לוח הכפל

כשלמדתי בעל פה בבית הספר העממי את לוח הכפל לא הבנתי מדוע חמש כפול חמש שווה עשרים וחמש, אבל עכשיו ברור לי שעד הנקודה שבה מצטלבת העמודה של החמש עם השורה של החמש הצטברו עשרים וחמש נקודות, חמש בכל שורה. בלוח הכפל יש מספרים במקום הנקודות שציירתי כאן,  והם מסתירים את הצורות הגאומטריות שמגלות הנקודות.

וכך  2.2=4 בגלל שעד העמודה של השתים נאספו שתי נקודות בשורה של האחד ושתי נקודות בשורה של השנים. בתצוגה של הנקודות גם רואים שזה ריבוע, ולא צריך לסמוך על ה"בריבוע" של השינון העיוור.
=
נדמה לי שלא מלמדים בבית הספר שלוח הכפל הוא גם לוח החילוק (35 נמצא על השורה של 7 ועל העמודה של 5, כך ש-35 לחלק ל-7 שווה 5, ו-35 לחלק ל-5 שווה 7). זה כמו שהמעלית נקראת כך בגלל שהיא עולה אבל שמה מעלים את זה שהיא יכולה גם לרדת. 
=

בתורת המספרים שלמדתי מיוסף ספרא דובר על מילוי או תוכן של מספר. זה מתחיל בזה שאחד ועוד שניים הוא המילוי של שניים. לאחרונה נודע לי שהרעיון הזה הופיע במספרים המשולשים של הפיתגוראים. אתמול כשהתבוננתי בלוח הכפל (שגם אותו יש מי שמייחסים לפיתגורס) ראיתי שהמתכונת של "אחד ועוד שניים הוא המילוי של שניים" חוזרת לכל אורכו. וכך:

1+2=3

2+4=6

3+6=9

4+8=12

5+10=15

6+12=18

7+14=21

8+16=24

9+18=27

10+20=30

ואם מתבוננים בתוצאות בלבד רואים שהמעבר משורה לשורה נעשה באמצעות הוספת שלוש יחידות.

התופעה הזאת חוזרת גם כאשר מחברים את שלושת האברים הראשונים של כל שורה, אלא שהפעם ההפרש בין התוצאות הוא שש:

1+2+3=6

2+4+6=12

3+6+9=18

4+8+12=24

5+10+15=30

6+12+18=36

7+14+21=42

8+16+24=48

9+18+27=54

10+20+30=60

ואם מחברים את ארבעת האיברים הראשונים של כל שורה בלוח הכפל ההפרש בין התוצאות הוא עשר:

1+2+3+4=10

2+4+6+8=20

3+6+9+12=30

4+8+12+16=40

וכן הלאה