המבנה הגאומטרי של המספרים המשולשים

משמאל לימין: 

א. 1+2+3=6 

ובתוכו הריבוע של 2

ב. 1+2+3+4+5=15

ובתוכו הריבוע של 3

ג. 1+2+3+4+5+6+7=28

ובתוכו הריבוע של 4

ד. 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

ובתוכו הריבוע של 5

ה. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66

ובתוכו הריבוע של 6

כל מספר אי זוגי מורכב ממרכז (M) ושני אגפים (2X) וניתן לתארו גם כ- 
XMX
לדוגמה,
ה-11 מורכב ממרכז (6) ושני אגפים (5+5)
בדיאגרמות לעיל
ניתן לראות בברור 
שהסכום של כל מספר מורכב מ
פעמיים הסכום של האגף בתוספת הריבוע של המרכז
כלומר
ה-11 מורכב מפעמיים 15 שהוא הסכום של האגף שלו
בתוספת הריבוע של ה-6 שהוא המרכז שלו
לסיכום:
מספר משולש מורכב משני משולשים ומריבוע, או, כפי שכבר הראיתי: מארבעה משולשים זהים בתוספת המרכז:
4X+M

לגבי המספרים הזוגיים:

הסיבה לכך שהריבוע נוצר בתוך המספר המשולש היא שבזוגיים המרכז (M) הוא שני מספרים שאחד מהם נכפל תמיד בעצמו (X.X) והשני במספר שמעליו (X+1):

N	X	M	x.x+(x+1).x	T (x.m)
2	1	1+2	1.1+1.2	3
4	2	2+3	2.2+2.3	10
6	3	3+4	3.3+3.4	21
8	4	4+5	4.4+4.5	36
10	5	5+6	5.5+5.6	55
12	6	6+7	6.6+6.7	78

ועוד המחשה למבנה הגאומטרי של המספרים המשולשים:

משמאל: המספר המשולש של תשע מורכב מריבוע מרכזו ועוד פעמיים המספר המשולש של האגף שלו (X)

9=4+5=X+M

T9=2Tx+M.M

מקוריות והעתקה במספרים

בשפה העברית, כמו גם בשפות אחרות, יש הבחנה בין עשרת המספרים הראשונים לבין כל שאר המספרים. עשרת המספרים הראשונים נחשבים כמספרים מקוריים, ואילו כל שאר המספרים נחשבים כהעתקים שלהם, או כמופעים חוזרים שלהם. לכל אחד מעשרת המספרים הראשונים יש שם עצמאי, ואילו שמות כל שאר המספרים מורכבים משמות עשרת המספרים המקוריים, למעט המאה, האלף, והרבבה. וכך שמו של האחד עשרה מורכב משמו של האחד ומשמו של העשר, ושמו של העשרים וחמש מורכב משמו של החמש ומשמו של העשר.

המספרים אחד ועשר חוזרים לראשונה במספר אחד עשרה, השניים חוזר לראשונה בשנים עשרה... העשר - בעשרים, המאה - במאתיים, האלף - באלפיים.

כלומר, השיטה העשרונית בנויה אל תוך השפה.

משום כך, אולי, מתקבל אצלנו הרושם שלעשר ישנו מעמד מיוחד בקרב המספרים. רושם זה מגיע לשיאו בביטוי המפורסם "עשר ולא תשע, עשר ולא אחת עשר" (ספר יצירה, משנה ג). אבל אם לוקחים שורה של נקודות אין כל הבדל בין הנקודה העשירית לזו שלפניה או לזו שלאחריה, כל הנקודות שוות בערכן ושונות במיקומן. וכך גם כאשר מתבוננים בנקודות שמסודרות בצורת עיגול. נכון אמנם שאם מתבוננים במספרים בצורת משולש, דהיינו:

*

*   *

*   *   *

*   *   *   *

העשר הוא הסכום של המספרים שלפני הארבע בתוספת הארבע (1+2+3+4=10), אבל התופעה הזאת איננה מיוחדת רק לו כי גם השש הוא הסכום של המספרים שלפני השלש בתוספת השלש
 (1+2+3=6) וגם השלש הוא הסכום של השניים והמספר שלפניו (1+2=3).

עוד על צורת המספרים

בהמשך למאמרו של שמואל אביטל: "על מספרים מצולעים":

א. צורת המספרים הטבעיים

את טור המספרים הטבעיים ניתן לצייר בצורת נקודות שיוצרות קו. הנה כך:

**************

כל הנקודות שוות בערכן, שונות במיקומן

המספר מציין את מיקום הנקודה (לדוגמה: השנייה משמאל, השלישית מימין)

כל מספר מכיל את כל המספרים שקדמו לו

לא יכול להיות מספר בלי המספרים שקדמו לו

אין חשיבות מיוחדת לנקודה העשירית או לשיטה העשרונית

ב. צורתו של סכום המספרים ("מספר משולשי")

*

*    *

*     *     *

*     *     *     *

מנקודת מבט זו העשר הוא התחנה הרביעית בסדרת המספרים המשולשים, והוא מכיל את שלשת המספרים שלפניו, שכל אחד מהם מכיל את המספרים שלפניו, כמו שבתצוגת המספרים הטבעיים כל מספר מכיל את כל המספרים שקדמו לו.

ג. צורתה של סדרת הריבועים

הריבוע הראשון (שנראה כאן כמו מעוין) מתחבא בתוך "משולש סכום המספרים":

*

*    *

*     *     *

*     *     *     *

הנקודה הרביעית (הכחולה) יוצרת עם שתי הנקודות שמעליה את המשולש שמשלים את המשולש הראשון לריבוע.

התופעה הזאת חוזרת  בכל אחד מן הריבועים הבאים, וכך נראה, לדוגמה, הריבוע (שנראה כאן כמו מעוין) של השלש :

*

*    *

*     *     *

*     *     *     *

*     *     *     *     *

הריבועים נכנסים זה לתוך זה כמו גלדים בבצל. האחד כלול בארבע, הארבע בתשע, התשע בשש עשרה וכן הלאה.

ד. צורתו של הזרם של ה 3-6-9

שלש הוא המשולש הראשון, אבל כל שלוש נקודות שמוסיפים מתחתיו יוצרות את האיבר הבא בסדרת המספרים 3-6-9 שהיא, במילים אחרות, סדרת המספרים שבה ההפרש בין איבר לאיבר הוא 3

השלש:

*

*    *

השש:

*

*    *

*     *     *

התשע:

*

*    *

*     *     *

*        *        *

על מנת להמשיך לאיבר הבא (12) עלינו להוסיף נקודה אחת לכל צלע ונקודה אחת לחוצה הזווית:

*

*    *

*     *     *

*        *        *

*            *            *

ה. צורתם של המספרים

0. לאפס אין צורה, למרות שמקובל לצייר אותו בצורת עיגול - 0

1. לאחד יכולות להיות צורות שונות, למרות שמקובל לצייר אותו כ- 1 או I

בסדרה של המספרים הטבעיים הוא נראה כמו כל מספר אחר, לדוגמה, כנקודה על קו, או ככוכבית על עיגול (עיגול הוא סוג של קו). אם מתבוננים בסדרת הריבועים מהגדול לקטן, נאמר משש עשרה לתשע, לארבע, לאחד... האחד חייב להיות ריבוע למרות שהוא אינו נראה כריבוע. בסדרה של המעוקבים האחד חייב להיות קוביה למרות שהוא אינו נראה כמו קוביה. בסדרה של ה 369 האחד חייב להיות משולש למרות שהוא אינו נראה כמו משולש.

2. את השניים ניתן לצייר בתור קו - כשמחברים את שתי הנקודות, באופן מוחשי או אפילו בדמיון. ניתן גם לצייר אותו בתור מלבן של אחד על שניים.

3. את השלש ניתן לצייר בתור משולש. ניתן גם לצייר אותו בתור מלבן של אחד על שלש.

4. את הארבע  ניתן לצייר בתור ריבוע או בתור מלבן של אחד על ארבע.

6. את השש ניתן לצייר בתור משולש או בתור מלבן.

8. את השמונה ניתן לצייר בתור מלבן שמורכב משני ריבועים צמודים.

9. לתשע יש גם צורה של ריבוע וגם צורה של משולש.

ארבע בפיוט

יָחִיד בְּאַרְבַּע            נָשׂוּי עַל אַרְבַּע

סָבִיב בְּאַרְבַּע            דִּגְלֵי חֲיָלוֹ

הֵן פִּנּוֹת אַרְבַּע            בָּם הוֹצִיא נִטְבָּע

וּתְקוּפוֹת אַרְבַּע            מָשׁ עֵת חָרָה לוֹ

וּבְזָכְרוֹ רֹבַע            אוֹתִיּוֹת אַרְבַּע

אָז פַּרְעֹה נִטְבַּע            הוּא וְכָל חֵילוֹ

דְּגָלִים אַרְבַּע            הֶעֱמִיד נִקְבַּע

וּבְכוֹסוֹת אַרְבַּע            צִוָּה לְהַלְּלוֹ

הַלְּלוּ שֵׁם יָהּ            נִקְרָאִים בְּיָהּ

וּבְתוֹךְ עֲדַת יָהּ            שְׁמוֹ גַּדְּלוּ

ידידי יהודה הסביר לי את הפיוט הזה:

"השיר הזה מהרפרטואר המרוקאי מושר בפסח

לא ידוע מי חיברו מעבר לכך ששמו יהודה יתכן ומדובר בריה"ל.

יחיד בארבע = ארבע רוחות העולם מזרח מערב צפון דרום

סביב בארבע דגלי חיילו = כתות מלאכים מיכאל, גבריאל, אוריאל, רפאל

פנות ארבע = ארבע יסודות אש,רוח מים ועפר

תקופות ארבע = אביב קיץ סתיו וחורף

עת חרה לו = מבול

דגלים ארבע = דגלי 12 שבטים שחולקו לארבע מחנות עם דגלים ראובן,יהודה,אפרים דן

כוסות ארבע = ליל פסח 

נקראים בי-ה = משפחות ישראל נכתבו בה' ו-י': החנוכי, הפלואי, החצרוני וכו'

(מתוך ספר הפיוטים: "אעירה שחר " לר' חיים רפאל שושנה ז"ל)".

ראוי להוסיף כי נָשׂוּי עַל אַרְבַּע 

מתייחס ככל הנראה לארבע חיות המרכבה

האלכסון כמספר שלוש

במלבנים, ובריבועים, שהם סוג משוכלל של מלבנים, יש מאבק בין ניגודים: הרצפה נגד התקרה, הימין נגד השמאל, הפנים נגד החוץ.

אבל האלכסון שוכן בין הניגודים, ויש לו תפקיד של מגשר ומפשר, כמו למדרגות, הנייחות או הנעות, שמאפשרות לנו לנוע מלמטה למעלה ובחזרה. כל צלע במלבן מייצגת את האחד, כל זוג של צלעות מנוגדות מייצג את השניים... והאלכסון - את השלוש, את הסינתזה שבין התזה לאנטיתזה.

שם המספר מעיד על מספר חלקיו השלמים

האחד הוא המספר היחיד שאין לו חלקים שלמים. האחד הוא אחדות, הוא שלמות, הוא מושלם. זו אחת הסיבות לכך שקוראים לו אחד. שהרי אם תשאל כמה אחדים יש באחד התשובה תהיה אחד. האחד הוא בליגה אחרת. כל המספרים שייכים לקבוצה אחת של המתחלקים לחלקים שלמים, ואילו האחד שייך לקבוצה של החלקים שאינם מתחלקים לחלקים שלמים, והוא החבר היחיד באותה קבוצה. ניתן, אמנם, לחלק את האחד לשני חצאים, או לשלשה שלישים, אבל לא ניתן לחלק אותו לחלקים שלמים, לאחדים.

ניתן לומר על האפס שאין לו חלקים, לא שלמים ולא שברים, אבל הוא ריק, אין בו אחדים, ואילו האחד הוא מלא. אם נחלק את האפס לשניים נקבל שני חלקים ריקים ששווים זה לזה, אבל אי אפשר לחלק את האפס לשני חלקים שאינם שווים זה לזה, כי הגדול שביניהם יהיה שווה לקטן - שניהם יהיו ריקים. זו אחת הסיבות לכך שקוראים לאפס בשם אפס, שהרי אם תשאל כמה אחדים יש באפס התשובה תהיה אפס.

לשניים יש שני חלקים שווים, שכל אחד מהם הוא אחד. ניתן לחלק את השניים לשני חלקים לא שווים, כמו אחד וחצי ועוד חצי, או אחד ושליש ועוד שני שליש, אבל בשביל למצוא את החלקים השווים שבו צריך לחלק אותו בשניים, וזו אחת הסיבות לכך שקוראים לו שניים. שהרי אם תשאל כמה אחדים יש בשניים התשובה תהיה שניים. וכך גם לגבי שאר המספרים. 

אחד מבטא עצמו כשלוש וכשש

מספרים וקבלה מאת אלי בנאקוט
 = = = = = = = = = = = = =
אחד מבטא עצמו דרך שלוש ושש. המספר שלוש נתפס מחשבתית כנקודה עובָּרית - ״תלת נפקי מחד, חד בתלת קיימא״ - בתרגום הזהר: מאחד יוצאים שלושה, שלושה מתקיימים באחד.

המספר שש נתפס מחשבתית כקו. קו ניתן למדידה - ״וימד לה שש שערים״ נאמר במגילת רות. קו מייצג אימפולס תחום אבל בשפע, ואילו נקודה מתקשרת לעולם הצמצום ולמעגל חסר גבולות. בקו תחום אחד ניתן לספור ששה מרכיבים: נקודת התחלה - אחד, קו - שניים, נקודת סיום - שלוש, כשסופרים אותם הלוך וחזור זה שש.

במובן אחר שלוש מתקשר לממד הזמן ושש לממד המרחב. זמן: עבר, הווה, עתיד = שלוש. מרחב: קדימה, אחורה, ימינה, שמאלה, למעלה, למטה = שש. זמן איננו מוחשי כמו המרחב. ממד הזמן אמנם כולל בתוכו את מה שעבר מה שהווה ומה שעתיד להיות, אבל בפעל מדידת הזמן באמצעות שעון כרונולוגי נעשית דרך השתברותו לתוך ממד המרחב. זמן במהותו אינו ניתן למדידה, זמן ביסודו הוא הווה מתמשך או משך. בחלום יעקוב המלאכים שעולים ויורדים מתקשרים עם המספר שש ועם מהות הקו, סולם מלשון לסלול את הדרך, מלאכי אלוהים מזוהים עם הסולם. אלוהים = הטבע - עולם התופעות המשתנה תדיר, ואילו יהוה הניצב בראש הסולם הוא הוויה, זה שהווה, זה שהוא משך צרוף.

מה ההבדל בין שינוי להוויה? שינוי נמדד בזמן, זמן כרונולוגי נשען על שינויי צורה. בשינוי אנו סופרים או מתרשמים מהשינוי האחרון בלבד, במשך צרוף כל שינויי הצורה באים בחשבון, ממשכים להתהוות, כך שכלום לא נפסד, ודבר אינו הולך לאיבוד.

במשמעות אילן הספירות הקבלי הספירה השלישית - בינה, והספירה השישית - תפארת, מייצגות את אותו העיקרון ברבדים שונים. התפשטות אור החסדים מושרשת בבינה, והוא בא לידי ביטוי בתפארת. לכן, כמובן, ניתן לומר שבינה היא ת״ת של ראש, ותפארת היא בינה של גוף. אור החסדים הנובע מן הבינה מתואר כמה שעושה לבוש לאור החכמה. החכמה לא יכולה להתגלות אלה אם כן היא מלובשת בחסדים וגבורות, משמע בגוף. לפי אשל״ג עשר הספירות של אור החכמה שהם כח״ב וזו״ן מתחלקים לתת חלוקה שהם ה’ פרצופים של אור החסדים. היות שהבינה במהותה דוחת את אור החכמה וחושקת באור החסדים יש לה פנים לכאן ולכאן. הבינה היא אמנם במהותה ראש, אבל היא גם גוף מתוקף ייחוסה לאור החסדים ולז״א. הז״א עצמו הוא התפשטות החסדים של אימא עליונה שהיא הבינה. לכן ה’ חסדים של גוף מתחלקים אף הם לכח״ב ולזו״ן: חסד הוא כתר של גוף, גבורה היא חכמה של גוף, ותפארת הוא בינה של גוף. ובהמשך נצח והוד הם זו״ן של גוף.

אם נחזור למבט המספרי הספקולציה הזו של אשל״ג מתחזקת כאשר אנו סופרים את המספרים אחד שלוש ושש כשלושת המילויים הראשונים ( מילוי המספר, כהגדרה, הוא אוסף המספרים עד למספר עצמו כולל המספר) כעת אם אנו סופרים את שלושת המילויים הראשונים כמילוי של המילוי, שלוש הוא שש - 1 + 2 + 3 = 6, ושש הוא עשרים ואחד - 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. כתר נשאר כתר, חכמה נעשית בינה ובינה נעשית תפארת.

הערה של זאב ברקן

המסורת היהודית מתייחסת אל האות יו"ד כאל נקודה. האות יו"ד ערכה המספרי עשר. בגימטריה בספירה המצומצמת עשר הוא אחד. יו"ד היא המספר העשירי אם סופרים מאל"ף, אבל היא המספר הראשון אם סופרים מיו"ד לאל"ף. שם האות ו"ו (וו, מתלה) משמעותו קו. משמעות זו תואמת גם את צורתה הגרפית של האות ו"ו, כי היא נראית כמו מסמר שתולים עליו דברים.

הערה להערה מאת אלי בנאקוט

היו"ד כנקודה שערכה המספרי עשר נספרת לראשונה כמילוי של הארבע, והיא גם אוסף שלושת המילויים הראשונים 1 + 3 + 6 = 10.

במובן הקבלי היא מתקשרת לעולם העקודים, ושם נאמר שכל עשר הספירות היו עקודים בכלי אחד לבלתי הבחן בין אור לכלי.

הערה להערה להערה מאת זאב ברקן

בבראשית לא, י-יא מופיעה המילה "עקודים" בסמיכות למילה "נקודים" (שמקורה כמובן במילה "נקודה"):

וַיְהִי, בְּעֵת יַחֵם הַצֹּאן, וָאֶשָּׂא עֵינַי וָאֵרֶא, בַּחֲלוֹם; וְהִנֵּה הָעַתֻּדִים הָעֹלִים עַל-הַצֹּאן, עֲקֻדִּים נְקֻדִּים וּבְרֻדִּים.

הערה מאת אלי בנאקוט

כן , אלה עניינים שדורשים עיון מעמיק. מכל מקום הרח״ו מתיחס לספירות העקודים גם מלשון ״ויעקוד ( אברהם ) את יצחק״. ככלל העקודים כל מה שקדם לשיבוש ולשבירה. הנקודים מלשון נקודה - עולם השבירה ומיתת המלכים. ברודים עולם התיקון והתמורה של החלק שהשתבש ויצא מאיזון.