מרכז של קו לעומת מרכז של שטח

חמש הוא המרכז של התשע בין אם התשע מופיע על טור המספרים הטבעיים ובין אם הוא מופיע כריבוע של שלש

המספר תלוי בכיוון הספירה

הקו של המספרים הטבעיים

כל מספר הוא נקודה בתוך מעגל שהרדיוס שלו זהה לזה של העיגול הראשון, וביחד הם יוצרים את הקו של המספרים הטבעיים

מכפלת פלינדרומים מנקודת מבט גיאומטרית

ראינו ש11 כפול 11 יוצר ריבוע של ארבע נקודות. כאן אנו רואים ש22 כפול 22 יוצר ריבוע של 16 נקודות, כאשר סכום המכפלה הוא 484, וסכום חיבור הספרות של סכום זה הוא 16. 

דרך אגב 484 הוא סכום הפלינדרומים הדו ספרתיים:

11

22

33

44

55

66

77

88

99

----

484

טטרקטיס שעשוי מקווים

הצורה הנעימה של הטטרקטיס המשולש אפשרית רק כשהוא עשוי מנקודות. כשהוא עשוי מקווים הוא נראה כמו טרפז מגושם.

השיטה העשרונית כקובייה

10 הוא הנקודה שמתחילה את הקו הראשון
לפניו יש תשע נקודות נפרדות שהן תשעה מספרים בדידים

100 - הוא שטח

1000 הוא נפח

המספרים הראשונים מנקודת מבט גיאומטרית

האחד שאינו נמדד הוא נקודה במרכזו של מעגל.

השניים הוא נקודה כלשהי על היקפו של אותו מעגל.

בין האחד לשניים האלה עובר קו שהוא האחד שנמדד.

השלש הוא הנקודה שבאחת מנקודות החיתוך של המעגלים.

הארבע הוא הנקודה שמול השלוש.

האחד השניים והשלוש יוצרים משולש שווה שוקיים שבנוי מרדיוסים.

הארבעה יוצרים מעוין שבנוי מרדיוסים.

בריאת שלושת המספרים הראשונים

טטרקטיס כלוח כפל זעיר

אנחנו רגילים ללוח הכפל שהוא בצורת ריבוע, ושבאמצעותו ניתן לחשב את הכפולות של עשרת המספרים הראשונים; אבל הפיתגוראים כבר הראו שאפשר להתייחס לטטרקטיס, שהוא משולש 
שבנוי מנקודות, כאילו שהוא הלוח שבו המספר הראשון, אחד, כופל עצמו בארבעת המספרים הראשונים... וניתן להסיק מכאן שאם נציב במקום אחד מספר אחר, כמו שלוש, לדוגמה, נקבל את כפולותיו של המספר החדש. כמובן שניתן להאריך את הטטרקטיס באמצעות הוספת שורות מתחתיו ככל שרוצים. 

מספרים משולשים על היתר של משולש ישר זווית

השארתי את המספרים המשולשים עצמם מחוץ לתמונה כדי שהאיור יראה מעניין יותר. המספרים החסרים הם:

1, 3, 6, 10, 15...

האיור מלמד על הקשר בין מספר השורה לבין המספר המשולש "שלה", שמופיע בקצה השורה, ועל היתר של משולש ישר זווית.

מרכזי האי זוגיים וריבועיהם

המספר האי זוגי בעמודה השמאלית מציין את מספר הספרות שמופיעות בעמודה האמצעית.

העמודה האמצעית מראה במרכז את מרכזו של המספר האי זוגי כאשר לשני צדדיו מתפרשת ההיסטוריה שלו מן האחד ועד אליו.  

איך המספרים המשולשים יוצרים ריבועים

כל ריבוע בנוי משני משולשים. בתרגום של המבנה הגאומטרי של נקודות בצורת ריבוע למספרים נהוג לספור את האלכסון פעם אחת ולכן, לדוגמה, בריבוע של תשע יש רק 9 נקודות ולא 12, שהן החיבור של שני משולשים שבכל אחד מהם יש 6 נקודות. ליתר דיוק אם היינו סופרים את האלכסון של הריבוע פעמיים הוא היה מקבל צורה של מלבן שאורך צלעותיו 4X3

לעיוות הזה בספירה יש השלכות על האופן שבו אנחנו מחשבים את הריבועים כאילו שהם בנויים משני מספרים משולשים עוקבים, כמו לדוגמה:

1+2=3

1+2+3=6

3+6=9=3²

אחד בשלושה ממדים

האחד של אוקלידס הוא נקודה שאין לה אורך רוחב או עומק, אבל הנקודה מופיעה רק בממד הראשון, ממד הקו.

בממד השני, ממד השטח, האחד אינו נקודה אלא ריבוע. במחברת החשבון דף המשבצות מורכב מריבועים זעירים. האחד הוא ריבוע שכזה. השניים הוא שני ריבועים שכאלה, וכן הלאה. כאשר מחלקים מספר לעצמו על דף המשבצות הזה נשאר לנו ריבוע אחד.

בממד השלישי, ממד הנפח, האחד הוא קובייה. במידות הוא סמ"ק, שנראה כמו קובייה.   

הטטרקטיס של חמישים וחמש

"סכום ספרות סופי" של 55 הוא 1. של 65 -2. וכך הלאה עד 135 שהוא 9, ואחריו בא ה-145 שסכום הספרות הלא סופי שלו הוא 10.  

המכפלות של שתיים

כל אחת מהמכפלות של שתיים היא או ריבוע שהוא חצי מלבן או מלבן שהוא חצי ריבוע:

2=(4/2)=(8/4)=(16/8)=(32/16)=(64/32)...

כך או כך הם נכנסים זה בתוך זה

הולדת הטטרקטיס

הטטרקטיס נחשב לאימא של המספרים. רואים באמצעותו כיצד ארבעת המספרים הראשונים מולידים את העשר כסיכום שלהם, ואחרי עשרת המספרים הראשונים שבטטרקטיס כל המספרים הבאים אחריהם אינם אלא העתקים שלהם. אבל איך נולד הטטרקטיס עצמו?

הטטרקטיס הוא המספר המשולש של ארבע. מבחינה גיאומטרית הוא בנוי כמשולש שווה שוקיים שעל צלעותיו מפוזרות תשע נקודות ובחללו הפנימי יש נקודה אחת. הנקודה האחת הופכת לשלש נקודות במספר המשולש של חמש, שאותו מקבלים על ידי ציור חמש הנקודות שמתחת לבסיס של הטטרקטיס. שלש הנקודות הופכות לשש במספר המשולש של שש, והן הופכות לעשר (הטטרקטיס) במספר המשולש של שבע, שכולל 28 נקודות.

שבע הוא מספר אי זוגי שבנוי במתכונת של (2x+1), כלומר יש בו שני אגפים שווים וביניהם אחד, שהוא המספר המרכזי בשבע. כל אגף בשבע הוא 3, והמספר המרכזי הוא 4. וכך גם במספרים המשולשים: המספר המשולש של ארבע הוא במרכזו של המספר המשולש של שבע.

התופעה הנ"ל עמדה ככל הנראה לנגד עיני הפיתגוראים כשהעניקו לטטרקטיס, בין היתר, את הכינוי "אימא", כי בתוך חללו הפנימי, שהוא כביכול רחמה של האם, כבר יש את ההתחלה של הטטרקטיס הבא.

התופעה הנ"ל מזכירה גם את הסיפור המקראי על בריאת העצים:

וַיֹּאמֶר אֱלֹהִים:... עֵץ פְּרִי עֹשֶׂה פְּרִי לְמִינוֹ אֲשֶׁר זַרְעוֹ בוֹ (בראשית א, יא)   

והיא מזכירה גם את הביטוי המשנאי צְבָת בִּצְבָת עֲשׂוּיָה [אָבוֹת, פֶּרֶק חֲמִישִׁי, מִשְׁנָה ה, ח]*.

*הערה:
גם הסדרה ההנדסית של השניים: 2, 4, 8, 16...
שבה כל מספר הוא או ריבוע שהוא חצי מלבן או מלבן שהוא חצי ריבוע מזכירה את הביטוי המשנאי צְבָת בִּצְבָת עֲשׂוּיָה 

התייחסות של יוהאנס קפלר לטטרקטיס

מקור:

Kepler, Johannes, et al. The harmony of the world. Vol. 209. American Philosophical Society, 1997, p. 135

עיקרי הדברים:

בצורה הגיאומטרית של המספרים המשולשים שאחרי האחד, בשלוש ובשש, הנקודות מפוזרות על צלעות המשולש שווה הצלעות, ואין שום דבר במרכזן, אבל בטטרקטיס, המספר המשולש של הארבע, מופיעה לראשונה נקודה במרחב הפנימי של המשולש, והנקודה הזאת היא העשר הקדוש שאליו התפללו הפיתגוראים: "אימא חובקת-כול, המקיפה את כל הדברים, בלתי-מתפשרת, ללא חת, וטהורה"

הערה:
הטטרקטיס הוא משולש שווה צלעות, מה שנקרא משולש משוכלל, וכמו כל מצולע משוכלל הוא יכול לחסום מעגל או להיחסם בו. העשר שיוהנס קפלר מציג לעיל הוא בעצם הנקודה הראשונה שממנה התחילו כל המספרים, מרכז המעגל. לכל מעגל יש רק מרכז אחד, וזה מתאים לרעיון מרכזי של הפיתגוראים בדבר המוגבל, שהוא כמו ריבוע ביחס למלבן. יש אינסוף אפשרויות ליצור מלבן, אבל מלבן שהוא שווה צלעות יש רק אחד. כך גם יש אינסוף נקודות שכל אחת מהן יכולה לשמש כמרכז של מעגל, אבל מרגע שציירנו מעגל כלשהו יש לו רק נקודה אחת שמשמשת לו כמרכז. מהנקודה הזאת יוצא רדיוס שמחבר את הנקודה עם המעגל. במקום שהרדיוס הזה פוגש את המעגל נוצרת הנקודה השנייה, שהיא המספר שניים. תשעת המספרים מאחד עד תשע הם העתקים של האחד שלפני האחד -- הם בעצם מנוגדים לו! הוא בלתי ניתן לחלוקה והם מתחלקים. הוא מקורי והם העתקים. הוא יחיד והם רבים. הוא שייך למעגל (ליתר דיוק המעגל שייך לו), והם שייכים למשולש שחסום במעגל. לכן גם צבעתי את המעגל ואת הנקודה באדום.  

גלגול או x+9=x

1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31	32	33	34	35	36
37	38	39	40	41	42	43	44	45

הגלגול היחיד שמופיע בטטרקטיס הוא עשר שהוא הגלגול של אחד.

סדרת הגלגולים מופיעה אחרי שמחלקים את עמודת המספרים הטבעיים לתשע עמודות.

בכל עמודה הרווח בין איבר לאיבר הוא 9.

סכום הספרות של כל איבר בעמודה זהה לזה של המספר שמופיע בראש העמודה.

תופעת הגלגולים מצביעה על כך שישנם רק תשעה מספרים מקוריים, וכל שאר המספרים הם העתקים שלהם.

אחרי התשע המקורי הראשון מתחילה ספירה חדשה מאחד עד תשע, אבל כדי שלא נתבלבל בין המספרים החדשים לישנים מקבלים המספרים החדשים שמות חדשים: עשר הוא האחד החדש, 11 הוא ה-2- החדש וכן הלאה. סכום הספרות של 10 (1+0) הוא אחד. סכום הספרות של 11 (1+1) הוא 2. וכן הלאה.

הרעיון של הגלגול נרמז כבר בתופעת הזרמים.

סדרת הזרמים מופיעה אחרי שמחלקים את עמודת המספרים הטבעיים לשלש עמודות.

1	2	3
4	5	6
7	8	9
10	11	12
13	14	15

תופעת הזרמים מצביעה על כך שישנם רק שלשה מספרים מקוריים וכל שאר המספרים הם העתקים שלהם.

האחד הוא התחלה.

השניים אמצע.

השלש סוף.

האחד בא לפני השניים.

השלש בא אחרי השניים.

השניים נמצא בין האחד לשלש.

הארבע הוא התחלה חדשה. הוא בא לפני החמש.

החמש נמצא באמצע, בין ארבע לשש.

השש בא אחרי החמש, וסוגר את השלשה השנייה.

השבע הוא התחלה חדשה וכן הלאה.

מנקודת מבט גאומטרית אנחנו סופרים שלש נקודות שמסודרות בצורת משולש. אחרי שסופרים את הנקודה הראשונה השנייה והשלישית חוזרים לספור את הנקודה הראשונה וחוזר חלילה. כדי שלא נתבלבל בין האחד לבין הארבע יש לארבע שם חדש, כדי שלא נתבלבל בין השניים לחמש יש לחמש שם חדש וכן הלאה.

הטטרקטיס עצמו מופיע בצורת נקודות שמסודרות כמשולש. בראשו נמצאת נקודה אחת ומתחתיה שתי נקודות - וגם הן מסודרות כבר כמשולש. כל המספרים מקורם במשולש הקטנטן הזה שבראש הטטרקטיס, כאשר האחד הוא גם הנקודה הגיאומטרית שאין לה אורך ורוחב, בעוד השניים שמתחתיו מגבילים את הקו הגאומטרי שיש לו אורך אבל אין לו רוחב.

מספרים זוגיים ואי זוגיים מנקודת מבט גאומטרית

כל מספר טבעי ניתן לתאר כמלבן שרוחבו יחידת מידה אחת, ואורכו כאורכו של המספר המבוקש.

הריבוע של האחד הוא היוצא מן הכלל, אלא אם נסכים שריבוע הוא סוג של מלבן.

במילים אחרות, סדרת המספר הטבעיים היא סדרת הכפולות של אחד.

כל מספר זוגי ניתן לתאר כמלבן שרוחבו שתי יחידות מידה ואורכו כאורכו של המספר המבוקש.

הריבוע של השניים הוא היוצא מן הכלל, אלא אם נסכים שריבוע הוא סוג של מלבן.

במילים אחרות, סדרת המספר הזוגיים היא סדרת הכפולות של שניים.

אם נחלק את  סדרת המספרים הטבעיים לשתי עמודות נקבל באחת את סדרת המספרים האי זוגיים ובשנייה את סדרת הזוגיים. כך או כך נקבל מלבנים... מלבד הריבועים של האחד ושל השניים.

מספר הכפולות של האחד ושל השניים הוא אינסופי. יש רק ריבוע אחד של אחד, ורק ריבוע אחד של שניים... ושניהם סופיים, יחידים ומיוחדים.  

הזרם של ה 7-4-1 מנקודת מבט גאומטרית

מנקודת מבט מספרית הזרם של ה 7-4-1 מתגלה כאשר מחלקים את טור המספרים הטבעיים לשלושה טורים. הנה כך

  1   - 2   - 3

  4   - 5   - 6

  7   - 8   - 9

10   -11  -12

הזרם הזה נבנה באמצעות הנוסחה 3x+1

כאשר X הוא 1 מקבלים את המשולש של 4

כאשר X הוא 2 מקבלים את המשולש של 7

 כאשר X הוא 3 מקבלים את המשולש של 10

כאשר X הוא 4 מקבלים את המשולש של 13

וכן הלאה

מנקודת מבט גאומטרית ניתן לראות את הזרם הזה בטטרקטיס, שהוא משולש שווה צלעות שאורך כל צלע שלו הוא שלש יחידות מידה, ויש נקודה אחת במרכזו. קודם לו המשולש שאורך צלעו הוא שתי יחידות מידה ויש נקודה אחת במרכזו. מתחיל את הסדרה הזאת המשולש שאורך צלעו הוא יחידת מידה אחת ויש נקודה אחת במרכזו. במילים אחרות: מנקודת מבט גאומטרית הזרם של ה 7-4-1 נבנה באמצעות הנוסחה: היקף+מרכז

המאה והאלף הם מספרים חשובים בזרם של ה 1-4-7

המאה מורכב משלש צלעות שאורך כל אחת מהן 33 יחידות בתוספת אחד במרכז.האלף מורכב משלש צלעות שאורך כל אחת מהן 333 יחידות בתוספת אחד במרכז.

תלוי איך סופרים

הטטרקטיס הוא צורה גיאומטרית שאנחנו מייחסים לה משמעויות מספריות. בדרך כלל נהוג לספור כל נקודה בטטרקטיס פעם אחת ואז מגלים שיש בו עשר נקודות.

*

*     *

*     *     *

*     *     *     *

אבל ניתן לספור את הנקודות גם לפי הגיון אחר:

מאחר ויש בכל צלע של הטטרקטיס 4 נקודות...

3 הצלעות שלו מכילות 12 נקודות [4X3]

ובתוספת של ה1 שבמרכזו של הטטרקטיס  יש בו בסך הכל 13 נקודות.

זה גם מה שקורה במשולש הגיאומטרי- הוא בנוי משלשה קווים שכל אחד מהם מוגבל בשתי נקודות.

*_____________*

*_____________*

*_____________*

יש לו בעצם ששה קדקודים, אבל בגלל שיש חפיפה בין הקדקודים אנחנו סופרים כל שניים מהם כאילו היו אחד.

הזרם של ה 3-6-9 מנקודת מבט גיאומטרית

מנקודת מבט מספרית הזרם של ה 3-6-9 מתגלה כאשר מחלקים את טור המספרים הטבעיים לשלושה טורים. הנה כך:

  1   - 2   - 3

  4   - 5   - 6

  7   - 8   - 9

10   -11  -12

מנקודת מבט גאומטרית ניתן לראות את הזרם הזה בטטרקטיס, שהוא משולש שווה צלעות, שאורך כל צלע שלו הוא שלש יחידות מידה. כי למשולש שווה צלעות יש תכונה מופלאה,וכמו בהולוגרמה כל חלק ממנו הוא משולש שווה צלעות. כאשר אורך צלעו אחד היקפו שלש. הנה כך:

1.3=3

2.3=6

3.3=9

4.3=12

וכן הלאה