צאצאיו של השלוש

תשע ושש שנוצרו על ידי הארכת אחת מצלעותיו של משולש (שמייצג את המספר 3).

9=3X3

6=3X2

קדקוד משותף

כאשר אנחנו מחלקים את העיגול לארבעה חלקים אנחנו מקבלים ארבעה משולשים ישרי זווית שקדקוד כל אחד מהם הוא מרכז המעגל, ובסיס כל אחד מהם הוא צלע של ריבוע שחסום במעגל. קדקוד משותף יש לכל מצולע משוכלל חסום בעיגול שמספר צלעותיו גדול משלוש.

המחשת השברים

יין יאנג עשוי מארבעה רבעים

עיגול הוא שטח שמוקף בקו אחד, בהבדל ממשולש שהוא שטח שמוקף בשלשה קווים, וממרובע שהוא שטח שמוקף בארבעה קווים. הפיתגוראים קראו לעיגול מונאדה, והוא ייצג אצלם את המספר אחד.

כאשר אנחנו מחלקים את העיגול לשניים אנחנו מקבלים שני חצאים שהם

1/2+1/2=2/2=1

כאשר אנחנו מחלקים את העיגול לשלושה חלקים אנחנו מקבלים שלושה שלישים שהם

1/3+1/3+1/3=3/3=1

כאשר אנחנו מחלקים את העיגול לארבעה חלקים אנחנו מקבלים ארבעה רבעים שהם

1/4+1/4+1/4+1/4+=4/4=1

וכן הלאה...

האחד כ"לא שניים"

האחד הוא אחד מ"תארי השלילה" של האל, שמהם ניתן ללמוד על מהותו של האחד. ריכוז של תארים שכאלה מופיע בפיוט "אדון עולם". בתמצית ניתן לומר שהאחד מאופיין שם כ"לא שניים":

א. וְהוּא אֶחָד וְאֵין שֵׁנִי / לְהַמְשִׁילוֹ לְהַחְבִּירָה

ב. המאפיין העיקרי של השניים הוא הניגודיות. ראשון ואחרון הם ניגודים. האל הוא שלמות שכוללת את הניגודים האלה באופן שאין הבדל ביניהם. הוא גם זה וגם זה, והוא לא זה ולא זה.   

וְהוּא רִאשׁוֹן וְהוּא אַחֲרוֹן / לְכָל חֹמֶר וּלְכָל צוּרָה

בְּלִי רֵאשִׁית בְּלִי תַכְלִית / וְלוֹ הָעֹז וְהַמִּשְׂרָה

ג. השוואה היא פעולה שנעשית בין שני גורמים. אי אפשר לומר שמשהו דומה למשהו בלי שיהיו שני משהו. אי אפשר למדוד או להעריך מי גדול יותר ומי קטן יותר בלי שיהיו שני משהו. אי אפשר לדעת שמשהו השתנה בלי להשוות אותו למה שהיה קודם: 

בְּלִי עֵרֶךְ בְּלִי דִּמְיוֹן / בְּלִי שִׁנּוּי וּתְמוּרָה.

ד. האחד הוא שלם ואין לו חלקים שמהם הוא מחובר. לעומת זאת השניים מורכב משני אחדים מפורדים שחברו להם יחד:

בְּלִי חִבּוּר בְּלִי פֵרוּד / גְּדוֹל כּוֹחַ וּגְבוּרָה.

שמן של סדרות המספרים הזוגיים והאי זוגיים (הפרדיים) מעיד על מקורם מהשניים, שהרי זוג מורכב משני אחדים, ומתחלק לשניים בעוד שהפרדי הוא זה שאינו מתחלק לשניים.

ה. האחד הוא לבד (בפיוט: "לְבַדּוֹ יִמְלֹךְ נוֹרָא"), כלומר איננו ריבוי. הריבוי מתחיל משניים. הרעיון הזה מופיע פעמים רבות בתנ"ך, למשל: בשמות כ, ג: "לֹא יִהְיֶה לְךָ אֱלֹהִים אֲחֵרִים עַל-פָּנָי".

ו. האחד הוא מעל לזמן, שהרי עבר ועתיד בהיותם ניגודים הם מאפיינים של השניים, בעוד שהאחד הוא "לא שניים":

וְהוּא הָיָה וְהוּא הוֹוֶה / וְהוּא יִהְיֶה בְּתִפְאָרָה

חלוקת המעגל לשלש בלי מחוגה או סרגל או מד זווית

ציירתי מעגל באמצעות כלי הבחירה האליפטי בפוטושופ. מצאתי את אמצעו בעזרת הכלי הנקרא בשם קווים מנחים. באמצעות אותו כלי סימנתי את שתי הנקודות של הקוטר האנכי (1,4).  העתקתי את המעגל והורדתי אותו עד שקצהו העליון פגע במרכזו של המעגל המקורי. או אז סימנתי את שתי הנקודות (2,3) שבהן נפגשו שני המעגלים. לאחר מכן העתקתי את המעגל המקורי והרמתי אותו עד שקצהו התחתון פגע במרכזו של המעגל המקורי. או אז סימנתי את שתי הנקודות (5,6) שבהן נפגשו שני המעגלים. חיברתי בקו מרוסק את הנקודות 123 והתקבל המשולש שווה הצלעות שמחלק את המעגל לשלוש קשתות שוות. חיברתי בקו מרוסק את הנקודות 456 ונוצר המשולש שווה הצלעות שמשלים את המשולש הקודם למגן דוד. 

המחשה גאומטרית לסדרה ההנדסית של שנים

כאשר מחלקים את המעגל לשנים (ראו באיור 1, 2) ואחר כך שוב לשנים (ראו באיור 3,4 ) מקבלים צורת צלב (הקווים הסגולים) שארבעת קצותיו פוגשים את המעגל, וחיבורם בקווים (באיור הקווים  מרוסקים) יוצר ריבוע. זוהי המחשה לקשר העמוק שיש בין המספר ארבע לבין צורת הריבוע. כאשר ממשיכים ומחלקים את הארבע לשמונה באמצעות אלכסוני הריבוע (הקווים הירוקים), מקבלים עוד ריבוע (ראו באיור 5, 6, 7,8) וזוהי כבר המחשה למספר שמונה כ 4+4, או כשני ריבועים משולבים זה בזה. שני הריבועים המשולבים הם סמל שנקרא אוקטגרמה. פעם חשבתי שצורה זו הומצאה בעקבות שזירה מקרית של חבלים זה בזה, אבל כעת אני די משוכנע שהיא תוצאה של חלוקת העיגול באמצעות מחוגה וסרגל, שהיא, כפי שניתן לראות לעיל, פשוטה למדי. אם ממשיכים ומחלקים את השמונה לשש עשרה, ואת השש עשרה לשלושים ושנים, וכן הלאה, ניתן לראות את ההמחשה הגאומטרית של הסדרה ההנדסית של שנים. 

כל מספר מורכב משניים

כידוע, כל מספר מורכב מאחד ועוד אחד ועוד אחד, אבל פחות ידוע שכל מספר מורכב גם משניים, מלבד האחד, שאינו מספר מורכב, אלא אם נחליט שניתן להרכיב אותו משני חצאים.

השנים (II) מורכב משני זוגות של ניגודים, האחד הימני עם האחד השמאלי, והאחד השמאלי עם האחד הימני, וניתן לראות זאת גם בתצוגה של מעלה ומטה:

1

+

1

2

אבל בעצם מדובר בזוג אחד שנספר פעמיים.

שלש (III) מורכב משלושה זוגות של ניגודים: אחד והשניים שמימינו, אחד והשניים שמשמאלו, אחד שבמרכז עם השניים שבאגפים.

אבל בעצם מדובר בשני זוגות שנספרים פעמיים.

ארבע (IIII)  מורכב מארבעה זוגות של ניגודים:

I+III

III+I

II+II

II+II

אבל בעצם מדובר בשני זוגות שנספרים פעמיים.

חמש (IIIII) מורכב מארבעה זוגות של ניגודים:

1234

4321

5555

אבל בעצם מדובר בשני זוגות שנספרים פעמיים.

שש (IIIIII) מורכב מששה זוגות של ניגודים, שהם בעצם שלשה זוגות שנספרים פעמיים.

וכן הלאה. 

לוח הכפל המצומצם

אנחנו רגילים ללוח הכפל בצורת הריבוע של תשע, אבל ניתן לראות את עקרונות הכפל (והחילוק), את הצטלבות השורות והעמודות, כבר בריבוע של השלש.  

ריבועי 369 ומלבניהם

בסדרת ריבועי 369 (9, 36, 81, 144, 225...) כל ריבוע מתחלק לשלשה חלקים שווים שהיחס ביניהם הוא שליש לעומת שני שליש. וכך, השלש הוא מלבן של אחד-על-שלש; השש הוא מלבן של שנים-על-שלש, ושניהם יחד ממלאים ריבוע של שלש-על-שלש:

להלן האיברים הראשונים בסדרה זו:

3+6=9

12+24=36

27+54=81

48+96=144

75+150=225 

ספרות רומיות מנקודת מבט חדשה

אחרי הארבע, שיש לו זיקה עמוקה לריבוע, בא החמש, כך שדי טבעי שנצייר אותו במרכזו של הריבוע של ארבע. אם, בנוסף לכך, נצייר את הריבוע של ארבע במרכזו של הריבוע של שמונה, נקבל ייצוג של תשע היחידות בצורת תשע נקודות, שהמרכזית שבהן מייצגת את החמש. כעת, אם נתמקד רק באלכסונים של הריבועים נראה את הספרה הרומית X, שמייצגת את המספר עשר, ואם נתמקד רק במחציתו של X נקבל את V שמייצג בספירת הרומית את החמש. מעניין אם הרומאים הכירו את התצוגה הזאת כאשר החליטו על צורת המספרים שלהם. 

הארבע שבריבוע

בריבוע של איקס, כבריבוע קסם, איקס בריבוע של נקודות: איקס נקודות בכל שורה, איקס נקודות בכל עמודה, איקס נקודות בכל אלכסון, ואיקס נקודות בכל אחת מארבע הצלעות שמרכיבות את היקפו.

המחשה גיאומטרית לזרמים

במשולש שווה צלעות הקדקוד נמצא במרכז שבין שני הקצוות של הבסיס. ניתן לחלק את תשע היחידות לשלשה משולשים שכאלה (או לשלוש שלשות) כאשר בראשון ה-2 נמצא בין ה1 ל-3, בשני ה 5 נמצא בין ה 4 ל6, ובשלישי ה 8 נמצא בין ה 7 ל 9. ניתן להמשיך את הסדרה הזאת לאין סוף. הקדקודים שייכים תמיד לזרם של ה 258, הקצה האחד, המתחיל, הפותח - שייך תמיד לזרם של ה 147, והקצה שמנגד, המסיים, הנועל, שייך תמיד לזרם של ה 369.

ה"בין" הוא לא רק המרכז  של השלשה אלא גם הממוצע שלה:

1+3:2=2

4+6:2=5

7+9:2=8

כשקוראים רשימה זו במאונך רואים את הזרמים כעמודות. מבחינה זו המרכז, ה"בין", הוא גם ה"בן" שלוקח חצי מהגנים של הזרם הפותח וחצי מהגנים של הזרם הנועל כדי להביא לעולם יצור חדש, מעורב, בן כלאיים. 

ריבועים לפי זרמים

כל ריבוע שלישי שייך לזרם של ה 369.

כל שאר הריבועים שייכים לזרם של ה 147.

אין ריבועים ששייכים לזרם של ה 258.

יש מתאם בין סכום הספרות של הריבוע לבין השתייכותו לזרמים.