יום שני, 28 ביולי 2014

צאצאיו של השלוש

תשע ושש שנוצרו על ידי הארכת אחת מצלעותיו של משולש (שמייצג את המספר 3).
9=3X3

6=3X2

יום ראשון, 27 ביולי 2014

קדקוד משותף

כאשר אנחנו מחלקים את העיגול לארבעה חלקים אנחנו מקבלים ארבעה משולשים ישרי זווית שקדקוד כל אחד מהם הוא מרכז המעגל, ובסיס כל אחד מהם הוא צלע של ריבוע שחסום במעגל. קדקוד משותף יש לכל מצולע משוכלל חסום בעיגול שמספר צלעותיו גדול משלוש.

המחשת השברים


יין יאנג עשוי מארבעה רבעים

עיגול הוא שטח שמוקף בקו אחד, בהבדל ממשולש שהוא שטח שמוקף בשלשה קווים, וממרובע שהוא שטח שמוקף בארבעה קווים. הפיתגוראים קראו לעיגול מונאדה, והוא ייצג אצלם את המספר אחד.
כאשר אנחנו מחלקים את העיגול לשניים אנחנו מקבלים שני חצאים שהם
1/2+1/2=2/2=1
כאשר אנחנו מחלקים את העיגול לשלושה חלקים אנחנו מקבלים שלושה שלישים שהם
1/3+1/3+1/3=3/3=1
כאשר אנחנו מחלקים את העיגול לארבעה חלקים אנחנו מקבלים ארבעה רבעים שהם
1/4+1/4+1/4+1/4+=4/4=1

וכן הלאה...

יום חמישי, 24 ביולי 2014

האחד כ"לא שניים"

האחד הוא אחד מ"תארי השלילה" של האל, שמהם ניתן ללמוד על מהותו של האחד. ריכוז של תארים שכאלה מופיע בפיוט "אדון עולם". בתמצית ניתן לומר שהאחד מאופיין שם כ"לא שניים":
א. וְהוּא אֶחָד וְאֵין שֵׁנִי / לְהַמְשִׁילוֹ לְהַחְבִּירָה

ב. המאפיין העיקרי של השניים הוא הניגודיות. ראשון ואחרון הם ניגודים. האל הוא שלמות שכוללת את הניגודים האלה באופן שאין הבדל ביניהם. הוא גם זה וגם זה, והוא לא זה ולא זה.   
וְהוּא רִאשׁוֹן וְהוּא אַחֲרוֹן / לְכָל חֹמֶר וּלְכָל צוּרָה
בְּלִי רֵאשִׁית בְּלִי תַכְלִית / וְלוֹ הָעֹז וְהַמִּשְׂרָה

ג. השוואה היא פעולה שנעשית בין שני גורמים. אי אפשר לומר שמשהו דומה למשהו בלי שיהיו שני משהו. אי אפשר למדוד או להעריך מי גדול יותר ומי קטן יותר בלי שיהיו שני משהו. אי אפשר לדעת שמשהו השתנה בלי להשוות אותו למה שהיה קודם: 
בְּלִי עֵרֶךְ בְּלִי דִּמְיוֹן / בְּלִי שִׁנּוּי וּתְמוּרָה.

ד. האחד הוא שלם ואין לו חלקים שמהם הוא מחובר. לעומת זאת השניים מורכב משני אחדים מפורדים שחברו להם יחד:
בְּלִי חִבּוּר בְּלִי פֵרוּד / גְּדוֹל כּוֹחַ וּגְבוּרָה.
שמן של סדרות המספרים הזוגיים והאי זוגיים (הפרדיים) מעיד על מקורם מהשניים, שהרי זוג מורכב משני אחדים, ומתחלק לשניים בעוד שהפרדי הוא זה שאינו מתחלק לשניים.

ה. האחד הוא לבד (בפיוט: "לְבַדּוֹ יִמְלֹךְ נוֹרָא"), כלומר איננו ריבוי. הריבוי מתחיל משניים. הרעיון הזה מופיע פעמים רבות בתנ"ך, למשל: בשמות כ, ג: "לֹא יִהְיֶה לְךָ אֱלֹהִים אֲחֵרִים עַל-פָּנָי".

ו. האחד הוא מעל לזמן, שהרי עבר ועתיד בהיותם ניגודים הם מאפיינים של השניים, בעוד שהאחד הוא "לא שניים":

וְהוּא הָיָה וְהוּא הוֹוֶה / וְהוּא יִהְיֶה בְּתִפְאָרָה

יום רביעי, 23 ביולי 2014

חלוקת המעגל לשלש בלי מחוגה או סרגל או מד זווית

ציירתי מעגל באמצעות כלי הבחירה האליפטי בפוטושופ. מצאתי את אמצעו בעזרת הכלי הנקרא בשם קווים מנחים. באמצעות אותו כלי סימנתי את שתי הנקודות של הקוטר האנכי (1,4).  העתקתי את המעגל והורדתי אותו עד שקצהו העליון פגע במרכזו של המעגל המקורי. או אז סימנתי את שתי הנקודות (2,3) שבהן נפגשו שני המעגלים. לאחר מכן העתקתי את המעגל המקורי והרמתי אותו עד שקצהו התחתון פגע במרכזו של המעגל המקורי. או אז סימנתי את שתי הנקודות (5,6) שבהן נפגשו שני המעגלים. חיברתי בקו מרוסק את הנקודות 123 והתקבל המשולש שווה הצלעות שמחלק את המעגל לשלוש קשתות שוות. חיברתי בקו מרוסק את הנקודות 456 ונוצר המשולש שווה הצלעות שמשלים את המשולש הקודם למגן דוד. 

יום שני, 21 ביולי 2014

המחשה גאומטרית לסדרה ההנדסית של שנים


כאשר מחלקים את המעגל לשנים (ראו באיור 1, 2) ואחר כך שוב לשנים (ראו באיור 3,4 ) מקבלים צורת צלב (הקווים הסגולים) שארבעת קצותיו פוגשים את המעגל, וחיבורם בקווים (באיור הקווים  מרוסקים) יוצר ריבוע. זוהי המחשה לקשר העמוק שיש בין המספר ארבע לבין צורת הריבוע. כאשר ממשיכים ומחלקים את הארבע לשמונה באמצעות אלכסוני הריבוע (הקווים הירוקים), מקבלים עוד ריבוע (ראו באיור 5, 6, 7,8) וזוהי כבר המחשה למספר שמונה כ 4+4, או כשני ריבועים משולבים זה בזה. שני הריבועים המשולבים הם סמל שנקרא אוקטגרמה. פעם חשבתי שצורה זו הומצאה בעקבות שזירה מקרית של חבלים זה בזה, אבל כעת אני די משוכנע שהיא תוצאה של חלוקת העיגול באמצעות מחוגה וסרגל, שהיא, כפי שניתן לראות לעיל, פשוטה למדי. אם ממשיכים ומחלקים את השמונה לשש עשרה, ואת השש עשרה לשלושים ושנים, וכן הלאה, ניתן לראות את ההמחשה הגאומטרית של הסדרה ההנדסית של שנים. 

יום שישי, 18 ביולי 2014

כל מספר מורכב משניים


כידוע, כל מספר מורכב מאחד ועוד אחד ועוד אחד, אבל פחות ידוע שכל מספר מורכב גם משניים, מלבד האחד, שאינו מספר מורכב, אלא אם נחליט שניתן להרכיב אותו משני חצאים.

השנים (II) מורכב משני זוגות של ניגודים, האחד הימני עם האחד השמאלי, והאחד השמאלי עם האחד הימני, וניתן לראות זאת גם בתצוגה של מעלה ומטה:
1
+
1
2
אבל בעצם מדובר בזוג אחד שנספר פעמיים.

שלש (III) מורכב משלושה זוגות של ניגודים: אחד והשניים שמימינו, אחד והשניים שמשמאלו, אחד שבמרכז עם השניים שבאגפים.
אבל בעצם מדובר בשני זוגות שנספרים פעמיים.

ארבע (IIII)  מורכב מארבעה זוגות של ניגודים:
I+III
III+I
II+II
II+II
אבל בעצם מדובר בשני זוגות שנספרים פעמיים.

חמש (IIIII) מורכב מארבעה זוגות של ניגודים:
1234
4321
5555
אבל בעצם מדובר בשני זוגות שנספרים פעמיים.

שש (IIIIII) מורכב מששה זוגות של ניגודים, שהם בעצם שלשה זוגות שנספרים פעמיים.


וכן הלאה. 

יום שני, 14 ביולי 2014

לוח הכפל המצומצם


אנחנו רגילים ללוח הכפל בצורת הריבוע של תשע, אבל ניתן לראות את עקרונות הכפל (והחילוק), את הצטלבות השורות והעמודות, כבר בריבוע של השלש.  

יום שבת, 12 ביולי 2014

ריבועי 369 ומלבניהם

בסדרת ריבועי 369 (9, 36, 81, 144, 225...) כל ריבוע מתחלק לשלשה חלקים שווים שהיחס ביניהם הוא שליש לעומת שני שליש. וכך, השלש הוא מלבן של אחד-על-שלש; השש הוא מלבן של שנים-על-שלש, ושניהם יחד ממלאים ריבוע של שלש-על-שלש:
להלן האיברים הראשונים בסדרה זו:
3+6=9
12+24=36
27+54=81
48+96=144

75+150=225 

יום שישי, 11 ביולי 2014

ספרות רומיות מנקודת מבט חדשה

אחרי הארבע, שיש לו זיקה עמוקה לריבוע, בא החמש, כך שדי טבעי שנצייר אותו במרכזו של הריבוע של ארבע. אם, בנוסף לכך, נצייר את הריבוע של ארבע במרכזו של הריבוע של שמונה, נקבל ייצוג של תשע היחידות בצורת תשע נקודות, שהמרכזית שבהן מייצגת את החמש. כעת, אם נתמקד רק באלכסונים של הריבועים נראה את הספרה הרומית X, שמייצגת את המספר עשר, ואם נתמקד רק במחציתו של X נקבל את V שמייצג בספירת הרומית את החמש. מעניין אם הרומאים הכירו את התצוגה הזאת כאשר החליטו על צורת המספרים שלהם. 

יום רביעי, 9 ביולי 2014

הארבע שבריבוע

בריבוע של איקס, כבריבוע קסם, איקס בריבוע של נקודות: איקס נקודות בכל שורה, איקס נקודות בכל עמודה, איקס נקודות בכל אלכסון, ואיקס נקודות בכל אחת מארבע הצלעות שמרכיבות את היקפו.

יום שני, 7 ביולי 2014

המחשה גיאומטרית לזרמים



במשולש שווה צלעות הקדקוד נמצא במרכז שבין שני הקצוות של הבסיס. ניתן לחלק את תשע היחידות לשלשה משולשים שכאלה (או לשלוש שלשות) כאשר בראשון ה-2 נמצא בין ה1 ל-3, בשני ה 5 נמצא בין ה 4 ל6, ובשלישי ה 8 נמצא בין ה 7 ל 9. ניתן להמשיך את הסדרה הזאת לאין סוף. הקדקודים שייכים תמיד לזרם של ה 258, הקצה האחד, המתחיל, הפותח - שייך תמיד לזרם של ה 147, והקצה שמנגד, המסיים, הנועל, שייך תמיד לזרם של ה 369.
ה"בין" הוא לא רק המרכז  של השלשה אלא גם הממוצע שלה:
1+3:2=2
4+6:2=5
7+9:2=8

כשקוראים רשימה זו במאונך רואים את הזרמים כעמודות. מבחינה זו המרכז, ה"בין", הוא גם ה"בן" שלוקח חצי מהגנים של הזרם הפותח וחצי מהגנים של הזרם הנועל כדי להביא לעולם יצור חדש, מעורב, בן כלאיים. 

יום ראשון, 6 ביולי 2014

ריבועים לפי זרמים

כל ריבוע שלישי שייך לזרם של ה 369.
כל שאר הריבועים שייכים לזרם של ה 147.
אין ריבועים ששייכים לזרם של ה 258.
יש מתאם בין סכום הספרות של הריבוע לבין השתייכותו לזרמים. 

יום שני, 30 ביוני 2014

חושן

הפיתגוראים הצטיינו בשילוב של גאומטריה עם אריתמטיקה, ונהגו להמחיש את תגליותיהם במספרים באמצעות אבנים קטנות, שנקראו פסיפוי, ומהן יש לנו את המילה פסיפס. שילוב שכזה, של  גאומטריה עם אריתמטיקה ועם אבנים קטנות מופיע גם אצל היהודים בחושן המקראי שמשלב צורה גאומטרית (ריבוע שצלעו בגודל זרת) עם מספר (שנים עשר השבטים שמיוצגים באמצעות ארבע שורות של שלש אבנים), ומזכיר ריבוע קסם (אלא שאם היה ריבוע קסם היה עליו להכיל ארבע שורות של ארבע אבנים).
כמו שהחושן שימש ככלי לתקשורת של העם עם האל באמצעות הכהן כך גם ריבועי הקסם שימשו בתרבויות שונות כקמיעות, או ככלי לתקשורת עם העל טבעי.
החושן מופיע בתנ"ך בכתיב חסר -חשן. חשן בשיכול אותיות זה נחש, שהוא השורש של הניחוש. ניחוש וקסם הם שני סוגים של ידיעה, ולעתים הם גם מופיעים כמלים נרדפות, כמו בפסוק: כִּי לֹא נַחַשׁ בְּיַעֲקֹב וְלֹא קֶסֶם בְּיִשְׂרָאֵל (במדבר כג, כג).
דברים אלה מעוררים את השאלה אם החושן המקראי השפיע על השימוש של הפיתגוראים באבנים כאמצעי עזר להבנת 
המספרים, ואם החושן המקראי השפיע על ריבועי הקסם בתרבויות השונות.
-

תמונה: בול אבני החושן משנת 2012 בעיצוב של דוד בן הדור. שימו לב שהחושן שעל הבול הוא בצורת מלבן ולא בצורת ריבוע.

יום ראשון, 29 ביוני 2014

כל מספר הוא אחד

כאשר מתבוננים בשורה של עשר נקודות (..........) כל נקודה היא אחת.
מבחינה זו אין הבדל בין הנקודה הראשונה לשנייה ובין הראשונה לאחרונה, לא בגודל, לא במין, ולא בסדר, כי אם נסדר את עשר הנקודות האלה על מעגל  - כל אחת מהן יכולה להיות ראשונה או שנייה או אחרונה לפי בחירתנו.
וכך גם כאשר מתבוננים בעשר היחידות שמרכיבות את העשר (1111111111), שהרי אילו אחת היחידות הייתה שווה יותר מאחד - העשר לא היה עשר, אלא מספר גדול יותר.
אפילו האפס הוא אחד, ואין עוד אפס מלבדו.
מנקודת מבט זו חברת המספרים היא דמוקרטיה שבה לכל אזרח יש קול אחד.
ההבדל מתרחש כאשר מייחסים ליחידות ערך: כאשר קובעים שהראשון ערכו 1 והשני ערכו 2,  ומסיקים ש
2-1=1

בתמונה: בדגל ארה"ב כל מדינה מיוצגת על ידי כוכב אחד, ומבחינה זו אין הבדל בין מדינה למדינה אפילו אם זו קטנה וזו גדולה, זו עשירה וזו ענייה, זו בצפון וזו בדרום וכן הלאה.  

ייחודיות

כמו שלכל מספר יש שם משלו, שהוא רק שלו, צורה משלו, שהיא רק צורתו שלו, שמאפיינת רק אותו, כך גם לכל מספר יש ריבוע משלו, שורש משלו, מספר מעוקב משלו, תוכן משלו וגלגול משלו.
15 הוא אך ורק התוכן של 5, אין אף מספר אחר ש 15 הוא התוכן שלו.
15 הוא אך ורק הגלגול של 6, אין אף מספר אחר ש 15 הוא הגלגול שלו.
16 הוא אך ורק הריבוע של ארבע. אין אף מספר אחר ש 16 הוא הריבוע שלו.

אפילו לאפס, שיש לו שם וצורה, אבל אין לו ריבוע, שורש, תוכן וגלגול... אין שותפים. 

המספרים הראשוניים הם לא סדרה

בכל סדרה של מספרים ישנו משהו קבוע שגורם לה להיות מסודרת, כמו הפרש של אחד במספרים הטבעיים, הפרש של שניים בסדרת הזוגיים, ובסדרת האי זוגיים, הפרש של שלש בזרמים. בסדרה מסודרת ניתן לנבא את האיבר הבא, אם נתונים לנו כמה מאבריה. אבל לא ניתן לנבא את המספר הראשוני הבא, כמו שלא ניתן לנבא את המספר הבא בפיי.
מספרים ראשוניים הם בעצם תוצאה של השוואה בין כמה סדרות של מספרים, שבהן מופיעים המספרים שאנחנו יודעים עליהם שהם מכפלות של מספרים אחרים (כגון הזוגיים שהם מכפלות של 2, מכפלות של 3, 5 וכן הלאה) ובשניה מופיעים המספרים הטבעיים. הראשוניים הם המספרים הטבעיים שאינם מופיעים בסדרות האחרות. בניסוח פואטי: הקבוע (הטבעיים) פחות הידוע (הנכפלים באחרים) שווה לפרוע (הראשוניים).

לעומת זאת המספרים של פיי הם חוסר הסדר המוחלט, הפרוע שאין לו כל קשר לסדרות של מספרים, לא לידוע ולא לקבוע. 

יום שבת, 28 ביוני 2014

שברים עשרוניים

בשברים רגילים כמו: 1/2 ו 3/4 אפס לא יופיע, לא כמכנה ולא כמונה, אבל בשברים עשרוניים יש לו מקום של כבוד כ-0.1, 0.2, 0.3 ... או כ- 1.00, 2.05, 3.70 ...
די מדהים לחשוב ששברים מוזכרים בתנ"ך פעמים רבות, אך שברים עשרוניים אינם מוזכרים אף פעם:
מלכים א, ז, לה           
וּבְרֹאשׁ הַמְּכוֹנָה חֲצִי הָאַמָּה קוֹמָה עָגֹל סָבִיב

יחזקאל, ח, יב           
שְׁלִשִׁתֵיךְ בַּדֶּבֶר יָמוּתוּ וּבָרָעָב יִכְלוּ בְתוֹכֵךְ , וְהַשְּׁלִשִׁית בַּחֶרֶב יִפְּלוּ סְבִיבוֹתָיִךְ , וְהַשְּׁלִישִׁית לְכָל רוּחַ אֱזָרֶה, וְחֶרֶב אָרִיק אַחֲרֵיהֶם

במדבר טו, ה           
וְיַיִן לַנֶּסֶךְ רְבִיעִית הַהִין...

בראשית מז, כד           
וְהָיָה בַּתְּבוּאֹת וּנְתַתֶּם חֲמִישִׁית לְפַרְעֹה וְאַרְבַּע הַיָּדֹת יִהְיֶה לָכֶם...

יחזקאל ד, יא           
וּמַיִם בִּמְשׂוּרָה תִשְׁתֶּה שִׁשִּׁית הַהִין

בראשית יד, כ           
וּבָרוּךְ אֵל עֶלְיוֹן אֲשֶׁר-מִגֵּן צָרֶיךָ בְּיָדֶךָ וַיִּתֶּן לוֹ מַעֲשֵׂר מִכֹּל

שמות כט מ       
וְעִשָּׂרֹן סֹלֶת בָּלוּל בְּשֶׁמֶן כָּתִית

ויקרא כג, יג           
וּמִנְחָתוֹ שְׁנֵי עֶשְׂרֹנִים סֹלֶת בְּלוּלָה בַשֶּׁמֶן
במדבר יח, כו           
... וַהֲרֵמֹתֶם מִמֶּנּוּ תְּרוּמַת ה' מַעֲשֵׂר מִן-הַמַּעֲשֵׂר
קהלת ז, כח             
אָדָם אֶחָד מֵאֶלֶף מָצָאתִי וְאִשָּׁה בְכָל אֵלֶּה לֹא מָצָאתִי

שופטים ו טו           
... הִנֵּה אַלְפִּי הַדַּל בִּמְנַשֶּׁה...

יום שישי, 27 ביוני 2014

כל מספר הוא איבר בסדרה


כל המספרים הם איברים בסדרת המספרים הטבעיים, כל מספר שני הוא איבר בסדרת המספרים הזוגיים, וכל המספרים האי זוגיים הם איברים בסדרת המספרים האי זוגיים. כל מספר שלישי הוא איבר באחד משלשת הזרמים (147, 258, 369). כל סדרת מספרים מורכבת ממספרים שמשמשים כאבריה. 

שלש ושש

המספר 666, שלש פעמים שש, הוא בעל חשיבות מיוחדת לנוצרים בגלל שהוא מייצג אצלם את הסיטרא אחרא, את השטן, את המתנגד לישו, את הANTI CHRIST. וראוי לזכור ברקע שמקורו של השש בשלוש, שמוסיף את עצמו לעצמו, והמספר שלוש בנצרות מייצג את ישו, שהוא השלישי בשילוש הקדוש.
אבל אצל הנוצרים הרעיון של הקשר שבין השש לשלוש הוא כבר יד שנייה, שכן הוא מופיע ביהדות כמה וכמה פעמים:
"וַיְהִי מִשְׁקַל הַזָּהָב אֲשֶׁר בָּא לִשְׁלמה בְּשָׁנָה אֶחָת שֵׁשׁ מֵאוֹת שִׁשִּׁים וָשֵׁשׁ כִּכַּר זָהָב" (מלכים א, יד, י).
123 מופיעים בפסוק (קהלת ד, ט- יב) : טוֹבִים הַשְּׁנַיִם מִן הָאֶחָד... וְהַחוּט הַמְשֻׁלָּשׁ לֹא בִמְהֵרָה יִנָּתֵק, שהרי:
1+2+3=6
1.2.3=6
במשנה (מסכת אבות, פרק א משנה ב) מעמידים את העולם על שלשה דברים ("על התורה, ועל העבודה, ועל גמילות החסדים", ולרעיון הזה יש הצדקה גאומטרית כי העולם מורכב משלושה ממדים ומששה כיוונים (ימין שמאל, פנימה והחוצה, מעלה ומטה). 
בתלמוד (מסכת סנהדרין, צז, ב) מעמידים את העולם על ל"ו צדיקים שבזכותם מתקיים העולם. בגימטרייה למ"ד ערכה 30 ובצמצום ,3 ואילו ו"ו ערכה 6. גם למספר 18 יש חשיבות מיוחדת ביהדות בגלל שבגימטריה
18= חי = שלש כפול שש.

האותיות שש מופיעות כשני שלישים מן המילה שלש, שמורכבת משלש אותיות שערך כל אחת מהן הוא שלש וביחד ערכן תשע, כך שהקשר ההדוק בין אברי הזרם של ה 369 בא לידי ביטוי בגימטריה של המילה שלש.

הערה של חיליק:
666 הוא מילוי של 36
36 הוא מילוי של 8 וריבוע של 6
קומבינציה מיוחדת שבאותו מספר נפגשים גם ריבוע וגם מילוי
 666 הוא פלינדרום שהמילוי שלו מורכב משני פלינדרומים: 222 111

יום חמישי, 26 ביוני 2014

סדרת המספרים הטבעית במלוא מובן המילה

לא רק בני האדם יודעים לספור
גם הטבע נוהג לסמן את גיל העץ,
שהוא מספר ימי הולדתו 
באמצעות טבעות גיל 
וזוהי סדרת המספרים הטבעית במלוא מובן המילה

יום רביעי, 25 ביוני 2014

כל מספר מורכב מיחידות

אחד מורכב מיחידה אחת שניתן להציג אותה כריבוע של אחד על אחד.
שניים מורכב משתי יחידות שניתן להציגן כמלבן שאורכו שניים ורוחבו 1.
שלש מורכב משלוש יחידות שניתן להציגן כמלבן שאורכו 3 ורוחבו 1.
4 מורכב מארבע יחידות שניתן להציגן כריבוע של 2 על 2.
5 מורכב מחמש יחידות שניתן להציגן כמלבן שאורכו 5 ורוחבו 1.
... ניתן להציג כל מספר ראשוני כמלבן שאורכו המספר ורוחבו 1.
ניתן להציג כל מספר בצורת ריבוע (כשהוא מוכפל בעצמו) או בצורת מלבן (כשהוא מוכפל במספר שאינו עצמו), וכל ריבוע או מלבן שכאלה מורכבים מריבועים קטנים, שכל אחד מהם הוא אחד (או יחידה). הריבועים הקטנים האלה נחשפים כאשר מחלקים ריבוע בעצמו:
1:1=1
2:2=1
3:3=1

4:4=1...

סדרת הכפולות של מספר כלשהו

כאשר רושמים את המספרים לפי הסדר בטור אחד, לאורך או לרוחב, מקבלים את סדרת המספרים הטבעיים:
1, 2, 3, 4, 5,
2
3
4
5
כאשר רושמים אותם בשני טורים מקבלים בטור הראשון משמאל את סדרת האי זוגיים ובטור השני את סדרת המספרים הזוגיים (הכפולות של 2):
1, 2
3, 4
5, 6
כאשר רושמים אותם בשלושה טורים מקבלים את הזרמים, ובטור השלישי את הכפולות של 3:
1, 2, 3,
4, 5, 6
7, 8, 9
כאשר רושמים אותם בארבעה טורים מקבלים בטור הרביעי את הכפולות של 4:
1, 2, 3, 4
5, 6, 7, 8
וכך גם לגבי המספרים הבאים - בטור האחרון תהיינה הכפולות של המספר האחרון.

במבט לאחור רואים שבעצם בטור של האחד קיבלנו את הכפולות של אחד, רק בגלל שאין בו טורים אחרים לא שמנו לב שהוא גם הטור האחרון. 

יום שני, 23 ביוני 2014

החטא הקדמון של הגאומטריה

רנה דקארט, ברוך שפינוזה ואחרים העריצו את הוודאות של הגאומטריה, וחינכו את מעריציהם להעריץ אותה, כאשר ניסו לחקות את השיטה שלפיה גזר אוקלידס משפטים מאקסיומות. אבל יש לה לגאומטריה חטא קדמון, והוא, שכאשר מציירים נקודה או קו או שטח, על גבי נייר, כבימינו, או על גבי חול, כבימי הפיתגוראים, יש להם מוחשיות פיזית, בעוד שלפי ההגדרה שלהם, שאותה ניסח אוקלידס בכבודו ובעצמו, לא יכולה להיות להם מוחשיות כזאת, כי לדבריו: נקודה היא מה שאין לו אורך, וקו הוא מה שאין לו רוחב, ושטח הוא מה שאין לו נפח. אז כל עוד עושים גאומטריה במחשבה יש התאמה בין ההגדרות לבין הדברים, אבל כל אחד יודע שהקו שנוצר באמצעות הסרגל או המחוגה איננו הדבר עצמו, אלא המייצג שלו, הכאילו שלו, הישראבלוף שלו, כי אחרת לא ניתן לעשות גאומטריה, כמו שלא ניתן לשחק שחמט בלי לוח וכלים. אז האנושות מרוויחה מוחשיות על חשבון האמת, ומי שלומד גאומטריה, החל מילדותו, מתחנך לשקר. לאור זה מעניין שאפלטון, שלא קיבל לאקדמיה שלו סטודנט שאינו יודע גאומטריה, היה זה שפסל את השירה כמודל לחינוך ("המדינה" 607) בטענה שהיא שקר. הפירוש הזה גם מאיר באור חדש את המצווה המקראית: לֹא תַעֲשֶׂה לְךָ פֶסֶל וְכָל תְּמוּנָה, אֲשֶׁר בַּשָּׁמַיִם מִמַּעַל, וַאֲשֶׁר בָּאָרֶץ מִתַָּחַת, וַאֲשֶׁר בַּמַּיִם מִתַּחַת לָאָרֶץ (שמות כ, ג), כי ברגע שאתה ממחיש את המופשט, והופך את השמיימי לארצי, אתה פוסל אותו מלשרת את האמת, והפוסל - כפי שראינו זה עתה אצל אפלטון  - במומו פוסל. 

יום ראשון, 22 ביוני 2014

אנחנו מוקפים בגיאומטריה

בהקדמות לתורת המספרים נוהגים מחברי הספרים, לעתים קרובות, לפרט עד כמה נפוצים המספרים בשעון, במחשב, בתאריך שבעיתון, בכתובת הבית, במחירי המוצרים וכיוצא באלה, אבל לא נתקלתי באף הקדמה בפירוט דומה של צורות גיאומטריות, אז כתבתי אחת משלי, כי בעיניי גיאומטריה ואריתמטיקה הן שני צדדים של אותה מטבע:
אנחנו מוקפים בצורות גיאומטריות:
נקודות באישוני הבריות, בכוכבי השמים בלילות, במפות השטח;
קווים בקווי החשמל והמים, בעמודי התאורה, באופק, בסולמות ובגדרות, בפסי הרכבת ובמעברי החצייה;
זוויות בפינות החדרים;
עיגולים של שמש, ירח, מטבעות;
משולשי גגות;
מלבני לבֵנים וחלונות, דגלים, לוחיות רישוי, מדבקות, מעטפות, שטרות כסף;
ריבועים במרצפות ובבולים;
כדורי רגל וסל;
תיבות דואר;
קוביות קרח

מגני דוד...

מספרים כצורות גאומטריות

כל מספר ניתן "לתרגם" לצורה גאומטרית, למרות שהשיטה הזאת איננה יעילה במספרים הגדולים. ניתן "לתרגם" אותו לנקודה או לכוכבית (מסומנת באיור בכחול), לקו (מסומן באיור בירוק) לשטח (כדוגמת הריבוע האדום שבאיור) או לנפח (כמו לקובייה). כלומר, ניתן לייצג כל מספר באמצעות צורות ששייכות לכל אחד משלושת הממדים: נקודה (שקודמת לממדים ומרכיבה אותם) קו, שטח ונפח. 


יום שבת, 21 ביוני 2014

יום שישי, 20 ביוני 2014

מספרים שעשויים מצורות גיאומטריות

מספרים מעץ שעיצבה סבינה סעד מחתיכות עץ צבעוניות שקנתה בשוק רמלה
 (c) 
Sabina Saad 2014
***
בהשפעת היצירה הזאת של סבינה סעד
עיצבתי את עשרת המספרים הראשונים כך שאחד עשוי מחלק אחד, שניים משניים וכן הלאה:




יום חמישי, 19 ביוני 2014

שיטת הכפלה הודית קדומה


כאשר לומדים איך לעשות משהו בשיטה מסוימת קשה להאמין שניתן לעשות זאת אחרת. בעיקר כשמדובר במשהו בסיסי כמו הכפלה, שנלמד בגיל צעיר, ועם השנים נחרט בתודעה כהרגל. 
איור מתוך ספרו של פלוריאן קאג'ורי:
A History of Elementary Mathematics by Florian Cajori, 1898, p.91

יום שלישי, 17 ביוני 2014

המחשה גאומטרית לסדרה הנדסית עולה

הפיתגוראים ידעו ששטח הריבוע שעל האלכסון של ריבוע הוא פי שניים משטח הריבוע המקורי. 
אם נתבונן בריבוע הקטן ביותר- יש בו שני משולשים חופפים. בריבוע שעל האלכסון שלו יש כבר ארבעה, ולכן קל לראות שהוא גדול פי שניים מן הריבוע המקורי. 
המשכתי את העיקרון הזה ושרטטתי את הריבוע של האלכסון של הריבוע השני. כאן כבר קל לראות שיש ארבעה ריבועים בגודל של הריבוע המקורי. 
ואם ממשיכים את המשחק הזה עוד ועוד זה מתחיל להיראות כמו ספירלה, ומזכיר את סדרת פיבונאצ'י. אני רק מצטער שלא לימדו אותי את הדבר המדהים הזה בבית הספר. 
אפשר לראות משהו דומה גם אם מתחילים ממשולש, שמכפיל את עצמו ויוצר ריבוע של שני משולשים, שמכפיל את עצמו ויוצר מלבן שמכיל ארבעה משולשים, שמכפיל את עצמו ויוצר מלבן של שמונה משולשים, שמכפיל את עצמו ויוצר מלבן של 16 משולשים,  שמכפיל את עצמו ויוצר מלבן של 32 משולשים... 
   

יום שני, 16 ביוני 2014

סוד השבע




לדעת מוריץ קנטור ופרשנים אחרים השנה הבבלית מנתה תחילה 360 ימים בשנה, ומכאן באה חלוקת המעגל ל 360 מעלות, והוא מוסיף שאולי ידעו הבבלים שרדיוס המעגל קטן פי שש מהיקפו*.
360 המעלות של המעגל מתחלקות למספר שלם בכל אחד מתשעת המספרים הראשונים מלבד בשבע.
מעניין אם תופעה זו הייתה ידועה למחבר הסיפור המקראי על שמשון, שהמילה שמש הכלולה בשמו רומזת על שנת השמש, ועל גלגל השמש (שצורתה צורת עיגול), וסוד כוחו נקשר למספר שבע:
שופטים פרק טז:
ז וַיֹּאמֶר אֵלֶיהָ, שִׁמְשׁוֹן, אִם-יַאַסְרֻנִי בְּשִׁבְעָה יְתָרִים לַחִים, אֲשֶׁר לֹא-חֹרָבוּ, וְחָלִיתִי וְהָיִיתִי כְּאַחַד הָאָדָם
שמשון אהב לחוד חידות, וכאשר אמר "שבעה יתרים לחים" - כיוון לשבע מחלפות שערו שהיו סוד כוחו)
יג ... וַיֹּאמֶר אֵלֶיהָ אִם תַּאַרְגִי אֶת שֶׁבַע מַחְלְפוֹת רֹאשִׁי עִם-הַמַּסָּכֶת...
יט ... וַתְּיַשְּׁנֵהוּ, עַל בִּרְכֶּיהָ, וַתִּקְרָא לָאִישׁ, וַתְּגַלַּח אֶת שֶׁבַע מַחְלְפוֹת רֹאשׁוֹ

מתוך:*
A History of Elementary Mathematics by Florian Cajori , 1898
שמסתמך על

*Vorlesungen über Geschichte der Mathematik by Moritz Cantor (1894), Vol. I, pp. 91-93
***
לאחר שפרסמתי כתבה זו עם תמונה אחרת מצאתי את עצמי ברחוב שמשון וכשהגעתי למספר 7- צילמתי.  

יום שישי, 13 ביוני 2014

טטרקטיס כמשוואה -א


בדרך כלל אנחנו מסתכלים על עשרת המספרים הראשונים כעל יחידות, אבל כמו ש
1+9=10
כך גם
 20=2+18
27+3=30
ואפילו
100+900=1000

ומכאן ניתן להבין שעשרת המספרים הראשונים הם בעצם משתנים במשוואה. 

יום רביעי, 11 ביוני 2014

לוח הכפל של ניקולא שיקה


מתוך עמוד 44 בספר
Le Triparty en la science des nombres
מאת המתמטיקאי הצרפתי ניקולא שיקה 
Nicolas Chuquet;‏ 1445–1488

יום שישי, 6 ביוני 2014

הכריכה הקדמית לספרי המקוון על התבוננות במספרים


הספר (בהתהוות) כתוב באנגלית 
והוא כולל, נכון לרגע זה, מעל מאה צילומים ואיורים 
מלווים בטקסטים שמבוססים על בלוג זה
אבל בהבדל מן האקראיות והספונטניות של הכתבות בבלוג 
הספר מתומצת, והוא מסודר ומחולק לפרקים:
מבוא
מספרים
יחסים בין מספרים
פעולות חשבון
על הקשר שבין גאומטריה לאריתמטיקה
מספרים שמופיעים בציורים
צילומי מספרים


  

יום שלישי, 3 ביוני 2014

האם ניתן להחשיב את אפס כמספר מן המניין?

האפס היה קיים בתרבויות עתיקות כמסמן מקום ריק, אבל לא כמספר. גם בימינו הוא עדיין ממלא תפקיד זה: האפס שלפני האחד מודיע למתבונן שעוד אין יחידות, וכך גם בעשר. במאה הוא מודיע שבמקום השני מימין עוד אין עשרות. באלף הוא מודיע שבמקום השלישי מימין עוד אין מאות...
כמספר, האפס נכנס לשימוש אלפי שנים אחרי שאר המספרים, מה שאומר שאנשים הסתדרו לכל אורך אותה תקופה בלעדיו, ואפילו לא הרגישו בחסרונו.
בין היחידות האפס הוא מספר יוצא מן הכלל:
כל מספר מאחד ואילך מכיל אחדים מלבד האפס. האפס, למרות שהוא אחד, אין בו אף אחד.
כל מספר יכול לחלק ולהתחלק לכפול ולהכפיל מלבד האפס.
כל מספר יכול להתגלגל (להוסיף לעצמו תשע כך שיופיע שנית בסכום הספרות של המספר החדש) מלבד האפס.
יש לכל מספר תוכן (סכום הספרות מאחד עד אליו) מלבד לאפס.
האפס קיים לפני שאנחנו סופרים, אבל כל שאר המספרים קיימים רק לאחר שהתחלנו לספור.
כמו לאחד גם לאפס אין חלקים, ובתכונה זו הם שונים מיתר המספרים.
מצד שני:
האפס על הסרגל הוא קו או נקודה, או מקום, והוא מוחשי כמו כל מספר אחר.
אם מספר כלשהו נוצר מקודמו באמצעות הוספת יחידה אחת, האפס אינו יוצא מן הכלל, כי הוא בורא את האחד, את המספר הראשון, על ידי הוספת אחד לעצמו.
***

התמונה באדיבות Serge Melki ורואים בה את נקודת האפס ממנה מחשבים את המרחקים מפריס.

יום ראשון, 1 ביוני 2014

על הקשר שבין מספרים שבנויים מאותן ספרות בסדר שונה לבין המצאת הדפוס של גוטנברג



לגבי מספרים כמו 123, 213, 312, שבנויים מאותן ספרות בסדר שונה, ניתן לומר על בסיס דברי רס"ג בפירושו ל"רצוא ושוב" שבספר יצירה (ב"כוזרי",מאמר רביעי סעיף כה):
חוֹזֵר הַגַּלְגַּל פָּנִים וְאָחוֹר, אֵין בְּטוֹבָה לְמַעְלָה מֵעֹנֶג וְאֵין בְּרָעָה לְמַטָּה מִנֶּגַע, רְצוֹנוֹ לוֹמַר שֶׁאוֹתִיּוֹת אֶמֶשׁ וְאָשָׁם, וְעֹנֶג וָנֶגַע אַחַת הֵן, וְאֵין בֵּינֵיהֶם אֶלָּא הַהַקְדָּמָה וְהָאִחוּר, כְּמוֹ שֶׁהַזְּרִיחָה וְהַשְּׁקִיעָה לַגַּלְגַּל אֶחָד בְּחֻקּוֹ, וּבְחֻקֵּנוּ אֲנַחְנוּ – רָצוֹא וָשׁוֹב.
ניתן גם להוסיף ולומר שסכום הספרות של מספרים שכאלה הוא אותו סכום
123=6
213=6
312=6

לכאורה נדמה שאין להבחנה הזאת שימוש מעשי, אבל המצאת הדפוס של גוטנברג התבססה עליה כאשר לראשונה בתולדות ההדפסה ניתן היה אחרי שהדפיסו עמוד לפזר את האותיות ולסדר אותן מחדש לקראת הדפסת עמוד חדש. לפני הדפסה זו היו חורטים את האותיות על לוח עץ וזורקים את הלוח לאחר ההדפסה.