אלכסוני הריבועים

כאשר מתבוננים בריבוע של ארבע כשהוא עשוי מנקודות רואים שהוא מתחיל מנקודה אחת מתרחב לשתי נקודות... לשלש, ולארבע, שהוא האלכסון [מסומן בוורוד]. אחרי האלכסון הוא מתכווץ לשלש נקודות... לשתיים ולאחת. בתצוגה הזאת המספר ארבע הוא האלכסון של הריבוע שלו. אבל אם מתבוננים יותר לעומק רואים שהריבוע של ארבע כולל בתוכו את הריבוע של שלש [אלכסון ירוק] ואת הריבוע של שנים [אלכסון אדום]. וזה נכון גם, כמובן, לכל ריבוע אחר.

ועוד דבר שאפשר לראות בתצוגה הזאת הוא שהאלכסונים האלה מקבילים. 

*

הקו של אלכסון הריבוע איננו שווה בגודלו לקו של צלעותיו. מדידת קו-האלכסון הזה כרוכה, לרוב, בהתחלקות למספרים שאינם שלמים. באמצעות ניסיונות לחשב את שורש האלכסון גילו בעבר הרחוק את המספרים שאינם רציונליים. אבל כאשר הריבוע עשוי מנקודות ולא מקווים האלכסון מורכב תמיד ממספרים שלמים. הסיבה להבדל הזה היא שבאלכסון כשהוא קו אנחנו סופרים את היחידות של אורך הקו, ובאלכסון שהוא נקודות אנחנו סופרים רק את מספר הנקודות שלו.
ובאותו עניין ראוי לציין שמבין עשרת המספרים הראשונים רק למספרים 1 4 ו-9 יש שורש שמורכב ממספרים שלמים.