יום ראשון, 29 באפריל 2018

הנקודה הדתית


בימינו אנשים לומדים גיאומטריה למען איזו מטרה מעשית, אבל הפיתגוראים, שהיו כת דתית, המציאו אותה כדרך להתחברות עם האחדות של ההוויה, במקביל להמצאת המנדלה, לאותו צורך, אצל ההודים. הפיתגוראים התרגשו לגלות, שיש רק זווית ישרה אחת בין כל הזוויות הקהות והחדות; שיש רק ריבוע אחד בין אינסוף מלבנים; שיש רק נקודה אחת שמשמשת מרכז לעיגול;
במקביל הם פיתחו את תורת המספרים כי הם גילו שכל המספרים בנויים מן האחד, כמו שבדתות המונותיאיסטיות כל הנבראים נבראו מן האל... יש מאין. היש חומרי והאין איננו חומרי. השכל האנושי אינו מצליח להתגבר על אי ההבנה של היתכנות הבריאה. אפשר להבין שאדים בלתי נראים מתקררים והופכים לגשם, אבל הקסם של הופעת עולם מן הריק המוחלט מעורר השתאות דתית. מדרבן את האמונה בישות שיכולה לחולל בריאה שכזו, בהבדל מן האדם שיכול ליצור רק יש מיש.
הדבר שממחיש יותר מכל את הנס של הבריאה הוא דבר גאומטרי: לנקודה על דף יש צבע וגודל. היא עשויה מחומר (דיו) על חומר (נייר). היא כמו הפסל שאליו מתייחסת הדברה השנייה מבין עשרת הדברות, שהרי הנקודה האמתית איננה חומרית כלל. התיאור המדויק ביותר שלה הוא עיגול שלא רואים את נקודת המרכז שלו. היא נסתרת, אבל היא קיימת כסיבתו של העיגול. קל לראות את זה כשמציירים מעגל במחוגה, כי בלי נקודת המשען לרגל המחוגה האחת לא ניתן לצייר את העיגול באמצעות הרגל השנייה. הנקודה היא ההמחשה השכלית הטובה ביותר לבלתי נמדד. בגלל שאין לה גודל היא מעבר לקטן ולגדול, מעבר לניגודים, מעבר ליחסיות. היא מוחלטת. היא מחוץ לעולם. היא טרנסצנדנטית.
אנשי הכת הפיתגוראית הבינו את הנקודה כביטוי לאלוהות. היא איננה ניתנת לחלוקה כמו שהאלוהות איננה ניתנת לחלוקה. כמותה היא מניעה שאינה מונעת, סיבה שאין לה מסובב, בוראת שאינה נבראת. אלא שבעוד שאת הבריאה האלוהית לא ניתן להבין את בריאת הצורות הגיאומטריות מן הנקודה, ואת בריאת כל המספרים מן האחד, כל אחד יכול לחוות. 
לפני גילוי השברים ניתן היה לראות את המספר אחד ואת הנקודה, שמקבילה לו במשמעותה, כממירים זה את זה, אבל אחרי גילוי השברים כבר לא ניתן לחשוב על העוגה האחת בלי לדמותה לעוגה שנפרסה לפרוסות... ונותרה רק הנקודה כהמחשה לבלתי ניתן לחלוקה.
מנהיגי הכת הפיתגוראית אסרו על חברי הכת לפרסם את תגליותיהם בגלל חששם שישתמשו בתגליות לצרכים חילוניים-מעשיים. החשש שלהם התגשם כאשר אוקלידס פרסם את ספרו "היסודות". הספר פותח אמנם בהגדרת הנקודה כמשהו שאין לו אורך, שהיא הגדרה מדויקת ונכונה, אבל הגדרה זו איננה  משרתת אידיאל דתי אלא את הצורך של אוקלידס לכונן שיטה מחשבתית שמספקת וודאות. משיטה זו התפתחו במשך מאות שנים המדע, שמאפשר כיום לבני אדם להחריב את העולם, אם ירצו בכך, והשיגעון לדבר אחד של הפילוסופים, שעד לעת החדשה עסקו בעיקר בברור מושג הוודאות.

יום שלישי, 24 באפריל 2018

איפה אני


אני חווה את עצמי כנקודה שנמצאת במרכזו של מעגל, את הדברים שאני פוגש כנקודות על מעגל. הן משדרות אליי ואני משדר אליהן באמצעות הרדיוס. הדברים שאני פוגש הם רבים: אנשים, חפצים, תופעות, מחשבות. הם משתנים, מתחלפים זה בזה, אחד נכנס אחד יוצא, חולפים בחיי כמו שניות בשעון, בעוד אני אחד, קבוע, בלתי משתנה, ומחוץ לזמן. ככה אני זוכר את עצמי מיום שאני זוכר את עצמי.

יום שני, 23 באפריל 2018

בעולם של האפס כל האפשרויות ממתינות להתממשותן כצנחנים במטוס


מי שיש לו שעון דיגיטלי מחמיץ את ההצגה המקסימה של השעון האנלוגי, שבו המחוג הוא המרחק שבין רגלי המחוגה, ונקודת המרכז היא הסיבה לסיבוב המחוגה, הבוראת של המעגל. בכל שעה ממחיש המחוג של השעות אחת מתוך אינסוף האפשרויות של הרדיוסים של העיגול. בהבדל מהם, הנקודה שבמרכז השעון, שכמוה יש רק אחת, איננה ניתנת לחלוקה, כי אין לה אורך, ואם רואים עיגול ויהא קטן ככל שיהא, הוא אשליה, כי את הנקודה האמתית לא ניתן לראות. גם שתים-עשרה השעות שעל מעגל השעון הן נקודות כאלה, בלתי נראות, אבל מסומנות במספר. ולא צריך להבין את הפרדוקסים של זנון כדי לדעת שהמעגל מורכב מנקודותיו, ואם אף אחת מהן אינה נוטלת חלק בעולם החומר, אין שום סיבה שהמעגל יהיה חומרי.

יום שלישי, 17 באפריל 2018

המיסטיקה של הכוונה


כמעט תמיד ידענו לדבר, אבל רק לאחרונה הבנו שהזכר והנקבה, היחיד והרבים, תמיד היו שם, התחבאו, משכו אותנו במגנט של הכוונה שלהם להתגלות.
כמעט תמיד ידענו לספור ולמדוד, אבל רק לאחרונה הבנו שמשפט פיתגורס תמיד היה שם, התחבא, משך אותנו במגנט של הכוונה שלו להתגלות.
הפיתגוראים קדמו למדקדקים במאות שנים. בלי הפיתגוראים לא היו מדקדקים. המשפט הזה תמיד היה שם, התחבא, משך אותי במגנט של הכוונה שלו להתגלות.

יום ראשון, 15 באפריל 2018

סדר כתכונה מרכזית של המספרים


כידוע, סדר הוא תכונה מרכזית של המספרים. הם מופיעים בזה אחר זה או בזה לפני זה, בסדר עולה או בסדר יורד, ולכל מספר יש מקום משלו, שהוא אך ורק שלו.

לכאורה סדר שכזה יש גם לאותיות האלפבית, וכל אחד יכול לסדר את התיקיות שלו במחשב בסדר אלפביתי, אבל יש הבדל מהותי בין הסדר של המספרים לבין הסדר של האותיות. הסדר של האותיות הוא שרירותי, ואילו הסדר של המספרים הוא מהותי. אין שום הכרח שהאות בי"ת תבוא אחרי האות אל"ף ולפני האות גימ"ל [1]. נכון שאומרים מאלף ועד ת"ו, ומתכוונים מהראשון עד האחרון, אבל, כאמור, אלף ראשונה בגלל שלמדנו שהיא ראשונה, ות"ו אחרונה בגלל שלמדנו שהיא אחרונה.

לא רואים את זה במספרים ההודו-ערביים – 1, 2, 3 ... אלה הם רק סימנים של צורות גאומטריות כמו נקודה או קו, שאותן ניתן לראות בפועל.

..+..= .... [שתי נקודות ועוד שתי נקודות שווה לארבע נקודות) שונה מהותית מ 2+2=4, כי לוקח המון זמן עד שההורים ומערכת החינוך מצליחים ללמד את הילדים לחשוב באופן מופשט, ולהפסיק למנות תפוחי עץ וסוכריות.

את ..+..= .... כל ילד מבין. זה מובן מאליו. חשים את זה.

הסדר של המספרים בנוי על עיקרון מאד פשוט. מתחילים מנקודה אחת, מוסיפים עוד אחת כמוה, ועוד אחת... עד שמתעייפים. הנקודה הראשונה תייצג תמיד את המספר אחד, השנייה את המספר שניים וכן הלאה.

כשהגאומטריה נולדה ביוון במאה השישית לפני הספירה לא הייתה הבחנה בינה לבין תורת המספרים. אם פיתגורס המציא את משפט פיתגורס הוא לא ראה בדמיונו שלש בחזקת שניים ועוד ארבע בחזקת שניים ששווים לחמש בחזקת שניים – הוא ראה צורה גאומטרית, משולש ישר זווית, שיש תשעה ריבועים על הניצב הקצר שלו וששה עשר ריבועים על הניצב הארוך שלו ועשרים וחמישה ריבועים על היתר שלו. ואת כל זה הוא למד ולימד באמצעות הנחת אבנים קטנות בחול.

מאות שנים לאחר מכן המתמטיקאים כבר לא יכלו לחשב את חישוביהם על מספרים גדולים מאד באמצעות הצגתם בחול... המתמטיקה נפרדה מהגאומטריה, ואוהביה, כפויי טובה, שכחו מנין קבלה את הסדר המופלא שלה.
==
הערה: ראו מדרש במסכת שבת דף ק"ד.
http://www.soferstam.co.il/content.aspx?PageId=32&lang=he





יום שישי, 13 באפריל 2018

מבט חדש על הגנומון הפיתגוראי


הפיתגוראים העריצו את המוגבל ובזו לבלתי מוגבל. יש אינסוף מלבנים שאורכם ורוחבם אינם שווים, אבל יש רק מלבן אחד, שנקרא ריבוע, שבו כל הצלעות שוות, וכל קדקודיו פוגעים בדיוק במעגל שמקיף אותו. ההערצה שלהם למוגבל הייתה חוויה דתית של דבקות באחד, שאחד מן השמות שהעניקו לו היה אלוהים. עם זאת, היא עודדה אותם להדגיש בחקירותיהם את הצורות הגאומטריות המוגבלות האחרות כמו המצולעים המשוכללים והזווית הישרה, ובאריתמטיקה, בין היתר, את האי זוגיים, שהם מוגבלים כי אינם ניתנים לחלוקה למספרים שלמים כמו הזוגיים.
אני מתאר לעצמי עד כמה שמחו לגלות שיש נוסחה שמגדירה את המעבר מריבוע לריבוע שמעליו. הנוסחה הזאת נקראת גנומון. יוסף ספרא קרא לה "בית" או 2x+1.
כדי לעבור מהריבוע של אחד לריבוע שמעליו צריך להוסיף לו פעמיים אחד [2x] ועוד אחד.
כדי לעבור מהריבוע של שניים לריבוע של השלש צריך להוסיף לו פעמיים שניים [2x] ועוד אחד.
כדי לעבור מהריבוע של שלש לריבוע של הארבע צריך להוסיף לו פעמיים שלש [2x] ועוד אחד.
מתקבלת סדרה:  1, 4, 9, 16, 25, 36
שהמפרידים בין אבריה הם המספרים האי זוגיים: 3, 5, 7, 9, 11…
הפיתגוראים לא הבחינו בין תורת המספרים לתורת הצורות. הם חקרו את המספרים כפי שהם נראים בצורות גיאומטריות שאותן הראו בחול באמצעות אבנים קטנות. כך הדבר במשפט פיתגורס הידוע, וכך הדבר גם בגנומון שלפניכם.



 עד היום ראיתי את המעבר מריבוע לריבוע כתוספת של נקודות. היום, תוך כדי שאיירתי את הגנומון גיליתי לראשונה שבעצם הנקודות הנוספות שייכות לריבועים שזהים לריבוע הראשון בגודלם. ארבע הנקודות של השניים בריבוע שייכות לריבוע אחד. במעבר מהריבוע של שניים לריבוע של שלש נוספים שלושה ריבועים, שמשלימים את ארבע הנקודות לתשע. במעבר מהריבוע של השלש לריבוע של הארבע נוספים חמישה ריבועים, שמשלימים את תשע הנקודות של השלש לשש עשרה.   




יום חמישי, 12 באפריל 2018

ממה מורכבים המספרים


חומרים מורכבים מחומרים
מילים מאותיות
אותיות מקווים
מספרים ממספרים

התופעה שמספרים עשויים ממספרים מזכירה לי את האמרה "צבת בצבת עשויה" (משנה אבות ה ו). יש בה מסתורין. אם הצבת המאוחרת נבראה באמצעות צבת קדומה מה ברא את הצבת הקדומה? וכך: מה ברא את המספרים שמהם ברואים המספרים?  

כל מספר מורכב מאחדים
כל מספר טבעי גדול מ-1 מורכב ממספרים ראשוניים
כל מספר זוגי מורכב גם מאחדים (1) וגם מזוגות (2)
יש אינסוף מספרים טבעיים, אינסוף מספרים זוגיים, אינסוף מספרים אי זוגיים, אינסוף מספרים ראשוניים, אבל יש רק מספר אחד שסכום מרכיביו זהה למכפלתם (1+2+3=1X2X3=6)
תופעה דומה יש בגיאומטריה: יש אינסוף מלבנים שאורכם גדול מרוחבם אבל יש רק מלבן אחד שאורכו שווה לרוחבו והוא הריבוע.
הפיתגוראים בזו לאינסוף, לבלתי מוגבל, והעריצו את המוגבל המושלם, את הדבר האחד שהוא יחיד במינו, טוב ויפה. את ה"מציאה" הזאת של הריבוע הם הרחיבו לכל מצולע משוכלל. יש אינסוף משולשים שבנויים מצלעות שאינן שוות זו לזו, יש אפילו משולש שווה שוקיים, אבל יש רק משולש משוכלל אחד שהוא שווה צלעות... יש רק זווית אחת שהיא ישרה, כל השאר "עקומות" (חדות או קהות).




יום ראשון, 8 באפריל 2018

קריאה בפרק הראשון ב"בראשית" מנקודת מבט פיתגוראית



כבר בפרק הראשון, הבכור, החשוב ביותר בתנ"ך, מופיעים המספרים. שבעת ימי הבריאה מסומנים בזה אחר זה כמספרים סודרים מלבד היום הראשון שנקרא "יום אחד", כאשר אחד הוא, כידוע, מספר מונה

חריגה זו מן הכלל נועדה להקנות לאחד מעמד מיוחד ביחס לשאר המספרים. ואכן כל מספר הוא מצבור של אחדים, מלבד האפס שמודיע לנו בעשר, לדוגמה, על העדרם של האחדים. האחד הוא מקור המספר, וכל מספר, מלבד האחד, הוא עותק שלו.

גם אצל הפיתגוראים הייתה למספרים חשיבות עליונה. הם האמינו שהכל מספר.

האחד מופיע גם אצלם במשמעות יוצאת דופן, שיש רק לו. הוא אינו נחשב למספר אלא לקנה מידה לשאר המספרים. הוא גם המספר היחיד אצלם שאינו זוגי ואינו אי זוגי. הם קוראים לו טוב ואור. והנה גם בפרק א בבראשית מופיע האחד בהקשר דומה: אלהים בורא את האור ביום האחד, "וַיַּרְא אֱלֹהִים אֶת-הָאוֹר כִּי טוֹב".

בפסוק החמישי נכתב: "וַיִּקְרָא אֱלֹהִים לָאוֹר יוֹם". כלומר "אור" ו"יום" הן מילים נרדפות, שניתן להמירן זו בזו,  ולכן, כמו בספירות של תורת הקבלה, האור נברא באור הראשון, הרקיע, הנקרא שמים, באור השני, היבשה והצמחים באור השלישי וכן הלאה.

הפיתגוראים האמינו שהמספרים בוראים את העולם. עד כמה שניתן לדמות איך הם היו קוראים את סיפור הבריאה המקראי – המספר אחד ברא את האור, השניים את השמים, השלש – את היבשה והצמחים, וכן הלאה. הם יכלו לומר שאינם מבינים את המילה "בראשית" כמילה של זמן, אלא כמילה שבאה לומר שבאמצעות המספר אחד "בָּרָא אֱלֹהִים אֵת הַשָּׁמַיִם וְאֵת הָאָרֶץ".

יום שבת, 7 באפריל 2018

הסנטימטר השביעי


בסיפור הבריאה המקראי יש ליום השביעי מיקום יוצא דופן ביחס לששת הימים האחרים. האם תופעה זו מושפעת מן העובדה ששבע הוא מספר חריג בין עשרת המספרים הראשונים?

 עשרת המספרים הראשונים מחלקים את שלוש מאות וששים המעלות של העיגול למספר שלם... מלבד שבע, שמחלק אותן למספר שמתחיל ב  51.428.

תחום השבע הוא גם היחס שבין הרדיוס לבין המעגל.

אנחנו רגילים לחשב יחס זה באמצעות הקוטר, ואז הוא 3.14 בקרוב, או להגיד שמדובר ביחס של היקף המעגל לרדיוס שהוא יחס של שני פאי, וגם אז לא שמים לב שמדובר ביחס של 6.28 שהוא בתחום של הסנטימטר השביעי, אם מניחים את הסרגל על הרדיוס, כאשר המספר אפס נוגע במרכז המעגל. זה כמו שכאשר אנחנו מודדים את גיל התינוק הוא בן שנה רק אחרי שמלאה לו שנה אחת, התחום של האחד אינו מתחיל באפס אלא בין יום ההולדת הראשון לשני.

 לשבע יש מעמד מיוחד בתרבויות השונות גם בגלל שהמספר הקודם לו הוא שש. שש הוא מספר מושלם. הוא המספר היחיד שסכום מרכיביו שווה למכפלה שלהם:

1+2+31X2X3=

ולכן הוא נקרא מספר מושלם. לא פלא שבספור בריאת העולם המקראי, אחרי שהמלאכה מושלמת מתחילה המנוחה.

 בעברית באנגלית ובצרפתית יש ל"שבע" ול"שבוע" מילים נפרדות, אבל בהונגרית המילה שבע [Hét] מופיעה גם במשמעות של שבוע. באופן מילולי הם אומרים "להתראות בשבע הבא", אבל מי שדובר את השפה הזאת בדרך כלל אפילו לא שם לב שמדובר באותה מילה, וכולם מבינים את המשמעות הנכונה על פי ההקשר

אמרתי שהשבע חריג? אכן השבע הוא מספר חריג!





יום שלישי, 3 באפריל 2018

מספרים בתור המעלות של המעגל


המצולע המשוכלל הראשון הוא המשולש. אבל קודמים לו, מרכיבים אותו, ומתנים אותו, הזווית, קטע-הקו-הישר והנקודה.
למשולש יש שלש זוויות. לזווית שתים (אחת פנימית ואחת חיצונית). לישר שתיים בנות 180 מעלות, לנקודה אין זווית אבל ליתר דיוק ניתן לומר שהיא מוקפת בשלש מאות ושישים מעלות, שהן סך כל האפשרויות של יצירת מעלות.
אוקלידס, שהניח את היסודות למדע הגיאומטריה, הגדיר את הנקודה כמה שאין לו אורך. היא איננה מדידה, וגם איננה מוסיפה אורך לקצותיו של קטע הקו שאותן היא מסיימת. במונחים של היום הנקודה היא אפס. מנקודת מבט זו המעגל ממחיש איך האפס מכיל בתוכו בכוח את המספרים כמעלות.
מעלות המעגל מסודרות במספרים שלמים מאחת עד שלש מאות ששים, אבל ניתן כמובן לראות באמצעותן גם את שברי המעלות. ניתן אפילו לראות בהן את האינסוף, כי תמיד אפשר להוסיף ולראות עוד מספר שלא ראינו.
המעלה הראשונה, או המספר אחד, היא בעצם תוצאה של חלוקה של סך כל המעלות של המעגל בעצמן – שלש מאות ששים חלקי שלש מאות ששים שווה אחד.
 השניים הוא תוצאה של חלוקת סך כל המעלות במאה ושמונים מעלות.
 השלש הוא תוצאה של חלוקת סך כל המעלות במאה ועשרים מעלות.  וכן הלאה.
 השבע הוא חלוקת סך כל המעלות במספר שמתחיל ב
51.428 מעלות – שבע הוא היחיד מבין עשרת המספרים הראשונים שאינו מתחלק למספר שלם.

יום שני, 2 באפריל 2018

מדוע סכום הזוויות של המשולש הוא 180 מעלות?


הנקודה שבמרכז העיגול מוקפת ב 360 מעלות. כאשר מחלקים אותן לשלשה חלקים שווים מקבלים זוויות של 120 מעלות. כל זווית בנויה משני רדיוסים ומקשת. אם מחברים את הרדיוסים בקו במקום בקשת מקבלים משולש שווה צלעות, שזוויות הבסיס שלו כל אחת בת 30 מעלות.
אם רוצים לקבל משולש שווה צלעות צריך לחצות את הזווית של 120 המעלות לשתיים ואז כל הזוויות בנות 60 מעלות וכל הצלעות שוות.
סכום הזוויות של מרובע הוא 360 מעלות. משולש הוא בעצם חצי מרובע. לכן יש לו 180 מעלות.  

יום ראשון, 1 באפריל 2018

חלוקת המעלות של המעגל כמקור לבניית מצולעים משוכללים


כידוע, הזוויות בריבוע ישרות [ראו קו מקווקו] וסכומן 360 מעלות. באיור לעיל ניתן לראות את אותה התופעה ממבט שונה: הריבוע מחבר את קצות הקטרים הניצבים של המעגל. קטרים אלה נפגשים במרכז המעגל, בנקודה, שמוקפת בשלוש מאות ושישים מעלות. הרבוע מחלק את המעגל לארבע זוויות שוות. המשושה לשש, המחומש לחמש, המשולש לשלש.