יום ראשון, 13 בינואר 2019

חולשת האריתמטיקה


שורש ריבועי של 10 הוא 3.162277660168379
אבל מכפלה של המספר הזה בעצמו לא נותנת 10 אלא 9.999999999999998
ואם נאריך את מספר המקומות העשרוניים זה אולי ייתן באיזה שהוא שלב
9.999999999999999
אבל אף פעם לא עשר עגול ושלם.
המספר החסר - 0.000000000000001
מונע מן האריתמטיקה להיות מדע מושלם.
כאשר מספר שייך לסדרת המספרים הריבועיים אין בעיה
לחשב את השורש הריבועי שלו בצורה מושלמת
אבל יש מספרים שאינם שייכים לסדרה זו כמו 10
ואז התוצאה של השורש הריבועי נותנת מספר אי רציונלי ארוך ואינסופי
שמכפלתו בעצמו איננה 10

ביוון הקדומה לא היו הגאומטריה והאריתמטיקה מדעים נפרדים
המספר כשהוא בריבוע הוצג כריבוע שעשוי מנקודות
ואילו השורש שלו הוצג כקו שעשוי מנקודות
וכך לדוגמה הריבוע של ארבע הוצג כארבע שורות של ארבע נקודות
והשורש הריבועי שלו כשורה אחת של ארבע נקודות
אבל לא הייתה תצוגה גאומטרית הולמת למספר 10 בתור ריבוע
שניתן להוציא ממנו שורש ריבועי
כך שההמצאה של החישוב האריתמטי שמתעלם מהגאומטריה
הייתה אחד הגורמים לכך שכיום הגאומטריה והאריתמטיקה הם מדעים נפרדים


יום שלישי, 8 בינואר 2019

חיבורי הקצוות

1+9=10
[1+2]+[8+9]=3+17=20
[1+2+3]+[7+8+9]=6+24=30
[1+2+3+4]+[6+7+8+9]=10+30=40
[1+2+3+4+5]+[5+6+7+8+9]=15+35=50
[1+2+3+4+5+6]+[4+5+6+7+8+9]=21+39=60
[1+2+3+4+5+6+7]+[ 3+4+5+6+7+8+9]=28+42=70
[1+2+3+4+5+6+7+8]+[2+3+4+5+6+7+8+9]=36+44=80
[1+2+3+4+5+6+7+8+9]+[1+2+3+4+5+6+7+8+9]=45+45=90


וכך גם לגבי
1+99=100
[1+2]+[98+99]=200


וכך גם לגבי
1+999=1000
[1+2]+[998+999]=2000

וכן הלאה


יום רביעי, 2 בינואר 2019

התחלת הריבוי


אנחנו רגילים לחשוב שהאחד מתרבה בשיטת העתק הדבק. הוא, כביכול, מעתיק את עצמו, ומניח את העותק של עצמו לצדו. אבל בעצם לא הוא מעתיק את עצמו אלא אנחנו, אלה שמנסים להבין את המספרים שבהם אנחנו משתמשים.
אז הנה עוד אפשרות להתבוננות בתופעה של התחלת ההתרבות שהיא, לטעמי, אפשרות הרבה יותר מוחשית:
לכל קו יש שני קצוות, שהם נקודות, שהן נקודות קצה. נקודות אלה הן גלויות. אבל יש עוד נקודה אחת סמויה מן העין באמצע שבין שתי הנקודות הגלויות. כאשר מחלקים את הקו לשניים אנחנו מקבלים שני קווים שלכל אחד מהם יש  שני קצוות, שהם נקודות, שהן נקודות קצה, ובסך הכל יש לנו עכשיו ארבע נקודות, וכולן גלויות. האחת היא הנקודה הימנית בקו המקורי. השנייה- השמאלית בקו המקורי. ושתי הנוספות הן ההכפלה של נקודת האמצע הסמויה.
ולהפך: כאשר מחברים שני קווים, אחת מנקודות הקצה של הקו הראשון ואחת מנקודות הקצה של הקו השני מתחברות לנקודת אמצע נסתרת.

יום שישי, 14 בדצמבר 2018

איך תשעת המספרים הראשונים נמצאים זה בתוך זה באופן גאומטרי


אחד הוא נקודה.

שניים הוא קו, או שתי נקודות.

הנקודה נמצאת בתוך השנים כאחד משני קצותיו.

האחד והשניים יוצרים את השלש בצורת משולש [שלש נקודות, האחד הוא הקדקוד והשניים הוא הבסיס].

הארבע הוא ריבוע שבנוי משני משולשים שיש להם יתר משותף, או שני קווים שווי גודל שנמצאים במרחק של קו שכזה זה מזה.

החמש הוא מחומש שבנוי מחמישה משולשים בעלי מרכז משותף.

שש הוא משושה שבנוי מששה משולשים בעלי מרכז משותף. 

השבע הוא חיבור של משולש וריבוע [משפט פיתגורס הוא אחד הביטויים ליחסים בין ריבועים שבנויים על צלעות של משולש].

השמונה הוא קובייה שבנויה מקו בשלושה ממדים, או שהוא שני ריבועים, זה מעל לזה, במרחק של ריבוע זה מזה.

התשע הוא הריבוע של שלש, או שלושה טורים של שלש נקודות בצורת ריבוע.  

יום שישי, 7 בדצמבר 2018

שתי אבנים בונות שני בתים - המחשה

המחשה של הקינון של ה2 ב6, של ה6 ב24, של ה24 ב120 , של  ה120 ב720 וכן הלאה

להבין ריבוע של מספר מנקודת מבט גאומטרית


החל מן המספר שניים ניתן לראות כל מספר טבעי חיובי כנקודות בבסיס של משולש שקדקודו אחד. הנה לדוגמה צורתו הגאומטרית של המספר שניים:
*
*       *
ריבוע מורכב משני משולשים שמונחים משני אברי האלכסון שלו. אם מפרידים את המשולשים האלה האלכסון מופיע פעמיים.
בריבוע שמורכב מנקודות האלכסון הזה הוא הבסיס של שני המשולשים שמרכיבים אותו.
אם סופרים את נקודות המשולש כאשר המשולשים מופרדים מקבלים מספר מלבני.
אם סופרים את נקודות המשולש כאשר המשולשים מחוברים מקבלים מספר בריבוע.
המשולש הראשון בסיסו מכיל 2 נקודות וקדקודו 1. שני משולשים שכאלה מכילים 6 נקודות. אם  מפחיתים את הבסיס (האלכסון המיותר) מקבלים את 4 הנקודות של הריבוע הראשון.
וכן הלאה:
נקודות הבסיס
מספר משולש
כפול שניים
פחות הבסיס
2
3
6
4
3
6
12
9
4
10
20
16
5
15
30
25
6
21
42
36







יום שלישי, 4 בדצמבר 2018

המקור לצופן אתב"ש

המקור לצופן אתב"ש בגימטריה הוא גיאומטרי שהרי כאשר מתבוננים בשורה של נקודות ניתן לציין באמצעות מספר את המיקום של כל נקודה גם מימין לשמאל וגם משמאל לימין. לעומת זאת מספרים אנחנו רגילים לקרוא משמאל לימין, ואפילו בעברית, שכיוון הכתיבה שלה הוא מימין לשמאל.