יום שישי, 25 במאי 2018

האחד שבאמצע המספר האי זוגי לפי שיטתם של הפיתגוראים



אריסטו בחלק השני של ספרו מטפיזיקה, בפרק השמיני, מתייחס לבריאת המספרים לפי שיטתם של  הפיתגוראים: (תרגום שלי)
"בריאת המספרים היא תמיד בריאה של מספר זוגי או של מספר אי-זוגי... כאשר 1 נוסף למספר זוגי, מיוצר מספר אי-זוגי...כאשר 2 מכפיל מספר אי- זוגי נוצר המספר הזוגי... אז איך זה חל על היחידות של המספר שלש?  אחת מהן היא אי-זוגית. אבל אולי בגלל זה הם נותנים לאחד עצמו את המקום באמצע במספרים אי-זוגיים"... אבל אם כל אחת משתי היחידות מורכבת הן מהגדול והן מהקטן, מהשוויון, איך יהיה 2, שהוא דבר אחד, מורכב מהגדול ומהקטן?... [ובהמשך] לכן הם מזהים את האי-זוגי עם האחד".


וכך זה נראה: בכל מספר אי-זוגי יש אגף אחד שהוא ארוך (שחור) ואגף אחד שהוא קצר (אפור), אבל האחד שבאמצע הופך את הארוך והקצר לשווים באורכם.
ההסבר הזה מניח שמי שמייצרים את המספרים הם העקרונות של גדול וקטן ושל השניים שהוא עיקרון הכפל.

יום שישי, 4 במאי 2018

לשם מה המציאו הפיתגוראים את המספר המשולש

מי שחג מעגל במחוגה נעזר בנקודת המרכז של המעגל. נקודה זו איננה חומרית, איננה מדידה, ואיננה ניתנת לחלוקה. בניסוח של אלה שמייחסים את החומריות והמוחשיות לאדמה, ואת הרוחניות והמופשטות לשמים - היא שמיימית. מי שמה שמעניין אותו בחיים זה מגע עם המופלא, כמו הפיתגוראים, יכול לחוג מעגלים באופן מודע מן הרגע שבו הוא קם ועד לרגע שבו הוא נרדם.
הפיתגוראים היו חברים בכת דתית, לא באקדמיה. הם גילו דברים במספרים לא בגלל ההשלכות המעשיות של תגליותיהם על המדע ועל הארכיטקטורה, אלא בגלל שקל לחוות באמצעות המספרים את אחדות ההוויה.
הם הורישו לנו את המספר המשולש בגלל שהוא מכיל את כל המספרים שקדמו לו. הארבע מכיל את השלוש, השניים, והאחד וסכום מרכיביו הוא עשר. כל מספר מעיד על נקודת המוצא, כמו מפה שמצויר עליה מסלול המסע.  נקודת המוצא של כל מספר היא האחד, שהוא, בשפה הגיאומטרית, נקודה. 
באופן דומה כל מספר חלקי עצמו הוא אחד, והוא מצביע על כמות האחדים שמרכיבים אותו.
השורה התחתונה בכל מה שנוגע לתגליות של הפיתגוראים במספרים היא שהם היו, כמו כל מאמין מונותיאיסטי, משוגעים לדבר אחד.
  

יום רביעי, 2 במאי 2018

קדושת העשר מקורה בנקודה שבמרכז המעגל - פוסטר

האחד הוא הנקודה שנוצרת מן האין כאשר מניחים עליה את הרגל של המחוגה. השניים הוא הנקודה שבקצה השני של הרדיוס שממנה מתחילים לשרטט את המעגל עם הרגל השניה של המחוגה. השלש הוא נקודת המפגש שבין המעגל המקורי לבין המעגל שמרכזו בשניים. הארבע הוא הקצה של המעויין שנוצר כאשר מחברים את הנקודות שעל הבסיס של המשולש שווה הצלעות עם נקודת המפגש השנייה של שני המעגלים. החיבור של האחד עם השניים השלש והארבע יוצר את העשר שמכיל את כל המספרים המקוריים שכל שאר המספרים הם  העתקים שלהם
==

על הקשר שבין האחד לבין העיגול מעיר ימבליכוס שהאחד הוא כמו השמש כי הגמטריה של המילה היוונית מונאד, אחד מן השמות של האחד, היא 361 (והמתרגם מעיר: כאשר אחד נספר פעמיים כדי לציין מעגל שלם)
Iamblichus - The theology of arithmetic , translated by Robin Waterfield, 1989

יום שלישי, 1 במאי 2018

חשיבה פיתגוראית



כאשר אני מנסה לשחזר לעצמי ב"הנדסה לאחור" את דרכי החשיבה של הפיתגוראים, אני יוצא מנקודת הנחה שמדובר בקבוצות של אנשים דתיים שניסו במשך דורות אחדים לחוות את אחדות ההוויה, ולא באנשים שרצו להתפרנס כמהנדסים.
התגלית המרכזית של הפיתגוראים הייתה קדושת הנקודה. הנקודה הייתה לגביהם אלוהית וקדושה בגלל שהיא בוראת את המעגל כמו אל שבורא עולם.  בגלל שאין לנקודה חלקים היא איננה מדידה, ואיננה שייכת לעולם החומרי.
בגלל שהיא נמצאת באמצעו של כל קוטר של מעגל יש  לקוטר קדושה. בגלל שהיא נמצאת בקצה הפנימי של כל רדיוס יש לרדיוס קדושה. מקורו של קטע הקו האוקלידי הוא הקוטר של המעגל, כי כל קטע קו ניתן לחסום במעגל, כמו שחוסמים כל מצולע משוכלל. השאלה של אוקלידס איך אפשר לבנות משולש שווה צלעות היא במקורה שאלה פיתגוראית. הפיתגוראים הבינו שמשולש שכזה חייב להיות בנוי משלושה רדיוסים, שכל אחד מהם, כאמור, יש לו קצה פנימי שמקורב למקור הקדושה. לא ניתן לבנות משולש שכזה ממעגל אחד. ניתן לכל היותר לחלק את מעלות המעגל לשלושה חלקים שווים, באמצעות רדיוסים, ולבנות משולש שיחבר את הקצה המרוחק של הרדיוסים. אבל שלושת הקווים המחברים את הרדיוסים אין להם מגע עם הנקודה המקורית, הם בקצה הרחוק מן הקדושה, ולכן הם חיפשו תשובה אחרת, וגילו שבין שני מעגלים ניתן לבנות משולש שכזה, שצלעותיו הם שני הרדיוסים של כל מעגל, ובבסיסו יש רדיוס אחד שמשותף לשניהם, שיוצא מנקודת המרכז של המעגל הראשון ומנקודת המרכז של המעגל השני.
המעגל הראשון, המקורי, שלא היה כמותו לפניו, מייצג אצלם את המספר אחד. המעגל השני, שמרכזו בקצה השני של הרדיוס המקורי, הוא העתק מדויק של המעגל הראשון. המשולש שווה הצלעות, שמייצג את המספר שלש, הוא הצאצא של שניהם: הוא יורש את "הגנים" [הרדיוסים] של הוריו, הוא סינתזה של הניגודים מקור והעתק, ראשון ואחרון, ימני ושמאלי, או עליון ותחתון.  
את העיקרון של המשולש שווה הצלעות, הבינו הפיתגוראים כ"חוק השלוש", כתופעה מספרית שטבועה בטבע, שבו כל יצור חי, בין אם הוא בעל-חיים ובין אם הוא  צמח, מתרבה באמצעות זרעים.
לכן האחדות היא אלוהית והריבוי הוא טבעי. האחדות בוראת את הטבע בצלמה כדמותה. המאמין שחווה כך את הטבע נמצא במגע עם אחדות ההוויה. יש רק אחדות אחת, יש רק טבע אחד, ויש רק מקור אחד לעולם התופעות.
נושא זה של אחדות ושל ריבוי תפס מקום מרכזי בין הנושאים שהעסיקו את הפיתגוראים. הוא השפיע עמוקות על הפילוסופיה, שהתחילה את דרכה כסדרה של הצעות לאלמנט של אחדות שישמש כמקור לריבוי התופעות בעולם החומר.
מי שלמד פילוסופיה או מדעים מעריץ את הפיתגוראים על תרומתם לחשיבה האנושית, אבל מי זוכר שהם גילו את כל התגליות הנפלאות שלהם בדרך להיכל התפילה, ולא בדרך לאוניברסיטה.  

יום ראשון, 29 באפריל 2018

הנקודה הדתית


בימינו אנשים לומדים גיאומטריה למען איזו מטרה מעשית, אבל הפיתגוראים, שהיו כת דתית, המציאו אותה כדרך להתחברות עם האחדות של ההוויה, במקביל להמצאת המנדלה, לאותו צורך, אצל ההודים. הפיתגוראים התרגשו לגלות, שיש רק זווית ישרה אחת בין כל הזוויות הקהות והחדות; שיש רק ריבוע אחד בין אינסוף מלבנים; שיש רק נקודה אחת שמשמשת מרכז לעיגול;
במקביל הם פיתחו את תורת המספרים כי הם גילו שכל המספרים בנויים מן האחד, כמו שבדתות המונותיאיסטיות כל הנבראים נבראו מן האל... יש מאין. היש חומרי והאין איננו חומרי. השכל האנושי אינו מצליח להתגבר על אי ההבנה של היתכנות הבריאה. אפשר להבין שאדים בלתי נראים מתקררים והופכים לגשם, אבל הקסם של הופעת עולם מן הריק המוחלט מעורר השתאות דתית. מדרבן את האמונה בישות שיכולה לחולל בריאה שכזו, בהבדל מן האדם שיכול ליצור רק יש מיש.
הדבר שממחיש יותר מכל את הנס של הבריאה הוא דבר גאומטרי: לנקודה על דף יש צבע וגודל. היא עשויה מחומר (דיו) על חומר (נייר). היא כמו הפסל שאליו מתייחסת הדברה השנייה מבין עשרת הדברות, שהרי הנקודה האמתית איננה חומרית כלל. התיאור המדויק ביותר שלה הוא עיגול שלא רואים את נקודת המרכז שלו. היא נסתרת, אבל היא קיימת כסיבתו של העיגול. קל לראות את זה כשמציירים מעגל במחוגה, כי בלי נקודת המשען לרגל המחוגה האחת לא ניתן לצייר את העיגול באמצעות הרגל השנייה. הנקודה היא ההמחשה השכלית הטובה ביותר לבלתי נמדד. בגלל שאין לה גודל היא מעבר לקטן ולגדול, מעבר לניגודים, מעבר ליחסיות. היא מוחלטת. היא מחוץ לעולם. היא טרנסצנדנטית.
אנשי הכת הפיתגוראית הבינו את הנקודה כביטוי לאלוהות. היא איננה ניתנת לחלוקה כמו שהאלוהות איננה ניתנת לחלוקה. כמותה היא מניעה שאינה מונעת, סיבה שאין לה מסובב, בוראת שאינה נבראת. אלא שבעוד שאת הבריאה האלוהית לא ניתן להבין את בריאת הצורות הגיאומטריות מן הנקודה, ואת בריאת כל המספרים מן האחד, כל אחד יכול לחוות. 
לפני גילוי השברים ניתן היה לראות את המספר אחד ואת הנקודה, שמקבילה לו במשמעותה, כממירים זה את זה, אבל אחרי גילוי השברים כבר לא ניתן לחשוב על העוגה האחת בלי לדמותה לעוגה שנפרסה לפרוסות... ונותרה רק הנקודה כהמחשה לבלתי ניתן לחלוקה.
מנהיגי הכת הפיתגוראית אסרו על חברי הכת לפרסם את תגליותיהם בגלל חששם שישתמשו בתגליות לצרכים חילוניים-מעשיים. החשש שלהם התגשם כאשר אוקלידס פרסם את ספרו "היסודות". הספר פותח אמנם בהגדרת הנקודה כמשהו שאין לו אורך, שהיא הגדרה מדויקת ונכונה, אבל הגדרה זו איננה  משרתת אידיאל דתי אלא את הצורך של אוקלידס לכונן שיטה מחשבתית שמספקת וודאות. משיטה זו התפתחו במשך מאות שנים המדע, שמאפשר כיום לבני אדם להחריב את העולם, אם ירצו בכך, והשיגעון לדבר אחד של הפילוסופים, שעד לעת החדשה עסקו בעיקר בברור מושג הוודאות.

יום שלישי, 24 באפריל 2018

איפה אני


אני חווה את עצמי כנקודה שנמצאת במרכזו של מעגל, את הדברים שאני פוגש כנקודות על מעגל. הן משדרות אליי ואני משדר אליהן באמצעות הרדיוס. הדברים שאני פוגש הם רבים: אנשים, חפצים, תופעות, מחשבות. הם משתנים, מתחלפים זה בזה, אחד נכנס אחד יוצא, חולפים בחיי כמו שניות בשעון, בעוד אני אחד, קבוע, בלתי משתנה, ומחוץ לזמן. ככה אני זוכר את עצמי מיום שאני זוכר את עצמי.

יום שני, 23 באפריל 2018

בעולם של האפס כל האפשרויות ממתינות להתממשותן כצנחנים במטוס


מי שיש לו שעון דיגיטלי מחמיץ את ההצגה המקסימה של השעון האנלוגי, שבו המחוג הוא המרחק שבין רגלי המחוגה, ונקודת המרכז היא הסיבה לסיבוב המחוגה, הבוראת של המעגל. בכל שעה ממחיש המחוג של השעות אחת מתוך אינסוף האפשרויות של הרדיוסים של העיגול. בהבדל מהם, הנקודה שבמרכז השעון, שכמוה יש רק אחת, איננה ניתנת לחלוקה, כי אין לה אורך, ואם רואים עיגול ויהא קטן ככל שיהא, הוא אשליה, כי את הנקודה האמתית לא ניתן לראות. גם שתים-עשרה השעות שעל מעגל השעון הן נקודות כאלה, בלתי נראות, אבל מסומנות במספר. ולא צריך להבין את הפרדוקסים של זנון כדי לדעת שהמעגל מורכב מנקודותיו, ואם אף אחת מהן אינה נוטלת חלק בעולם החומר, אין שום סיבה שהמעגל יהיה חומרי.