הסימטריות של ניקומאכוס

*

*   *

*   *   *

*   *   *  *

טטרקטיס

ניתן לראות בטטרקטיס שהוא סימטרי:

מכל כיוון יש על צלעו ארבעה אחדים בשורה החיצונית,
שלושה בזו שלפניה,
שתיים בזו שלפניה
ואחת באחרונה

סימטריה דומה יש בסדרת הריבועים. הם ממחישים 

את התחלקותו הסימטרית וההדרגתית של כל ריבוע. התבוננות מנקודת מבט זו על הריבועים מגלה לנו 

גם את האחידות של סוד בנייתם

במרכז כל שורה מופיע מספר השורה

המספרים שלפניו, מן האחד עד אליו, מופיעים מימינו ומשמאלו בסימטריה:

1

121

12321

1234321

123454321

12345654321

1234567654321

123456787654321

12345678987654321

עץ המספרים של ניקומאכוס

הריבוע של ארבע בנוי מארבע נקודות שמסודרות בשלוש שורות:

אחת בשורה הראשונה

שתיים בשנייה
 אחת בשלישית.

מכל כיוון רואים שתיים מהן:

121=4

הריבוע של שלש:

12321=9

הריבוע של ארבע:

1234321=16

הריבוע של חמש:

123454321=25

=

הערה:
 בהתאמה מופלאה לגאומטריה שבה ריבוע מורכב משני משולשים 

המראה הזה מסביר גם מדוע שני מספרים משולשים 
רצופים יוצרים ריבוע
שהרי תשע, הריבוע של שלוש, כשהוא בא בצורה של 
12321
מורכב מ
12
שהוא המספר המשולש של 2
ומ
321
שהוא המספר המשולש של 3

==

סימטריה נוספת:

כל ריבוע מורכב משני משולשים ומקו

לדוגמה:

הריבוע של חמש מורכב מפעמיים המספר המשולש של ארבע, שהוא עשר, ועוד הקו של החמש

==

הערה:

עץ המספרים מופיע בספר של ימבליכוס על ניקומאכוס תחת הכותרת "מסלול מעגלי מהדומה לדומה", והוא תוצאה של הכפלת המספרים שמורכבים מאחדים בעצמם:

11x11= 121

111x111= 12321

1111x1111 = 1234321

מקור: Thomas Taylor's Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans p. 244