על המשמעות של הזווית הישרה לפי פילון האלכסנדרוני

"המשולש ישר הזווית, נקודת ההתחלה של הצורות בעלות הצורה המוגדרת, מורכב ממספרים מסוימים, כלומר 3 ו 4 ו 5: 3 ו 4, שהם החלקים המרכיבים של 7 [1], מייצרים את הזווית הישרה: שהרי הזווית החדה והזווית הקהה הן גילויים של אי-סדירות והפרעה ואי-שוויון: כי זווית אחת יכולה להיות חדה יותר או קהה יותר מאחרת: בעוד שזווית ישרה אחת אינה מאפשרת השוואה לאחרת, והיא אינה יכולה להיות "יותר ישרה" מאחרת, היא נשארת כפי שהיא, ולעולם אינה משנה את הטבע הנכון שלה"

מקור: פילון האלכסנדרוני, על בריאת העולם, תרגום שלי לעברית על פי התרגום לאנגלית של קולסון, ווויטקר, (לונדון וניו יורק 1929),כרך א עמ' 77-78

הערה שלי:

בראש טבלת עשרת הניגודים, שמופיעה בכתבי אריסטו ב"מטפיסיקה" 986 א, ניצב הניגוד שבין המוגבל לבלתי מוגבל, שהוא הניגוד החשוב שביניהם, כי עליו מתבססים הניגודים הבאים. הפיתגוראים העריצו את המוגבל וחששו מן הלא מוגבל, האינסופי. האחרון בטבלת הניגודים הוא הניגוד בין ריבוע למלבן. ריבוע הוא דבר מוגבל, לכל מספר יש ריבוע משלו, וכזה יש רק אחד. אבל כל מספר יכול ליצור מלבן עם כל מספר אחר, ומאלה יש אינסוף. אותו היגיון מנחה את פילון בקטע שתרגמתי לעיל. יש רק זווית ישרה אחת- זה המוגבל. יש אינסוף זוויות שאינן ישרות- זה הבלתי מוגבל, המפחיד. עד כמה שאני מכיר את פילון הוא לא ממציא מדעתו אלא מצטט מאיזה ספר שאינו מציין את שמו.

ועוד יותר מיוחד מן המשולש ישר הזווית בעל הצלעות השונות בגודלן הוא המשולש ישר הזווית בעל הצלעות השוות שעל האלכסון שלו בלבד ניתן לבנות ריבוע ששטחו כפול משל הריבוע שבו נמצא אותו משולש. וזהו המשולש שכאשר הצלע שלו 1 היתר שלו הוא שורש שניים, שממנו למדו הפיתגוראים לראשונה על קיומם של מספרים לא רציונליים.

ולרשימת המיוחדים המוגבלים ניתן להוסיף גם את העיגול שהוא היחיד מבין כל מגוון האליפסות שבו כל הקווים שעוברים דרך המרכז שווים באורכם.

===

הערה
[1]
המספרים 3 4 5 הם המרכיבים של משפט פיתגורס. ההתעכבות של פילון על העובדה שהשלוש והארבע הם המרכיבים של השבע מאפשרת הבנה חדשה של משפט פיתגורס. כאשר מחברים את שלש וארבע בחשיבה של תורת המספרים, רואים לכל היותר חיבור של יחידות מופשטות זו לזו, אבל בחשיבה גיאומטרית רואים משולש ישר זווית, ומבינים במה הוא מיוחד מכל שאר המשולשים. הגיאומטריה מעשירה את ההבנה של תורת המספרים, ומוסיפה לה ממד חווייתי.