תגלית או המצאה

 יש שאלה לא פתורה מפורסמת: האם תגלית במדעי הטבע היא המצאה? ניתן להרחיב אותה ולשאול אם תגלית בגיאומטריה שיש לה תגלית תואמת,  שקדמה לה, במתמטיקה, היא המצאה. למשל, משפט פיתגורס במתמטיקה שלפיו הריבוע של שלוש בתוספת הריבוע של ארבע שווים לריבוע של חמש שיש לה צורה תואמת בגיאומטריה שלפיה הריבוע שעל אחד הניצבים ביחד עם הריבוע שעל הניצב השני במשולש ישר זווית שווים לריבוע שעל היתר. לעניות דעתי מי שגילה את המשפט הזה בגיאומטריה אינו גאון פחות ממי שגילה אותו במתמטיקה, ואפילו אם נניח שידע את הפתרון המתמטי לפני שגילה את תגליתו. זה בכלל לא מובן מאליו. אני מתאר לעצמי שאלפי תלמידים בדקו אלפי ריבועים על צלעות של אלפי משולשים עד שיום אחד מישהו גילה במקרה את משפט פיתגורס. הסוגיה הזאת מבהירה את היחס בין מתמטיקה לגיאומטריה. הגיאומטריה איננה בשום אופן המחשה של המתמטיקה, הן התפתחו באופן נפרד באמצעות תגליות אקראיות של חוקרים סקרניים. 

המתמטיקה הגאומטריה ושלושת הממדים של המציאות

המתמטיקה מתארת את שלושת הממדים של המציאות, בשיא התמציתיות, באמצעות מספרים: מיד כשרואים את חמשת המספרים 5 52 53 מבינים שהם מייצגים את שלושת הממדים. כל ממד מקבל חזקה משלו. מספר פשוט, למרות שהוא בחזקה ראשונה, ניכר בהעדר חזקה לצידו. מספר ריבועי ניכר בזכות סימן החזקה השנייה, שהוא מספר. מספר מעוקב מוכר בזכות סימן החזקה השלישית, שהוא מספר.

במקביל  מתארת הגיאומטריה את שלושת הממדים של המציאות באמצעות צורות. הקו מקביל למספר הפשוט. הריבוע מקביל למספר הריבועי, הקובייה מקבילה למספר המעוקב. בנוסף לאלה יש בגיאומטריה צורה שנקראת נקודה, והיא המקור של הקו. הקו מצדו הוא המקור של הריבוע, והריבוע מצידו הוא המקור של הקובייה. כך שבגיאומטריה מבינים באופן מיידי שהמציאות מורכבת בסופו של דבר מנקודות. במתמטיקה התובנה המקבילה היא שכל מספר הוא ערמה של אחדים, [למשל חמש מורכב מחמש פעמים אחד] כך שהמציאות מורכבת בסופו של דבר מאחדים.

הבעיה של הגיאומטריה היא שלא ידוע כמה נקודות מרכיבות קו, כמה קווים מרכיבים שטח, כמה שטחים מרכיבים נפח, ולכן המעבר מממד לממד אינו ברור. לדוגמה, נדמה לנו שריבוע הוא השטח הריק של הדף הכלוא בין ארבעת הצלעות של הריבוע, אבל אם קו מורכב מנקודות אז נובע מזה ששטח מורכב מקווים שצמודים זה לזה. וכך גם לגבי הנפח של הקובייה. נדמה לנו שהקובייה מורכבת מהדפנות שלה ושבאמצע יש לה חלל ריק, אבל לפי ההיגיון החלל הריק הזה מורכב משטחים, ואם מנסרים קוביית מתכת לעשרה חלקים שווים כל חלק שכזה הוא משטח של מתכת ולא משטח של אוויר.

אנחנו מודדים אורך של קו באמצעות מידה שנקראת סנטימטר. את שטח הריבוע באמצעות  סנטימטר רבוע, ואת נפח הקובייה באמצעות סנטימטר מעוקב, אבל כל הסנטימטרים האלה מסתירים מאחוריהם כמות לא ידועה של נקודות. כי הקו השטח והנפח אינם מורכבים, כאמור, מהמידות שלהם, אלא מהנקודות שלהם.

 

 

משולש שווה צלעות על השעון

 בשעה 12:10 נוצרת בין מחוגי השעון זווית של שישים מעלות וכך גם בשעה 2:20 בשעה 4:30 בשעה 6:40 בשעה 8:50 ובשעה 10:00 , ובכל שעה שכזאת, שש פעמים ביממה, אם מחברים את הקצוות הרחוקים של המחוגים מקבלים [עם המחוגים] משולש שווה צלעות.