יום שבת, 10 ביוני 2017

הרהור פילוסופי על מהות המספרים




אנחנו רגילים להביא את האקסיומה אחד ועוד אחד שווה שניים כדוגמה לנכונות של דבר באופן אינטואיטיבי, כדוגמה לידיעה ישירה שאיננה נזקקת להוכחות. האם אפשר להראות שאחד ועוד אחד אינם שווים שניים? האם מי שיראה את המראה החדש הזה יסכים לקבל אותו כנכון?
נסו לחבר אחד כחול עם אחד צהוב – האם קבלתם אחד ירוק? נדמה שזאת התחכמות, אבל החיבור במקרה הזה הוא לא של משמעות המספרים אלא של משמעות הצבעים, כך שהמשפט  אחד ועוד אחד שווה אחד נשמע הגיוני ופשוט.
עד כמה שהבנתי את הפילוסוף לודוויג ויטגנשטיין הוא חשב שמספרים הם מוסכמה לשונית. שאלה שמדברים בשפה מסוימת מקבלים עליהם את חוקיה. אלא שהחוקים האלה אינם מתכנסים למכנה משותף כלשהו, ולכן יש בשפה סתירות, דברים עמומים, אי וודאות. זכור לי גם שאחד מתלמידיו של ויטגנשטיין ניסח את המסקנה הזאת בדוגמה משעשעת שקל לזכור אותה: אין אמת אחת, יש בלונדינית אמתית לעומת זאת שצבעה את שערה לבלונד.

מה שמדאיג בהרהור הזה הוא שמקובל בלוגיקה שאם יש פרט אחד שאינו מתאים לכלל הכלל אינו נכון. וכך, אם יש עורב אחד לבן אז אי אפשר לטעון שכל העורבים שחורים תמיד, כשם שאי אפשר לטעון שאחד ועוד אחד שווים תמיד שניים, שהרי במקרה של הצבעים, כפי שהראיתי לעיל, אחד ועוד אחד שווה אחד.

הערה:

אריסטופנס מספר לנו (בדיאלוג האפלטוני "המשתה")
את הסיפור המיתולוגי על אדם הראשון שהיה אנדרוגינוס, שהיו לו ארבעה זוגות גפיים, וזאוס הפריד אותו לשנים, לזכר ולנקבה. כוונתו של אפלטון, בהשפעת הפיתגוראים, להמחיש לנו באמצעות אלגוריה זו את מהותו של המספר אחד. צא ולמד שכשם שאדם הראשון קדם לצאצאיו, כך גם האחד קודם לכל שאר המספרים, אבל בהבדל מהם הוא אינו מתמיין לזוגי או לאי זוגי, אלא מכיל גם זה וגם זה, וגם לא את זה ולא את זה. האחד מתחלק לשני אחדים שלכל אחד מהם יש מין שונה. אחד ועוד אחת שווה אחד, אבל התוצאה אחד, היא בעצם המקור שאין לו מין הן של האחד והן של האחת. גם כאן אנחנו לא מחברים את המשמעות המספרית של המספרים אלא את המשמעות המינית שלהם.

יום שני, 3 באפריל 2017

מספרים מצולעים

 מספר משולש ועוד מספר ריבועי
 יוצרים מספר מחומש 


מספר משולש ועוד מספר מחומש 
יוצרים מספר משושה

מקור:

Nicomachus, Introduction to Arithmetic ii. 12. 2-4, ed. Hoche 96. 11-97. 17

יום ראשון, 2 באפריל 2017

המקור לעיצוב של הפנטגרמה ושל ההקסגרמה

משולשים על הצלעות של משולש, על הצלעות של ריבוע, על הצלעות של מחומש, על הצלעות של משושה ... על הצלעות של מתומן. זה נראה כמו עיצוב מכוון. 

יום חמישי, 30 במרץ 2017

מפת הסידורים השונים של המספרים הטבעיים


למעלה משמאל לימין:
מספרים טבעיים
אי זוגיים
זוגיים
זרם של 147
זרם של 258
זרם של 369
למטה:
הגלגולים
השיטה העשרונית