יום רביעי, 23 בדצמבר 2015

שם המספר מעיד על מספר חלקיו השלמים

האחד הוא המספר היחיד שאין לו חלקים שלמים. האחד הוא אחדות, הוא שלמות, הוא מושלם. זו אחת הסיבות לכך שקוראים לו אחד. שהרי אם תשאל כמה אחדים יש באחד התשובה תהיה אחד. האחד הוא בליגה אחרת. כל המספרים שייכים לקבוצה אחת של המתחלקים לחלקים שלמים, ואילו האחד שייך לקבוצה של החלקים שאינם מתחלקים לחלקים שלמים, והוא החבר היחיד באותה קבוצה. ניתן, אמנם, לחלק את האחד לשני חצאים, או לשלשה שלישים, אבל לא ניתן לחלק אותו לחלקים שלמים, לאחדים.

ניתן לומר על האפס שאין לו חלקים, לא שלמים ולא שברים, אבל הוא ריק, אין בו אחדים, ואילו האחד הוא מלא. אם נחלק את האפס לשניים נקבל שני חלקים ריקים ששווים זה לזה, אבל אי אפשר לחלק את האפס לשני חלקים שאינם שווים זה לזה, כי הגדול שביניהם יהיה שווה לקטן - שניהם יהיו ריקים. זו אחת הסיבות לכך שקוראים לאפס בשם אפס, שהרי אם תשאל כמה אחדים יש באפס התשובה תהיה אפס.


לשניים יש שני חלקים שווים, שכל אחד מהם הוא אחד. ניתן לחלק את השניים לשני חלקים לא שווים, כמו אחד וחצי ועוד חצי, או אחד ושליש ועוד שני שליש, אבל בשביל למצוא את החלקים השווים שבו צריך לחלק אותו בשניים, וזו אחת הסיבות לכך שקוראים לו שניים. שהרי אם תשאל כמה אחדים יש בשניים התשובה תהיה שניים. וכך גם לגבי שאר המספרים. 

יום שישי, 11 בדצמבר 2015

אחד מבטא עצמו כשלוש וכשש

מספרים וקבלה מאת אלי בנאקוט
 = = = = = = = = = = = = =
אחד מבטא עצמו דרך שלוש ושש. המספר שלוש נתפס מחשבתית כנקודה עובָּרית - ״תלת נפקי מחד, חד בתלת קיימא״ - בתרגום הזהר: מאחד יוצאים שלושה, שלושה מתקיימים באחד.
המספר שש נתפס מחשבתית כקו. קו ניתן למדידה - ״וימד לה שש שערים״ נאמר במגילת רות. קו מייצג אימפולס תחום אבל בשפע, ואילו נקודה מתקשרת לעולם הצמצום ולמעגל חסר גבולות. בקו תחום אחד ניתן לספור ששה מרכיבים: נקודת התחלה - אחד, קו - שניים, נקודת סיום - שלוש, כשסופרים אותם הלוך וחזור זה שש.
במובן אחר שלוש מתקשר לממד הזמן ושש לממד המרחב. זמן: עבר, הווה, עתיד = שלוש. מרחב: קדימה, אחורה, ימינה, שמאלה, למעלה, למטה = שש. זמן איננו מוחשי כמו המרחב. ממד הזמן אמנם כולל בתוכו את מה שעבר מה שהווה ומה שעתיד להיות, אבל בפעל מדידת הזמן באמצעות שעון כרונולוגי נעשית דרך השתברותו לתוך ממד המרחב. זמן במהותו אינו ניתן למדידה, זמן ביסודו הוא הווה מתמשך או משך. בחלום יעקוב המלאכים שעולים ויורדים מתקשרים עם המספר שש ועם מהות הקו, סולם מלשון לסלול את הדרך, מלאכי אלוהים מזוהים עם הסולם. אלוהים = הטבע - עולם התופעות המשתנה תדיר, ואילו יהוה הניצב בראש הסולם הוא הוויה, זה שהווה, זה שהוא משך צרוף.
מה ההבדל בין שינוי להוויה? שינוי נמדד בזמן, זמן כרונולוגי נשען על שינויי צורה. בשינוי אנו סופרים או מתרשמים מהשינוי האחרון בלבד, במשך צרוף כל שינויי הצורה באים בחשבון, ממשכים להתהוות, כך שכלום לא נפסד, ודבר אינו הולך לאיבוד.
במשמעות אילן הספירות הקבלי הספירה השלישית - בינה, והספירה השישית - תפארת, מייצגות את אותו העיקרון ברבדים שונים. התפשטות אור החסדים מושרשת בבינה, והוא בא לידי ביטוי בתפארת. לכן, כמובן, ניתן לומר שבינה היא ת״ת של ראש, ותפארת היא בינה של גוף. אור החסדים הנובע מן הבינה מתואר כמה שעושה לבוש לאור החכמה. החכמה לא יכולה להתגלות אלה אם כן היא מלובשת בחסדים וגבורות, משמע בגוף. לפי אשל״ג עשר הספירות של אור החכמה שהם כח״ב וזו״ן מתחלקים לתת חלוקה שהם ה’ פרצופים של אור החסדים. היות שהבינה במהותה דוחת את אור החכמה וחושקת באור החסדים יש לה פנים לכאן ולכאן. הבינה היא אמנם במהותה ראש, אבל היא גם גוף מתוקף ייחוסה לאור החסדים ולז״א. הז״א עצמו הוא התפשטות החסדים של אימא עליונה שהיא הבינה. לכן ה’ חסדים של גוף מתחלקים אף הם לכח״ב ולזו״ן: חסד הוא כתר של גוף, גבורה היא חכמה של גוף, ותפארת הוא בינה של גוף. ובהמשך נצח והוד הם זו״ן של גוף.
אם נחזור למבט המספרי הספקולציה הזו של אשל״ג מתחזקת כאשר אנו סופרים את המספרים אחד שלוש ושש כשלושת המילויים הראשונים ( מילוי המספר, כהגדרה, הוא אוסף המספרים עד למספר עצמו כולל המספר) כעת אם אנו סופרים את שלושת המילויים הראשונים כמילוי של המילוי, שלוש הוא שש - 1 + 2 + 3 = 6, ושש הוא עשרים ואחד - 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. כתר נשאר כתר, חכמה נעשית בינה ובינה נעשית תפארת.

הערה של זאב ברקן
המסורת היהודית מתייחסת אל האות יו"ד כאל נקודה. האות יו"ד ערכה המספרי עשר. בגימטריה בספירה המצומצמת עשר הוא אחד. יו"ד היא המספר העשירי אם סופרים מאל"ף, אבל היא המספר הראשון אם סופרים מיו"ד לאל"ף. שם האות ו"ו (וו, מתלה) משמעותו קו. משמעות זו תואמת גם את צורתה הגרפית של האות ו"ו, כי היא נראית כמו מסמר שתולים עליו דברים.

הערה להערה מאת אלי בנאקוט
היו"ד כנקודה שערכה המספרי עשר נספרת לראשונה כמילוי של הארבע, והיא גם אוסף שלושת המילויים הראשונים 1 + 3 + 6 = 10.
במובן הקבלי היא מתקשרת לעולם העקודים, ושם נאמר שכל עשר הספירות היו עקודים בכלי אחד לבלתי הבחן בין אור לכלי.

הערה להערה להערה מאת זאב ברקן
בבראשית לא, י-יא מופיעה המילה "עקודים" בסמיכות למילה "נקודים" (שמקורה כמובן במילה "נקודה"):

וַיְהִי, בְּעֵת יַחֵם הַצֹּאן, וָאֶשָּׂא עֵינַי וָאֵרֶא, בַּחֲלוֹם; וְהִנֵּה הָעַתֻּדִים הָעֹלִים עַל-הַצֹּאן, עֲקֻדִּים נְקֻדִּים וּבְרֻדִּים.

הערה מאת אלי בנאקוט

כן , אלה עניינים שדורשים עיון מעמיק. מכל מקום הרח״ו מתיחס לספירות העקודים גם מלשון ״ויעקוד ( אברהם ) את יצחק״. ככלל העקודים כל מה שקדם לשיבוש ולשבירה. הנקודים מלשון נקודה - עולם השבירה ומיתת המלכים. ברודים עולם התיקון והתמורה של החלק שהשתבש ויצא מאיזון.

יום שני, 30 בנובמבר 2015

השיטה העשרונית בראי הגימטריה

האחד כדגל של הדגול מרבבה

האות י' ערכה בגימטרייה עשר.
שם האות יו"ד ערכו בגימטריה עשרים (י=10; ו=6; ד=4).
העשר של הי' ועוד העשרים של שמה הן שלושים.
עשר עשרים שלושים הם שלושת האיברים הראשונים של הסדרה העשרונית. בחישוב המצומצם הם
1, 2, 3 שהם התחלת המספרים.
מאה ערכה בגימטריה 46. סכום הספרות של 46 הוא עשר. כשהמאה מסתכלת אחורה היא רואה לפניה בשיטה העשרונית את העשר.
אלף ערכה בגימטריה 111. (א=1; ל=30; ף=80) כשהאלף מסתכלת אחורה היא רואה לפניה את המאה הראשונה, את העשר הראשון, ואת היחידה הראשונה.
רבבה ערכה בגימטריה 209. סכום הספרות של 209 הוא 11. ה-11 הזה מצהיר שגם הרבבה, כמו ה- 111 של האלף, שייכת לחבורה של האחדים שלפני האפסים, שכל אחד מהם נראה כמו דגל, ומכאן, אולי שאב שלמה המלך את ההשראה לפסוק: "צַח וְאָדוֹם דָּגוּל מֵרְבָבָה" (שיר השירים ה, י).

יום ראשון, 29 בנובמבר 2015

הגימטריה של הזרם של ה 3-6-9

כל מספר מורכב מיחידות. המספר שלש מורכב משלש יחידות, אבל כאשר מתחילים לספור מהיחידה הימנית - השלישי הוא היחידה השמאלית;  כאשר מתחילים לספור מהיחידה השמאלית - השלישי הוא היחידה הימנית. כאשר מתחילים לספור מהיחידה האמצעית - השלישי הוא היחידה האמצעית. מנקודת מבט זו השלש הוא תשע. וראה זה פלא, בגימטריה המילה "שלש" מורכבת משלש מאות (שי"ן), שלש עשרות (למ"ד) ושוב שלש מאות. בחיבור המצומצם, ללא האפסים, ערכה עולה לתשע. המילה "שש" מורכבת מן האות שי"ן שמופיעה בה פעמיים. האות שי"ן ערכה בגימטריה שלש מאות. בחישוב המצומצם, ללא האפסים, ערכה שלש. ואכן שש מכילה שתי שלשות.
בזרם של ה 3- 6- 9 -  12-  15- 18- 21- 24- 27- 30-33 - 36- 39-42...
סכום הספרות של ה 12 הוא שלש, של ה-15 שש, של ה-18 תשע, והסדר הזה ממשיך לנצח. הזרם הזה מתחיל בשלש, והמעבר מאיבר לאיבר בו נעשה באמצעות הוספת המספר שלש.
כל מספר שמכפילים באחד - נשאר הוא עצמו.
כל מספר שמכפילים בשניים - הופך להיות זוגי.
כל מספר שמוסיפים לו אחד - הופך להיות המספר שבא אחריו בסדרת המספרים הטבעית.
כל מספר שמוסיפים לו שניים - שומר על מינו. הזוגי נשאר זוגי והאי זוגי נשאר אי זוגי.
כל מספר שמוסיפים לו שלש הופך להיות המספר הבא בזרם שלו:
האחד שייך לזרם של ה 1- 4- 7- 10- 13- 16...

השניים שייך לזרם של ה 2- 5- 8- 11- 14- 17...

יום שלישי, 24 בנובמבר 2015

האם החשיבות שמיוחסת לריבועי המספרים מוצדקת?




 כאשר למדתי חשבון בבית הספר הייתה לנושא ריבועי המספרים חשיבות מיוחדת ביחס לנושאים אחרים בחשבון. אף פעם לא הסבירו לי מדוע ריבועי המספרים חשובים כל כך, ומה לריבוע המתמטי ולריבוע הגאומטרי.

מאז חלפו עשרות שנים ורק לאחרונה התחלתי לתהות האם החשיבות שמיוחסת לריבועי המספרים מוצדקת.


בתקופת הפיתגוראים, שאת רמת הצטיינותם במספרים קשה לנו לתאר בימינו, לא הבחינו בין מתמטיקה לבין גיאומטריה. הם התבוננו בריבועי המספרים כריבועים גיאומטריים. הם התייחסו אל הכפל כאל שטח. כל מספר כפול כל מספר היה מלבן, מלבד שבריר אחוז של מספרים כפול עצמם שהיו ריבועים. הריבוע הוא מלבן יוצא מן הכלל. מוטציה. עד לריבוע הרוחב של המלבן קטן מאורכו והמלבן נראה במאוזן, לאחריו רוחב המלבן גדול מאורכו והמלבן נראה מאונך. 

עם זאת אין ספק שמבחינה מעשית יש חשיבות מיוחדת לשימוש בריבועים, ולא בצורות גיאומטריות אחרות, כיחידות שטח... וכך גם לגבי השימוש בקוביות כיחידות נפח.

יום שני, 23 בנובמבר 2015

זכר ונקבה בשמות המספרים

בילדותי למדתי בעל פה את שמות המספרים: אחד, שניים, שלוש, ארבע... ורק אתמול שמתי לב שיש כאן ערבוב בין מספרים ממין זכר (אחד, שניים) לבין מספרים ממין נקבה (שלוש, ארבע), והערבוב הזה מסיח את הדעת ממשמעות שמו של המספר, כי כל מספר מונה את מספר היחידות שמרכיבות אותו, והוא בעצם שם מקוצר:
אחת - יחידה אחת
שתים - שתי יחידות
שלש -  שלש יחידות...
ומי שרוצה למנוע מילדיו את בעתת המתמטיקה, שנובעת מן השרירותיות של מונחיה, יכול להתחיל מללמד אותם את שמות המספרים ממין נקבה, ולהסביר להם שיחידה זו נקבה.
נ.ב.
למרות שכל המספרים מורכבים מיחידות המספר היחיד שמודה בכך הוא האחת, שהיא אחת ושמה אחת. 

יום שישי, 20 בנובמבר 2015

מספרים בולטים


הפיתגוראים התעניינו במספרים במשך למעלה מאלף שנים כמו שהיהודים התעניינו בתנ"ך במשך אלפי שנים. דור הוריש לדור שבא אחריו את התלהבותו ואת תגליותיו.

הפיתגוראים ייחסו למספר עשר חשיבות מיוחדת. הם הציגו אותו בצורה מיוחדת: משולש שעשוי מעשר נקודות; העניקו לו שם חלופי, טטרקטיס, ואת הכינוי "העשר הקדוש". בתרבות בת ימינו עולים בדעתי שלשה מספרים שיש להם חשיבות מיוחדת:
24, שהוא מספר השעות ביממה,
120, שהוא מספר השנים שאנחנו מאחלים זה לזה לחיות,
ו - 36 ,או בעברית ל"ו, שהוא מספר הצדיקים הנסתרים שבזכותם, לפי המסורת היהודית, העולם קיים.

אפשר להציג זאת גם כחידה:
האם יש סיבה מספרית לכך שיש 24 שעות ביממה?
האם יש סיבה מספרית לצירוף המילים "עד 120"? או מדוע דווקא 120 ולא 110?
האם יש סיבה מספרית שבגללה נבחר דווקא ל"ו למספר שמייצג את הצדיקים הנסתרים?
והאם יש למספרים  10, 24, 36, ו- 120 תכונה משותפת שבגללה הם בולטים?

"העשר הקדוש" של הפיתגוראים היה חשוב בגלל שהוא תמצת את תורת המספרים.
עשר הוא הסכום של חיבור ארבעת המספרים הראשונים: 
1+2+3+4=10
ועל ארבעת המספרים הראשונים האלה נשענים כל יתר המספרים.

באופן דומה ה- 24 הוא סכום מכפלתם של אותם ארבעה מספרים:
1X2X3X4=24
ה 120 הוא סכום מכפלתם של חמשת המספרים הראשונים:
1X2X3X4X5=120
ואילו הל"ו הוא הסכום של חיבור שלושת המספרים המעוקבים הראשונים:

(1 X1X1X1) +(2X2X2)+(3X3X3 )= 36

יום שישי, 16 באוקטובר 2015

האחד הוא מקור האותיות, מקור המספרים ומקור היקום

כל אות באלפבית העברי, במה שנקרא "אותיות דפוס", מורכבת משניים עד ארבעה קווים מלבד האות יו"ד והאות ו"ו, שיוצאות מן הכלל, ומורכבות מקו אחד בלבד. האם מדובר בממצא מקרי או שמא שיגרו לנו ממציאי האלפבית העברי "מכתב בבקבוק", מסר חשוב במיוחד, שנועד להישמר עד אחרית הימים?

האות יו"ד מייצגת את הנקודה*. האות וא"ו את הקו. הקו מורכב מנקודות. יוצא שכל האותיות מורכבות מקווים שמורכבים מנקודות. הנקודה והקו בוראות את השטח, את הנפח, ואת [קו] הזמן, שהם ממדים בוראי עולם. הנקודה היא המרכיב הקטן ביותר, שאינו ניתן לחלוקה. היוונים קראו למרכיב הזה בשם א - טום (תרגום לעברית: שאינו ניתן לחלוקה) והפילוסוף היווני, בן המאה החמישית לפנה"ס, דמוקריטוס, הצהיר שהיקום מורכב מאטומים. בדרך כלל מבינים את הצהרתו של דמוקריטוס בהקשר של הפיסיקה, אבל תפיסה זו אפיינה גם את החשיבה המופשטת של הפיתגוראים, שזיהו מספרים עם צורות, והמציאו את הגאומטריה האוקלידית שמוכרת לנו עד היום. הפיתגוראים המירו את הנקודה במספר אחד ואת המספר אחד בנקודה. הקו, על שני קצותיו, היה המספר שניים, המשולש -שלש (כמייצג של השטח) והפירמידה  - ארבע (כמייצגת של הנפח). החיבור של ארבעת המספרים הראשונים ברא את העשר, שנחשב אצל הפיתגוראים למספר מקודש. אצלנו היהודים העשר הוא האות יו"ד, ששמה בא לה מן המילה "יד", כי בשתי הידיים יש לנו עשר אצבעות. אם מסדרים עשר נקודות בשורה, הנקודה הראשונה מימין יכולה לייצג את המספר אחד והאחרונה את העשר, אבל אם סופרים משמאל הנקודה האחרונה (או האות יו"ד) יכולה לייצג את המספר אחד, שכל המספרים האחרים הם תולדה שלו, שהוא המקור לא רק לכל המספרים, אלא גם לכל האותיות, ולכל האטומים שמהם נברא היקום בכל רגע מחדש.  
=
הערות:
* בעמוד ג בספר 'ברייתא מעשה תורה', המיוחס ליהודה הנשיא עם הוספות של הגאון רבי אליהו מווילנה (הגר"א, 1720-1797):


"אות י הוא היסוד לכל האותיות... כי אי אפשר לכתוב שום אות בלא נקודת היוד תחילה. והוא בכל האותיות. והם בו בכוח... ולכן גם מספר עשר יסוד לכל מספר, כי מספר עשר ממקורו יצא..".

**
בשפות לועזיות רבות האות i מורכבת מקו ומנקודה, והיא האות היחידה באותו אלפבית שמורכבת רק מקו אחד, כך שניתן לומר שגם שם עובר אותו רעיון שבו דנתי לעיל.


**
בניסוח אחר: הנקודה מופיעה או כצורה, או כמספר, או כאות, או כחומר, אותה גברת בשינוי אדרת. בלעדיה העולם אינו מתקיים. באגדה על למ"ד ו"ו הצדיקים הנסתרים שבלעדיהם העולם אינו מתקיים בדרך כלל הצדיקים מושכים את תשומת הלב, אך אם הם נסתרים איך יודעים עליהם?
אולי אין המדובר באנשים אלא בנקודות שיכולות להופיע באופנים שונים (בלמ"ד ו"ו אופנים: בספר יצירה מדובר על שלושים ושניים נתיבים, שמהם עשרים ושנים נתיבים של אותיות ועשרה נתיבים של מספרים. לאלה ניתן להוסיף את ארבעת ממדי הצורות - הנקודה, הקו, השטח והנפח). כל נקודה היא נסתרת - לא ניתן לראותה. הנקודה הפיזית היא המחשה גסה שלה.  גם הגימטריה יונקת את משמעותה מן הבסיס המשותף לצורה לאות למספר ולחומר. היוונים לא הפרידו בין גאומטריה למתמטיקה, בין צורות לבין מספרים. המילה 'גימטריה' מצביעה בקרבתה למילה 'גאומטריה' על מה שמאחד את האותיות עם המספרים. 

יום שישי, 9 באוקטובר 2015

כל מספר הוא חד פעמי וייחודי מאת אלי בנאקוט

תרשים: אלי בנאקוט

כל מספר הוא חד פעמי וייחודי, כל מספר מתקיים כפרוזדור, כדרך מעבר וכמצב ביניים. מספרים הם ממשיים ולא ממשיים בו זמנית: מספר ייחודי הוא שבע (אין עוד שבע) בנוסף לחד פעמיותו שבע הוא גם אפס וגם אחד. שבע מתייחס לשש שלפניו כאל פלוס אחד, אבל ביחס לשמונה הוא מינוס אחד... או אפס: פלוס אחד ומינוס אחד מתקזזים בו לאפס. במובן ניתן לומר שמה שמגדיר את השבע הם שכניו לטור המספרי, המספרים שש ושמונה. שבע הוא גם מספר ייחודי - שבע. ככזה הוא מספר לנו סיפור שהוא ייחודי לו, שהוא שונה מחמש, למשל; והוא גם מצב ביניים: המספרים שש ושמונה מוכלים בו, והוא שונה מהם והוא גם אף לא אחד מהם.
הבחינה של התנועה נעשית דרך יחסים: אין בנמצא מספר שהוא לגמרי מבודד. כשאנו אומרים שבע המוח גם מכיל ורואה את המספרים התוחמים את השבע: (שש ושמונה) וגם את כל מה שלפניהם וכל מה שאחריהם. תנועה ממשית בין מספרים עוקבים נבחנת מינימום דרך טור של שלושה מספרים עוקבים. מדוע נדרשים שלושה מספרים עוקבים ולא שניים למשל? תנועה בין שני מספרים עוקבים מרצדת, והיא נידונה לתקיעות אין סופית בין הפלוס אחד למינוס אחד. לעומת זאת בטור של שלושה מספרים מה שקורה בעצם הוא שהמספר שש מדלג תחילה למספר שמונה לפני שהוא שב ונעשה בקביעות לשבע. עיקרון זה ידוע בקורפוס ההרמטי כעליית הנמוך לגבוה על מנת לממש מצב ביניים. לכן כמספר ייחודי שבע נבנה משש ושמונה אך כמצב ביניים הוא לא זה ולא זה.

המעבר משש לשבע בג’ שלבים:

א. נוצרים יחסים בין שש לשבע, ואז המספר שבע מופיע כמרכז אפשרי שהוא 6 +1.

ב. נוצרים יחסים בין שש לשמונה. כעת המספר שבע מופיע כאפשרות לשיווי משקל בין אגפים, 7 +0 מכל צד, ימין ושמאל, אבל הוא חסר מרכז, חסר + 1.

ג. נוצרים יחסים בין שבע לשמונה המספר שבע מופיע כשיווי משקל בין אגפים וגם מקבל +1 במרכז. בנקודה זו אפשר לומר שהשבע מתממש כ 2X+1 כאשר X = 7.

יום חמישי, 1 באוקטובר 2015

הפקת משמעויות מן המספרים

כאשר למדנו את תורת המספרים אצל יוסף ספרא הוא הזהיר אותנו שוב ושוב לא לנסות להפיק משמעויות מן המספרים.
הפיתגוראים לא חששו להפיק משמעויות מן המספרים. הם ייחסו לכל אחד מעשרת המספרים הראשונים כמה וכמה משמעויות. לדבריהם האחד הוא אור ואפולו והשניים הוא חושך וחוצפה; השש הוא מספר הנישואין ומספר מושלם, וכיוצא באלה.
לאחרונה נתקלתי במדרש, שחובר במאה השלוש עשרה, שמייחס לתופעת המספרים המשלימים משמעות של התבוללות ואי- התבוללות.
הנוסח שמופיע במדרש עצמו די קשה להבנה לקורא בן ימינו, ולכן אקדים ואסביר כי העשר, שעליו בנויים כל שאר המספרים, מורכב מזוגות של ניגודים משלימים: האחד משלים את התשע, השניים את השמונה, השלוש את השבע, הארבע את השש, והחמש את החמש. החמש הוא יוצא דופן כי בן הזוג שלו שווה לו, בעוד שכל שאר הזוגות בנויים מגדול וקטן, שהם ניגודים.
באותו אופן המאה מורכב מזוגות של ניגודים משלימים: העשר משלים את התשעים, העשרים את השמונים וכן הלאה, ורק החמישים יוצא דופן כי בן הזוג שלו שווה לו.
בגימטריה ה"א היא חמש ונו"ן היא חמישים. המילה "הן" מורכבת משתי אותיות אלה. ילקוט שמעוני (רמז תשסח), תוהה מדוע מופיעה המילה "הן" בראש הפסוק הֶן עָם לְבָדָד יִשְׁכֹּן, וּבַגּוֹיִם לֹא יִתְחַשָּׁב (במדבר כ"ג, ט')? האין היא מיותרת?
להלן הציטוט במלואו:

"'הן עם לבדד ישכון'. הן בלשון יוונית אחד אינו מחשבן עם אומה אחרת, תדע לך שהוא כן: חשוב כל האותיות ותמצא כולן יש להן זוג וה"א ונו"ן אין להם זוג: א' אחד ט' תשעה - הרי עשרה. ב' שנים ח' שמונה - הרי עשרה. א"ט ב"ח ג"ז ד"ו ה' אין לה זוג, וכן י"ץ כ"ף ל"ע מ"ס נ' אין לה זוג".

יום שני, 31 באוגוסט 2015

קשיי הראייה של האדם המודרני

הפיתגוראים ראו את האחדות של המתמטי עם הגיאומטרי. לנו, שהתחנכנו על ההפרדה שבין מספר לבין צורתו, כבר אין יכולת לראות שמדובר בעצם באותו הדבר עצמו, ואנחנו מתרגמים כל תגלית שיש לנו במספרים לשפת הצורות, ולהפך, והתרגום, ככל תרגום, מועד לשיבושים. וכך, בשפת המספרים אנחנו רגילים לחשוב שארבע לחלק לארבע שווה אחד, אבל ריבוע לחלק לארבע שווה לארבעה ריבועים, כך שבשפת הגיאומטריה ארבע לחלק לארבע שווה גם ארבע ולא רק אחד. וכך גם לגבי הנוסחה המתמטית ארבע כפול ארבע שווה שש עשרה, כי בשפת הצורות ריבוע כפול ארבע הוא ריבוע אחד, שאמנם גדול מקודמו פי ארבע, אבל מה שחשוב זה שהוא אחד, כך שבשפה הגיאומטרית ארבע כפול ארבע שווה גם אחד, וזה משהו שרואים ממש בעין, או על הדף, ולא רק בעיניים של המחשבה.

*


אחד ועוד שניים הם לא רק שלושה. בשפת הצורות האחד, שהוא נקודה, ועוד השניים, שהם קו - יוצרים בהתחברם משולש.


הנה כך:



*
*     *

בריבוע יש שני משולשים שהיתר שלהם משותף (או, בניסוח אחר: כל משולש ישר זווית שווה שוקיים הוא חצי ריבוע). במשושה יש מגן דוד שבנוי משני משולשים שאין להם אף צלע משותפת, ואלה ממחישים את הנוסחה המתמטית שניים כפול שלוש שווה שש, או שש לחלק לשניים שווה משולש.

יום שישי, 13 במרץ 2015

הצבע האפור כהמחשה למספר חמש



המדע מגדיר חושך כהעדר אור, אבל באותה מידה ניתן גם להגדיר אור כהעדר חושך.

אור וחושך הם ניגודים.

בגלל שחושך מזוהה עם שחור, והניגוד של שחור הוא לבן - אין לנו ברירה אלא לזהות את האור עם לבן.

שחור ממחיש את המספר אפס. ממנו נובעים כל שאר המספרים. לבן ממחיש את המספר אחד. כל מספר הוא הסכום של אחדיו, ואחד מופיע בכל מספר כמו שהאור מופיע בכל צבע.

ערבוב של לבן ושחור, של חושך ואור, מוליד את הצבע האפור.

הצבע האפור ממחיש היטב את האחדות של הניגודים שחור ולבן בפרט ואת אחדות הניגודים בכלל.

האפור הוא לא שחור ולא לבן ובו זמנית הוא גם שחור וגם לבן. אם נחסר מן האפור את השחור נקבל לבן. אם נחסר מן האפור את הלבן נקבל שחור.

האפור הוא בעצם השלם שהאור והחושך הם חצאיו. אולי זו הסיבה לכך שבעיני רבים (ואני ביניהם) הבטון נראה יפה כל כך.

בין האפס לאחד יש את החצי, שהוא, בתור שבר עשרוני, 0.5, אבל בין תשעת המספרים הטבעיים הראשונים, החצי הוא החמש שבתשע, כאשר מימינו ארבעה מספרים ומשמאלו ארבעה מספרים.

מנקודת מבט שונה ניתן לראות שהעשר שעליו, בנויים כל שאר המספרים, מורכב מזוגות של ניגודים משלימים. ממש כמו שהירוק משלים את האדום, הכתום את הכחול, והצהוב את הסגול - האחד משלים את התשע, השניים את השמונה, השלוש את השבע, הארבע את השש, והחמש את החמש. החמש הוא יוצא דופן כי בן הזוג שלו שווה לו, בעוד שכל שאר הזוגות בנויים מגדול וקטן, שהם ניגודים. למעשה אפור הוא הצבע היחיד שאין לו צבע משלים.     
בהקשר זה ניתן לפרש שאדם הראשון נברא כמספר עשר, ונוסר לשני חצאים, גב אל גב, כאשר בגימטריה חמש הוא גב:
"בשעה שברא הקב"ה את אדם הראשון - אנדרוגינוס בראו ... אמר ר' שמואל בר נחמן: בשעה שברא הקב"ה את אדם הראשון דיו פרצופים בראו, ונסרו ועשאו גבים - גב לכאן וגב לכאן".(בראשית רבה פרשה ח , סימן א).

ניתן להמשיך את ההקבלה בין אחד (לבן) אפס (שחור) וחמש (אפור) גם לגבי שאר צבעי היסוד: הצבעים הקרים, הקרובים לחושך, נפרסים בין החושך לבין האפור; ואילו הצבעים החמים, הקרובים לאור, נפרסים בין האור לבין האפור. יש בחלוקה הזאת גם מעין צדק פיוטי, כי האור מפיץ גם חום, ובחושך הטמפרטורה יורדת ונעשה קר, במיוחד במדבר.