מדוע חיבור של מעוקבים נותן תוצאות בריבוע

ניקומאכוס מגראסה, בן המאה הראשונה לספירה, גילה בספרו "הקדמה לאריתמטיקה" שהמספרים המעוקבים בהתחברם זה לזה נותנים תוצאה במספרים רבועים באופן שיטתי. הוא לא הסביר מהי הסיבה לכך, אבל אני משער שזה קשור למספרים המשולשים:

1.1.1+2.2.2=3.3=9

והבסיס לכך הוא שבמספרים המשולשים

1+2=3

1.1.1+2.2.2+3.3.3=36

והבסיס לכך הוא שבמספרים המשולשים

1+2+3=6

1.1.1+2.2.2+3.3.3+4.4.4.4=100

והבסיס לכך הוא שבמספרים המשולשים

1+2+3+4=10

1.1.1+2.2.2+3.3.3+4.4.4.4+5.5.5.5.5=225

והבסיס לכך הוא שבמספרים המשולשים

1+2+3+4+5=15

==

האיור מנסה להציג את שלשת ממדי ה-9: 1 עליון, 4 בקומה השנייה & 4 בקומה התחתונה. 4 + 4 יוצרים קובייה.