יום שני, 30 ביוני 2014

חושן

הפיתגוראים הצטיינו בשילוב של גאומטריה עם אריתמטיקה, ונהגו להמחיש את תגליותיהם במספרים באמצעות אבנים קטנות, שנקראו פסיפוי, ומהן יש לנו את המילה פסיפס. שילוב שכזה, של  גאומטריה עם אריתמטיקה ועם אבנים קטנות מופיע גם אצל היהודים בחושן המקראי שמשלב צורה גאומטרית (ריבוע שצלעו בגודל זרת) עם מספר (שנים עשר השבטים שמיוצגים באמצעות ארבע שורות של שלש אבנים), ומזכיר ריבוע קסם (אלא שאם היה ריבוע קסם היה עליו להכיל ארבע שורות של ארבע אבנים).
כמו שהחושן שימש ככלי לתקשורת של העם עם האל באמצעות הכהן כך גם ריבועי הקסם שימשו בתרבויות שונות כקמיעות, או ככלי לתקשורת עם העל טבעי.
החושן מופיע בתנ"ך בכתיב חסר -חשן. חשן בשיכול אותיות זה נחש, שהוא השורש של הניחוש. ניחוש וקסם הם שני סוגים של ידיעה, ולעתים הם גם מופיעים כמלים נרדפות, כמו בפסוק: כִּי לֹא נַחַשׁ בְּיַעֲקֹב וְלֹא קֶסֶם בְּיִשְׂרָאֵל (במדבר כג, כג).
דברים אלה מעוררים את השאלה אם החושן המקראי השפיע על השימוש של הפיתגוראים באבנים כאמצעי עזר להבנת 
המספרים, ואם החושן המקראי השפיע על ריבועי הקסם בתרבויות השונות.
-

תמונה: בול אבני החושן משנת 2012 בעיצוב של דוד בן הדור. שימו לב שהחושן שעל הבול הוא בצורת מלבן ולא בצורת ריבוע.

יום ראשון, 29 ביוני 2014

כל מספר הוא אחד

כאשר מתבוננים בשורה של עשר נקודות (..........) כל נקודה היא אחת.
מבחינה זו אין הבדל בין הנקודה הראשונה לשנייה ובין הראשונה לאחרונה, לא בגודל, לא במין, ולא בסדר, כי אם נסדר את עשר הנקודות האלה על מעגל  - כל אחת מהן יכולה להיות ראשונה או שנייה או אחרונה לפי בחירתנו.
וכך גם כאשר מתבוננים בעשר היחידות שמרכיבות את העשר (1111111111), שהרי אילו אחת היחידות הייתה שווה יותר מאחד - העשר לא היה עשר, אלא מספר גדול יותר.
אפילו האפס הוא אחד, ואין עוד אפס מלבדו.
מנקודת מבט זו חברת המספרים היא דמוקרטיה שבה לכל אזרח יש קול אחד.
ההבדל מתרחש כאשר מייחסים ליחידות ערך: כאשר קובעים שהראשון ערכו 1 והשני ערכו 2,  ומסיקים ש
2-1=1

בתמונה: בדגל ארה"ב כל מדינה מיוצגת על ידי כוכב אחד, ומבחינה זו אין הבדל בין מדינה למדינה אפילו אם זו קטנה וזו גדולה, זו עשירה וזו ענייה, זו בצפון וזו בדרום וכן הלאה.  

ייחודיות

כמו שלכל מספר יש שם משלו, שהוא רק שלו, צורה משלו, שהיא רק צורתו שלו, שמאפיינת רק אותו, כך גם לכל מספר יש ריבוע משלו, שורש משלו, מספר מעוקב משלו, תוכן משלו וגלגול משלו.
15 הוא אך ורק התוכן של 5, אין אף מספר אחר ש 15 הוא התוכן שלו.
15 הוא אך ורק הגלגול של 6, אין אף מספר אחר ש 15 הוא הגלגול שלו.
16 הוא אך ורק הריבוע של ארבע. אין אף מספר אחר ש 16 הוא הריבוע שלו.

אפילו לאפס, שיש לו שם וצורה, אבל אין לו ריבוע, שורש, תוכן וגלגול... אין שותפים. 

המספרים הראשוניים הם לא סדרה

בכל סדרה של מספרים ישנו משהו קבוע שגורם לה להיות מסודרת, כמו הפרש של אחד במספרים הטבעיים, הפרש של שניים בסדרת הזוגיים, ובסדרת האי זוגיים, הפרש של שלש בזרמים. בסדרה מסודרת ניתן לנבא את האיבר הבא, אם נתונים לנו כמה מאבריה. אבל לא ניתן לנבא את המספר הראשוני הבא, כמו שלא ניתן לנבא את המספר הבא בפיי.
מספרים ראשוניים הם בעצם תוצאה של השוואה בין כמה סדרות של מספרים, שבהן מופיעים המספרים שאנחנו יודעים עליהם שהם מכפלות של מספרים אחרים (כגון הזוגיים שהם מכפלות של 2, מכפלות של 3, 5 וכן הלאה) ובשניה מופיעים המספרים הטבעיים. הראשוניים הם המספרים הטבעיים שאינם מופיעים בסדרות האחרות. בניסוח פואטי: הקבוע (הטבעיים) פחות הידוע (הנכפלים באחרים) שווה לפרוע (הראשוניים).

לעומת זאת המספרים של פיי הם חוסר הסדר המוחלט, הפרוע שאין לו כל קשר לסדרות של מספרים, לא לידוע ולא לקבוע. 

יום שבת, 28 ביוני 2014

שברים עשרוניים

בשברים רגילים כמו: 1/2 ו 3/4 אפס לא יופיע, לא כמכנה ולא כמונה, אבל בשברים עשרוניים יש לו מקום של כבוד כ-0.1, 0.2, 0.3 ... או כ- 1.00, 2.05, 3.70 ...
די מדהים לחשוב ששברים מוזכרים בתנ"ך פעמים רבות, אך שברים עשרוניים אינם מוזכרים אף פעם:
מלכים א, ז, לה           
וּבְרֹאשׁ הַמְּכוֹנָה חֲצִי הָאַמָּה קוֹמָה עָגֹל סָבִיב

יחזקאל, ח, יב           
שְׁלִשִׁתֵיךְ בַּדֶּבֶר יָמוּתוּ וּבָרָעָב יִכְלוּ בְתוֹכֵךְ , וְהַשְּׁלִשִׁית בַּחֶרֶב יִפְּלוּ סְבִיבוֹתָיִךְ , וְהַשְּׁלִישִׁית לְכָל רוּחַ אֱזָרֶה, וְחֶרֶב אָרִיק אַחֲרֵיהֶם

במדבר טו, ה           
וְיַיִן לַנֶּסֶךְ רְבִיעִית הַהִין...

בראשית מז, כד           
וְהָיָה בַּתְּבוּאֹת וּנְתַתֶּם חֲמִישִׁית לְפַרְעֹה וְאַרְבַּע הַיָּדֹת יִהְיֶה לָכֶם...

יחזקאל ד, יא           
וּמַיִם בִּמְשׂוּרָה תִשְׁתֶּה שִׁשִּׁית הַהִין

בראשית יד, כ           
וּבָרוּךְ אֵל עֶלְיוֹן אֲשֶׁר-מִגֵּן צָרֶיךָ בְּיָדֶךָ וַיִּתֶּן לוֹ מַעֲשֵׂר מִכֹּל

שמות כט מ       
וְעִשָּׂרֹן סֹלֶת בָּלוּל בְּשֶׁמֶן כָּתִית

ויקרא כג, יג           
וּמִנְחָתוֹ שְׁנֵי עֶשְׂרֹנִים סֹלֶת בְּלוּלָה בַשֶּׁמֶן
במדבר יח, כו           
... וַהֲרֵמֹתֶם מִמֶּנּוּ תְּרוּמַת ה' מַעֲשֵׂר מִן-הַמַּעֲשֵׂר
קהלת ז, כח             
אָדָם אֶחָד מֵאֶלֶף מָצָאתִי וְאִשָּׁה בְכָל אֵלֶּה לֹא מָצָאתִי

שופטים ו טו           
... הִנֵּה אַלְפִּי הַדַּל בִּמְנַשֶּׁה...

יום שישי, 27 ביוני 2014

כל מספר הוא איבר בסדרה


כל המספרים הם איברים בסדרת המספרים הטבעיים, כל מספר שני הוא איבר בסדרת המספרים הזוגיים, וכל המספרים האי זוגיים הם איברים בסדרת המספרים האי זוגיים. כל מספר שלישי הוא איבר באחד משלשת הזרמים (147, 258, 369). כל סדרת מספרים מורכבת ממספרים שמשמשים כאבריה. 

שלש ושש

המספר 666, שלש פעמים שש, הוא בעל חשיבות מיוחדת לנוצרים בגלל שהוא מייצג אצלם את הסיטרא אחרא, את השטן, את המתנגד לישו, את הANTI CHRIST. וראוי לזכור ברקע שמקורו של השש בשלוש, שמוסיף את עצמו לעצמו, והמספר שלוש בנצרות מייצג את ישו, שהוא השלישי בשילוש הקדוש.
אבל אצל הנוצרים הרעיון של הקשר שבין השש לשלוש הוא כבר יד שנייה, שכן הוא מופיע ביהדות כמה וכמה פעמים:
"וַיְהִי מִשְׁקַל הַזָּהָב אֲשֶׁר בָּא לִשְׁלמה בְּשָׁנָה אֶחָת שֵׁשׁ מֵאוֹת שִׁשִּׁים וָשֵׁשׁ כִּכַּר זָהָב" (מלכים א, יד, י).
123 מופיעים בפסוק (קהלת ד, ט- יב) : טוֹבִים הַשְּׁנַיִם מִן הָאֶחָד... וְהַחוּט הַמְשֻׁלָּשׁ לֹא בִמְהֵרָה יִנָּתֵק, שהרי:
1+2+3=6
1.2.3=6
במשנה (מסכת אבות, פרק א משנה ב) מעמידים את העולם על שלשה דברים ("על התורה, ועל העבודה, ועל גמילות החסדים", ולרעיון הזה יש הצדקה גאומטרית כי העולם מורכב משלושה ממדים ומששה כיוונים (ימין שמאל, פנימה והחוצה, מעלה ומטה). 
בתלמוד (מסכת סנהדרין, צז, ב) מעמידים את העולם על ל"ו צדיקים שבזכותם מתקיים העולם. בגימטרייה למ"ד ערכה 30 ובצמצום ,3 ואילו ו"ו ערכה 6. גם למספר 18 יש חשיבות מיוחדת ביהדות בגלל שבגימטריה
18= חי = שלש כפול שש.

האותיות שש מופיעות כשני שלישים מן המילה שלש, שמורכבת משלש אותיות שערך כל אחת מהן הוא שלש וביחד ערכן תשע, כך שהקשר ההדוק בין אברי הזרם של ה 369 בא לידי ביטוי בגימטריה של המילה שלש.

הערה של חיליק:
666 הוא מילוי של 36
36 הוא מילוי של 8 וריבוע של 6
קומבינציה מיוחדת שבאותו מספר נפגשים גם ריבוע וגם מילוי
 666 הוא פלינדרום שהמילוי שלו מורכב משני פלינדרומים: 222 111

יום חמישי, 26 ביוני 2014

סדרת המספרים הטבעית במלוא מובן המילה

לא רק בני האדם יודעים לספור
גם הטבע נוהג לסמן את גיל העץ,
שהוא מספר ימי הולדתו 
באמצעות טבעות גיל 
וזוהי סדרת המספרים הטבעית במלוא מובן המילה

יום רביעי, 25 ביוני 2014

כל מספר מורכב מיחידות

אחד מורכב מיחידה אחת שניתן להציג אותה כריבוע של אחד על אחד.
שניים מורכב משתי יחידות שניתן להציגן כמלבן שאורכו שניים ורוחבו 1.
שלש מורכב משלוש יחידות שניתן להציגן כמלבן שאורכו 3 ורוחבו 1.
4 מורכב מארבע יחידות שניתן להציגן כריבוע של 2 על 2.
5 מורכב מחמש יחידות שניתן להציגן כמלבן שאורכו 5 ורוחבו 1.
... ניתן להציג כל מספר ראשוני כמלבן שאורכו המספר ורוחבו 1.
ניתן להציג כל מספר בצורת ריבוע (כשהוא מוכפל בעצמו) או בצורת מלבן (כשהוא מוכפל במספר שאינו עצמו), וכל ריבוע או מלבן שכאלה מורכבים מריבועים קטנים, שכל אחד מהם הוא אחד (או יחידה). הריבועים הקטנים האלה נחשפים כאשר מחלקים ריבוע בעצמו:
1:1=1
2:2=1
3:3=1

4:4=1...

סדרת הכפולות של מספר כלשהו

כאשר רושמים את המספרים לפי הסדר בטור אחד, לאורך או לרוחב, מקבלים את סדרת המספרים הטבעיים:
1, 2, 3, 4, 5,
2
3
4
5
כאשר רושמים אותם בשני טורים מקבלים בטור הראשון משמאל את סדרת האי זוגיים ובטור השני את סדרת המספרים הזוגיים (הכפולות של 2):
1, 2
3, 4
5, 6
כאשר רושמים אותם בשלושה טורים מקבלים את הזרמים, ובטור השלישי את הכפולות של 3:
1, 2, 3,
4, 5, 6
7, 8, 9
כאשר רושמים אותם בארבעה טורים מקבלים בטור הרביעי את הכפולות של 4:
1, 2, 3, 4
5, 6, 7, 8
וכך גם לגבי המספרים הבאים - בטור האחרון תהיינה הכפולות של המספר האחרון.

במבט לאחור רואים שבעצם בטור של האחד קיבלנו את הכפולות של אחד, רק בגלל שאין בו טורים אחרים לא שמנו לב שהוא גם הטור האחרון. 

יום שני, 23 ביוני 2014

החטא הקדמון של הגאומטריה

רנה דקארט, ברוך שפינוזה ואחרים העריצו את הוודאות של הגאומטריה, וחינכו את מעריציהם להעריץ אותה, כאשר ניסו לחקות את השיטה שלפיה גזר אוקלידס משפטים מאקסיומות. אבל יש לה לגאומטריה חטא קדמון, והוא, שכאשר מציירים נקודה או קו או שטח, על גבי נייר, כבימינו, או על גבי חול, כבימי הפיתגוראים, יש להם מוחשיות פיזית, בעוד שלפי ההגדרה שלהם, שאותה ניסח אוקלידס בכבודו ובעצמו, לא יכולה להיות להם מוחשיות כזאת, כי לדבריו: נקודה היא מה שאין לו אורך, וקו הוא מה שאין לו רוחב, ושטח הוא מה שאין לו נפח. אז כל עוד עושים גאומטריה במחשבה יש התאמה בין ההגדרות לבין הדברים, אבל כל אחד יודע שהקו שנוצר באמצעות הסרגל או המחוגה איננו הדבר עצמו, אלא המייצג שלו, הכאילו שלו, הישראבלוף שלו, כי אחרת לא ניתן לעשות גאומטריה, כמו שלא ניתן לשחק שחמט בלי לוח וכלים. אז האנושות מרוויחה מוחשיות על חשבון האמת, ומי שלומד גאומטריה, החל מילדותו, מתחנך לשקר. לאור זה מעניין שאפלטון, שלא קיבל לאקדמיה שלו סטודנט שאינו יודע גאומטריה, היה זה שפסל את השירה כמודל לחינוך ("המדינה" 607) בטענה שהיא שקר. הפירוש הזה גם מאיר באור חדש את המצווה המקראית: לֹא תַעֲשֶׂה לְךָ פֶסֶל וְכָל תְּמוּנָה, אֲשֶׁר בַּשָּׁמַיִם מִמַּעַל, וַאֲשֶׁר בָּאָרֶץ מִתַָּחַת, וַאֲשֶׁר בַּמַּיִם מִתַּחַת לָאָרֶץ (שמות כ, ג), כי ברגע שאתה ממחיש את המופשט, והופך את השמיימי לארצי, אתה פוסל אותו מלשרת את האמת, והפוסל - כפי שראינו זה עתה אצל אפלטון  - במומו פוסל. 

יום ראשון, 22 ביוני 2014

אנחנו מוקפים בגיאומטריה

בהקדמות לתורת המספרים נוהגים מחברי הספרים, לעתים קרובות, לפרט עד כמה נפוצים המספרים בשעון, במחשב, בתאריך שבעיתון, בכתובת הבית, במחירי המוצרים וכיוצא באלה, אבל לא נתקלתי באף הקדמה בפירוט דומה של צורות גיאומטריות, אז כתבתי אחת משלי, כי בעיניי גיאומטריה ואריתמטיקה הן שני צדדים של אותה מטבע:
אנחנו מוקפים בצורות גיאומטריות:
נקודות באישוני הבריות, בכוכבי השמים בלילות, במפות השטח;
קווים בקווי החשמל והמים, בעמודי התאורה, באופק, בסולמות ובגדרות, בפסי הרכבת ובמעברי החצייה;
זוויות בפינות החדרים;
עיגולים של שמש, ירח, מטבעות;
משולשי גגות;
מלבני לבֵנים וחלונות, דגלים, לוחיות רישוי, מדבקות, מעטפות, שטרות כסף;
ריבועים במרצפות ובבולים;
כדורי רגל וסל;
תיבות דואר;
קוביות קרח

מגני דוד...

מספרים כצורות גאומטריות

כל מספר ניתן "לתרגם" לצורה גאומטרית, למרות שהשיטה הזאת איננה יעילה במספרים הגדולים. ניתן "לתרגם" אותו לנקודה או לכוכבית (מסומנת באיור בכחול), לקו (מסומן באיור בירוק) לשטח (כדוגמת הריבוע האדום שבאיור) או לנפח (כמו לקובייה). כלומר, ניתן לייצג כל מספר באמצעות צורות ששייכות לכל אחד משלושת הממדים: נקודה (שקודמת לממדים ומרכיבה אותם) קו, שטח ונפח. 


יום שבת, 21 ביוני 2014

יום שישי, 20 ביוני 2014

מספרים שעשויים מצורות גיאומטריות

מספרים מעץ שעיצבה סבינה סעד מחתיכות עץ צבעוניות שקנתה בשוק רמלה
 (c) 
Sabina Saad 2014
***
בהשפעת היצירה הזאת של סבינה סעד
עיצבתי את עשרת המספרים הראשונים כך שאחד עשוי מחלק אחד, שניים משניים וכן הלאה:




יום חמישי, 19 ביוני 2014

שיטת הכפלה הודית קדומה


כאשר לומדים איך לעשות משהו בשיטה מסוימת קשה להאמין שניתן לעשות זאת אחרת. בעיקר כשמדובר במשהו בסיסי כמו הכפלה, שנלמד בגיל צעיר, ועם השנים נחרט בתודעה כהרגל. 
איור מתוך ספרו של פלוריאן קאג'ורי:
A History of Elementary Mathematics by Florian Cajori, 1898, p.91

יום שלישי, 17 ביוני 2014

המחשה גאומטרית לסדרה הנדסית עולה

הפיתגוראים ידעו ששטח הריבוע שעל האלכסון של ריבוע הוא פי שניים משטח הריבוע המקורי. 
אם נתבונן בריבוע הקטן ביותר- יש בו שני משולשים חופפים. בריבוע שעל האלכסון שלו יש כבר ארבעה, ולכן קל לראות שהוא גדול פי שניים מן הריבוע המקורי. 
המשכתי את העיקרון הזה ושרטטתי את הריבוע של האלכסון של הריבוע השני. כאן כבר קל לראות שיש ארבעה ריבועים בגודל של הריבוע המקורי. 
ואם ממשיכים את המשחק הזה עוד ועוד זה מתחיל להיראות כמו ספירלה, ומזכיר את סדרת פיבונאצ'י. אני רק מצטער שלא לימדו אותי את הדבר המדהים הזה בבית הספר. 
אפשר לראות משהו דומה גם אם מתחילים ממשולש, שמכפיל את עצמו ויוצר ריבוע של שני משולשים, שמכפיל את עצמו ויוצר מלבן שמכיל ארבעה משולשים, שמכפיל את עצמו ויוצר מלבן של שמונה משולשים, שמכפיל את עצמו ויוצר מלבן של 16 משולשים,  שמכפיל את עצמו ויוצר מלבן של 32 משולשים... 
   

יום שני, 16 ביוני 2014

סוד השבע




לדעת מוריץ קנטור ופרשנים אחרים השנה הבבלית מנתה תחילה 360 ימים בשנה, ומכאן באה חלוקת המעגל ל 360 מעלות, והוא מוסיף שאולי ידעו הבבלים שרדיוס המעגל קטן פי שש מהיקפו*.
360 המעלות של המעגל מתחלקות למספר שלם בכל אחד מתשעת המספרים הראשונים מלבד בשבע.
מעניין אם תופעה זו הייתה ידועה למחבר הסיפור המקראי על שמשון, שהמילה שמש הכלולה בשמו רומזת על שנת השמש, ועל גלגל השמש (שצורתה צורת עיגול), וסוד כוחו נקשר למספר שבע:
שופטים פרק טז:
ז וַיֹּאמֶר אֵלֶיהָ, שִׁמְשׁוֹן, אִם-יַאַסְרֻנִי בְּשִׁבְעָה יְתָרִים לַחִים, אֲשֶׁר לֹא-חֹרָבוּ, וְחָלִיתִי וְהָיִיתִי כְּאַחַד הָאָדָם
שמשון אהב לחוד חידות, וכאשר אמר "שבעה יתרים לחים" - כיוון לשבע מחלפות שערו שהיו סוד כוחו)
יג ... וַיֹּאמֶר אֵלֶיהָ אִם תַּאַרְגִי אֶת שֶׁבַע מַחְלְפוֹת רֹאשִׁי עִם-הַמַּסָּכֶת...
יט ... וַתְּיַשְּׁנֵהוּ, עַל בִּרְכֶּיהָ, וַתִּקְרָא לָאִישׁ, וַתְּגַלַּח אֶת שֶׁבַע מַחְלְפוֹת רֹאשׁוֹ

מתוך:*
A History of Elementary Mathematics by Florian Cajori , 1898
שמסתמך על

*Vorlesungen über Geschichte der Mathematik by Moritz Cantor (1894), Vol. I, pp. 91-93
***
לאחר שפרסמתי כתבה זו עם תמונה אחרת מצאתי את עצמי ברחוב שמשון וכשהגעתי למספר 7- צילמתי.  

יום שישי, 13 ביוני 2014

טטרקטיס כמשוואה -א


בדרך כלל אנחנו מסתכלים על עשרת המספרים הראשונים כעל יחידות, אבל כמו ש
1+9=10
כך גם
 20=2+18
27+3=30
ואפילו
100+900=1000

ומכאן ניתן להבין שעשרת המספרים הראשונים הם בעצם משתנים במשוואה. 

יום רביעי, 11 ביוני 2014

לוח הכפל של ניקולא שיקה


מתוך עמוד 44 בספר
Le Triparty en la science des nombres
מאת המתמטיקאי הצרפתי ניקולא שיקה 
Nicolas Chuquet;‏ 1445–1488

יום שישי, 6 ביוני 2014

הכריכה הקדמית לספרי המקוון על התבוננות במספרים


הספר (בהתהוות) כתוב באנגלית 
והוא כולל, נכון לרגע זה, מעל מאה צילומים ואיורים 
מלווים בטקסטים שמבוססים על בלוג זה
אבל בהבדל מן האקראיות והספונטניות של הכתבות בבלוג 
הספר מתומצת, והוא מסודר ומחולק לפרקים:
מבוא
מספרים
יחסים בין מספרים
פעולות חשבון
על הקשר שבין גאומטריה לאריתמטיקה
מספרים שמופיעים בציורים
צילומי מספרים


  

יום שלישי, 3 ביוני 2014

האם ניתן להחשיב את אפס כמספר מן המניין?

האפס היה קיים בתרבויות עתיקות כמסמן מקום ריק, אבל לא כמספר. גם בימינו הוא עדיין ממלא תפקיד זה: האפס שלפני האחד מודיע למתבונן שעוד אין יחידות, וכך גם בעשר. במאה הוא מודיע שבמקום השני מימין עוד אין עשרות. באלף הוא מודיע שבמקום השלישי מימין עוד אין מאות...
כמספר, האפס נכנס לשימוש אלפי שנים אחרי שאר המספרים, מה שאומר שאנשים הסתדרו לכל אורך אותה תקופה בלעדיו, ואפילו לא הרגישו בחסרונו.
בין היחידות האפס הוא מספר יוצא מן הכלל:
כל מספר מאחד ואילך מכיל אחדים מלבד האפס. האפס, למרות שהוא אחד, אין בו אף אחד.
כל מספר יכול לחלק ולהתחלק לכפול ולהכפיל מלבד האפס.
כל מספר יכול להתגלגל (להוסיף לעצמו תשע כך שיופיע שנית בסכום הספרות של המספר החדש) מלבד האפס.
יש לכל מספר תוכן (סכום הספרות מאחד עד אליו) מלבד לאפס.
האפס קיים לפני שאנחנו סופרים, אבל כל שאר המספרים קיימים רק לאחר שהתחלנו לספור.
כמו לאחד גם לאפס אין חלקים, ובתכונה זו הם שונים מיתר המספרים.
מצד שני:
האפס על הסרגל הוא קו או נקודה, או מקום, והוא מוחשי כמו כל מספר אחר.
אם מספר כלשהו נוצר מקודמו באמצעות הוספת יחידה אחת, האפס אינו יוצא מן הכלל, כי הוא בורא את האחד, את המספר הראשון, על ידי הוספת אחד לעצמו.
***

התמונה באדיבות Serge Melki ורואים בה את נקודת האפס ממנה מחשבים את המרחקים מפריס.

יום ראשון, 1 ביוני 2014

על הקשר שבין מספרים שבנויים מאותן ספרות בסדר שונה לבין המצאת הדפוס של גוטנברג



לגבי מספרים כמו 123, 213, 312, שבנויים מאותן ספרות בסדר שונה, ניתן לומר על בסיס דברי רס"ג בפירושו ל"רצוא ושוב" שבספר יצירה (ב"כוזרי",מאמר רביעי סעיף כה):
חוֹזֵר הַגַּלְגַּל פָּנִים וְאָחוֹר, אֵין בְּטוֹבָה לְמַעְלָה מֵעֹנֶג וְאֵין בְּרָעָה לְמַטָּה מִנֶּגַע, רְצוֹנוֹ לוֹמַר שֶׁאוֹתִיּוֹת אֶמֶשׁ וְאָשָׁם, וְעֹנֶג וָנֶגַע אַחַת הֵן, וְאֵין בֵּינֵיהֶם אֶלָּא הַהַקְדָּמָה וְהָאִחוּר, כְּמוֹ שֶׁהַזְּרִיחָה וְהַשְּׁקִיעָה לַגַּלְגַּל אֶחָד בְּחֻקּוֹ, וּבְחֻקֵּנוּ אֲנַחְנוּ – רָצוֹא וָשׁוֹב.
ניתן גם להוסיף ולומר שסכום הספרות של מספרים שכאלה הוא אותו סכום
123=6
213=6
312=6

לכאורה נדמה שאין להבחנה הזאת שימוש מעשי, אבל המצאת הדפוס של גוטנברג התבססה עליה כאשר לראשונה בתולדות ההדפסה ניתן היה אחרי שהדפיסו עמוד לפזר את האותיות ולסדר אותן מחדש לקראת הדפסת עמוד חדש. לפני הדפסה זו היו חורטים את האותיות על לוח עץ וזורקים את הלוח לאחר ההדפסה.