ארבעה טטרקטיסים

בכחול - הטטרקטיס הראשון

באדום - השני

בירוק - השלישי והרביעי

הריבוע של הארבע מורכב לא רק מארבע כפול ארבע אלא גם מארבעה ריבועים

והשלוש משלושה

והשניים משניים

והאחד מאחד

התפתחות המספרים כאדוות

אחד בריבוע באדום

שניים בריבוע בתכלת

שלוש בריבוע בצהוב

ארבע בריבוע בירוק

עשר כמרכזו של מעגל

על לוח הכפל אנו רואים שעשר הוא יחידה. הוא כמו 9, ו- 8 ... ההבדל היחיד הוא שהוא מתחיל את סדרת עשרות. הוא נמצא בפינה, בנקודת המפגש של שני קווים שאורכם זהה. זו הסיבה שאנחנו יכולים להסתכל עליהם כרדיוסים, ועל העשר כעל מרכז המעגל.

אותו מצב חוזר ב- 100-1000-10000 כאשר 100 מחליף את 1 [באיור למעלה] 1000 מחליף את 10 ו- 10000 מחליף את 100 וכן הלאה.

מרכזו של מספר כמרכזו של מעגל

שניים הוא מרכזו של שלוש ויש מרחק של אחד בינו לבין שלוש ואחד, ולכן הוא מרכזו של מעגל שהרדיוס שלו אחד.

שלוש הוא המרכז של חמש ויש מרחק של שנים בינו לבין אחד וחמש, ולכן הוא מרכזו של מעגל שהרדיוס שלו שניים.

ארבע הוא המרכז של שבע ויש מרחק של שלש בינו לבין אחד ושבע, ולכן הוא מרכזו של מעגל שהרדיוס שלו שלש, וכן הלאה

במספרים הזוגיים כל מספר ועוד עצמו יוצרים מעגל

שמרכזו בין המספר לבין ה ועוד עצמו.

שניים רחוק שניים מהאפס ושניים מהארבע

שלש רחוק שלוש מהאפס ושלוש מהשש

וכן הלאה

בסדרת המספרים הטבעיים כל מספר מלבד האחד דחוס בין שני מספרים שהמרחק שלו מהם הוא של יחידת מדידה אחת ולכן ניתן לשרטט מעגל שמרכזו 2 ובקצוות הקוטר שלו 1 ו-3 או מעגל שמרכזו 3 ובקצוות הקוטר שלו 2 ו-4  וכן הלאה

בזרמים כל מספר מלבד האחד דחוס בין שני מספרים שהמרחק שלו מהם הוא של 3 יחידות מדידה ולכן ניתן לשרטט מעגל שמרכזו 5 ובקצוות הקוטר שלו 2 ו-8 או מעגל שמרכזו 6 ובקצוות הקוטר שלו 3 ו-9  וכן הלאה.

טבעו הבלתי אפשרי של של המעגל האוקלידי

 אוקלידס מגדיר קו כמה שאין לו רוחב, ומעגל כאוסף כל הנקודות שמרוחקות מרחק שווה מנקודה אחת. התבוננות בשתי ההגדרות ביחד מלמדת על טבעו הבלתי אפשרי של של המעגל: א. הוא נוצר מקווים שאין  להם רוחב ולכן אין לו שטח. ב. החיבור של כל הנקודות האלה בקו אחד שאנחנו קוראים לו מעגל אינו קיים באמת, ולא ניתן להוכיח אותו, למרות שניתן לצייר אותו. מה שקיים הוא רק נקודות  וניתן להמחיש את המרחק השווה של כל אחת מהן מנקודת מרכז באמצעות קו ישר שהוא רדיוס של מעגל, אבל אין אצל אוקלידס קו שהוא היקף של עיגול. לפיכך החקירה של היחס בין היקף המעגל לבין הקוטר שלו היא לא רציונלית ולא פלא שהיא מניבה מספר לא רציונלי. התופעה הזאת מזכירה לי ווידאו שמורכב מתמונות סטילס שהרצתן במהירות מסוימת גורמת לאשליה של תנועה. לאור כל זאת רק טבעי לשאול אם המעגל הוא אשליה של תנועה, והאם אנחנו רואים כל נקודה עליו כסטילס ומריצים את כולן במהירות מסוימת כדי לקבל אותו כווידאו. 

עיגול הריבוע

מאותם 40 קיסמי שיניים שמופיעים בצילום בצורת ריבוע

יצרתי עיגול די מגושם

אבל נדמה לי שהוא כבר מאפשר להתחיל לדמיין

את הנוסחה למציאת שטח עיגול

שבה מופיע משום מה הרדיוס בריבוע

הפרדת הזוגיים מהאי זוגיים בסיפור המקראי על בריאת העולם

[בראשית א, ט-י] וַיֹּאמֶר אֱלֹהִים: יִקָּווּ הַמַּיִם מִתַּחַת הַשָּׁמַיִם אֶל מָקוֹם אֶחָד וְתֵרָאֶה הַיַּבָּשָׁה... וַיְהִי-כֵן. וַיִּקְרָא אֱלֹהִים לַיַּבָּשָׁה אֶרֶץ...

בסיפור המקראי על בריאת העולם נברא האור  ביום הראשון. האור הוא האחד גם לפי השיטה של הפיתגוראים. ביום השלישי מפריד האל בין הזוגיים [לכן שמים מופיע כמילה בעלת סיומת זוגית] לבין האי זוגיים [הארץ]. הפירוש הזה מתייחס לזה שבטור המספרים הטבעיים יש תוהו ובוהו, ותופעות מספריות רבות מופיעות שם בלי הפרדה ובלי סדר.

גאומטריה ואריתמטיקה הן כמו מילים ומוזיקה

גאומטריה ואריתמטיקה

הן כמו מילים ומוזיקה

יתכן שיש מנגינות רבות עבור אותן מילים

וייתכן שיש מילים רבות

למנגינה אחת

להלן צורות גאומטריות שונות לאותן מספר:

קווים מקבילים הם צורה גאומטרית אחת

שכל המספרים ממחישים אותה

על קו אחד מונחים הזוגיים ועל השני...

האי זוגיים

מעגל חסום בריבוע שחסום במעגל וכן הלאה

עקבות של גאומטריה באלף בית הלטיני

מספרים כהמחשה של תופעה גיאומטרית

המחשבה המקובלת היא שגאומטריה ממחישה את המספרים [1] אבל ניתן לראות את משפט פיתגורס כמשוואה עם שלושה נעלמים, שמספקים אותה מספרים כמו 3,4,5... כלומר שהמספרים הם המחשה של תופעה גיאומטרית.

ניתן לראות את כל הנקודות שעל הטטרקטיס והמשכו [החל מנקודה אחת בקודקוד, שתיים בשורה מתחתיה, שלש בשורה מתחתיה וכן הלאה] כמשוואה שניתנת להמחשה על ידי המספרים הזוגיים והאי זוגיים, כאשר כל האי זוגיים מופיעים על חוצה הזווית, וכל הזוגיים על שוקי המשולש ולשני צדדי חוצה הזווית. כלומר שכל המספרים הם המחשה של תופעה גיאומטרית.

==========

הערה:

[1] בספרו "היסטוריה של המתמטיקה" מציין ג'ון סטילוול ש"מעורר השתאות שיש למשפט פיתגורס, שהוא עובדה מספרית טהורה, פירוש גאומטרי. ממבט ראשון נדמה שאין קשר בין תחומי הידע של אריתמטיקה וגאומטריה. אריתמטיקה מבוססת על ספירה, שהיא התגלמות של תהליך בדיד, ואילו גאומטריה עוסקת באובייקטים רציפים כמו קווים, ומשטחים. אלמנטים רציפים אינם ניתנים לבנייה מבדידים באמצעות תהליכים של בדידים. יש ציפייה לראות עובדות גיאומטריות ולא להגיע אליהן באמצעות חישוב. משפט פיתגורס היה הרמז הראשון לקשר עמוק ונסתר בין אריתמטיקה וגאומטריה שנמשך לכל אורך ההיסטוריה של המתמטיקה. הקשר הזה היה לעתים קשר של שיתוף פעולה ולעתים של עימות, כמו שקרה אחרי גילוי אי הרציונליות של שורש שניים. לעתים קרובות רעיונות חדשים צצים מתוך אזורים שיש ביניהם מתח, ופתרון הקונפליקט מאפשר לרעיונות בלתי ניתנים להשלמה לשתף פעולה באופן פורה. המתח בין אריתמטיקה וגאומטריה הוא ללא ספק העמוק ביותר במתמטיקה, והוא הוביל למשפטים העמוקים ביותר, שמשפט פיתגורס הוא הראשון שבהם, ובעל ההשפעה הרבה ביותר"...

מקור:

Mathematics and Its History, Third Edition, 2010 by John Stillwell. P. 3

טטרקטיס בהפשטה

במרכז יש שבע [ירוק] מוקף לגמרי בששה [אדומים]

ובפינות [בכחול]: האחד שנשען על 7 שנשען על 2.

כל הפעולה מתרחשת בין ההתחלה והסוף, בין

הכריכה הקדמית לבין הכריכה האחורית.

זה מזכיר לי את צב העולם במיתולוגיה ההינדית.

הכפלה וחצייה

אחד בריבוע בתור משולש

המעבר מאחד לשניים בשלושת הממדים

המעבר מאחד לשניים במספרים נעשה פשוט באמצעות הוספה של אחד.

מאחד בריבוע לשניים בריבוע באמצעות הגנומון 3. [1+3]

מאחד בשלישית לשנים בשלישית באמצעות הכפלת הגנומון [2+6]

בגיאומטריה האחד הוא קטע קו והשניים הוא קטע קו באורך כפול.

כשטח הוא מוכפל במלבן שאורכו שני ריבועים [1]

כנפח באמצעות תיבה שאורכה שתי קוביות. אבל מעניין להזכיר שהיוונים הקדמונים בנו ריבוע ששטחו כפול על אלכסון של ריבוע של אחד, והתמודדו ללא הצלחה עם הכפלת נפח הקובייה באמצעות סרגל ומחוגה. הם הצליחו לפתור את הבעיה באמצעים אחרים. ניתן לבנות משמונה קוביות זהות בגודלן קובייה של שניים-בשלישית כמו בגנומון של המספרים [2+6].

=

[1]

מעניין לראות את משפט פיתגורס כהוכחה לבניית הריבוע של חמש משני הריבועים שקדמו לו במסגרת בניית המספרים לפי הממד השני 

יחסים וממדים

ממד ראשון

האחד הוא שליש מהשלוש.

השניים הוא שני-שליש מהשלוש.

השליש והשני-שליש יוצרים את השלוש.

הם יוצרים אותו כקו שיש עליו שלש נקודות.

ממד שני

השלוש הוא שליש מריבועו.

השש הוא שני-שליש מריבועו של השלוש.

ביחד הם יוצרים את התשע.

הם יוצרים אותו כשטח שיש לו צורה של ריבוע

ממד שלישי

התשע הוא שליש ממעוקבו של השלוש

ה-18 הוא שני-שליש ממעוקבו של השלוש

ביחד הם יוצרים את ה-27.

הם יוצרים אותו כנפח שיש לו צורה של קובייה