את הזוגיים מבין כל עמודה שכזו צריך לרשום את מספריה בשני טורים.
בלוח הכפל אנחנו רואים שחצי מהעבודה כבר נעשתה כי הכפולות של 2 כבר מסוננות, וכך גם הכפולות של שש ושל עשר. כלומר לוח הכפל בנוי מחמש עמודות מעורבות [1,3,5,7,9], שלש מסוננות [2,6,10], ושתיים שהן כפולות של עמודות זוגיות [4, 8]
לאור כל זאת ניתן לומר ששניים הוא הזוגי של אחד, שש הוא הזוגי של שלש, עשר הוא הזוגי של חמש, 14 של ה-7, 18 של ה-9.  

הכפולות של ארבע


כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בארבע עמודות מקבלים בטור הרביעי את הכפולות של המספר ארבע. ניתן לשרטט אותן באופן גאומטרי כהיקפים של ריבועים. בריבוע הראשון אורך הצלע הוא 1, בשני- 2, וכן הלאה. מה שיפה בסידור הזה הוא שהריבועים נכנסים אחד לתוך השני.
סידור זה מקבל משמעות נוספת על רקע סידורים אפשריים אחרים של המספרים הטבעיים.
כאשר מסדרים אותם בעמודה אחת מקבלים את הכפולות של 1, שמכילות את כל התופעות המספריות.
כאשר מסדרים אותם בשתי עמודות מקבלים את הכפולות של 2, המספרים הזוגיים, בטור השני, ואת המספרים האי זוגיים בטור הראשון.
כאשר מסדרים אותם בשלש עמודות מקבלים בטור השלישי את הכפולות של המספר 3, שמתחלקות בשלש, ואילו בשתי העמודות האחרות מקבלים את המספרים שאינם מתחלקים בשלש.
כאשר מסדרים אותם בתשע עמודות מקבלים בכל עמודה את המספרים שסכום הספרות שלהם זהה לזה שבראש העמודה.
כאשר מסדרים אותם בעשר עמודות מקבלים בכל עמודה את המספרים שהספרה האחרונה שלהם זהה לזו של המספר שבראש העמודה.

יום חמישי, 20 ביוני 2019

הכפלה וחילוק באחד


אי אפשר לחלק אחד למספרים שלמים. החלוקה למספרים שלמים מתחילה משניים, שמחלק את השניים לשני אחדים שלמים. מאותה סיבה גם אי אפשר לחלק אחד בעצמו. זה אותו דבר כמו לחלק באחד, רק במילים אחרות.

גם אי אפשר להכפיל מספר באחד. כפל משמעו ריבוי [באנגלית Multiplication ] כאשר מכפילים 2 ב-4 מקבלים 4, ו4 זה יותר משניים. כאשר מכפילים 4 באחד מקבלים 4, שזה אותו דבר. ההכפלה באחד היא בזבוז אנרגיה. היא לא משנה דבר.
אומרים שהאחד אינו מספר ראשוני, כי הוא מתחלק רק באחד ובעצמו, אבל החלוקה באחד, כפי שתיארתי לעיל, היא בדיחה שאנשים מתייחסים אליה ברצינות.
אומרים שהמספרים הראשוניים בונים את יתר המספרים, אבל האחד בונה את כל שאר המספרים יותר מכל מספר ראשוני רשמי, ולראייה: כל מספר בהתחלקו בעצמו חושף את האחדים מהם הוא מורכב.

יום רביעי, 19 ביוני 2019

הסבר של ניקומאכוס לאופן שבו ריבועים יוצרים ריבועים



בסדרת הכפולות של אחד [1, 2, ,3, 4] הריבוע של אחד מופיע במקום הראשון.
בסדרת הכפולות של שניים [2, 4, 6 , 8] הריבוע של שניים מופיע במקום השני. אם מחברים את האיבר שלפני הריבוע לאיבר שאחריו
2+6=8
ומוסיפים לתוצאה את הריבוע פעמיים מקבלים את הריבוע של הארבע [16], שהוא הריבוע של 4:
2+6=8; 4+4=8; 8+8=16
בסדרת הכפולות של שלוש הריבוע של שלוש [9] מופיע במקום השלישי. לפניו 6 אחריו 12 שהם 18 ועוד פעמיים הריבוע שווה לריבוע של שש [36], שהוא הריבוע של 6.
בסדרת הכפולות של ארבע הריבוע של ארבע מופיע במקום הרביעי [4, 8, 12, 16, 20] לפניו 12 ואחריו 20 שהם 32 ועוד פעמיים הריבוע של 16 [32] ... מקבלים 64 שהוא הריבוע של 8.
וכך הלאה.
מקור:
Nicomachus of Gerasa,  Introduction  to  Arithmetic,  Book 1,  Juan F. Balboa  Translation  , 2018, p. 64



יום שלישי, 18 ביוני 2019

מדוע חיבור של מעוקבים נותן תוצאות בריבוע



ניקומאכוס מגראסה, בן המאה הראשונה לספירה, גילה בספרו "הקדמה לאריתמטיקה" שהמספרים המעוקבים בהתחברם זה לזה נותנים תוצאה במספרים רבועים באופן שיטתי. הוא לא הסביר מהי הסיבה לכך, אבל אני משער שזה קשור למספרים המשולשים:

1.1.1+2.2.2=3.3=9
והבסיס לכך הוא שבמספרים המשולשים
1+2=3

1.1.1+2.2.2+3.3.3=36
והבסיס לכך הוא שבמספרים המשולשים
1+2+3=6

1.1.1+2.2.2+3.3.3+4.4.4.4=100
והבסיס לכך הוא שבמספרים המשולשים
1+2+3+4=10
1.1.1+2.2.2+3.3.3+4.4.4.4+5.5.5.5.5=225
והבסיס לכך הוא שבמספרים המשולשים
1+2+3+4+5=15

==
האיור מנסה להציג את שלשת ממדי ה-9: 1 עליון, 4 בקומה השנייה & 4 בקומה התחתונה. 4 + 4 יוצרים קובייה.





יום שני, 17 ביוני 2019

המספרים הראשוניים לפי הזרמים



מאז שלמדתי את לוח הכפל התרגלתי, ככל הנראה, להתייחס אל המספרים כאילו הייתה איזו חובה לראות אותם כשהם מסודרים בעשר עמודות. הסידור הזה מדגיש את תפקידה של הספרה האחרונה של כל מספר. הוא שומר, למשל, שמתחת לאחד יהיו כל המספרים שמסתיימים באחד. מוקדשת אפילו עמודה למספרים שמסתיימים באפס, והיא מרכזת במגרה אחת את כל העשרות, המאות, האלפים... שלהם מקום כל כך חשוב בשיטה העשרונית.  
בהרגל הזה של סידור המספרים לפי העשר כרוך גם הניפוי של המספרים הראשוניים, כי קל לנפות את המתחלקים ב-2 וב- 5 לפי הספרה האחרונה שלהם.
לאחרונה התחלתי להתבונן במספרים כשהם מסודרים לפי מספרים אחרים של עמודות. התגלית הכי מעניינת שגיליתי היא שכאשר מסדרים את המספרים בתשע עמודות [ראו איור למעלה] הראשוניים [באדום] אינם מופיעים בעמודות של 3, 6, ו 9 [שמספריהן מסומנים בירוק] מלבד המספר 3 עצמו. בטבלה של עשר אין אפשרות לנפות של המתחלקים בשלש לפי איזה סימן מסגיר. הטבלה של התשע שומרת על סכומי הספרות כך שאם בשורה העליונה יש חמש מתחתיו יופיעו 14, 23, 32... כל המספרים שסכום הספרות שלהם הוא חמש.
כאשר מחלקים את המספרים הטבעיים לשלש עמודות מקבלים את הזרמים: 147, 258, ו 369.  
מה שמוביל אותנו להתייחס  לזרם של ה 369 כאל הזרם המסדר ואל הזרמים האחרים כאל הזרמים הבונים את המספרים מן המספרים הראשוניים. למרות שעוד לא ברור לי תפקידו של המספר 6 בכל הסיפור הזה.

יום שבת, 15 ביוני 2019

הסבר לנוסחאות החישוב של מספרים משולשים




יש נוסחאות חישוב נפרדות למספרים זוגיים ולמספרים אי זוגיים
באי זוגיים הנוסחה היא המספר כפול המרכז
בזוגיים הנוסחה המקובלת היא המספר כפול המספר שמעליו חלקי שניים
אבל מה הסיבה לכך?
באי זוגיים, למשל בחמש, ישנם חמישה מספרים מהאחד עד החמש
1, 2, 3, 4, ו-5
אם מחברים 1 עם 4 מקבלים 5
אם מחברים 2 עם 3 מקבלים 5
וביחד עם המספר 5 עצמו מקבלים 3 חמישיות
חמש הוא המספר
שלש הוא מרכזו
15 הוא המספר המשולש שמתקבל מהכפלת המספר במרכזו

בזוגיים, למשל בארבע, ישנם ארבעה מספרים מהאחד עד הארבע
אחד שניים שלש וארבע
במרכזם יש שני מספרים, 2+3 שחיבורם נותן 5, שהוא המספר שמעל ל 4
מכפילים את המספר [4] במרכזו [5] ומקבלים 20
אבל בגלל שבמרכז יש שני מספרים, לעומת המרכז האחד של המספר האי זוגי
מחלקים את התוצאה בשניים ומקבלים 10 שהוא המספר המשולש של 4.







איך מוצאים את מרכזם של המספרים?



משמאל: מספר אי זוגי [7]

7-1=6
6/2=3
3+1+3=7
4 הוא מרכזו של מספר זה
=
מימין: מספר זוגי [6]

6/2=3
3-1=2
3-1=2
3 ו 4 הם מרכזו של מספר זה
לימדו אותי בבית הספר שלמספרים זוגיים אין מרכז. זה נכון שאין להם מרכז אחד, אבל אם חושבים מחוץ לקופסה יכולים לראות שיש להם שני מספרים במרכזם.

יום שישי, 14 ביוני 2019

המספר המשולש בצורת מלבן



בדרך כלל מראים את המספר המשולש בצורת משולש [בצד שמאל למעלה המספר המשולש של שלש, ומתחתיו של חמש]. אבל כאשר מחשבים את המספר המשולש מכפילים את המספר [3] במרכזו [2], ואז ניתן לראותו בצורת מלבן שיש בו שתי שורות של שלש נקודות; במקרה של המספר המשולש של חמש המספר [5] כפול מרכזו [3] מייצר שלש שורות שבכל אחת יש חמש נקודות. קל להראות שזה חל גם על המספרים המשולשים הזוגיים. שם הנוסחה היא המספר כפול המספר שמעליו חלקי שניים. ולכן המספר המשולש של 4 הוא עשרים חלקי שניים, שיוצרים מלבן של שתי שורות שבכל אחת יש חמש נקודות במקום הטטרקטיס המפורסם.

פעולות החשבון היסודיות כעקרון לסיווג של מספרים


חילוק

המספר היחיד שאינו מתחלק למספר שלם אחר הוא המספר 1

כל מספר מתחלק ב-1
כל מספר מתחלק בעצמו [ובכך הוא חושף את מספר האחדים שמהם הוא מורכב]
כל מספר ריבועי שמתחלק בעצמו הוא שורש
כל מספר ריבועי שמתחלק בעצמו למספר שלם הוא רציונלי
כל מספר ריבועי שמתחלק בעצמו למספר שאינו שלם הוא אי-רציונלי
כל מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו הוא מספר ראשוני
כל מספר שמתחלק ב 2 הוא זוגי
כל מספר שאינו מתחלק ב 2 הוא אי-זוגי
כל מספר שסכום הספרות שלו 3 או 6 או 9 שייך לזרם של 3-6-9 ומתחלק ב-3
כל מספר שהספרה האחרונה שלו היא 5 מתחלק ב-5
כל מספר שהספרה האחרונה שלו היא 0 מתחלק ב- 10 ב-2 וב-5

כפל 

כל מספר  כפול 1 שווה לעצמו
כל מספר כפול עצמו יוצר ריבוע
כל מספר כפול עצמו כפול עצמו יוצר קובייה
התוצאה של כל מספר אי זוגי שנכפל במספר אי זוגי היא מספר אי זוגי
התוצאה של כל מספר שנכפל במספר זוגי היא מספר זוגי
התוצאה של כל מספר שלם שנכפל במספר שלם היא מספר שלם

חיבור 

כל מספר שמוסיפים לו 9 סכום הספרות שלו הוא המספר [5 ועוד 9 = 14 וסכום הספרות של 14 הוא 5].
כל מספר שמוסיפים לו עשר שומר על הספרה האחרונה שלו [5 ועוד 10 הם 15 – הספרה האחרונה של 15 היא 5]
כל מספר שמוסיפים לו אפס נשאר הוא עצמו.
כל מספר שמוסיפים לו את המספרים שלפניו הוא המספר המשולש של עצמו [ 1+2+3+4=10. עשר הוא המספר המשולש של 4].








יום רביעי, 12 ביוני 2019

אלכסוני הריבועים




כאשר מתבוננים בריבוע של ארבע כשהוא עשוי מנקודות רואים שהוא מתחיל מנקודה אחת מתרחב לשתי נקודות... לשלש, ולארבע, שהוא האלכסון [מסומן בוורוד]. אחרי האלכסון הוא מתכווץ לשלש נקודות... לשתיים ולאחת. בתצוגה הזאת המספר ארבע הוא האלכסון של הריבוע שלו. אבל אם מתבוננים יותר לעומק רואים שהריבוע של ארבע כולל בתוכו את הריבוע של שלש [אלכסון ירוק] ואת הריבוע של שנים [אלכסון אדום]. וזה נכון גם, כמובן, לכל ריבוע אחר.
ועוד דבר שאפשר לראות בתצוגה הזאת הוא שהאלכסונים האלה מקבילים. 
*
הקו של אלכסון הריבוע איננו שווה בגודלו לקו של צלעותיו. מדידת קו-האלכסון הזה כרוכה, לרוב, בהתחלקות למספרים שאינם שלמים. באמצעות ניסיונות לחשב את שורש האלכסון גילו בעבר הרחוק את המספרים שאינם רציונליים. אבל כאשר הריבוע עשוי מנקודות ולא מקווים האלכסון מורכב תמיד ממספרים שלמים. הסיבה להבדל הזה היא שבאלכסון כשהוא קו אנחנו סופרים את היחידות של אורך הקו, ובאלכסון שהוא נקודות אנחנו סופרים רק את מספר הנקודות שלו.
ובאותו עניין ראוי לציין שמבין עשרת המספרים הראשונים רק למספרים 1 4 ו-9 יש שורש שמורכב ממספרים שלמים.

יום שלישי, 11 ביוני 2019

סדרת הריבועים שמוקפים בריבועים





העיקרון הוא שכל ריבוע נכנס לתוך הריבוע שהוא מעל לזה שמעליו.                  
 אז אם רוצים להמשיך את הסדרה 25 אמור להיכנס בתוך 64 ו 36 בתוך מאה וכן הלאה

המספרים כשברי ריבועיהם


אחד הוא ריבועו. שורה מתוך שורה אחת של נקודות שיש בה רק נקודה אחת.
שניים הוא חצי מריבועו. שורה מתוך שתי שורות של נקודות שבכל אחת מהן יש שתי נקודות.
שלוש הוא שליש מריבועו. שורה מתוך שלוש שורות של נקודות שבכל אחת מהן יש שלוש נקודות.
ארבע הוא רבע מריבועו. שורה מתוך ארבע שורות של נקודות שבכל אחת מהן יש ארבע נקודות.
חמש הוא חמישית מריבועו. שורה מתוך חמש שורות של נקודות שבכל אחת מהן יש חמש נקודות.
שש הוא שישית מריבועו. שורה מתוך שש שורות של נקודות שבכל אחת מהן יש שש נקודות.

יום ראשון, 9 ביוני 2019

מדידת שטח המעגל ביחידות מידה רבועות

מעגל שונה מאד מריבוע, אבל שטח המעגל מחושב בסמ"ר. זה נראה מאולץ, אבל אין אפשרות לבחור יחידת מידה אחרת, שהרי עיגולים בקוטר ס"מ, למשל, לא מכסים את כל השטח. קל להראות איך מלבן של 3 על 4 מורכב משלש שורות שבכל אחת מהן יש ארבעה ריבועים, אבל איך אפשר להראות או לצייר 38.465 שהוא שטח של עיגול בקוטר 7 סמ"ר? 
למרות האמור לעיל יש תחום אחד שבו הישר והעיגול משתפים פעולה בהרמוניה וזה שיש בכל עיגול ארבע זוויות ישרות [של 90 מעלות] כך שאפשר לבנות ריבוע במרכז של ארבע יחידות רבועות, במרכז העיגול, ולהקיף אותו בריבועים שמרחקיהם זה מזה שווים, עד שהעיגול כולו מכוסה בריבועים. נדמה לי שהתובנה הזאת היא שהובילה את ארכימדס בתחילת מסעו לחישוב של פאי, אבל הוא הלך לאיבוד במצולעים עם יותר מארבע צלעות שבהם שוב קשה להראות את התוצאה ביחידות רבועות. 

יום שבת, 8 ביוני 2019

סכום הספרות של לוח הכפל


סכום הספרות של כל מספר כפול 9 הופך ל 9, כמו המלך מידאס אשר על פי המיתולוגיה היוונית הפך כל דבר שהוא נגע בו לזהב.
כמו כן, סכום הספרות של כל מספר כפול מספר אחר שסכום ספרותיו הוא 9 הופך ל 9, כמו כאשר כופלים 345 ב -27 ומקבלים 9315, מכיוון שסך הספרות של 9315 הוא 9 + 3 + 1 + 5 = 18 והסכום של 18 הוא 9.

אפס כראשיתו של לוח הכפל


בדרך כלל כשמסתכלים על לוח הכפל מתחילים ממספר חיובי ו"הולכים קדימה" כמו: 1, 2, 3, 4, 5 ...
בדרך זו של הצגת כפולות המספרים מוסתרים האפסים לפני ההתחלה. אז חשבתי שזה יכול להיות רעיון טוב להראות לכם את מקור הכפולות [מסומן ב אדום]

יום שישי, 7 ביוני 2019

מספרים משולשים כמבנה של קוביות


הקובייה של 3 מכילה 27 קוביות מסודרות במבנה של המספרים המשולשים של 2 [3 = 1 + 2] ו 3 [1 + 2 + 3 = 6] בכל "קומה", ויש לנו במקרה זה 3 "קומות" כך שיש לנו
 3 + 6 + 9 + 6 + 3.
במקרה של 4 יש לנו 64 קוביות במבנה של המספרים המשולשים של 3 [1 + 2 + 3 = 6] ו 4 [1 + 2 + 3 + 4 = 10] מסודרים ב 4 "קומות" כך שיש לנו
 4 + 8 + 12 + 16 + 12 + 8 + 4.
זהו המבנה האלטרנטיבי. 
המבנה היותר מוכר מבוסס על הגנומונים: במקרה של 3 זה 3 + 9 + 15 [שלוש "קומות" של 1 + 3 + 5].
במקרה של 4 זה
4 + 12 + 20 + 28 [4 "קומות" של 1 + 3 + 5 + 7].

אפס בשיטה העשרונית


לפעמים אני מתקשה להיות בטוח שאני מכפיל נכון  100 ב 10,000 למשל. אז עשיתי את ההמחשה הזאת כדי להראות שאנחנו לוקחים את האפסים של מספר אחד [מסומנים באדום] ומוסיפים אותם לאפסים של המספר השני [מסומנים בכחול]. 
=
לגבי האחד... הוא נשאר כפי שהוא בסכום, אבל אני אוהב את המחשבה שהוא לוקח חצי מהגלולה האדומה וחצי מהכחולה.

כפולות הגלגולים של זרם 369



גלגול הוא המונח למספר שנוצר על ידי הוספת 9 למספר כלשהו. הוספת 9 ל 1 נותנת לנו 10 [מסומן בירוק] וסכום הספרות של 10 הוא אחד כך שהוא אינו ניתן לחלוקה ב 3. כך גם עבור 2 אשר נותן לנו 11 [סכום הספרות שלו, 1 + 1, הוא 2]. כך גם לגבי מספר כלשהו בזרמים 147 ו -258. אבל לגבי הזרם של 369 זה כבר סיפור אחר [מסומן באדום].
אז מעתה ואילך, כאשר אתה רואה מספר כגון 12009 או 15111 או 18191919 אתה יודע מיד כי הוא מתחלק על ידי 3. וכאשר אתה מוסיף אחד לכל אחת מהדוגמאות האלה, או מחסר אחד, אתה יודע מיד כי מספר זה אינו ניתן לחלוקה על ידי 3.

יום חמישי, 6 ביוני 2019

סכום הספרות של מספר כלשהו לעולם לא יהיה אפס


סכום המספרים שהוכפלו בחמש



הכפלת כל מספר ב 10 אינה משנה את מספר הספרות שלו. סכום הספרות של 531 ו 5310 הוא זהה.
=
הכפלת מספר כלשהו ב- 5 משנה את סכום הספרות שלו, אבל סכום הספרות של הזרם הנקרא 369 [מסומנים באדום], שמאפיין את המספרים המתחלקים ב -3, נשאר עדיין, בצורה מדהימה, בזרם של ה 369. ואפילו מספרים [מסומנים ב- כחול] מן הזרמים האחרים [147 ו 258] ורק כאשר הם כפולות של 3 [כמו 15 בכפולות של 1] יוצרים  סכומים של מספרים בתחום של ה 369 אשר כולם מתחלקים ב 3.
=
הבנת העניין הזה חשובה גם כדי להתפכח מן האשליה של "קסם" בחלוקת 360 מעלות [ 90 ... 45 ... 22.5 וכו '] אשר יוצרת מספרים שהסכום שלהם תמיד 9, זו למעשה תוצאה של הכפלה וחצייה של מעלות אלה על ידי 10 ו 5, אשר שקולה להכפלה וחצייה ב 1/2. 10 ו- 5, כפי שכבר הסברתי לעיל, הם מספרים ששומרים על סכום הספרות של ה- 369 בטווח של 369.
=
סכום הספרות של הכפלת 9 בכפולות של 5 יהיה תמיד 9.

יום רביעי, 5 ביוני 2019

עמודות של סכומי מספרים

העמודה הראשונה, הכוללת את כפולות ה-1, שהם  המספרים הטבעיים, היא בעצם סכום אברי העמודה הכוללת את כפולות ה-10.
העמודה השנייה, הכוללת את כפולות ה-2, שהן המספרים הזוגיים, היא בעצם סכום של העמודה הכוללת את הכפולות של 11: 
1+1=2 
2+2=4

יום שני, 3 ביוני 2019

איור לעצרת


בצד שמאל אנו רואים נקודה אחת אדומה ואחת כחולה. כאשר אנו כופלים 2 על ידי 3 אנו מקבלים 3 נקודות אדומות ו- 3 נקודות כחולות.

באיור שאמצע - כל נקודה אדומה של 2x3 הופכת ל-4 נקודות אדומות ב 2x3x4, וכך גם לגבי הכחולות.

באיור שבצד ימין - כל נקודה אדומה של 2x3x4 הופכת ל- 5 נקודות אדומות ב 2x3x4x5, וכך גם לגבי הכחולות.

יום שבת, 1 ביוני 2019

צילום רנטגן של ריבוע


הוספת 9 לכל מספר מגלה את אבני הבניין שלו כמו צילום רנטגן, ומתברר שאבני הבניין האלה יוצרות ריבוע, ושכל קו 
אופקי הוא למעשה סכום הספרות של אחד המספרים הבונים את הריבוע. [אדום מסמן עשרות, כחול מסמן יחידות].
כאן אנו רואים כיצד שני מספרים משולשים רצופים כמו שש [מסומן בכחול] ו -10 [מסומן באדום] יוצרים ריבוע. הדרך האחרת לבנות ריבוע היא להוסיף גנומון לריבוע הקטן יותר, כמו הוספת הגנומון 7 לריבוע של 3 כדי לקבל את הריבוע של 4 [9 + 7 = 16].


מבנה זה מסביר מדוע ההפרש בין 21 ל12 הוא 9, ובין 31 ל13 פעמיים תשע וכן הלאה
3=12>21>30
4=13>22>31>40
5=14>23>32>41>50
6=15>24>33>42>51>60