יום חמישי, 14 בנובמבר 2019

תהיות לגבי הסיבות לקדושתו של הטטרקטיס בעיניי הפיתגוראים



למגן דוד יש צורה גאומטרית מדהימה: הוא עשוי משני משולשים שווי צלעות אשר בהתחברם יוצרים צורה משוכללת אחרת - משושה שעל כל אחת מצלעותיו יש  משולש שווה צלעות, כך שאם מקפלים את המשולשים האלה כלפי פנים המשולש הם מתאחדים בצורה מושלמת עם המשושה. אבל אין שום עדות לשימוש של המגן דוד אצל הפיתגוראים, שהם אלה שהמציאו את הגאומטריה. לעומת זאת ידוע שהם העריצו את הצורה הגאומטרית שנקראת טטרקטיס, טענו שכל תופעה מספרית ניתן להראות באמצעות הטטרקטיס, והתייחסו אליו כאל סמל מקודש.
הטטרקטיס מוכר, בדרך כלל, בצורת משולש שווה צלעות שעשוי מנקודות. בראשו נקודה אחת, בשורה שמתחתיו שתיים, מתחתיה שלש ובבסיס ארבע. מה שמדהים בצורה הזאת הוא שהנקודה שבקדקודה ביחד עם שתי הנקודות שמתחתיה יוצרים משולש שווה צלעות. וכל נקודה בבסיס של המשולש הזה משמשת קדקוד למשולש שווה צלעות. ושלושת המשולשים האלה יוצרים משולש שווה צלעות. ושלש נקודות הבסיס שלו כל אחת מהן יוצרת משולש שווה צלעות. ושוב, כל נקודה בבסיס של המשולש הזה משמשת קדקוד למשולש שווה צלעות, והתפעה הזאת חוזרת ומתרחשת ככל שמוסיפים שורות עד לאין סוף.
לקדקוד של המשולש הראשון, העליון, קראו הפיתגוראים אחד. לשתי הנקודות שמתחתיו הם קראו שניים. השורה של שלש הנקודות נקראה שלש, והבסיס של ארבע הנקודות נקרא ארבע. חשוב לציין שאצל הפיתגוראים עוד לא הייתה הפרדה בין צורות לבין מספרים ובין גאומטריה לבין אריתמטיקה, והם נהגו לתאר תופעות מספריות באמצעים גאומטריים.
אבל יש צורה גיאומטרית עוד יותר מדהימה מהטטרקטיס-של-הנקודות והיא הצורה של הטטרקטיס-של-המשולשים, כאשר האחד הוא המשולש שקדקודו הוא אותו הקדקוד של הטטרקטיס של הנקודות. השניים הוא שני המשולשים שמתחתיו. השלש הוא שלשת המשולשים שמתחתיהם, הארבע הוא ארבעת המשולשים שמתחתיהם. וכל המשולשים האלה מרכיבים משולש שווה צלעות אחד.
את הצורה הזאת ניתן להמשיך עד לאין סוף עם חמישה משולשים מתחת לארבעת משולשי הבסיס, עם ששה משולשים מתחת לחמישה וכן הלאה.
קדושתו של הטטרקטיס נבעה לא רק מצורתו אלא גם ממשמעותו המספרית. החיבור של הנקודה שבקדקוד עם השתיים שמתחתיה עם השלש שמתחתיהן ועם הארבע שבבסיס - נותן עשר נקודות שמייצגות את המספר עשר, שכידוע משמש כיסוד של השיטה העשרונית, שיש לה משמעות מרכזית ביעילות של האריתמטיקה בחישובים למיניהם. גם העשר היה מספר מקודש בעיני הפיתגוראים.
התפיסה המקובלת של המספרים נשענת על דימוי גאומטרי: אנחנו משייכים לכל מספר נקודה שממוקמת על קו שאורכו אינסופי. אחד הוא נקודת המוצא. שתיים הוא שתי נקודות. שלש הוא שלש נקודות וכן הלאה. מקובלת קצת פחות, אבל מוכרת מאד, היא התצוגה של המספרים מאחד עד שתים עשרה על גבי שעון עגול, כאשר כל מספר מיוצג על ידי נקודה על קו, עגול, והמעגל, כידוע, אין לא התחלה ואין לו סוף, והוא אינסופי.
בטטרקטיס של הנקודות יש ערבוב של נקודות, שהן מושג של הממד הראשון, עם משולש, שמכיל את כולן, אבל הוא שייך לממד השני, ממד השטח. לעומת זאת בטטרקטיס של המשולשים, שתיארתי לעיל, המשולשים שמרכיבים את הטטרקטיס, והמשולש שנוצר מהם ומכיל אותם - הם כולם בני אותו ממד, הם כולם בני ממד השטח. בעיניי, הקסם של יצירת משולש אחד משלושת המשולשים הראשונים הוא יותר מרשים, יותר "קופץ לעין", מן הקסם שנוצר מיצירתו משש נקודות. ועוד יותר מרשים שמשולש אחד נוצר מעשרת המשולשים הראשונים ולא מעשרת הנקודות הראשונות. ועוד יותר מרשים שכל המספרים כולם מיוצגים  בסופו של דבר במשולש אחד, שהוא מושג של שטח, ולא כנקודות על גבי קו אחד שיש לו התחלה אבל אין לו סוף.




יום שני, 5 באוגוסט 2019

מה סופרים המספרים?

בעולם החומרי המספרים סופרים דברים, אבל בעולם של המספרים הטהורים הם סופרים את עצמם: היחידות סופרות תחילה את האחדים [למשל, בחמש יש חמש פעמים את המספר אחד], אחר כך את העשרות [למשל שלושים משמעותו שהשלוש סופר את העשרות], ואחר כך את המאות, האלפים וכן הלאה. מה שפיוטי בתובנה הזאת הוא שהעשרות המאות האלפים וכן הלאה הם יותר נספרים מאשר מספרים. 

יום ראשון, 4 באוגוסט 2019

תורת מספרים טהורה

תורת מספרים טהורה צריכה להשתחרר מן המינוחים הגאומטריים שיש כיום באריתמטיקה: במקום המונח "מספר משולש" עליה למצוא מונח שיסמן את הצטברות המספרים מאחד ועד המספר המבוקש. 
אין במספרים מרחק שווה בין מספר למספר, כמו בגיאומטריה, ולכן מושגי המרחק אינם רלוונטיים בהם. 
ריבוע של מספר הוא חזקה. זה לא רלוונטי לאריתמטיקה שניתן לסדר נקודות בצורת ריבוע כך שמספרן הוא מספרו של המספר בחזקה שנייה. 
וכך גם לגבי מספרים מעוקבים לא רלוונטי לאריתמטיקה טהורה שהם בצורת קובייה. הם בחזקה שלישית ותו לא.
משפט פיתגורס הוא משפט גיאומטרי טהור שקובע יחס בין שטחי ריבועי הניצבים במשולש ישר זווית לבין שטח הריבוע שעל היתר שלו. מספרים שכרוכים בו [כמו 3,4 5] לא שייכים לגאומטריה. 
גם פאי הוא עניין של גאומטריה. הוא היחס שבין היקף העיגול לקוטרו. כל העניין המספרי העצום שהמספר הזה עורר אינו שייך לגאומטריה. הפיתגוראים המשיכו לפתח את הגיאומטריה אך עצרו את פיתוח האריתמטיקה, אחרי שגילו [באופן גיאומטרי] שהמספרים הלא שלמים מסבכים להם את החיים. באריתמטיקה נתנו כבוד ללא שלמים שבהם זלזלו הפיתגוראים. פאי הוא מספר לא שלם שנולד בגיאומטריה ואומץ באריתמטיקה. הוא בן כלאיים. איזו הצדקה יש לו באריתמטיקה? הוא לא מספר לא שלם מהסוג של יחס הזהב שהוא יחס גיאומטרי בין קווים.  
טשטוש התחומים בין גאומטריה למתמטיקה בולט במשפט לינדמן שהוא הוכחה מתמטית שממנה נובע שאי אפשר לבנות באמצעות סרגל ומחוגה עיגול ששטחו שווה לשטח של ריבוע. 

יום שישי, 2 באוגוסט 2019

ריבוע של כל מספר בנוי משני המספרים המשולשים שלו

סטיקר: 4=3+3

ריבוע של כל מספר בנוי משני המספרים המשולשים שלו, אלא שהבסיס של כל מספר משולש כזה נספר פעם אחת בלבד, כי הנקודות שלו חופפות לבסיס של המשולש השני. 
וכך: 
המספר המשולש של 2 הוא 3. פעמיים 3 הם 6. 6 פחות הריבוע של 2 שהוא 4 נותן 2. כלומר יש שתי נקודות חופפות.
המספר המשולש של 3 הוא 6. פעמיים 6 הם 12. 12 פחות הריבוע של 3 שהוא 9 נותן 3. כלומר יש 3 נקודות חופפות.
וכן הלאה.

יום חמישי, 1 באוגוסט 2019

השפעה אפשרית של הטטרקטיס על ספר יצירה



לכל טטרקטיס יש 10 נקודות [צהוב ואדום] אך מתוכן 7 חופפות [כתומות]. שולי המשולשים המקוריים נשארים שלמים ורק המשושה הפנימי עשוי מהנקודות החופפות!
לטטרקטיס הייתה חשיבות מרכזית בתורת המספרים של הפיתגוראים, ולכן הם עיינו במשך דורות על גבי דורות בכל מה שניתן להפיק ממנו. הידע הזה לא נעצר בגבולות שבין הארצות, והגיע גם לידיעת היהודים. אולי התובנה המסוימת הזאת בעניין שילוב  שני הטטרקטיסים להקסגרמה הייתה מוכרת למחבר ספר יצירה, ולכן קבע בחלוקת האותיות לקטגוריות את שבע הכפולות [בג"ד בכר"ת].

התבוננות במספרים כמו שהפיתגוראים התבוננו בהם

 טטרקטיס
אם מתרכזים בראשי הגפרורים רואים את הטטרקטיס בנקודות

משפט פיתגורס
בדרך כלל אנו חושבים על הריבועים שבונים על שלושת הצדדים של המשולש המיוחד הזה. כאן אני מנסה להדגיש שאם הניצבים הם 3 ו -4, היתר חייב להיות 5.

יום שני, 29 ביולי 2019

ארבעה טטרקטיסים

בכחול - הטטרקטיס הראשון
באדום - השני
בירוק - השלישי והרביעי


הריבוע של הארבע מורכב לא רק מארבע כפול ארבע אלא גם מארבעה ריבועים
והשלוש משלושה
והשניים משניים
והאחד מאחד


התפתחות המספרים כאדוות



אחד בריבוע באדום
שניים בריבוע בתכלת
שלוש בריבוע בצהוב
ארבע בריבוע בירוק