יום חמישי, 28 באפריל 2016

המבנה הגאומטרי של המספרים המשולשים


משמאל לימין: 
א. 1+2+3=6 
ובתוכו הריבוע של 2

ב. 1+2+3+4+5=15
ובתוכו הריבוע של 3

ג. 1+2+3+4+5+6+7=28
ובתוכו הריבוע של 4

ד. 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
ובתוכו הריבוע של 5

ה. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66
ובתוכו הריבוע של 6

כל מספר אי זוגי מורכב ממרכז (M) ושני אגפים (2X) וניתן לתארו גם כ- 
XMX
לדוגמה,
ה-11 מורכב ממרכז (6) ושני אגפים (5+5)
בדיאגרמות לעיל
ניתן לראות בברור 
שהסכום של כל מספר מורכב מ
פעמיים הסכום של האגף בתוספת הריבוע של המרכז
כלומר
ה-11 מורכב מפעמיים 15 שהוא הסכום של האגף שלו
בתוספת הריבוע של ה-6 שהוא המרכז שלו
לסיכום:
מספר משולש מורכב משני משולשים ומריבוע, או, כפי שכבר הראיתי: מארבעה משולשים זהים בתוספת המרכז:
4X+M

לגבי המספרים הזוגיים:




הסיבה לכך שהריבוע נוצר בתוך המספר המשולש היא שבזוגיים המרכז (M) הוא שני מספרים שאחד מהם נכפל תמיד בעצמו (X.X) והשני במספר שמעליו (X+1):

N
X
M
x.x+(x+1).x
T (x.m)
2
1
1+2
1.1+1.2
3
4
2
2+3
2.2+2.3
10
6
3
3+4
3.3+3.4
21
8
4
4+5
4.4+4.5
36
10
5
5+6
5.5+5.6
55
12
6
6+7
6.6+6.7
78

ועוד המחשה למבנה הגאומטרי של המספרים המשולשים:


משמאל: המספר המשולש של תשע מורכב מריבוע מרכזו ועוד פעמיים המספר המשולש של האגף שלו (X)
9=4+5=X+M
T9=2Tx+M.M


מקוריות והעתקה במספרים

בשפה העברית, כמו גם בשפות אחרות, יש הבחנה בין עשרת המספרים הראשונים לבין כל שאר המספרים. עשרת המספרים הראשונים נחשבים כמספרים מקוריים, ואילו כל שאר המספרים נחשבים כהעתקים שלהם, או כמופעים חוזרים שלהם. לכל אחד מעשרת המספרים הראשונים יש שם עצמאי, ואילו שמות כל שאר המספרים מורכבים משמות עשרת המספרים המקוריים, למעט המאה, האלף, והרבבה. וכך שמו של האחד עשרה מורכב משמו של האחד ומשמו של העשר, ושמו של העשרים וחמש מורכב משמו של החמש ומשמו של העשר.

המספרים אחד ועשר חוזרים לראשונה במספר אחד עשרה, השניים חוזר לראשונה בשנים עשרה... העשר - בעשרים, המאה - במאתיים, האלף - באלפיים.

כלומר, השיטה העשרונית בנויה אל תוך השפה.
משום כך, אולי, מתקבל אצלנו הרושם שלעשר ישנו מעמד מיוחד בקרב המספרים. רושם זה מגיע לשיאו בביטוי המפורסם "עשר ולא תשע, עשר ולא אחת עשר" (ספר יצירה, משנה ג). אבל אם לוקחים שורה של נקודות אין כל הבדל בין הנקודה העשירית לזו שלפניה או לזו שלאחריה, כל הנקודות שוות בערכן ושונות במיקומן. וכך גם כאשר מתבוננים בנקודות שמסודרות בצורת עיגול. נכון אמנם שאם מתבוננים במספרים בצורת משולש, דהיינו:

*
*   *
*   *   *
*   *   *   *

העשר הוא הסכום של המספרים שלפני הארבע בתוספת הארבע (1+2+3+4=10), אבל התופעה הזאת איננה מיוחדת רק לו כי גם השש הוא הסכום של המספרים שלפני השלש בתוספת השלש
 (1+2+3=6) וגם השלש הוא הסכום של השניים והמספר שלפניו (1+2=3).



יום חמישי, 21 באפריל 2016

עוד על צורת המספרים


בהמשך למאמרו של שמואל אביטל: "על מספרים מצולעים":

א. צורת המספרים הטבעיים
את טור המספרים הטבעיים ניתן לצייר בצורת נקודות שיוצרות קו. הנה כך:
**************
כל הנקודות שוות בערכן, שונות במיקומן
המספר מציין את מיקום הנקודה (לדוגמה: השנייה משמאל, השלישית מימין)
כל מספר מכיל את כל המספרים שקדמו לו
לא יכול להיות מספר בלי המספרים שקדמו לו
אין חשיבות מיוחדת לנקודה העשירית או לשיטה העשרונית

ב. צורתו של סכום המספרים ("מספר משולשי")

*
*    *
*     *     *
*     *     *     *
מנקודת מבט זו העשר הוא התחנה הרביעית בסדרת המספרים המשולשים, והוא מכיל את שלשת המספרים שלפניו, שכל אחד מהם מכיל את המספרים שלפניו, כמו שבתצוגת המספרים הטבעיים כל מספר מכיל את כל המספרים שקדמו לו.

ג. צורתה של סדרת הריבועים
הריבוע הראשון (שנראה כאן כמו מעוין) מתחבא בתוך "משולש סכום המספרים":
*
*    *
*     *     *
*     *     *     *
הנקודה הרביעית (הכחולה) יוצרת עם שתי הנקודות שמעליה את המשולש שמשלים את המשולש הראשון לריבוע.


התופעה הזאת חוזרת  בכל אחד מן הריבועים הבאים, וכך נראה, לדוגמה, הריבוע (שנראה כאן כמו מעוין) של השלש :

*
*    *
*     *     *
*     *     *     *
*     *     *     *     *

הריבועים נכנסים זה לתוך זה כמו גלדים בבצל. האחד כלול בארבע, הארבע בתשע, התשע בשש עשרה וכן הלאה.

ד. צורתו של הזרם של ה 3-6-9
שלש הוא המשולש הראשון, אבל כל שלוש נקודות שמוסיפים מתחתיו יוצרות את האיבר הבא בסדרת המספרים 3-6-9 שהיא, במילים אחרות, סדרת המספרים שבה ההפרש בין איבר לאיבר הוא 3

השלש:
*
*    *


השש:
*
*    *
*     *     *

התשע:
*
*    *
*     *     *
*        *        *

על מנת להמשיך לאיבר הבא (12) עלינו להוסיף נקודה אחת לכל צלע ונקודה אחת לחוצה הזווית:
*
*    *
*     *     *
*        *        *
*            *            *



ה. צורתם של המספרים
0. לאפס אין צורה, למרות שמקובל לצייר אותו בצורת עיגול - 0
1. לאחד יכולות להיות צורות שונות, למרות שמקובל לצייר אותו כ- 1 או I
בסדרה של המספרים הטבעיים הוא נראה כמו כל מספר אחר, לדוגמה, כנקודה על קו, או ככוכבית על עיגול (עיגול הוא סוג של קו). אם מתבוננים בסדרת הריבועים מהגדול לקטן, נאמר משש עשרה לתשע, לארבע, לאחד... האחד חייב להיות ריבוע למרות שהוא אינו נראה כריבוע. בסדרה של המעוקבים האחד חייב להיות קוביה למרות שהוא אינו נראה כמו קוביה. בסדרה של ה 369 האחד חייב להיות משולש למרות שהוא אינו נראה כמו משולש.
2. את השניים ניתן לצייר בתור קו - כשמחברים את שתי הנקודות, באופן מוחשי או אפילו בדמיון. ניתן גם לצייר אותו בתור מלבן של אחד על שניים.
3. את השלש ניתן לצייר בתור משולש. ניתן גם לצייר אותו בתור מלבן של אחד על שלש.
4. את הארבע  ניתן לצייר בתור ריבוע או בתור מלבן של אחד על ארבע.
6. את השש ניתן לצייר בתור משולש או בתור מלבן.
8. את השמונה ניתן לצייר בתור מלבן שמורכב משני ריבועים צמודים.
9. לתשע יש גם צורה של ריבוע וגם צורה של משולש.