תגלית או המצאה

 יש שאלה לא פתורה מפורסמת: האם תגלית במדעי הטבע היא המצאה? ניתן להרחיב אותה ולשאול אם תגלית בגיאומטריה שיש לה תגלית תואמת,  שקדמה לה, במתמטיקה, היא המצאה. למשל, משפט פיתגורס במתמטיקה שלפיו הריבוע של שלוש בתוספת הריבוע של ארבע שווים לריבוע של חמש שיש לה צורה תואמת בגיאומטריה שלפיה הריבוע שעל אחד הניצבים ביחד עם הריבוע שעל הניצב השני במשולש ישר זווית שווים לריבוע שעל היתר. לעניות דעתי מי שגילה את המשפט הזה בגיאומטריה אינו גאון פחות ממי שגילה אותו במתמטיקה, ואפילו אם נניח שידע את הפתרון המתמטי לפני שגילה את תגליתו. זה בכלל לא מובן מאליו. אני מתאר לעצמי שאלפי תלמידים בדקו אלפי ריבועים על צלעות של אלפי משולשים עד שיום אחד מישהו גילה במקרה את משפט פיתגורס. הסוגיה הזאת מבהירה את היחס בין מתמטיקה לגיאומטריה. הגיאומטריה איננה בשום אופן המחשה של המתמטיקה, הן התפתחו באופן נפרד באמצעות תגליות אקראיות של חוקרים סקרניים. 

עגיל טטרקטיס בדו ממד שיוצר עבורי מכסף בסטודיו עדי גרינשטיין

הטטרקטיס כסמל של החלק שזהה לשלם

כאשר הטטרקטיס בנוי מנקודות המשולש שווה הצלעות שמכיל את עשר הנקודות אינו נראה כמוהן, כי אין לו צורה של נקודה.

בממד השני כבר רואים שכל אחד מעשרת המשולשים שמרכיבים את הטטרקטיס זהה בצורתו למשולש שווה הצלעות שמכיל אותם.

וכך גם בממד השלישי: כל אחת מעשר הפירמידות נראית זהה לפירמידה שמכילה את כולן.

לפיתגוראים, שהאמינו שהעולם מורכב ממספרים ומצורות גיאומטריות, היה ברור, שהטטרקטיס מלמד שמה שלמטה זהה במבנה שלו למה שלמעלה ולהפך, שהפרט זהה במבנה שלו לכלל ולהפך, ושאם תדע את המבנה של עצמך תדע גם את המבנה של העולם ולהפך.

תהיות לגבי הסיבות לקדושתו של הטטרקטיס בעיניי הפיתגוראים

למגן דוד יש צורה גאומטרית מדהימה: הוא עשוי משני משולשים שווי צלעות אשר בהתחברם יוצרים צורה משוכללת אחרת - משושה שעל כל אחת מצלעותיו יש  משולש שווה צלעות, כך שאם מקפלים את המשולשים האלה כלפי פנים המשולש הם מתאחדים בצורה מושלמת עם המשושה. אבל אין שום עדות לשימוש של המגן דוד אצל הפיתגוראים, שהם אלה שהמציאו את הגאומטריה. לעומת זאת ידוע שהם העריצו את הצורה הגאומטרית שנקראת טטרקטיס, טענו שכל תופעה מספרית ניתן להראות באמצעות הטטרקטיס, והתייחסו אליו כאל סמל מקודש.

הטטרקטיס מוכר, בדרך כלל, בצורת משולש שווה צלעות שעשוי מנקודות. בראשו נקודה אחת, בשורה שמתחתיו שתיים, מתחתיה שלש ובבסיס ארבע. מה שמדהים בצורה הזאת הוא שהנקודה שבקדקודה ביחד עם שתי הנקודות שמתחתיה יוצרים משולש שווה צלעות. וכל נקודה בבסיס של המשולש הזה משמשת קדקוד למשולש שווה צלעות. ושלושת המשולשים האלה יוצרים משולש שווה צלעות. ושלש נקודות הבסיס שלו כל אחת מהן יוצרת משולש שווה צלעות. ושוב, כל נקודה בבסיס של המשולש הזה משמשת קדקוד למשולש שווה צלעות, והתופעה הזאת חוזרת ומתרחשת ככל שמוסיפים שורות עד לאין סוף.

לקדקוד של המשולש הראשון, העליון, קראו הפיתגוראים אחד. לשתי הנקודות שמתחתיו הם קראו שניים. השורה של שלש הנקודות נקראה שלש, והבסיס של ארבע הנקודות נקרא ארבע. חשוב לציין שאצל הפיתגוראים עוד לא הייתה הפרדה בין צורות לבין מספרים ובין גאומטריה לבין אריתמטיקה, והם נהגו לתאר תופעות מספריות באמצעים גאומטריים.

אבל יש צורה גיאומטרית עוד יותר מדהימה מהטטרקטיס-של-הנקודות והיא הצורה של הטטרקטיס-של-המשולשים, כאשר האחד הוא המשולש שקדקודו הוא אותו הקדקוד של הטטרקטיס של הנקודות. השניים הוא שני המשולשים שמתחתיו. השלש הוא שלשת המשולשים שמתחתיהם, הארבע הוא ארבעת המשולשים שמתחתיהם. וכל המשולשים האלה מרכיבים משולש שווה צלעות אחד.

את הצורה הזאת ניתן להמשיך עד לאין סוף עם חמישה משולשים מתחת לארבעת משולשי הבסיס, עם ששה משולשים מתחת לחמישה וכן הלאה.

קדושתו של הטטרקטיס נבעה לא רק מצורתו אלא גם ממשמעותו המספרית. החיבור של הנקודה שבקדקוד עם השתיים שמתחתיה עם השלש שמתחתיהן ועם הארבע שבבסיס - נותן עשר נקודות שמייצגות את המספר עשר, שכידוע משמש כיסוד של השיטה העשרונית, שיש לה משמעות מרכזית ביעילות של האריתמטיקה בחישובים למיניהם. גם העשר היה מספר מקודש בעיני הפיתגוראים.

התפיסה המקובלת של המספרים נשענת על דימוי גאומטרי: אנחנו משייכים לכל מספר נקודה שממוקמת על קו שאורכו אינסופי. אחד הוא נקודת המוצא. שתיים הוא שתי נקודות. שלש הוא שלש נקודות וכן הלאה. מקובלת קצת פחות, אבל מוכרת מאד, היא התצוגה של המספרים מאחד עד שתים עשרה על גבי שעון עגול, כאשר כל מספר מיוצג על ידי נקודה על קו, עגול, והמעגל, כידוע, אין לא התחלה ואין לו סוף, והוא אינסופי.

בטטרקטיס של הנקודות יש ערבוב של נקודות, שהן מושג של הממד הראשון, עם משולש, שמכיל את כולן, אבל הוא שייך לממד השני, ממד השטח. לעומת זאת בטטרקטיס של המשולשים, שתיארתי לעיל, המשולשים שמרכיבים את הטטרקטיס, והמשולש שנוצר מהם ומכיל אותם - הם כולם בני אותו ממד, הם כולם בני ממד השטח. בעיניי, הקסם של יצירת משולש אחד משלושת המשולשים הראשונים הוא יותר מרשים, יותר "קופץ לעין", מן הקסם שנוצר מיצירתו משש נקודות. ועוד יותר מרשים שמשולש אחד נוצר מעשרת המשולשים הראשונים ולא מעשרת הנקודות הראשונות. ועוד יותר מרשים שכל המספרים כולם מיוצגים  בסופו של דבר במשולש אחד, שהוא מושג של שטח, ולא כנקודות על גבי קו אחד שיש לו התחלה אבל אין לו סוף.

תורת מספרים טהורה

תורת מספרים טהורה צריכה להשתחרר מן המינוחים הגאומטריים שיש כיום באריתמטיקה: במקום המונח "מספר משולש" עליה למצוא מונח שיסמן את הצטברות המספרים מאחד ועד המספר המבוקש. 
אין במספרים מרחק שווה בין מספר למספר, כמו בגיאומטריה, ולכן מושגי המרחק אינם רלוונטיים בהם. 
ריבוע של מספר הוא חזקה. זה לא רלוונטי לאריתמטיקה שניתן לסדר נקודות בצורת ריבוע כך שמספרן הוא מספרו של המספר בחזקה שנייה. 
וכך גם לגבי מספרים מעוקבים לא רלוונטי לאריתמטיקה טהורה שהם בצורת קובייה. הם בחזקה שלישית ותו לא.
משפט פיתגורס הוא משפט גיאומטרי טהור שקובע יחס בין שטחי ריבועי הניצבים במשולש ישר זווית לבין שטח הריבוע שעל היתר שלו. מספרים שכרוכים בו [כמו 3,4 5] לא שייכים לגאומטריה. 
גם פאי הוא עניין של גאומטריה. הוא היחס שבין היקף העיגול לקוטרו. כל העניין המספרי העצום שהמספר הזה עורר אינו שייך לגאומטריה. הפיתגוראים המשיכו לפתח את הגיאומטריה אך עצרו את פיתוח האריתמטיקה, אחרי שגילו [באופן גיאומטרי] שהמספרים הלא שלמים מסבכים להם את החיים. באריתמטיקה נתנו כבוד ללא שלמים שבהם זלזלו הפיתגוראים. פאי הוא מספר לא שלם שנולד בגיאומטריה ואומץ באריתמטיקה. הוא בן כלאיים. איזו הצדקה יש לו באריתמטיקה? הוא לא מספר לא שלם מהסוג של יחס הזהב שהוא יחס גיאומטרי בין קווים.  
טשטוש התחומים בין גאומטריה למתמטיקה בולט במשפט לינדמן שהוא הוכחה מתמטית שממנה נובע שאי אפשר לבנות באמצעות סרגל ומחוגה עיגול ששטחו שווה לשטח של ריבוע. 

השפעה אפשרית של הטטרקטיס על ספר יצירה

לכל טטרקטיס יש 10 נקודות [צהוב ואדום] אך מתוכן 7 חופפות [כתומות]. שולי המשולשים המקוריים נשארים שלמים ורק המשושה הפנימי עשוי מהנקודות החופפות!

לטטרקטיס הייתה חשיבות מרכזית בתורת המספרים של הפיתגוראים, ולכן הם עיינו במשך דורות על גבי דורות בכל מה שניתן להפיק ממנו. הידע הזה לא נעצר בגבולות שבין הארצות, והגיע גם לידיעת היהודים. אולי התובנה המסוימת הזאת בעניין שילוב  שני הטטרקטיסים להקסגרמה הייתה מוכרת למחבר ספר יצירה, ולכן קבע בחלוקת האותיות לקטגוריות את שבע הכפולות [בג"ד בכר"ת].

התבוננות במספרים כמו שהפיתגוראים התבוננו בהם

 טטרקטיס
אם מתרכזים בראשי הגפרורים רואים את הטטרקטיס בנקודות

משפט פיתגורס
בדרך כלל אנו חושבים על הריבועים שבונים על שלושת הצדדים של המשולש המיוחד הזה. כאן אני מנסה להדגיש שאם הניצבים הם 3 ו -4, היתר חייב להיות 5.

ארבעה טטרקטיסים

בכחול - הטטרקטיס הראשון

באדום - השני

בירוק - השלישי והרביעי

הריבוע של הארבע מורכב לא רק מארבע כפול ארבע אלא גם מארבעה ריבועים

והשלוש משלושה

והשניים משניים

והאחד מאחד

התפתחות המספרים כאדוות

אחד בריבוע באדום

שניים בריבוע בתכלת

שלוש בריבוע בצהוב

ארבע בריבוע בירוק

טבעו הבלתי אפשרי של של המעגל האוקלידי

 אוקלידס מגדיר קו כמה שאין לו רוחב, ומעגל כאוסף כל הנקודות שמרוחקות מרחק שווה מנקודה אחת. התבוננות בשתי ההגדרות ביחד מלמדת על טבעו הבלתי אפשרי של של המעגל: א. הוא נוצר מקווים שאין  להם רוחב ולכן אין לו שטח. ב. החיבור של כל הנקודות האלה בקו אחד שאנחנו קוראים לו מעגל אינו קיים באמת, ולא ניתן להוכיח אותו, למרות שניתן לצייר אותו. מה שקיים הוא רק נקודות  וניתן להמחיש את המרחק השווה של כל אחת מהן מנקודת מרכז באמצעות קו ישר שהוא רדיוס של מעגל, אבל אין אצל אוקלידס קו שהוא היקף של עיגול. לפיכך החקירה של היחס בין היקף המעגל לבין הקוטר שלו היא לא רציונלית ולא פלא שהיא מניבה מספר לא רציונלי. התופעה הזאת מזכירה לי ווידאו שמורכב מתמונות סטילס שהרצתן במהירות מסוימת גורמת לאשליה של תנועה. לאור כל זאת רק טבעי לשאול אם המעגל הוא אשליה של תנועה, והאם אנחנו רואים כל נקודה עליו כסטילס ומריצים את כולן במהירות מסוימת כדי לקבל אותו כווידאו. 

מספרים כהמחשה של תופעה גיאומטרית

המחשבה המקובלת היא שגאומטריה ממחישה את המספרים [1] אבל ניתן לראות את משפט פיתגורס כמשוואה עם שלושה נעלמים, שמספקים אותה מספרים כמו 3,4,5... כלומר שהמספרים הם המחשה של תופעה גיאומטרית.

ניתן לראות את כל הנקודות שעל הטטרקטיס והמשכו [החל מנקודה אחת בקודקוד, שתיים בשורה מתחתיה, שלש בשורה מתחתיה וכן הלאה] כמשוואה שניתנת להמחשה על ידי המספרים הזוגיים והאי זוגיים, כאשר כל האי זוגיים מופיעים על חוצה הזווית, וכל הזוגיים על שוקי המשולש ולשני צדדי חוצה הזווית. כלומר שכל המספרים הם המחשה של תופעה גיאומטרית.

==========

הערה:

[1] בספרו "היסטוריה של המתמטיקה" מציין ג'ון סטילוול ש"מעורר השתאות שיש למשפט פיתגורס, שהוא עובדה מספרית טהורה, פירוש גאומטרי. ממבט ראשון נדמה שאין קשר בין תחומי הידע של אריתמטיקה וגאומטריה. אריתמטיקה מבוססת על ספירה, שהיא התגלמות של תהליך בדיד, ואילו גאומטריה עוסקת באובייקטים רציפים כמו קווים, ומשטחים. אלמנטים רציפים אינם ניתנים לבנייה מבדידים באמצעות תהליכים של בדידים. יש ציפייה לראות עובדות גיאומטריות ולא להגיע אליהן באמצעות חישוב. משפט פיתגורס היה הרמז הראשון לקשר עמוק ונסתר בין אריתמטיקה וגאומטריה שנמשך לכל אורך ההיסטוריה של המתמטיקה. הקשר הזה היה לעתים קשר של שיתוף פעולה ולעתים של עימות, כמו שקרה אחרי גילוי אי הרציונליות של שורש שניים. לעתים קרובות רעיונות חדשים צצים מתוך אזורים שיש ביניהם מתח, ופתרון הקונפליקט מאפשר לרעיונות בלתי ניתנים להשלמה לשתף פעולה באופן פורה. המתח בין אריתמטיקה וגאומטריה הוא ללא ספק העמוק ביותר במתמטיקה, והוא הוביל למשפטים העמוקים ביותר, שמשפט פיתגורס הוא הראשון שבהם, ובעל ההשפעה הרבה ביותר"...

מקור:

Mathematics and Its History, Third Edition, 2010 by John Stillwell. P. 3

טטרקטיס בהפשטה

במרכז יש שבע [ירוק] מוקף לגמרי בששה [אדומים]

ובפינות [בכחול]: האחד שנשען על 7 שנשען על 2.

כל הפעולה מתרחשת בין ההתחלה והסוף, בין

הכריכה הקדמית לבין הכריכה האחורית.

זה מזכיר לי את צב העולם במיתולוגיה ההינדית.

הסבר של ניקומאכוס לאופן שבו ריבועים יוצרים ריבועים

בסדרת הכפולות של אחד [1, 2, ,3, 4] הריבוע של אחד מופיע במקום הראשון.

בסדרת הכפולות של שניים [2, 4, 6 , 8] הריבוע של שניים מופיע במקום השני. אם מחברים את האיבר שלפני הריבוע לאיבר שאחריו

2+6=8

ומוסיפים לתוצאה את הריבוע פעמיים מקבלים את הריבוע של הארבע [16], שהוא הריבוע של 4:

2+6=8; 4+4=8; 8+8=16

בסדרת הכפולות של שלוש הריבוע של שלוש [9] מופיע במקום השלישי. לפניו 6 אחריו 12 שהם 18 ועוד פעמיים הריבוע שווה לריבוע של שש [36], שהוא הריבוע של 6.

בסדרת הכפולות של ארבע הריבוע של ארבע מופיע במקום הרביעי [4, 8, 12, 16, 20] לפניו 12 ואחריו 20 שהם 32 ועוד פעמיים הריבוע של 16 [32] ... מקבלים 64 שהוא הריבוע של 8.

וכך הלאה.

מקור:

Nicomachus of Gerasa,  Introduction  to  Arithmetic,  Book 1,  Juan F. Balboa  Translation  , 2018, p. 64

טטרקטיס בתור עצרת

הטטרקטיס אלם

הוא לא יכול להגיד לנו אם לחבר או להכפיל

 את מספריו

הסבר לסימטריות של ניקומאכוס

כל מספר מורכב מחיבור של אחדים. שניים הם אחד ועוד אחד, ו 55 הם 55 אחדים שמחוברים ביניהם.

====

1

121

12321

1234321

123454321

הסימטריה של ניקומאכוס

כאן מוצגים ריבועי המספרים מאחד עד חמש

אבל זו סדרה שניתן להמשיך עד אינסוף

הסימטריה של ניקומאכוס מראה לנו מה קורה כאשר היחס בין האחדים משתנה מחיבור לכפל:

אחד כפול אחד הם אחד

אחד ועוד אחד [שהם שניים] כפול אחד ועוד אחד הם ארבע. בדרך כלל אנחנו מתייחסים לארבע כאל הריבוע של שניים, אבל ניקומאכוס מציג לנו מבט חדש שלפיו האחד ועוד אחד הוא אחד עשרה ו11 כפול 11 הם 121.

אם נתעלם מההרגל לקרוא מספר כזה בשיטה העשרונית ה 121 מורכב מאחד ועוד אחד ועוד שניים שהם 4 שהוא הריבוע של אחד ועוד אחד [שהם שניים] כפול אחד ועוד אחד 

באיור  למעלה ניתן לראות שיש התאמה בין המיקום העשרוני של המספרים לבין המיקום הגיאומטרי שלהם בריבוע: 121 שהם מאה אחת ועוד שתי עשרות ועוד יחידה אחת.

תורת המספרים מורכבת מסדרה ארוכה של תגליות "פשוטות" כמו זו שגילה ניקומאכוס (60-120 לספירה). לגלות תגלית כזאת יכול היה כל מי שהתבונן במכפלות של אחדים. לא צריך ללמוד מתמטיקה לדוקטורט בשביל לגלות תגלית שכזאת. התגליות הראשונות מהסוג הזה מיוחסות לפיתגוראים החל מהמאה השביעית לפני הספירה. כל תגלית שכזאת מעוררת השתאות על הסדר של המספרים, על היופי שלהם, על המבנה שלהם, על היכולת להציג אותם בצורה גיאומטרית. נדמה שהחכמה של המספרים היא על אנושית, ושאם אדם בודד המציא אותם... לא מתקבל על הדעת שהוא ידע מראש את כל מה שיגלו בהם הבאים אחריו.

חכמת המספרים של היוונים הדהימה את כל מי שנתקל בה. היא מעידה על ביג בנג של התבונה האנושית שהתחולל ביוון ואשר גלי ההדף שלו הגיעו, להערכתי, עד למחברי התנ"ך. 

טטרקטיס בממד השני

בטטרקטיס המקורי אנחנו מדברים על 1 + 2 + 3 + 4 = 10

בממד השני אנו רואים תופעה חדשה:

1 הוא 1 וסכום השורה שלו הוא 1 שהוא גם 1 בחזקה שלישית

2 הוא 4 וסכום השורה שלו הוא 8 שהוא 2 בחזקה שלישית

3 הוא 9 וסכום השורה שלו הוא 27 שהוא 3 בחזקה שלישית

4 הוא 16 וסכום השורה שלו הוא 64 שהוא 4 בחזקה שלישית

ואנחנו יכולים להמשיך את הסדרה עד שנתעייף
=
בונוס:

מכפלת ארבעת המספרים הראשונים היא 24

מכפלת ארבעת המספרים הראשונים בריבוע היא

576

שהוא הריבוע של 24

עץ המספרים של ניקומאכוס בתלת ממד

צורת המספרים המקוריים

אצל הפיתגוראים הצורה של עשרת המספרים הראשונים היא צורת משולש שווה שוקיים שבקדקודו נקודה אחת תחתיה שתיים תחתיהן שלש ובבסיסו יש ארבע נקודות. אבל המספר עשר שונה מתשעת המספרים שקודמים לו, כי הם מקוריים ואילו הוא העתק של המספר אחד, מה שגם גלוי לעין כשמחברים את הספרות שמהן הוא מורכב כי אחד ועוד אפס שווה אחד. מבחינה זו העשר דומה לכל ה"גלגולים" של המספרים המקוריים: 11 הוא ההופעה השנייה של 2, 12 הוא ההופעה השנייה של 3 וכן הלאה.

הצורה של תשעת המספרים המקוריים היא צורת ריבוע. הריבוע של שלש. בכל צלע של הריבוע הזה יש שלש נקודות.

האחד שבאמצע המספר האי זוגי לפי שיטתם של הפיתגוראים

אריסטו בחלק השני של ספרו מטפיזיקה, בפרק השמיני, מתייחס לבריאת המספרים לפי שיטתם של  הפיתגוראים: (תרגום שלי)

"בריאת המספרים היא תמיד בריאה של מספר זוגי או של מספר אי-זוגי... כאשר 1 נוסף למספר זוגי, מיוצר מספר אי-זוגי...כאשר 2 מכפיל מספר אי- זוגי נוצר המספר הזוגי... אז איך זה חל על היחידות של המספר שלש?  אחת מהן היא אי-זוגית. אבל אולי בגלל זה הם נותנים לאחד עצמו את המקום באמצע במספרים אי-זוגיים"... אבל אם כל אחת משתי היחידות מורכבת הן מהגדול והן מהקטן, מהשוויון, איך יהיה 2, שהוא דבר אחד, מורכב מהגדול ומהקטן?... [ובהמשך] לכן הם מזהים את האי-זוגי עם האחד".

וכך זה נראה: בכל מספר אי-זוגי יש אגף אחד שהוא ארוך (שחור) ואגף אחד שהוא קצר (אפור), אבל האחד שבאמצע הופך את הארוך והקצר לשווים באורכם.

ההסבר הזה מניח שמי שמייצרים את המספרים הם העקרונות של גדול וקטן ושל השניים שהוא עיקרון הכפל.

לשם מה המציאו הפיתגוראים את המספר המשולש

מי שחג מעגל במחוגה נעזר בנקודת המרכז של המעגל. נקודה זו איננה חומרית, איננה מדידה, ואיננה ניתנת לחלוקה. בניסוח של אלה שמייחסים את החומריות והמוחשיות לאדמה, ואת הרוחניות והמופשטות לשמים - היא שמיימית. מי שמה שמעניין אותו בחיים זה מגע עם המופלא, כמו הפיתגוראים, יכול לחוג מעגלים באופן מודע מן הרגע שבו הוא קם ועד לרגע שבו הוא נרדם.

הפיתגוראים היו חברים בכת דתית, לא באקדמיה. הם גילו דברים במספרים לא בגלל ההשלכות המעשיות של תגליותיהם על המדע ועל הארכיטקטורה, אלא בגלל שקל לחוות באמצעות המספרים את אחדות ההוויה.

הם הורישו לנו את המספר המשולש בגלל שהוא מכיל את כל המספרים שקדמו לו. הארבע מכיל את השלוש, השניים, והאחד וסכום מרכיביו הוא עשר. כל מספר מעיד על נקודת המוצא, כמו מפה שמצויר עליה מסלול המסע.  נקודת המוצא של כל מספר היא האחד, שהוא, בשפה הגיאומטרית, נקודה. 

באופן דומה כל מספר חלקי עצמו הוא אחד, והוא מצביע על כמות האחדים שמרכיבים אותו.

השורה התחתונה בכל מה שנוגע לתגליות של הפיתגוראים במספרים היא שהם היו, כמו כל מאמין מונותיאיסטי, משוגעים לדבר אחד.

  

קדושת העשר מקורה בנקודה שבמרכז המעגל - פוסטר

האחד הוא הנקודה שנוצרת מן האין כאשר מניחים עליה את הרגל של המחוגה. השניים הוא הנקודה שבקצה השני של הרדיוס שממנה מתחילים לשרטט את המעגל עם הרגל השניה של המחוגה. השלש הוא נקודת המפגש שבין המעגל המקורי לבין המעגל שמרכזו בשניים. הארבע הוא הקצה של המעויין שנוצר כאשר מחברים את הנקודות שעל הבסיס של המשולש שווה הצלעות עם נקודת המפגש השנייה של שני המעגלים. החיבור של האחד עם השניים השלש והארבע יוצר את העשר שמכיל את כל המספרים המקוריים שכל שאר המספרים הם  העתקים שלהם

==

על הקשר שבין האחד לבין העיגול מעיר ימבליכוס שהאחד הוא כמו השמש כי הגמטריה של המילה היוונית מונאד, אחד מן השמות של האחד, היא 361 (והמתרגם מעיר: כאשר אחד נספר פעמיים כדי לציין מעגל שלם)

Iamblichus - The theology of arithmetic , translated by Robin Waterfield, 1989