מפת הסידורים השונים של המספרים הטבעיים

למעלה משמאל לימין:

מספרים טבעיים

אי זוגיים

זוגיים

זרם של 147

זרם של 258

זרם של 369

למטה:
הגלגולים

השיטה העשרונית

וריאציה על משפט פיתגורס

אם בונים ריבועים על צדי מלבן של אחד על שניים מקבלים 12 כך שהמלבן של אחד על שניים מוקף בעשר

פנטגרמה בעיצוב חדש

הפלוס המינוס והאפס

בעיית קיום האובייקטים המתמטיים

אם מציירים נקודת דיו על דף - יש לה קיום פיזי בחלל ובזמן; היא נראית כמו מעגל שיש לו שטח עובי ומרכז. משמעותו של מראה זה סותרת את ההגדרה של אוקלידס את הנקודה כ"זה שאין לו חלקים". עם זאת הגדרתו של אוקלידס נותרת מדויקת  לגבי נקודה שמגבילה קו – ניתן למדוד את הקו ולראות שהנקודה שבסופו איננה מוסיפה עליו אף חלקיק של מילימטר. כך גם לגבי קו שמגביל שטח, ושטח שמגביל נפח. זאת הוכחה לקיום של אובייקטים מתמטיים פיזיים בחלל ובזמן. ניתן לראות נקודה קו ושטח שכאלה באמצעות החושים. לסיכום, האובייקטים המתמטיים הבסיסיים האלה מתנהגים בצורה אחת כשהם מוצגים כשלעצמם, ובצורה אחרת כשהם מוצגים ביחד עם הממד שאחריהם.  

חלוקת מספר בעצמו כנקודות על מעגל

כל מספר שמתחלק לעצמו מורכב מאחדים, נקודות, שמרחקן מן האפס הוא אותו מרחק. 

3x3

בין כל זוג של נקודות יש נקודה נוספת, אבל היא נמצאת על מעגל אחר, גדול יותר. כך זה במשולש, בריבוע, במחומש (פנטגרמה) במשושה (מגן דוד), ובמתומן (אוקטגרמה). זאת בעצם ההמחשה של הזוגיים, שכן המבנה שלהם הוא של 2x: 
שני אגפים זהים: שלש ושלש (שש), ארבע וארבע (שמונה), חמש וחמש (עשר), שש ושש (שתים עשרה), שמונה ושמונה(שש עשרה). 

ארבע על ארבע

בין כל זוג של נקודות יש נקודה נוספת, אבל היא נמצאת על מעגל אחר, גדול יותר. כך זה במשולש, בריבוע, במחומש (פנטגרמה) במשושה (מגן דוד), ובמתומן (אוקטגרמה). זאת בעצם ההמחשה של הזוגיים, שכן המבנה שלהם הוא של 2x: 
שני אגפים זהים: שלש ושלש (שש), ארבע וארבע (שמונה), חמש וחמש (עשר), שש ושש (שתים עשרה), שמונה ושמונה(שש עשרה). 

השעה שתים עשרה

1+11=12

2+10=12...

שמונה בתוך שמונה - אוקטגרמה

האוקטגרמה היא בעצם המחשה של הסדרה ההנדסית של שניים: יש בה שני ריבועים, לכל אחד מהם יש ארבעה קדקודים, סכום הקדקודים האלה הוא שמונה, והם מתחברים כולם במעגל חיצוני שמקיף מעגל פנימי שמחבר עוד שמונה נקודות במפגשי הריבועים. 

זוגיים כקווים מקבילים

שניים מורכב מאחד ועוד אחד 
ארבע משניים ועוד שניים
כל אגף של מספר זוגי נמצא על אחד משני קווים מקבילים

החמש כמרכז

חמש הוא מרכזו של התשע, כאשר אחד עד ארבע מצדו האחד, ושש עד תשע מצדו השני. הוא מרכזו של הריבוע של שניים, מרכזו של הריבוע של שלש, ומרכזו של הטטרקטיס, שהוא המספר המשולש של ארבע.  

הפנטגרמה כטטרקטיס

טטרקטיס כפנטגרמה

הפיתגוראים העריצו את המספר עשר. הם קראו לו בשם טטרקטיס (צורה של ארבע – טטרה) בגלל שניתן לסדר עשר נקודות  בארבע שורות, בצורת משולש, שבקדקודו נקודה אחת ובבסיסו ארבע. סכום הנקודות הוא עשר: 1+2+3+4=10

*

* *

* * *

*  * * *

בטטרקטיס ניתן, לדעת הפיתגוראים, לגלות את כל חוקי המספרים.

הם העריצו גם את סמל הפנטגרמה וקראו לו בשם היגייה (בריאות). אבל הקשר של הפנטגרמה למספר עשר פחות ידוע מזה של הטטרקטיס.

גם הפנטגרמה מורכבת מעשר נקודות: חמש פנימיות וחמש חיצוניות, שמקיפות אותן.

הטטרקטיס מנבא את הופעת הפנטגרמה כי הוא מורכב מאחד וארבע, ומשניים ושלש - שני זוגות המספרים שכל אחד מהם מרכיב את החמש: אחד וארבע, שניים ושלש:
(1+4)+(2+3)=10

גלגולי הריבועים

גלגול מתרחש כאשר אנו מוסיפים 9 למספר כלשהו. 1 הופך ל 10 והסכום הדיגיטלי של 10 הוא 1 (1 + 0 = 10).
כאשר נוסיף 9 למספר ריבועי ההבדל בין חברי הסדרה החדשה יוצר את הסדרה של המספרים האי-זוגיים.

גלגול המספרים המשולשים

גלגול מתרחש כאשר אנו מוסיפים 9 למספר כלשהו. 
1 הופך ל 10 והסכום הדיגיטלי של 10 הוא 1 (1 + 0 = 10).
2 הופך ל 11 והסכום הדיגיטלי של 11 הוא 2.
3 הופך ל 12 והסכום הדיגיטלי של 12 הוא 3.
חיבור שלושת המספרים החדשים נותן 33, והסכום הדיגיטלי של 33 הוא 6. 

גלגול הזרם של ה- 3-6-9

כל מספר הוא פלינדרום

גלגולו של הטטרקטיס

(1+2+3+4)=(10+11+12+13)=46=(4+6)=10

19+20+21+22=82=10

28+29+30+31=118=10

37+38+39+40=154=10

השיטה העשרונית כמעגל בתוך מעגל

זה העיקרון שמאחורי מד המרחק המכני, כמו מד המרחק של פסקל.

 יש גלגל של יחידות, גלגל של עשרות, גלגל של מאות וכן הלאה. 

המספר 11111 נמצא בעצם על גבי חמישה מעגלים

רדיוס הריבוע

קדקודיו של כל מצולע משוכלל נוגעים במעגל החוסם אותו, כך שבמשולש יש שלושה רדיוסים מן הקדקודים ועד למרכז, בריבוע- ארבעה, במחומש - חמישה, וכן הלאה. המשך הרדיוס מביא אותנו לקוטר של המעגל החוסם. קל לראות שכל הקווים האחרים שיוצאים מן המרכז אל המעגל קטנים מן הרדיוס.

המספר המשולש האי-זוגי כהולוגרמה

שש הוא המספר המשולש של שלש, ושניים הוא מרכזו (111). במספרים האי-זוגיים אנחנו מכפילים מספר במרכזו כדי לקבל את המספר המשולש שלו. במקרה זה צורת המשולש שמקורה בטטרקטיס הפיתגוראי הופכת להולוגרמה כאשר כל אחד מאבריה הוא המספר השלם.

סכום הספרות בזרם של 369

כל מספר שמוסיפים לו תשע שומר על עצמו כשמסכמים את הספרות אחרי החיבור. וכך: אחד ועוד תשע הם  10 וסכום הספרות של עשר הוא אחד, שניים הוא 11 וסכום הספרות של 11 הוא שניים, שלוש הוא 12 וסכום הספרות של 12 הוא 3 וכן הלאה. זאת הסיבה לכך שבזרם של ה 369 סכום הספרות תמיד שומר על עצמו.  

המשושה כמספר משולש

המספר שש הוא מספר משולש. בדרך כלל רגילים להראות זאת באמצעות שש נקודות שמסודרות בשלש שורות כך שנוצר משולש שבראשו נקודה אחת מתחתיו שתי נקודות ובבסיסו שלש נקודות. למרבה ההפתעה המבנה הזה מתגלה לעין גם כאשר מעבירים את אלכסוני המשושה, המחלקים אותו לששה משולשים: אחד למעלה, שניים מתחתיו ושלושה מתחתיהם. 

בניית הגנומון של האי זוגיים

סביב נקודה כלשהי משרטטים מעגל ראשון באמצעות מחוגה. הנקודה של המעגל הראשון איננה ניתנת למדידה.

מנקודת המפגש של הרדיוס עם המעגל משרטטים מעגל שני.

נקודת המפגש העליונה של שני המעגלים היא קדקוד של משולש שווה צלעות.

ממנו עד למרכזי המעגלים משרטטים בסרגל את שתי הצלעות, שכל אחת מהן היא קטע שניתן למדידה.

בין מרכזי המעגלים משרטטים את הבסיס. כך שיש לנו כעת שלושה קדקודים שהם השלוש.  

ממשיכים את הקווים של צלעות המשולש.

הם פוגשים את המעגל השני בשתי נקודות שיוצרות למשולש בסיס חדש שמקביל לבסיס הקודם.

כעת יש לנו ביחד עם הנקודות הקודמות חמש נקודות שהן החמש.

מנקודת הבסיס של החמש משרטטים עוד מעגל באותו רדיוס.

הוא פוגש את המשכי הצלעות של המשולש בשתי נקודות שיוצרות בסיס חדש שמקביל לבסיס הקודם.

הזווית כצורה של האי זוגיים

הפיתגוראים קראו בשם "גנומון" לנקודות שמסודרות בצורת זווית שבאמצעותן ניתן לעבור מריבוע לריבוע שמעליו. עוברים מהריבוע של האחד לריבוע של הארבע באמצעות שלשה אחדים. עוברים מהארבע לתשע באמצעות חמישה אחדים שמתחלקים לשתי קבוצות של שניים ולעוד אחד. עוברים מהתשע לשש עשרה באמצעות שתי קבוצות של שלש ועוד אחד, וכן הלאה. סדרת המספרים הזאת שמוסיפים לריבוע כדי לעבור לריבוע שמעליו היא בעצם סדרת האי זוגיים, שמה שמאפיין אותה הוא שיש לכל איבר שלה שני אגפים שווים ועוד אחד, או בשפת האריתמטיקה 2x+1. הראשון בסדרה הזאת הוא המספר שלש, ולכן הוא נחשב לאבי סדרת האי זוגיים.

שמו של המספר שלש מדגים את העיקרון של הגנומון, כי יש בו שתי אותיות זהות באגפים ועוד אות אחת ששונה מהן - באמצע. 

איך הופך המרכז לקדקוד

השלש הוא המרכז של הקו, או של המספר האי זוגי. הוא האחד שבין שני האגפים השווים שלשני צדדיו. אם מושכים את המרכז של הקו נוצרת זווית. ואם סוגרים אותה - נוצר משולש. 

אינסוף בריבוע

הקו של המספרים הוא אינסופי. חלק ממנו אנחנו מכירים וחלק, שסביר להניח שהוא יותר גדול, איננו מכירים. ובחלק שאיננו מכירים עוד יש לכל מספר ריבוע ומעוקב... 

משפט פיתגורס מזווית משונה

בריבוע של 5 יש 25 נקודות והן מסודרות כך שיש 16 מהן על היקפו ועוד 9 בריבוע הפנימי שלו

הנקודה הקו ומכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים אותם עצמים מגלים תכונות של חלקיק ושל גל, שהן לכאורה תכונות שסותרות זו את זה, שהרי החלקיק הוא בדיד, ואילו הגל הוא רציף. החלקיק מופיע לבד, ואילו הגל, כמו הקבוצה, מופיע ביחד.

בגיאומטריה הנקודה היא תופעה  בדידה, כמו החלקיק, ואילו הקו הוא תופעה רציפה כמו הגל. אך בגיאומטריה, מלבד הניגודיות שבין אחדות לריבוי, יש גם ניגוד בין סופיות הנקודה לבין האינסופיות של הקו. עם זאת, למרות שהקו הוא אינסופי הוא אחד.

במספרים האחד הוא תופעה  בדידה, כמו החלקיק וכמו הנקודה, ואילו סדרות המספרים למיניהן, כולל טור המספרים הטבעיים, הן בבחינת תופעה רציפה כמו הגל וכמו הקו.

כל מספר מתגלה בבדידותו כאשר הוא מתחלק בעצמו.

כל אחד מתשעת המספרים הראשונים הוא תופעה  בדידה, אך העשר הופך אותם לקבוצה, שהיא קו, או אם תרצו, בשפה של מכניקת הקוונטים... גל. 

בניסוח אחר:

אצל הפיתגוראים האחד הוא קדקוד המשולש של עשר הנקודות שנקרא בפיהם טטרקטיס, וממנו, לטענתם, ניתן ללמוד את כל עקרונות המספרים.

אצל אוקלידס האחד הוא קטע הקו שמוגבל בשתי נקודות קצה, שבו משתמשים כקנה מידה למדידת אורכי קוים אחרים. הקו הזה, לטענת אוקלידס, אינו ניתן לחלוקה, ממש כמו שהנקודה שבקדקוד הטטקרטיס איננה ניתנת לחלוקה.

בין שתי ההגדרות האלה פעורה תהום. הנקודה אינה נמדדת ואינה מודדת. אבל כאשר היא במרכזו של מעגל היא בוראת אותו. היא קשורה לעולם היצירה, לעולם הדתי, לניסיונות להבין מנין באנו ולאן פנינו מועדות.

הקו של אוקלידס מופיע בעצם בשורה השנייה של הטטרקטיס כשתי נקודות שביניהן ניתן למתוח קו. בשורה השלישית ישנן שלש נקודות, ובבסיס יש ארבע נקודות, אבל כאשר קוראים את הטטרקטיס לא כנקודות שמרכיבות שורות שמונחות זו מתחת לזו, אלא כנקודות על אחת מצלעות המשולש, מגלים שבעצם כל המספרים מונחים על אותו הקו. את הקו הזה ניתן להאריך עד אינסוף, כמו את טור המספרים הטבעיים.  

כך שבעצם אנחנו מתבוננים כאן בדבר אחד, המספר אחד, שמופיע כמו האלקטרון בתורת הקוונטים, בשתי צורות: האחת בדידה, כמו חלקיק, השנייה רציפה כמו הגל, אבל משום מה כשקוראים מאמר באנציקלופדיה על הערך "קוונטים", מופיעה תופעת  דואליות גל-חלקיק כתגלית חדשה, ולא מוזכר שקדמה לה הולדת הגיאומטריה.

הערה:
החלקיק היסודי של האינפורמציה הוא ה BIT, האחד או האפס של השיטה הבינרית.