הכבוד האבוד של הפיתגוראים

כאשר אריסטו ביקר את טענת הפיתגוראים שהכל מספר [1], הוא התעלם מהחלק הגיאומטרי של שיטתם  והציג אותה כשיטה מספרית. המספרים של משפט פיתגורס (3, 4, 5) ידידותיים פחות לחוש הראייה מן התצוגה הגיאומטרית של המשולש שעל כל צלע שלו בנוי ריבוע. הצגה לא גיאומטרית של טענת הפיתגוראים שהכל מספר היא הצגה מעוותת. בגלל שאריסטו היה בעל השפעה מכרעת על הפילוסופים שבאו אחריו זלזלו אף הם בטענת הפיתגוראים שהכל מספר.

בגיאומטריה של אוקלידס, שמסכמת מאות שנים של מחקרי הפיתגוראים, הקו אינו נמדד בסנטימטרים. ניתן לצייר את משפט פיתגורס על הדף, בכל גודל שנרצה, או לבנות אותו מאבנים בגודל של קילומטרים על פני מדבר סהרה כדי שיראו אותו החייזרים, והוא יהיה נכון בלי כל קשר לגודלו, אם הפרופורציות בין חלקיו נכונות.

הבעיה של האי רציונליות של שורש שניים היא בעיה מספרית ולא בעיה גיאומטרית. ניתן לבנות יתר למשולש שאורך ניצביו הוא אחד. לא ניתן לחשב את אורכו במספרים שלמים. גילוי המספרים האי-רציונלים מיוחס לפילוסוף היווני היפאסוס, בן האסכולה הפיתגוראית, שחי במאה החמישית לפנה"ס. האגדה מספרת שנענש בטביעה, אבל לדעתי מי שהמציא את האגדה הזאת התייחס לאריסטו ולדומיו, שלא הקפידו על ההצגה הגיאומטרית של השיטה הפיתגוראית. חשוב גם לזכור שהפיתגוראים נדרו נדר של שתיקה ביחס לסודותיהם, נדר מוצדק אחרי שנוכחים לדעת איך אפשר לעוות את גילוייהם.

ההפרדה בין הגיאומטריה לבין המספרים התרחשה אחרי הפיתגוראים. הפיתגוראים חקרו את המספרים ואת הגיאומטריה כמקשה אחת. הם היו מסדרים חלוקי אבן קטנים בצורות גיאומטריות בחול ואלה היו המספרים. המספר עשר, שבו נשבעו הפיתגוראים היה עשר אבנים שכאלה, מסודרות בארבע שורות.

*

*    *

*    *    *

*    *    *    *

בראשונה הייתה אבן אחת, בשנייה שתיים, בשלישית שלוש, ברביעית ארבע. האבן האחת ייצגה את הנקודה ואת המספר אחד. שתי האבנים ייצגו את הקו ואת המספר שנים. שלש האבנים ייצגו את השטח ואת המספר שלוש. ארבע האבנים ייצגו את הנפח ואת המספר ארבע.

מבחינה גיאומטרית העולם אכן בנוי ממספרים:  מדובר  במרחב תלת ממדי. כל גוף בו הוא תלת ממדי. אין במרחב יותר משלושה ממדים. כאשר מפשיטים מגוף שכזה את משקלו מגלים שהוא מורכב משטחים שמגובבים זה על זה. כאשר מפשיטים ממנו את הנפח מגלים שהשטח מורכב מקווים שמגובבים זה על זה. כאשר מפשיטים ממנו את השטח מגלים שהוא מורכב מנקודות שמגובבות זו על גבי זו.

ניתן לתאר את מבנה העולם גם מהכיוון ההפוך: הנקודות יוצרות קווים, הקווים יוצרים שטחים, השטחים יוצרים נפחים, והנפחים בעלי המשקל יוצרים גופים. השורה התחתונה היא שהעולם עשוי מנקודות. הנקודה היא אחת, ולא ניתן לחלק אותה לחלקים. בשפה היוונית מה שלא ניתן לחלוקה נקרא אטום. כאשר הפילוסוף היווני דמוקריטוס ( 460- 370 לפנה"ס) טען שהעולם מורכב מאטומים הוא ניסח בעצם את התפיסה הפיתגוראית במילים אחרות. כיום אנחנו יודעים שהעולם מורכב מאטומים, ושלא רק שהפיתגוראים צדקו אלא שהם גם ראו זאת לפני למעלה מאלפיים שנים.  

הערה:

[1] אריסטו, "מטפיסיקה" 986 א

http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0052%3Abook%3D1%3Asection%3D986a