יום ראשון, 17 בדצמבר 2017

אינסוף כפול אפס שווה לכל המספרים

לפני שנרדמתי קראתי שרמנוג'אן [1] גילה שאינסוף כפול אפס שווה לכל המספרים [2]. כשהתעוררתי היה נדמה לי שהוא התכוון למלבן שאורכו אינסופי ורוחבו אפס, כי מלבן שאורכו אחד ורוחבו אפס הוא חלק מאותו מלבן אינסופי, וגם מלבן שאורכו שניים וכן הלאה. השטח של כל המלבנים האלה הוא באותו גודל, אפס, אבל אורכם משתנה. בניסוח המספרי של רמנוג'אן בכלל לא היה ברור לי על מה לעזאזל הוא מדבר, אבל זה נראה אחרת לגמרי כשתרגמתי את השפה שלו לגאומטרית
בטיול הבוקר שלי כבר חשבתי שעל גלגל של רולטה, כל עוד הגלגל מסתובב כל מספר הוא בעל ערך של אפס, ומבחינה זו לא משנה אם יש על הגלגל אינסוף מספרים. רק כשהגלגל במנוחה כל מספר מקבל את מקומו ביחס למספרים האחרים.
הערות
[1]
רמנוג'אן סריניוואסה (1887- 1920)
[2]
..."באנגליה רמנוג'אן בנה תיאוריה של המציאות סביב אפס ואינסוף, אם כי אנשים סביבו לא הצליחו להבין למה בדיוק הוא התכוון. אפס, כך נראה, ייצג מציאות מוחלטת. אינסוף היה הביטויים הרבים של מציאות זו. התוצאה המתמטית שלהם, אינסוף כפול אפס, לא הייתה מספר אחד, אלא כל המספרים אשר כל אחד מהם התאים לפעולות בודדות של יצירה. "הרעיון אולי נראה טיפשי לפילוסופים, מתמטיקאים, אבל היה בעל משמעות לגבי רמנוג'אן". תרגום שלי מתוך הספר:

Zero: A Landmark Discovery, the Dreadful Void, and the Ultimate Mind By Syamal K. Sen, Ravi P. Agarwal

יום שישי, 15 בדצמבר 2017

על המשמעות של הזווית הישרה לפי פילון האלכסנדרוני

"המשולש ישר הזווית, נקודת ההתחלה של הצורות בעלות הצורה המוגדרת, מורכב ממספרים מסוימים, כלומר 3 ו 4 ו 5: 3 ו 4, שהם החלקים המרכיבים של 7, מייצרים את הזווית הישרה: שהרי הזווית החדה והזווית הקהה הן גילויים של אי-סדירות והפרעה ואי-שוויון: כי זווית אחת יכולה להיות חדה יותר או קהה יותר מאחרת: בעוד שזווית ישרה אחת אינה מאפשרת השוואה לאחרת, והיא אינה יכולה להיות "יותר ישרה" מאחרת, היא נשארת כפי שהיא, ולעולם אינה משנה את הטבע הנכון שלה"
מקור: פילון האלכסנדרוני, על בריאת העולם, תרגום שלי לעברית על פי התרגום לאנגלית של קולסון, ווויטקר, (לונדון וניו יורק 1929),כרך א עמ' 77-78
הערה שלי:
בראש טבלת עשרת הניגודים, שמופיעה בכתבי אריסטו ב"מטפיסיקה" 986 א, ניצב הניגוד שבין המוגבל לבלתי מוגבל, שהוא הניגוד החשוב שביניהם, כי עליו מתבססים הניגודים הבאים. הפיתגוראים העריצו את המוגבל וחששו מן הלא מוגבל, האינסופי. האחרון בטבלת הניגודים הוא הניגוד בין ריבוע למלבן. ריבוע הוא דבר מוגבל, לכל מספר יש ריבוע משלו, וכזה יש רק אחד. אבל כל מספר יכול ליצור מלבן עם כל מספר אחר, ומאלה יש אינסוף. אותו היגיון מנחה את פילון בקטע שתרגמתי לעיל. יש רק זווית ישרה אחת- זה המוגבל. יש אינסוף זוויות שאינן ישרות- זה הבלתי מוגבל, המפחיד. עד כמה שאני מכיר את פילון הוא לא ממציא מדעתו אלא מצטט מאיזה ספר שאינו מציין את שמו.

המספרים 3 4 5 הם המרכיבים של משפט פיתגורס. ההתעכבות של פילון על העובדה שהשלוש והארבע הם המרכיבים של השבע מאפשרת הבנה חדשה של משפט פיתגורס. כאשר מחברים את שלש וארבע בחשיבה של תורת המספרים, רואים לכל היותר חיבור של יחידות מופשטות זו לזו, אבל בחשיבה גיאומטרית רואים משולש ישר זווית, ומבינים במה הוא מיוחד מכל שאר המשולשים. הגיאומטריה מעשירה את ההבנה של תורת המספרים, ומוסיפה לה ממד חווייתי. 

יום שלישי, 12 בדצמבר 2017

לאחד יש קדקוד אחד

לאחד יש קדקוד אחד. לשניים שניים, למשולש שלושה, לריבוע ארבעה, למחומש חמישה, למשושה שישה. קל יותר לראות את זה כשהולכים מהאחרון לראשון. 

צורתו של השבע

הנקודה היא הצורה של האחד, הקו של השניים, המשולש של השלוש, הריבוע והמרובע של הארבע, המחומש והפנטגרמה של החמש, המשושה והמגן דוד של השש.

ישנם שלושה סוגים של קווים ישרים: אורך רוחב ואלכסון. כאשר הם חוצים אלה את אלה הם יוצרים צורת כוכב של ששה קדקודים, שבמרכזו נקודה. הנקודה הזאת היא הצורה של השבע. אם תדמיינו לעצמכם את ששת הקווים של הכוכב כחישורים של גלגל, ואת הגלגל כשהוא מסתובב לאט, תראו בברור שהנקודה העליונה מחליפה את זו שמתחתיה, וזו שמתחתיה את זו שמתחתיה, אבל אף נקודה לא יכולה להחליף את הנקודה שבאמצע, את השבע. זאת ועוד, גם אם הגלגל מסתובב במהירות הנקודה השביעית תמיד נחה [1]. זה המראה שראה מי שכתב את סיפור הבריאה המקראי. השבת היא התגלמות המספר שבע, היא שונה בסוגה משאר המספרים. זה גם מה שראו הפיתגוראים. הם אמרו שהשבע לא נולד מאב ואם אלא הגיע למציאות מוכן, כמו אלת המלחמה אתנה שקפצה לבושה וחמושה ממוחו של זאוס. כי מבין עשרת המספרים הראשונים העשר נולד מהחמש, התשע - מהשלוש, השמונה - מהשניים, השש – מהשלוש.
[1]
כך גם מתאר פילון האלכסנדרוני את המספר שבע:
"for that which neither begets nor is begotten remains motionless; for creation takes place in movement, since there is movement both in that which begets and in that which is begotten, in the one that it may beget, in the other that it may be begotten. There is only one thing that neither causes motion nor experiences it, the original Ruler and Sovereign" (Philo, ON THE CREATION, XXXIII)

מדוע השניים נראה כתמונת מראה של החמש

  

כמו שהאחד הוא האחד ביחידות העשר הוא האחד בעשרות, יש רק עשר אחד, וכמו שהאחד הוא הראשון ביחידות, העשר הוא הראשון בעשרות. וכמו שהשניים מחלק את האחד לשני חצאים שווים, כך החמש מחלק את העשר לשני חצאים שווים. את התופעה הזאת הבין מי שעיצב את צורת המספרים ולכן הוא קבע שהשניים יהיה תמונת מראה של החמש ולהפך.