יום שלישי, 24 באפריל 2018

איפה אני


אני חווה את עצמי כנקודה שנמצאת במרכזו של מעגל, את הדברים שאני פוגש כנקודות על מעגל. הן משדרות אליי ואני משדר אליהן באמצעות הרדיוס. הדברים שאני פוגש הם רבים: אנשים, חפצים, תופעות, מחשבות. הם משתנים, מתחלפים זה בזה, אחד נכנס אחד יוצא, חולפים בחיי כמו שניות בשעון, בעוד אני אחד, קבוע, בלתי משתנה, ומחוץ לזמן. ככה אני זוכר את עצמי מיום שאני זוכר את עצמי.

יום שני, 23 באפריל 2018

בעולם של האפס כל האפשרויות ממתינות להתממשותן כצנחנים במטוס


מי שיש לו שעון דיגיטלי מחמיץ את ההצגה המקסימה של השעון האנלוגי, שבו המחוג הוא המרחק שבין רגלי המחוגה, ונקודת המרכז היא הסיבה לסיבוב המחוגה, הבוראת של המעגל. בכל שעה ממחיש המחוג של השעות אחת מתוך אינסוף האפשרויות של הרדיוסים של העיגול. בהבדל מהם, הנקודה שבמרכז השעון, שכמוה יש רק אחת, איננה ניתנת לחלוקה, כי אין לה אורך, ואם רואים עיגול ויהא קטן ככל שיהא, הוא אשליה, כי את הנקודה האמתית לא ניתן לראות. גם שתים-עשרה השעות שעל מעגל השעון הן נקודות כאלה, בלתי נראות, אבל מסומנות במספר. ולא צריך להבין את הפרדוקסים של זנון כדי לדעת שהמעגל מורכב מנקודותיו, ואם אף אחת מהן אינה נוטלת חלק בעולם החומר, אין שום סיבה שהמעגל יהיה חומרי.

יום שלישי, 17 באפריל 2018

המיסטיקה של הכוונה


כמעט תמיד ידענו לדבר, אבל רק לאחרונה הבנו שהזכר והנקבה, היחיד והרבים, תמיד היו שם, התחבאו, משכו אותנו במגנט של הכוונה שלהם להתגלות.
כמעט תמיד ידענו לספור ולמדוד, אבל רק לאחרונה הבנו שמשפט פיתגורס תמיד היה שם, התחבא, משך אותנו במגנט של הכוונה שלו להתגלות.
הפיתגוראים קדמו למדקדקים במאות שנים. בלי הפיתגוראים לא היו מדקדקים. המשפט הזה תמיד היה שם, התחבא, משך אותי במגנט של הכוונה שלו להתגלות.

יום ראשון, 15 באפריל 2018

סדר כתכונה מרכזית של המספרים


כידוע, סדר הוא תכונה מרכזית של המספרים. הם מופיעים בזה אחר זה או בזה לפני זה, בסדר עולה או בסדר יורד, ולכל מספר יש מקום משלו, שהוא אך ורק שלו.

לכאורה סדר שכזה יש גם לאותיות האלפבית, וכל אחד יכול לסדר את התיקיות שלו במחשב בסדר אלפביתי, אבל יש הבדל מהותי בין הסדר של המספרים לבין הסדר של האותיות. הסדר של האותיות הוא שרירותי, ואילו הסדר של המספרים הוא מהותי. אין שום הכרח שהאות בי"ת תבוא אחרי האות אל"ף ולפני האות גימ"ל [1]. נכון שאומרים מאלף ועד ת"ו, ומתכוונים מהראשון עד האחרון, אבל, כאמור, אלף ראשונה בגלל שלמדנו שהיא ראשונה, ות"ו אחרונה בגלל שלמדנו שהיא אחרונה.

לא רואים את זה במספרים ההודו-ערביים – 1, 2, 3 ... אלה הם רק סימנים של צורות גאומטריות כמו נקודה או קו, שאותן ניתן לראות בפועל.

..+..= .... [שתי נקודות ועוד שתי נקודות שווה לארבע נקודות) שונה מהותית מ 2+2=4, כי לוקח המון זמן עד שההורים ומערכת החינוך מצליחים ללמד את הילדים לחשוב באופן מופשט, ולהפסיק למנות תפוחי עץ וסוכריות.

את ..+..= .... כל ילד מבין. זה מובן מאליו. חשים את זה.

הסדר של המספרים בנוי על עיקרון מאד פשוט. מתחילים מנקודה אחת, מוסיפים עוד אחת כמוה, ועוד אחת... עד שמתעייפים. הנקודה הראשונה תייצג תמיד את המספר אחד, השנייה את המספר שניים וכן הלאה.

כשהגאומטריה נולדה ביוון במאה השישית לפני הספירה לא הייתה הבחנה בינה לבין תורת המספרים. אם פיתגורס המציא את משפט פיתגורס הוא לא ראה בדמיונו שלש בחזקת שניים ועוד ארבע בחזקת שניים ששווים לחמש בחזקת שניים – הוא ראה צורה גאומטרית, משולש ישר זווית, שיש תשעה ריבועים על הניצב הקצר שלו וששה עשר ריבועים על הניצב הארוך שלו ועשרים וחמישה ריבועים על היתר שלו. ואת כל זה הוא למד ולימד באמצעות הנחת אבנים קטנות בחול.

מאות שנים לאחר מכן המתמטיקאים כבר לא יכלו לחשב את חישוביהם על מספרים גדולים מאד באמצעות הצגתם בחול... המתמטיקה נפרדה מהגאומטריה, ואוהביה, כפויי טובה, שכחו מנין קבלה את הסדר המופלא שלה.
==
הערה: ראו מדרש במסכת שבת דף ק"ד.
http://www.soferstam.co.il/content.aspx?PageId=32&lang=he





יום שישי, 13 באפריל 2018

מבט חדש על הגנומון הפיתגוראי


הפיתגוראים העריצו את המוגבל ובזו לבלתי מוגבל. יש אינסוף מלבנים שאורכם ורוחבם אינם שווים, אבל יש רק מלבן אחד, שנקרא ריבוע, שבו כל הצלעות שוות, וכל קדקודיו פוגעים בדיוק במעגל שמקיף אותו. ההערצה שלהם למוגבל הייתה חוויה דתית של דבקות באחד, שאחד מן השמות שהעניקו לו היה אלוהים. עם זאת, היא עודדה אותם להדגיש בחקירותיהם את הצורות הגאומטריות המוגבלות האחרות כמו המצולעים המשוכללים והזווית הישרה, ובאריתמטיקה, בין היתר, את האי זוגיים, שהם מוגבלים כי אינם ניתנים לחלוקה למספרים שלמים כמו הזוגיים.
אני מתאר לעצמי עד כמה שמחו לגלות שיש נוסחה שמגדירה את המעבר מריבוע לריבוע שמעליו. הנוסחה הזאת נקראת גנומון. יוסף ספרא קרא לה "בית" או 2x+1.
כדי לעבור מהריבוע של אחד לריבוע שמעליו צריך להוסיף לו פעמיים אחד [2x] ועוד אחד.
כדי לעבור מהריבוע של שניים לריבוע של השלש צריך להוסיף לו פעמיים שניים [2x] ועוד אחד.
כדי לעבור מהריבוע של שלש לריבוע של הארבע צריך להוסיף לו פעמיים שלש [2x] ועוד אחד.
מתקבלת סדרה:  1, 4, 9, 16, 25, 36
שהמפרידים בין אבריה הם המספרים האי זוגיים: 3, 5, 7, 9, 11…
הפיתגוראים לא הבחינו בין תורת המספרים לתורת הצורות. הם חקרו את המספרים כפי שהם נראים בצורות גיאומטריות שאותן הראו בחול באמצעות אבנים קטנות. כך הדבר במשפט פיתגורס הידוע, וכך הדבר גם בגנומון שלפניכם.



 עד היום ראיתי את המעבר מריבוע לריבוע כתוספת של נקודות. היום, תוך כדי שאיירתי את הגנומון גיליתי לראשונה שבעצם הנקודות הנוספות שייכות לריבועים שזהים לריבוע הראשון בגודלם. ארבע הנקודות של השניים בריבוע שייכות לריבוע אחד. במעבר מהריבוע של שניים לריבוע של שלש נוספים שלושה ריבועים, שמשלימים את ארבע הנקודות לתשע. במעבר מהריבוע של השלש לריבוע של הארבע נוספים חמישה ריבועים, שמשלימים את תשע הנקודות של השלש לשש עשרה.   




יום חמישי, 12 באפריל 2018

ממה מורכבים המספרים


חומרים מורכבים מחומרים
מילים מאותיות
אותיות מקווים
מספרים ממספרים

התופעה שמספרים עשויים ממספרים מזכירה לי את האמרה "צבת בצבת עשויה" (משנה אבות ה ו). יש בה מסתורין. אם הצבת המאוחרת נבראה באמצעות צבת קדומה מה ברא את הצבת הקדומה? וכך: מה ברא את המספרים שמהם ברואים המספרים?  

כל מספר מורכב מאחדים
כל מספר טבעי גדול מ-1 מורכב ממספרים ראשוניים
כל מספר זוגי מורכב גם מאחדים (1) וגם מזוגות (2)
יש אינסוף מספרים טבעיים, אינסוף מספרים זוגיים, אינסוף מספרים אי זוגיים, אינסוף מספרים ראשוניים, אבל יש רק מספר אחד שסכום מרכיביו זהה למכפלתם (1+2+3=1X2X3=6)
תופעה דומה יש בגיאומטריה: יש אינסוף מלבנים שאורכם גדול מרוחבם אבל יש רק מלבן אחד שאורכו שווה לרוחבו והוא הריבוע.
הפיתגוראים בזו לאינסוף, לבלתי מוגבל, והעריצו את המוגבל המושלם, את הדבר האחד שהוא יחיד במינו, טוב ויפה. את ה"מציאה" הזאת של הריבוע הם הרחיבו לכל מצולע משוכלל. יש אינסוף משולשים שבנויים מצלעות שאינן שוות זו לזו, יש אפילו משולש שווה שוקיים, אבל יש רק משולש משוכלל אחד שהוא שווה צלעות... יש רק זווית אחת שהיא ישרה, כל השאר "עקומות" (חדות או קהות).




יום ראשון, 8 באפריל 2018

קריאה בפרק הראשון ב"בראשית" מנקודת מבט פיתגוראית



כבר בפרק הראשון, הבכור, החשוב ביותר בתנ"ך, מופיעים המספרים. שבעת ימי הבריאה מסומנים בזה אחר זה כמספרים סודרים מלבד היום הראשון שנקרא "יום אחד", כאשר אחד הוא, כידוע, מספר מונה

חריגה זו מן הכלל נועדה להקנות לאחד מעמד מיוחד ביחס לשאר המספרים. ואכן כל מספר הוא מצבור של אחדים, מלבד האפס שמודיע לנו בעשר, לדוגמה, על העדרם של האחדים. האחד הוא מקור המספר, וכל מספר, מלבד האחד, הוא עותק שלו.

גם אצל הפיתגוראים הייתה למספרים חשיבות עליונה. הם האמינו שהכל מספר.

האחד מופיע גם אצלם במשמעות יוצאת דופן, שיש רק לו. הוא אינו נחשב למספר אלא לקנה מידה לשאר המספרים. הוא גם המספר היחיד אצלם שאינו זוגי ואינו אי זוגי. הם קוראים לו טוב ואור. והנה גם בפרק א בבראשית מופיע האחד בהקשר דומה: אלהים בורא את האור ביום האחד, "וַיַּרְא אֱלֹהִים אֶת-הָאוֹר כִּי טוֹב".

בפסוק החמישי נכתב: "וַיִּקְרָא אֱלֹהִים לָאוֹר יוֹם". כלומר "אור" ו"יום" הן מילים נרדפות, שניתן להמירן זו בזו,  ולכן, כמו בספירות של תורת הקבלה, האור נברא באור הראשון, הרקיע, הנקרא שמים, באור השני, היבשה והצמחים באור השלישי וכן הלאה.

הפיתגוראים האמינו שהמספרים בוראים את העולם. עד כמה שניתן לדמות איך הם היו קוראים את סיפור הבריאה המקראי – המספר אחד ברא את האור, השניים את השמים, השלש – את היבשה והצמחים, וכן הלאה. הם יכלו לומר שאינם מבינים את המילה "בראשית" כמילה של זמן, אלא כמילה שבאה לומר שבאמצעות המספר אחד "בָּרָא אֱלֹהִים אֵת הַשָּׁמַיִם וְאֵת הָאָרֶץ".