יום שני, 17 ביוני 2019

המספרים הראשוניים לפי הזרמים



מאז שלמדתי את לוח הכפל התרגלתי, ככל הנראה, להתייחס אל המספרים כאילו הייתה איזו חובה לראות אותם כשהם מסודרים בעשר עמודות. הסידור הזה מדגיש את תפקידה של הספרה האחרונה של כל מספר. הוא שומר, למשל, שמתחת לאחד יהיו כל המספרים שמסתיימים באחד. מוקדשת אפילו עמודה למספרים שמסתיימים באפס, והיא מרכזת במגרה אחת את כל העשרות, המאות, האלפים... שלהם מקום כל כך חשוב בשיטה העשרונית.  
בהרגל הזה של סידור המספרים לפי העשר כרוך גם הניפוי של המספרים הראשוניים, כי קל לנפות את המתחלקים ב-2 וב- 5 לפי הספרה האחרונה שלהם.
לאחרונה התחלתי להתבונן במספרים כשהם מסודרים לפי מספרים אחרים של עמודות. התגלית הכי מעניינת שגיליתי היא שכאשר מסדרים את המספרים בתשע עמודות [ראו איור למעלה] הראשוניים [באדום] אינם מופיעים בעמודות של 3, 6, ו 9 [שמספריהן מסומנים בירוק] מלבד המספר 3 עצמו. בטבלה של עשר אין אפשרות לנפות של המתחלקים בשלש לפי איזה סימן מסגיר. הטבלה של התשע שומרת על סכומי הספרות כך שאם בשורה העליונה יש חמש מתחתיו יופיעו 14, 23, 32... כל המספרים שסכום הספרות שלהם הוא חמש.
כאשר מחלקים את המספרים הטבעיים לשלש עמודות מקבלים את הזרמים: 147, 258, ו 369.  
מה שמוביל אותנו להתייחס  לזרם של ה 369 כאל הזרם המסדר ואל הזרמים האחרים כאל הזרמים הבונים את המספרים מן המספרים הראשוניים. למרות שעוד לא ברור לי תפקידו של המספר 6 בכל הסיפור הזה.

יום שבת, 15 ביוני 2019

הסבר לנוסחאות החישוב של מספרים משולשים




יש נוסחאות חישוב נפרדות למספרים זוגיים ולמספרים אי זוגיים
באי זוגיים הנוסחה היא המספר כפול המרכז
בזוגיים הנוסחה המקובלת היא המספר כפול המספר שמעליו חלקי שניים
אבל מה הסיבה לכך?
באי זוגיים, למשל בחמש, ישנם חמישה מספרים מהאחד עד החמש
1, 2, 3, 4, ו-5
אם מחברים 1 עם 4 מקבלים 5
אם מחברים 2 עם 3 מקבלים 5
וביחד עם המספר 5 עצמו מקבלים 3 חמישיות
חמש הוא המספר
שלש הוא מרכזו
15 הוא המספר המשולש שמתקבל מהכפלת המספר במרכזו

בזוגיים, למשל בארבע, ישנם ארבעה מספרים מהאחד עד הארבע
אחד שניים שלש וארבע
במרכזם יש שני מספרים, 2+3 שחיבורם נותן 5, שהוא המספר שמעל ל 4
מכפילים את המספר [4] במרכזו [5] ומקבלים 20
אבל בגלל שבמרכז יש שני מספרים, לעומת המרכז האחד של המספר האי זוגי
מחלקים את התוצאה בשניים ומקבלים 10 שהוא המספר המשולש של 4.







איך מוצאים את מרכזם של המספרים?



משמאל: מספר אי זוגי [7]

7-1=6
6/2=3
3+1+3=7
4 הוא מרכזו של מספר זה
=
מימין: מספר זוגי [6]

6/2=3
3-1=2
3-1=2
3 ו 4 הם מרכזו של מספר זה
לימדו אותי בבית הספר שלמספרים זוגיים אין מרכז. זה נכון שאין להם מרכז אחד, אבל אם חושבים מחוץ לקופסה יכולים לראות שיש להם שני מספרים במרכזם.

יום שישי, 14 ביוני 2019

המספר המשולש בצורת מלבן



בדרך כלל מראים את המספר המשולש בצורת משולש [בצד שמאל למעלה המספר המשולש של שלש, ומתחתיו של חמש]. אבל כאשר מחשבים את המספר המשולש מכפילים את המספר [3] במרכזו [2], ואז ניתן לראותו בצורת מלבן שיש בו שתי שורות של שלש נקודות; במקרה של המספר המשולש של חמש המספר [5] כפול מרכזו [3] מייצר שלש שורות שבכל אחת יש חמש נקודות. קל להראות שזה חל גם על המספרים המשולשים הזוגיים. שם הנוסחה היא המספר כפול המספר שמעליו חלקי שניים. ולכן המספר המשולש של 4 הוא עשרים חלקי שניים, שיוצרים מלבן של שתי שורות שבכל אחת יש חמש נקודות במקום הטטרקטיס המפורסם.

פעולות החשבון היסודיות כעקרון לסיווג של מספרים


חילוק

המספר היחיד שאינו מתחלק למספר שלם אחר הוא המספר 1

כל מספר מתחלק ב-1
כל מספר מתחלק בעצמו [ובכך הוא חושף את מספר האחדים שמהם הוא מורכב]
כל מספר ריבועי שמתחלק בעצמו הוא שורש
כל מספר ריבועי שמתחלק בעצמו למספר שלם הוא רציונלי
כל מספר ריבועי שמתחלק בעצמו למספר שאינו שלם הוא אי-רציונלי
כל מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו הוא מספר ראשוני
כל מספר שמתחלק ב 2 הוא זוגי
כל מספר שאינו מתחלק ב 2 הוא אי-זוגי
כל מספר שסכום הספרות שלו 3 או 6 או 9 שייך לזרם של 3-6-9 ומתחלק ב-3
כל מספר שהספרה האחרונה שלו היא 5 מתחלק ב-5
כל מספר שהספרה האחרונה שלו היא 0 מתחלק ב- 10 ב-2 וב-5

כפל 

כל מספר  כפול 1 שווה לעצמו
כל מספר כפול עצמו יוצר ריבוע
כל מספר כפול עצמו כפול עצמו יוצר קובייה
התוצאה של כל מספר אי זוגי שנכפל במספר אי זוגי היא מספר אי זוגי
התוצאה של כל מספר שנכפל במספר זוגי היא מספר זוגי
התוצאה של כל מספר שלם שנכפל במספר שלם היא מספר שלם

חיבור 

כל מספר שמוסיפים לו 9 סכום הספרות שלו הוא המספר [5 ועוד 9 = 14 וסכום הספרות של 14 הוא 5].
כל מספר שמוסיפים לו עשר שומר על הספרה האחרונה שלו [5 ועוד 10 הם 15 – הספרה האחרונה של 15 היא 5]
כל מספר שמוסיפים לו אפס נשאר הוא עצמו.
כל מספר שמוסיפים לו את המספרים שלפניו הוא המספר המשולש של עצמו [ 1+2+3+4=10. עשר הוא המספר המשולש של 4].








יום רביעי, 12 ביוני 2019

אלכסוני הריבועים




כאשר מתבוננים בריבוע של ארבע כשהוא עשוי מנקודות רואים שהוא מתחיל מנקודה אחת מתרחב לשתי נקודות... לשלש, ולארבע, שהוא האלכסון [מסומן בוורוד]. אחרי האלכסון הוא מתכווץ לשלש נקודות... לשתיים ולאחת. בתצוגה הזאת המספר ארבע הוא האלכסון של הריבוע שלו. אבל אם מתבוננים יותר לעומק רואים שהריבוע של ארבע כולל בתוכו את הריבוע של שלש [אלכסון ירוק] ואת הריבוע של שנים [אלכסון אדום]. וזה נכון גם, כמובן, לכל ריבוע אחר.
ועוד דבר שאפשר לראות בתצוגה הזאת הוא שהאלכסונים האלה מקבילים. 
*
הקו של אלכסון הריבוע איננו שווה בגודלו לקו של צלעותיו. מדידת קו-האלכסון הזה כרוכה, לרוב, בהתחלקות למספרים שאינם שלמים. באמצעות ניסיונות לחשב את שורש האלכסון גילו בעבר הרחוק את המספרים שאינם רציונליים. אבל כאשר הריבוע עשוי מנקודות ולא מקווים האלכסון מורכב תמיד ממספרים שלמים. הסיבה להבדל הזה היא שבאלכסון כשהוא קו אנחנו סופרים את היחידות של אורך הקו, ובאלכסון שהוא נקודות אנחנו סופרים רק את מספר הנקודות שלו.
ובאותו עניין ראוי לציין שמבין עשרת המספרים הראשונים רק למספרים 1 4 ו-9 יש שורש שמורכב ממספרים שלמים.

יום שלישי, 11 ביוני 2019

סדרת הריבועים שמוקפים בריבועים





העיקרון הוא שכל ריבוע נכנס לתוך הריבוע שהוא מעל לזה שמעליו.                  
 אז אם רוצים להמשיך את הסדרה 25 אמור להיכנס בתוך 64 ו 36 בתוך מאה וכן הלאה