יום שלישי, 31 בינואר 2017

נקודות הטטרקטיס מופיעות באותו סדר מכל זווית ראייה

אחת הסיבות להערצת הטטרקטיס היא שעשר הנקודות שלו מופיעות באותו סדר מכל זווית ראייה:

המספרים תחובים זה בתוך זה כמו גלדים בבצל


הטטרקטיס מספק לנו תובנה שאיננה מובנת מאליה שלפיה המספרים תחובים זה בתוך זה כמו גלדים בבצל: 10 הנקודות של הטטרקטיס הן המספר המשולש של 4 המכיל את 6 הנקודות אשר הן המספר המשולש של 3, אשר מכיל את 3 נקודות אשר הן המספר המשולש של 2, אשר מכיל את הנקודה האחת שהוא המספר המשולש של 1.

המחשה של ההגדרה שלאפס אין אורך

אורך המרחק בין האפס לבין האחד זהה לאורך המרחק שבין האפס לבין המינוס אחד
אבל לאפס עצמו אין אורך

יום שני, 30 בינואר 2017

הריבוע והזדככות המסך מאת אלי בנאקוט

אין הבדל בן הריבוע המספרי לריבוע במובנו הקבלי. הריבוע במובנו הקבלי נגזר מסדרה של ‘זיווגים והכאות’ הנעשים על מסך מטפורי שהותקן על ספירת המלכות המצומצמת שלא תקבל לתוכה אור. המסך הוא אותו פקטור שמופיע מיד לאחר אקט הצמצום, שהוא תולדה של הצמצום, וייעודו לדחות את האור בחזרה לאחור כך שפעולת הצמצום לא תיחשב כאקט אקראי וארעי אלא שתמצה עצמה עד תום. עד מתי? עד שהמסך יזדכך בהדרגה ויצא לבחינת שורש. עד שהאור הישר יהפוך לריבוע.
 בשעה שהמסך הולך ומזדכך בסדר המדרגה  - מבחינה ד’ לבחינה ג’, ומבחינה ג’ לבחינה ב’, ומבחינה ב’ לבחינה א’ ומבחינה א’ לבחינת שורש -  הזיווגים וההכאות האלה מכונים ״ריבוע״, והם גורמים לזיכוך המסך עד ביטולו המלא לבחינת שורש. על הקומה שהזדככה לבחינת שורש נעשה זיווג עליון חדש, ומעבר למדרגה חדשה. בהיבט הקבלי ריבוע מורה שהאורות מתעוררים להסתלק מהתחתונים והם הולכים ומתמעטים ושבים לשורשם באצילות. היות שאור עליון אינו פוסק מהתחתונים אפילו לרגע לכן הריבוע מציין הזדככות המסך בהדרגה בדרך  ‘זיווגים והכאות’, זה אחר זה, אור ישר ואור חוזר עד הזדככות לבחינת שורש ומעבר למדרגה חדשה. (ככלל צריך תמיד לזכור שבערכים של אור וכלי המיעוט הוא תמיד מצד הנאצל ולא מצד המאציל. המאציל ממשיך להאיר בשווה כשם שהשמש מאירה בשווה לעני ולעשיר) יישום העניין בכתיבת השם יעשה באופן שבכל זיווג והכאה יחסר לשם אות אחת כנגד אותה בחינה שבמסך שנזדככה. לדוגמא שם יהוה מלא יורה שיש לו קומה שלמה, שהיא קומת כתר, ואחריו יבוא יהו (חסר ה אחרונה) וזה יורה על התמעטות הקומה מכתר לחכמה ואחר כך יה - התמעטות הקומה לבינה בלבד ואחר כך י - ז”א, ואחר כך קוצו של יוד - הזדככות לבחינת שורש שהיא קומת מלכות.
  בהיבט המספרי כבר אמרנו שהריבוע הוא צירוף של שני מילויים עוקבים, לדוגמא : צירוף מילויי  המספרים 3  ו- 4 :
 6 + 10 =  16 = ריבוע ארבע.
בנוסח אחר אפשר להגדיר ריבוע כמספר שכל רכיב שלו הוא המספר עצמו. לדוגמה בארבע אנו מונים ארבעה מרכיבים: אחד שניים שלוש וארבע, הנספרים במובן הריבועי כארבע כפול ארבע. לכן במובן הריבוע עושה השוואת הצורה, כך שכל  חלק מהשלם הוא השלם עצמו.
במובן המספרי/ קבלי ערך מספר משולש ( המילוי) יציין את ערך האור של המספר/ ספירה, ואילו הריבוע יתקשר יותר לערך הכלי, תכולה, או לבוש של המספר. היות שיש ערך הפכי בין אור לכלי, מכאן שיש ערך הפכי גם בין הריבוע למילוי, הגם שיש לזכור שבמספרים המבט יותר אלסטי ונזיל ופחות כפוף להגדרות ומטפורות מכל סוג שהוא.
 אין לתאר ריבוע ללא התפשטות והסתלקות האור. עניין זה קושר את הריבוע לאפס המספרי. לעומתו  המספר אחד כאימפולס ראשון, קשור לערך מספר משולש, למילוי. אחד הוא המספר היחידי שבו ערך המספר הפשוט וערך המילוי וערך הריבוע יהיו זהים.  היות שכל מספר מתחיל כאחד, לכן המספר אחד כריבוע, יכול להיות מזוהה גם עם מושג ה״רשימו״ הקבלי. הרושם שהאור משאיר לאחר הסתלקותו יהיה תמיד אחד, ואחריו יבוא ארבע ואחריו תשע ואחריו שש עשרה וכ”ו. ‘זיווג והכאה’ ראשון הופך את האחד מערך מילוי לערך ריבוע. מדוע? היות שבהסתלקות האור הוא נספר פנים ואחור, הווה אומר, נעשה ריבוע.
נחזור למשל קרן האור. תחמנו את קרן האור במספר ארבע והצבנו על המספר ארבע מסך הדוחה את קרן האור חזרה אל האפס. כעת המילוי שב לאחוריו  בהסתלקות הדרגתית אל האפס כשקרן האור החוזר פוגעת במספר אחד הוא כבר לא אותו אחד שספרנו כמילוי, ובהשפעת המסך הוא הופך מיד לריבוע. (אחרת קרן האור היתה נעלמת כלעומת שבאה, משל כלום לא קרה). כמובן, ניתן לומר שאחד נספר בו זמנית הן כמילוי והן כריבוע: כמילוי היות שלא יתכן שלא תהיה חפיפה מלאה בין האור הישר לאור החוזר של המספר, וכריבוע היות שבזמן הסתלקות האור ספרנו אותו ‘פנים ואחור’ ועל כן כאחד הוא מיד מממש את תכונת הריבוע שבו והופך ריבוע. כעת קרן האור שוב הופכת את פניה למטה וחוזרת לארבע, אבל כעת היא מתחילה את מסעה מהמספר שתיים, לכן ערך המילוי של המספר 4 יהיה כעת  9  = 1 - 10
ושוב פעולת המסך מחזירה את קרן האור לאחור בתורת אור חוזר, ואז כשקרן האור פוגעת במספר שניים גם הוא מממש את עצמו והופך ריבוע, היות שספרנו אותו פעמיים, פעם בהסתלקות האור הראשונה, ופעם בהסתלקות האור השנייה.  ושוב קרן האור מתהפכת חזרה למטה לאור ישר, אלא שהפעם אנו מתחלים את הנסיעה מהמספר שלוש, כך שמילוי המספר מתקצר ל 7 = 3 - 10. וכן הלאה  עד לזיכוך המסך המלא ויציאתו לבחינת שורש,  שהוא הפיכת המילוי לריבוע ומיד אח״כ זיווג עליון חדש ויציאת קומה חדשה.
סיכום סכמתי של המהלך בדוגמה של המספר ארבע יראה כך:




אני יכולים לראות שתחילה המספר ארבע נספר בתורת מילוי, יש לו עשר באור ישר,  אפס באור חוזר ואפס בריבוע. לאחר הסתלקות ראשונה הוא תשע באור ישר, אחד באור חוזר ואחד ריבוע. לאחר הסתלקות שניה יש לו שבע באור ישר, שלוש באור חוזר וארבע בריבוע, בהסתלקות שלישית הוא ארבע באור ישר שש באור חוזר ותשע בריבוע.  ובהסתלקות רביעית  כל האור הישר שלו הופך לאור חוזר, ואז נבחן שיש לו אפס באור ישר, עשר באור חוזר, ושש עשרה בריבוע. כעת המספר ארבע מממש עצמו כריבוע:  4 = 16.
דוגמה נוספת, ברישום מעט שונה, במספר חמש תראה כך:



הציור במבט לאורך יראה את התמעטות האור הישר (המילוי) וכשנבחן את הציור במבט רוחבי נגלה את בניין הריבועים הנבנה בהדרגה ככל שהמסך הולך ומזדכך. ככלל, היפוך האור הישר לאור חוזר שקול לבניין הריבועים באופן הזה :— 15 + 14 + 12 + 9 + 5 = 55 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 
ככל שקומת המילוי הולכת ומתקצרת קומת הריבוע הולכת וגדלה עד שהמספר מתהפך מאור ישר לאור חוזר והופך ריבוע. בנקודה זו - כל האור הישר התהפך לאור חוזר - והיות שאין הפסק או העדר בתנועה, ואור אין סוף ממשיך להאיר בהשוואה גמורה וללא הפסק, לכן  מיד נעשה ״זיווג והכאה״ חדש ויציאת קומה חדשה, או אוקטבה חדשה. האוקטבה הזו ביחס לחמש יכולה להיות המספר 6 שמילויו 21, או המספר 4 שמילויו 10, תלוי בוקטור ההתקדמות שלנו אם אנו מלכתחילה במגמת התפשטות או הסתלקות.  


מרכזו של מספר


למספרים האי זוגיים יש מבנה של
 x+12
כך שניתן להפחית אחד מן המספר האי זוגי ולחלקו לשניים
וכך
3-1:2=1
5-1:2=2
7-1:2=3
9-1:2=4...
בתצוגה פשוטה הארבע נמצא בשבע כמרכז שלו כאשר יש שלושה אחדים מכל צד שלו:
1114111

בטטרקטיס הוא מוקף בששה אחדים שיוצרים משושה שחסום במשולש:

יום ראשון, 29 בינואר 2017

האחד שבמרכז הטטרקטיס



אם מציבים במקום הנקודות של הטטרקטיס את המספר 1 ניתן לראות שיש תשעה אחדים שסובבים אותו, כי הוא מרכזו של העיגול שמקיף את המשולש שווה הצלעות של הטטרקטיס. לא ניתן לצייר מעגל בלי שיהיה למחוגה מרכז כנקודת משען

משמעות נסתרת של האות יו"ד

אם מציבים במקום הנקודות של הטטרקטיס את המספרים לפי סדרם:

1
1     2
1     2     3
1     2     3     4

ומסכמים את כל השורות
1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)=20
 מפליא לראות את ההתאמה שבין תצוגה זו של הטטרקטיס לבין הגימטריה של שמה של
האות יו"ד (שהיא האות העשירית באלף בית העברי, והאופן שבו נכתב המספר עשר בחשבון העברי)
י=10
ו=6
ד=4
10+6+4=20


יום שבת, 28 בינואר 2017

טטרקטיס על מעגל

האחד, בהבדל משאר המספרים, אינו קו - הוא המרכז של כל העיגולים
במפגש של הרדיוסים עם היקפי המעגלים נוצרות שתי נקודות
 האי זוגיים נוצרים על חוצה הזווית
ניתן להמשיך את המודל הזה לאין סוף וכל מספר ימצא עליו את מקומו 
לכל מספר יש שתי נקודות בקצה שמגדירות אותו כקטע מקו

יום שישי, 27 בינואר 2017

מרכיביו הגיאומטריים של הריבוע


ריבוע של מספר מורכב משני המשולשים של המספר שלפניו ומאחד מאלכסוניו
המשולשים הם המילוי של המספר שלפניו- המספרים מאחד עד אליו
ואילו האלכסון הוא המספר עצמו שאותו העלינו בריבוע

יום חמישי, 26 בינואר 2017

שברים מנקודת מבט של הגיאומטריה


קו הוא אינסופי. נקודה היא סופית. בגלל שהיא סופית הנקודה מגבילה את הקו, וקוטעת אותו לקטעים. מנקודה אחת עוד אי אפשר לתחום קטע. הקטע הראשון מוגבל על ידי שתי נקודות. השני על ידי שלש נקודות וכן הלאה. יפה שניתן לראות את כל זה בטטרקטיס של הפיתגוראים.

יום שני, 23 בינואר 2017

מדוע נולדה הפילוסופיה דווקא ביוון?


ראשוני הפילוסופים היוונים לא הפרידו בין פילוסופיה לבין מתמטיקה לבין גיאומטריה. על השאלה מהו הדבר האחד שעליו נשען הריבוי של הדברים שמופיעים בעולם הם ענו בפילוסופיה באמצעות מלים, במתמטיקה באמצעות מספרים, ובגאומטריה באמצעות צורות. וכך יצא שהמספר אחד, שהוא המקור לריבוי של המספרים, הוא הנקודה, שהיא המקור לריבוי הצורות, והוא המים או האוויר או האטום, שכל אחד מהם הוצע כמקור לריבוי התופעות שקיימות במציאות הפיזית. 
אבל את ההשראה לשאלה מהו מקורם של הדברים הם קיבלו מן המיתולוגיה היוונית שקדמה להם. שם מופיעה דמות של אחד בשם אטלס שנידון לשאת את כיפת השמים על כתפיו. אם ישמוט אטלס את השמים מכתפיו ייהרס העולם, וזה מה שיקרה למתמטיקה בלי המספר אחד, לגיאומטריה בלי הנקודה, ולפיזיקה בלי האטום, הדבר האחד שאינו ניתן לחלוקה. במבט לאחור המיתולוגיה מוסיפה לשאלה של ראשוני הפילוסופים היוונים משמעות ועומק, לא די לה בהצבעה על ההתחלה, על המניע שאינו מונע, היא גם שואפת לדעת מה מחזיק את העולם כפי שהוא, ומה מונע ממנו להתמוטט. 
לאור כל האמור לעיל משתמע שלא במקרה נולדה הפילוסופיה ביוון, וכי אלמלא המיתולוגיה היוונית לא הייתה באה כלל לעולם. הפילוסופיה תלויה במיתולוגיה כמו שהמספרים תלויים באחד, כמו שהצורות תלויות בנקודה, כמו שהמציאות תלויה באטום. 

יסודות התנועה המספרית: המילוי והריבוע מאת אלי בנאקוט

המספר עשר מכיל את כל המספרים עד אליו כולל עצמו ואז הוא נספר כמילוי :
 1 + 2 + 3 + 4 +….. 10  = 55 .  
המילוי בטרמינולוגיה מתמטית נקרא מספר משולש.  באסכולה הפיתגוראית נהגו להתבונן במספרים דרך הצבתם כנקודות  היוצרות משולש שווה צלעות לדוגמה, ארבע כמספר משולש, או כמילוי ניתן להצבה כנקודות במבנה משולש כך:

.
.  .
.  .  .
.  .  .  .

גם אשל״ג מדבר על המילוי אבל בשפה של עשר ספירות, המונח שהוא משתמש בו  ‘דרך מעבר’ נועד לתאר את התנועה שכל ספירה עושה בספירות שקדמו לה : חסד לא נולד יש מאין, קודם שחסד נעשה חסד הוא עושה דרך מעבר  בכתר, ואחר כך דרך מעבר  בחכמה, ואחר כך דרך מעבר בבינה עד הגיעו למקומו כספירת חסד. מכאן שעד לחסד עברו בכתר חכמה בינה וחסד ועד לבינה עברו בכתר חכמה ובינה ועד לחכמה עברו בכתר חכמה ועד לכתר לא עברו בכתר שום ספירות ורק כתר לבדו נספר. מהתיאור הנ״ל אנו יכולים לראות שכתר חסד נושא איתו כמילוי או כשדה אור, את כל אותן ספירות שעשו בו דרך מעבר. המונחים מעט שונים אבל הרעיון אותו הרעיון.


מערך המילויים עד לעשר:


—1— 
—2—3
—3—— 6
—4———— 10
—5—————-— 15
—6———————-—— 21
—7————————————— 28
—8—————————————-————— 36
—9——————————————————————— 45
—10——————————————————————----———— 55

כל מספר נספר תחילה כמספר פשוט אחר כך נוסף לו המילוי, כל מה שהוא נושא איתו כולל עצמו, במובן מסוים מה שמאיר אותו. עיקרון המילוי מתאפשר, או מבוסס על כך שלמספר בין היתר, תכונה של ספר, של גבול, כל מספר תוחם, עושה גבול. אין לנו אפשרות לדבר על התנועה ללא תיחום כלשהו. ניתן לתאר את התנועה המספרית כקרן אור שנובעת מהאפס ונוסעת לאין סוף. המספרים תוחמים את קרן האור במרווחים מדויקים של פלוס אחד. אם המספר הוא גבול הרי שהוא בהכרח מכיל את כל המספרים שקדמו לו כהצטברות עד אליו, להלן מילוי המספר. התחימה היא ממשית אבל גם אשליתית, כי קרן האור אינה מתחשבת בכך, קרן האור ממשיכה לנסוע לאין סוף. אנו תוחמים על מנת להבחין ומצרפים יחד כדי לראות. במהות קרן האור היא התנועה עצמה, ובהקשר זה הסמן והמסומן הבאים ביחד הם אותו הדבר עצמו.  אך מרגע שתחמנו את קרן האור בנקודה כל שהיא ( המספר, המילוי ) התנועה מיד נספרת פנים ואחור, הנסיעה לאין סוף היא כעת דו כיוונית, קדימה ואחורה, מהאפס לאין סוף ומהאין סוף לאפס ומזה עולה עניין הריבוע. 
ריבוע כהגדרה הוא צירוף של שני מילויים עוקבים או, הספירה ההדרגתית עד למספר עצמו, וההסלקות הדרגתית בחזרה לאפס. ריבוע מתאר תנועה שמתפשטת עד למספר עצמו, נתחמת ומסתלקת בהדרגה לאפס. דרך נוספת לתיאור הריבוע: כל רכיב במספר הוא המספר עצמו. כל רכיב בארבע הוא ארבע לכן ריבוע ארבע הוא שש עשרה.
המילוי והריבוע מופיעים גם בספרות הקבלית. בדרוש שמסר רח״ו לרש״ס מובא תיאור כזה של הריבוע: ״כי כשנכנס האור מלמעלה הכתר קיבל אורו, וגם בתוכו עבר כל האור שירד לשלמטה ממנו, ויש לו רשימו מכלם, ולכן נקרא כתר שיש בו אור מכל העשר בחינות. ושנית לו חכמה, שקבלה האור שלה ושלמטה ממנו, אבל אור הכתר נשאר למעלה. והשלישית בינה, כי לא קיבלה אלא מבינה ולמטה, וכן בשאר כמו שנבאר.״
 אם נחיל את התיאור הנ״ל על המספר עשר  נקבל טור מספרי המציע יחס אפשרי בין תכונת המילוי והריבוע של המספר:
  

הרישום למעלה מציע דרך לייצוג היחס שבין המילוי לריבוע. היחס הוא אמנם הפכי - האור הישר הופך לאור חוזר -  אבל גם שקול - האור החוזר הופך לריבוע.  רישום המספרים באופן הזה מראה שמהתמעטות קומת המילוי של המספר נבנה בניין הריבועים. המספר 385 הוא גם אוסף הריבועים עד לעשר וגם אוסף התמעטות הקומה של המילוי לפי סדר מדורג פחות אחד פחות שתיים וכו'.

אשל״ג מכנה את הריבוע ‘עשר ספירות שקומתם שווה’  או ‘עשר ספירות באורך ועשר ספירות בעובי’ : ״כתר יש לו מאה ספירות שהן עשר ספירות מכתר עד מלכות בעובי, מלבישות זו על זו, שכל אחת יש לה עשר ספירות באורך, מכתר עד מלכות״ ( תע״ס חלק שלישי). 

ציור ריבוע באמצעות נקודות:


*
*    *
*    *    *
*    *    *    *
*    *    *
*    *
*

יום שבת, 21 בינואר 2017

האחד שלפני האחד



על פי מודל אחד של  הגיאומטריה האוקלידית המספר אחד הוא הקטע של הקו המשמש כקנה מידה למדידת אורכים, שטחים או נפחים. וכך, לדוגמה, אנחנו מתייחסים לסנטימטר אחד, לסנטימטר רבוע אחד או לסנטימטר מעוקב אחד.
על פי מודל שני, יש לפני האחד הנמדד אחד שאינו נמדד. מודל שני זה מקורו בטטרקטיס של הפיתגוראים; טטרקטיס זה צורתו צורת משולש שבנוי מנקודות. בקדקודו נקודה אחת, שהפיתגוראים קוראים לה "אחד" או "מונאדה", מתחתיה שתי נקודות שמהן ניתן ליצור קו, תחתיהן שלש נקודות שמהן ניתן ליצור שטח של משולש, ובבסיס הטטרקטיס יש ארבע נקודות שמהן ניתן ליצור פירמידה משולשת.
האחד שמופיע בטטרקטיס הוא האחד שלפני האחד, והוא מנוגד לאחד שנמדד. אין לו אורך, אין לו התחלה, אין לו סוף, והוא אינו משמש כחלק מקו אחר.
זאת ועוד, במשולש שבנוי משלוש צלעות, שלשת הקדקודים אינם נקודות. הם אינם נמצאים במקום נפרד מזה של הצלעות. אי אפשר לראות אותם. כל מה שאנחנו רואים הוא שלש צלעות, שהן שלושה קווים, שנפגשים בשלושה מקומות. מלמדים אותנו בבית הספר לסמן שלש נקודות באותיות ABC ולמתוח ביניהן קווים על מנת ליצור משולש, אבל הנקודות נבלעות בקווים שמתחנו ביניהן... ונעלמות.
הטטרקטיס המקורי מכיל ארבע שורות של נקודות, אבל כאשר מתאימים אותו לאחד שנמדד הוא נראה כמו טרפז שבראשו יש שתי נקודות שהן הקצוות של יחידת מידה אחת, מתחתיהן שלש נקודות שהן הקצוות של שתי יחידות, מתחתיהן יש ארבע נקודות שהן הקצוות של שלש יחידות שמהן ניתן לבנות משולש, ובבסיס יש חמש נקודות שהן הקצוות של ארבע יחידות.

בשני המודלים לא ניתן לראות או למשש לא את הנקודות ולא את הקווים כי לנקודות אין אורך ורוחב ולקווים אין רוחב. מקומם בדמיון... וכל ניסיון להמחישם במציאות באמצעים ציור קווים בחול או על גבי נייר מעוות את צורתם ואת משמעויותיהם.  

יום שלישי, 17 בינואר 2017

בריאת הצורות הגיאומטריות

איך אומרים בשפה הגיאומטרית
 10=1+2+3+4
או
ואריאציה על הטטרקטיס של הפיתגוראים
=
תודה לאלי בנאקוט שהראה לי את האפשרות הזאת על מפית של בית קפה


יום שני, 9 בינואר 2017

האידיאות האפלטוניות במבט חדש


 הפיתגוראים שקדמו לאפלטון הבינו שכל הנקודות הגיאומטריות הן באותו גודל, ושזה נכון גם לגבי רוחבם של כל הקווים הגיאומטריים. תובנה זו אפשרה, אלף שנים לאחריהם, את השימוש המתמטי באפס. היא הייתה כל כך חשובה לפיתגוראים עד שאוקלידס, בן המאה השלישית לפנה"ס, שסיכם את הישגיהם, מיקם אותה בראש ספרו, "יסודות", שהוא אחד הספרים  המשפיעים ביותר על התפתחות החשיבה האנושית.

הם גם הבינו שאין בטבע נקודות גיאומטריות או קווים גיאומטריים, כי כל נקודה שמצויירת על הדף, קטנה ככל שתהיה, היא בעלת גודל, וכל קו שמצוייר על הדף, קטן ככל שיהיה, הוא בעל רוחב.

במהלך חיפושם אחרי תשובה לשאלה ממה בנוי הטבע הם גילו שהוא בנוי מצורות ומחומרים. החומרים, לדעתם, מורכבים מיחידות פשוטות שאינן ניתנות לחלוקה (אטומים), כמו שהמספרים בנויים מן המספר אחד, שאינו ניתן לחלוקה למספר שלם. הם התייחסו אל המספרים ואל הצורות גיאומטריות כאל צדדים הפוכים של אותו מטבע, בהבדל מן החלוקה המודרנית של המתימטיקה והגיאומטריה למקצועות נפרדים. 

תורת האידיאות האפלטוניות היא פיתוח של הרעיון הגיאומטרי- מתמטי הזה של הפיתגוראים שלפיו המספרים הנקודות והקווים נמצאים ויש להם קיום אבל לא בטבע. היא מוסיפה למושגים הגיאומטריים- מתמטיים אידיאות כמו "סוסיות", שהיא המכנה המשותף של כל הסוסים שבטבע. ה"סוסיות" היא במעמד של נקודה גיאומטרית או של קו גיאומטרי, או של מספר - היא נמצאת ויש לה קיום אבל אין לה גודל, ואין היא תלויה, כמו הסוסים שבטבע, בגחמות הזמן. חוקי הזמן חלים על תופעות הטבע, אבל לא על האידיאות האפלטוניות, ולכן הן נצחיות.

אלפרד נורת' וייטהד (1861 -1947) ניסח את האמרה: "כל הפילוסופיה המודרנית אינה אלא הערת שוליים לאפלטון", אבל הוא שכח לציין שאפלטון אינו אלא הערות שוליים לפיתגוראים.