יום רביעי, 30 באפריל 2014

היקפי הריבועים ביחס לשטחם


בסדרה שנוצרת כתוצאה מן היחס בין ריבועי המספרים לבין היקפם מופיעים המספרים הטבעיים בזה אחר זה ולפי סדרם המקורי, כאשר כל אחד מהם מופיע בתור מונה, אם מסתכלים על היחס כעל שבר, אלא שבשלושת המספרים הראשונים המכנה (שהוא ההיקף) גדול מן המונה (שהוא השטח), בארבע המכנה שווה למונה, ורק מעל לארבע המכנה קטן מן המונה.    

נושא זה היה מוכר ככל הנראה לפיתגוראים, ומתייחסים אליו בספריהם, בין היתר, ניקומכוס מגראסה, בן המאה הראשונה לספירה, והבישוף אנטוליוס מאלכסנדריה, בן המאה השלישית לספירה.

יום שלישי, 29 באפריל 2014

המוגבל והבלתי מוגבל



בראש טבלת עשרת הניגודים, שמופיעה בכתבי אריסטו ב"מטפיסיקה" 986 א, ניצב הניגוד שבין המוגבל לבלתי מוגבל, שהוא הניגוד החשוב ביותר, כי עליו מתבססים תשעת הניגודים הבאים. אחריו מופיע הניגוד בין הזוגי לאי זוגי, ומפרשים שונים קשרו את המוגבל לאי זוגי בכלל ולמספר אחד בפרט ואת הבלתי מוגבל, האינסופי, לזוגי בכלל ולמספר שנים בפרט. בניגוד להצגת דברים זו עומדת האקסיומה  הראשונה של אוקלידס שדרך שתי נקודות עובר רק קו ישר אחד. משתמע ממנה ששתי הנקודות מגבילות את הקו האינסופי, ומכאן שהמספר שנים הוא מספר מגביל. לעומת זאת  דרך נקודה אחת יכולים לעבור אינסוף קווים ישרים, ומכאן שהמספר אחד לא רק שאינו מגביל אותם- הוא אף מאפשר אותם. ואם במקום אינסוף הקווים הישרים היינו מעמיסים על גמל גבעולי קש ממוספרים - יכולים היינו לזהות באופן מדויק את הקש ששבר את גב הגמל.   

יום שני, 28 באפריל 2014

השלם וחלקיו במבט חדש


האלסטיות של המספרים באה לידי ביטוי, בין היתר, בכך שהם נראים אחרת כשמתבוננים עליהם מכיוונים מנוגדים. אולי בגלל תופעת השברים אנחנו רגילים להתייחס אל האחד כאל שלם ואל שאר המספרים כאל חלקיו, אבל  אם מסתכלים על האחד כנקודה, על השנים כעל קו, על השלוש כעל שטח (משולש) ועל הארבע כעל נפח (פירמידה משולשת, שבה שלושת קדקודי הבסיס תלויים על האחד שבראשה), נראה כאילו השלם הוא הארבע וקודמיו הם חלקיו (פאותיו, צלעותיו,קדקודיו). הפירוש הגיאומטרי הזה של הטטרקטיס הפיתגוראי מופיע בספר נגד הלוגיקנים מאת הפילוסוף היווני סקסטוס אמפיריקוס, שחי בערך בשנים - 210- 160 לספירה, אלא שהוא הסתכל על התנועה מהכיוון הרגיל שלפיו הנקודה נמתחת ויוצרת קו, והקו מתרחב לשטח, והשטח מתעבה לנפח.  

טטרקטיס כהמחשה של תכני המספרים


באיור לעיל מוצגים בצורת הטטרקטיס של הפיתגוראים תכני המספרים
 (סכומי המספרים המצטברים מאחד ועד למספר המבוקש) 
שיוצרים את הסדרה:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55...

התבוננות בשישים ושש של יום העצמאות הבא


שישים ושש הוא סכום המספרים מאחד ועד אחד עשרה
בסמל המגן דוד יש שש נקודות וששה קווים
וגם אני אהיה השנה בן 66, כי 
המדינה ואני נולדנו באותה שנה
יחד גדלנו ויחד הגענו לזיקנה

יום ראשון, 27 באפריל 2014

משוואה מתמטית על גבי מטבע מיוון העתיקה



מטבע מן האי היווני איגינה מן המאה הרביעית לפנה"ס (לפני אוקלידס) ועליו משוואה מתמטית שלפיה  A ועוד B בריבוע שווה A בריבוע ועוד B בריבוע ועוד פעמיים AB . מקור:


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Aegina_coin.jpg


 ריבוע ועוד ריבוע בְּריבּוע
אם 
a=4
b=2
a+b=6
6.6=36
(4.4)+(2.2)+2(2.4)=36
 די מדהים שלמשוואה אריתמטית יחסית מסובכת יש המחשה גאומטרית כל כך מוצלחת 

יום שבת, 26 באפריל 2014

חיבור וכפל בשמות המספרים



שם המספר אלפיים מקורו באלף. מאתיים במאה. עשרים בעשר. לפי ההיגיון הזה ב"הנדסה לאחור" שניים מקורו באחד. הוא מעין הכלאה של שתי מילים: שני אחדים. כך או כך 2 הוא חיבור של שני אחדים ולא כפל שלהם, כי כפל של שני אחדים הוא עדיין אחד. אבל 20 הוא כפל של 2 בעשר, 200 הוא כפל של 2 במאה, אלפיים הוא כפל של 2 באלף. שניים הוא יוצא דופן בסדרה של היחידות כי רק הוא מספר מחובר.

הסדרה של שניים, עשרים, מאתיים, אלפיים היא סדרה יוצאת דופן כי היחידה הכופלת של החזקה של עשר נעדרת ממנה. לעומת זאת היא קיימת בכל המשכי הסדרה: 3, 30, 300, 3000; 4, 40, 400, 4000 וכן הלאה. אילו הייתה אחידות בשמות המספרים היו לנו במקום עשרים שתי עשרות, במקום מאתים שתי מאות, ובמקום אלפיים שני אלפים.


בין 11 ל 19 יש חיבור מובלע של יחידה עם עשר: 11 זה אחד ועשר, 12- שניים ועשר, וכן הלאה. אחרי 20 כבר מופיעה ו"ו החיבור בגלוי: עשרים ואחד, עשרים ושניים וכן הלאה. רואים אותה רק כשכותבים את המספר במילים. כשכותבים 21 בספרות סימן החיבור נעלם, אבל, למרות זאת, כשמקריאים את 21 ו"ו החיבור מופיעה. באנגלית אין ו"ו החיבור ב 21 ואילך, אבל בצרפתית יש. 

יום שישי, 25 באפריל 2014

מספרים מרכיבים ומספרים מורכבים

הבינרי שבעשרוני
אפס ואחד על קוביות סוכר
וקראתי לתמונה מתיקותיקה,
כי היא מבטאת את המתיקות שבמתמטיקה

אחד מרכיב את 10, 11, 100, 1000, 10000 וכן הלאה
שנים מרכיב את 12, 20, 200 וכן הלאה, אבל המילה שנים לפי הסיומת שלה מצביעה לכאורה על זה ששנים הוא לא רק מספר מרכיב אלא גם מספר מורכב, כמו שהאופן מרכיב את האופניים.
3-9 הם מספרים מרכיבים.
10 בספרות נראה מספר מורכב מאחד ומאפס, ואנחנו גם יודעים שהוא הגלגול הראשון של אחד, אבל המילה עשר איננה מעידה על היותו מספר מורכב. עשר מרכיב את עשרים, שהיה צריך להיקרא עֶשְרַיִם כי הוא הצורה הזוגית של עשר.
100 בספרות מורכב מאחד ומאפסים, וכך גם  אלף, ריבוא או רבבה, ומיליון, אבל שמות המספרים האלה אינם מעידים על היותם מורכבים, והם מרכיבים את המספרים שמעליהם, כמו 101, 1002, 10003 וכן הלאה.
בספר יצירה מדובר על עשר ולא תשע, עשר ולא אחד עשרה. מחבר ספר יצירה לא הכיר את האפס, שנתגלה בהודו מאות שנים אחרי פרסום ספרו. כך שברור שמדובר שם על אחד עד עשר ולא על אפס עד תשע. המספר אחד-עשרה ברור שהוא מספר שמורכב מעשר ומאחד, אבל עשר, לפי ספר יצירה, הוא מספר מרכיב, ממש כמו אחד עד תשע.
מסתבר, לפיכך, שיש פער בין הצגת המספרים במילים לבין הצגתם בספרות. שמות המספרים שאחרי עשר מלמדים על מרכיביהם, מלבד המאה האלף הרבבה והמיליון, שלא ניתן להבין מהם ממה הם מורכבים, למרות שבתצוגת הספרות שלהם ברור לגמרי שמקורם באחד ובאפס.

נוסיף רק שבאנגלית העשרים מקורו בשניים (Twenty), ובעברית, לעומת זאת, מקורו בעשר.
***
ובניסוח אחר:
כל המספרים מורכבים מאחד
חצי מהמספרים מורכבים מ-2 (זוגיים)
שליש מהמספרים מורכבים מ-3 (זרם 3-6-9)
כל העשרות מורכבות מחמש

   

יום חמישי, 24 באפריל 2014

מבט חדש על השברים



בדרך כלל אנחנו מבינים שברים כחלקים של שלם, אבל אנחנו יכולים גם להתייחס אליהם כמציינים את העובדה שכל מספר עטוף במספר שמעליו כמו גלד בבצל, שכן 1/2 מציג את 1 ככלול ב-2 כחציו, ו -2/3 מראה כיצד 2 תופס 2 מקומות ב-3, ו3/4 הוא למעשה 3 מתוך 4, ו-4/5 מייצגים את 4 היחידות שעליהם בנוי ה-5 וכן הלאה. מעניין לציין שמנקודת מבט זו האפס אינו נמצא באחד אף פעם. 

יום רביעי, 23 באפריל 2014

השפעת חתך הזהב על לה קורבוזיה



הארכיטקט השוויצרי המפורסם לה קורבוזיה (1887-1965) חקר את חתך הזהב ביחס לגוף האדם. הוא פיתח מודל בשם מודולור, שאותו יישם בכמה מעבודותיו. בתמונה נראה הדגם של המודולור על גבי מטבע שהונפק בשוויצריה לזכרו של לה קורבוזיה.  
מקור התמונה בערך לה קורבוזיה בויקיפדיה.

גם לצייר האמריקני בן זמננו 
thomas bucci
יש יצירה בשם מחקר על חתך הזהב

ספר ילדים שמוקדש לסדרת פיבונאצ'י

The Rabbit Problem 
מאת
Emily Gravett
יצא לאור בשנת 2009
סרטון קצר ביוטיוב ממחיש איך נעשה הספר

יום שלישי, 22 באפריל 2014

מספרים בקומיקס של קורטני גיבונס

הנה כמה קומיקסים של
כל הזכויות עליהם שמורות לה
 שוויון משולשים

הפרדוכס של זנון ביחס לחופשה

הנוסחה של אוילר ביום אביב

פיבונאצים

מספר-חלקי-עצמו מנקודת מבט גאומטרית


כידוע כל מספר חלקי עצמו שווה אחד. לדוגמה
5/5=1
ניתן לדמות זאת לשורה של חמש נקודות שכל אחת מהן היא חמישית מהשורה
*  *  *  *  *
או לריבוע שאורכו 5 ורוחבו 5:

*  *  *  *  *
*  *  *  *  *
*  *  *  *  *
*  *  *  *  *
 *  *  *  *  * 

ובו כל שורה או עמודה היא חמישית ממנו. שתי חמישיות הן שתי שורות או שתי עמודות בריבוע הזה, וכן הלאה.
בשביל לחבר שליש ועוד חמישית צריך למצוא להם מכנה משותף, שהוא הריבוע של 15, שאורכו 15 ורוחבו 15, ומתוכו שליש הן 5 שורות, וחמישית הן 3 שורות, וביחד מקבלים 8 שורות. 
1/3+1/5=5/15+3/15=8/15


בדרך כלל כאשר אנחנו מחלקים אחד לשלושה חלקים אנחנו כותבים 1/3 בלי לראות באופן מוחשי איך האחד מתחלק לשלושה חלקים. אבל אם האחד הוא 3/3, שהוא ריבוע של 3 על 3, רואים היטב ששליש הוא שורה מתוכו. 

מספרים באיורים לספרים שעוסקים בשעשועי מתמטיקה

מוט מדידה ועליו מספרים. מתוך ספר של לואיס קרול, שיצא לאור בשנת 1885, בשם
A Tangled Tale
איור מאת
 Arthur B. Frost

ריבוע בתוך ריבוע בתוך ריבוע


ציור ממוחשב של רעיון ששלח לי חיליק ואו פתוח
 שלפיו לריבוע אי זוגי יש מרכז
כך שה1 מוקף ב 9 שמוקף ב 25 שמוקף ב 49 שמוקף ב 81


גם לכל הריבועים הזוגיים יש מרכז שאותו הם מקיפים, בזה אחר זה, ללא יוצא מן הכלל, אלא שמרכז זה מורכב מן הריבוע של שניים, כלומר, באיור שלנו, מארבעה ריבועים, או מנקודת מבט דרמטית - המרכז הוא האפס שבין ארבעת הריבועים האלה, וכל הריבועים נזרקים מתוכו כמו היקום מן המפץ הגדול:

יום שני, 21 באפריל 2014

ריבוע קסם סיני בצורה גאומטרית




עיבוד במחשב של איור שמופיע בעמוד 278 בספר בשם Travels in China מאת John Barrow שיצא לאור בלונדון בשנת 1804. החוליות הריקות מייצגות מספרים אי זוגיים ואילו החוליות המלאות מייצגות מספרים זוגיים. 
מדובר בריבוע הקסם שנחשב לקדום ביותר, וסכום כל שורה לאורך, לרוחב ובאלכסון הוא 15. 

יום שישי, 18 באפריל 2014

על היחס בין התכנים הטבעיים לבין התכנים של האי זוגיים


תוכן של מספר הוא סכום המספרים מאחד ועד אליו. וכך התוכן של 2 הוא 3 כי 3=2+1, והתוכן של 5 הוא 15 כי 15=5+4+3+2+1.
התוכן של מספר מורכב מסדרת המספרים הטבעיים: ...3, 2, 1
שני תכנים עוקבים יוצרים ריבוע:
3+6=9
10+15=25
אבל גם תוכן של מספרים אי זוגיים יוצר ריבוע:
1+3=4 =2.2
1+3+5=9=3.3
1+3+5+7=16=4.4
מכלל המעבר שקובע שאם אל"ף (תוכן טבעי) שווה לבי"ת (ריבוע) ובי"ת (ריבוע) שווה לגימ"ל (תוכן של האי זוגיים) נובע  שתוכן טבעי של מספר שקול לתוכן של מספרים אי זוגיים.
את הסיבה לכך ניתן לראות בצילום לעיל:

בריבוע השמאלי אנחנו מחברים את תוכנו של מספר אחד, 4, שמופיע כמשולש בן עשר נקודות, עם תוכנו של המספר שלפניו, 3, שמופיע כמשולש בן שש נקודות. בריבוע הימני אנחנו מחברים את הגנומונים 1+3+5+7, שנקראים בתורת המספרים ששמעתי מיוסף ספרא גם בשם בתים או בשם 2X+1. כך או כך בזכות הריבועים גילינו קשר לא רק בין המספרים שמייצגים את התכנים לבין המספרים שמייצגים  את סכומי האי זוגיים, אלא גם בין הצורות של המשולשים לבין הצורות של הגנומונים, שכל אחד מהם נראה כמו זווית ישרה. 
***



כשמחברים את אותם המספרים מסדרת האי זוגיים שיוצרים ריבוע - מקבלים את שני התכנים העוקבים שיוצרים את אותו ריבוע. בניסוח אחר: כל שני תכנים עוקבים שווים לסכום של אי זוגיים מאחד ועד למיקום המקביל בין העוקב הגדול לבין האי זוגי המקביל אליו. וכך: שלושת האיברים הראשונים של האי זוגיים שווים לתוכן השלישי ולתוכן שלפניו

1+3+5=3+6   

1+3+5+7=10+6

1+3+5+7+9=15+10

1+3+5+7+9+11=21+15

וכן הלאה

שריפת המספרים

המספרים 1-10 במדורה לביעור חמץ ערב פסח 2014

מקבילות גיאומטריות למספרים

קשה לי למצוא "על המדף" מקבילות גאומטריות למספרים, בספרים או בגוגל, אז בלית ברירה אני מתחיל לייצר אותן בעצמי, ואני מקווה שעם הזמן קוראי הבלוג הזה יעזרו לי להרחיב את הנושא הזה.
הבחנה בסיסית ביותר במתמטיקה, הן מבחינה היסטורית והן בחשיבותה, היא ההבחנה בין הזוגיים לבין האי זוגיים. המחשה יפה להבחנה זו היא שאם כותבים את המספרים, מאחד עד לאן שמתחשק, בשתי עמודות, במקום, כרגיל, בשורה או בעמודה אחת, הם מתחלקים, כמו מאליהם: אי זוגיים משמאל וזוגיים מימין, הנה כך
1   2
3   4
5   6
7   8
9  10
המקבילה הגיאומטרית הרבה פחות מרשימה, אבל היא מדויקת באותה מידה
*  *
*  *
*  *
*  *
*  *
אבל יש עוד מקבילה גאומטרית, והיא כבר הרבה יותר ברורה וחשובה- הגנומון. הגנומון הוא השם שנתנו המתמטיקאים היוונים הקדמונים למספר שמשלים ריבוע לריבוע שמעליו (3 משלים את הריבוע של 1 לריבוע של 2, 5 משלים את הריבוע של 2 לריבוע של 3, ראו תמונה) הגנומון האי זוגי נקרא בתורת המספרים שלמדתי מיוסף ספרא בשם בית או בשם 2X+1



מקור התמונה:

ניתן להציג את הגנומון הזה גם במספרים בלבד בצורה הבאה:

4  4  4  4
4  3  3  3
4  3  2  2
4  3  2  1


והיה אצל היוונים הקדמונים גם גנומון זוגי, שהשלים את המלבן למלבן שמעליו (2 משלים את 2 למלבן של 4, 2 משלים את 4 למלבן של 6 וכן הלאה) שנקרא בתורת המספרים שלמדתי מיוסף ספרא בשם 2x ונראה כך:



בספר יצירה עשר הספירות הן "עומקים" שששה מהם זהים לשלושת הממדים שבהם עוסקת הגיאומטריה. מכאן שבספר יצירה, כמו אצל הפיתגוראים, אריתמטיקה וגיאומטריה, כמו מלים נרדפות, משמשות כמדעים נרדפים.

מילים נגזרות משמות של מספרים בלועזית



uni  היא מילה נרדפת ל one (אחד) ומקורה במילה הלטינית unus. לאחד זה באנגלית to unite , וזה מתורגם יפה מאד כשמדובר באו"ם, שהוא אומות מאוחדות, אבל כשמדובר בארצות הברית התרגום מרחיק מדיי מן המקור, שהיה צריך להיות ארצות מאוחדות.
הפרק הראשון בספרם של
John H. Conway & Richard Guy
The Book of Numbers
שיצא לאור בשנת 1996, מוקדש כולו לעיון בחלק מן המלים הרבות שנגזרות משמות של מספרים באנגלית כמו מלים שכוללות בתוכן את:
Mono
Dia, Du,
Bi
Tri
Octo

Deci 

יום רביעי, 16 באפריל 2014

מספר חמש בציור פוטוריסטי של צ'רלס דמוט


I Saw the Figure 5 in Gold (1928)
מאת הצייר האמריקאי
(Charles Demuth (1883 – 1935
מוצג במוזיאון המטרופוליטן בניו יורק
מקור התמונה: ויקיפדיה

מספרים בתחריט של אלברכט דירר

מלנכוליה I


פרט מתוך "מלנכוליה I"

מספרים מופיעים בריבוע קסם (סימנתי אותו בקווים אדומים) בתחריט בשם מלנכוליה I מאת הצייר הגרמני אלברכט דירר (1528 - 1471). התחריט נעשה ב 1514 (ראו בתחתית הריבוע עם סימון שלי באדום). 
*
מקור: ויקיפדיה ערך מלנכוליה (תחריט)

הגלגול שלפני הגלגול


כל המספרים מקורם בתשעת המספרים הראשונים (10 הוא הגלגול הראשון של 1 וסכום הספרות שלו 1; 11 הוא הגלגול השני של 2, וסכום הספרות שלו 2 וכן הלאה).
יש שלושה זרמים של מספרים: 147, 258, 369.
147 הוא זרם מקורי.
258 הוא זרם מעורב:
2=1+3:2
5=4+6:2
8=7+9:2

369 אינו זרם מקורי. הוא זרם שחוזר על עצמו. הוא בעצם הצל של 123 כאשר
1.3=3
2.3=6
3.3=9
כמו שכל המספרים מקורם בתשעת המספרים הראשונים, הזרם של ה-369 מקורו בשלושת המספרים הראשונים.
וכמו שכל מספר מתשעת המספרים הראשונים שמוסיפים לו 9 מתגלגל בצורה  חדשה, אבל נשאר עצמו כך גם כל מספר בזרם של ה -369 שמוסיפים לו 3  נשאר בתוך הזרם של ה 369, והתבנית של הסדרה האינסופית כולה, כשמחברים את סכומי הספרות של המספרים שאחרי התשע, היא תבנית חוזרת של 369:
3 הוא גלגול שני של 1 או, במלים אחרות: האחד מופיע בפעם השנייה בשלוש.
6 הוא גלגול שני של  2   
9  הוא גלגול שני של 3    
12 הוא גלגול שלישי של 1 וסכום הספרות שלו הוא 3
15 הוא גלגול שלישי של 2 וסכום הספרות שלו הוא 6
18 הוא גלגול שלישי של 3 וסכום הספרות שלו הוא 9
21 הוא גלגול רביעי של 1 וסכום הספרות שלו הוא 3
24 הוא גלגול רביעי של 2 וסכום הספרות שלו הוא 6
27 הוא גלגול רביעי של 3 וסכום הספרות שלו הוא 9
30 הוא גלגול חמישי של 1 וסכום הספרות שלו הוא 3
33 הוא גלגול חמישי של 2 וסכום הספרות שלו הוא 6
36 הוא גלגול חמישי של 3 וסכום הספרות שלו הוא 9
39 הוא גלגול שישי של 1 וסכום הספרות שלו הוא 3
42 הוא גלגול שישי של 2 וסכום הספרות שלו הוא 6
45 הוא גלגול שישי של 3 וסכום הספרות שלו הוא 9







יום שלישי, 15 באפריל 2014

סימני השברים בתקופת הפרעונים


Alan Gardiner מספר בעמוד 197 בספרו (משנת 1927) Egyptian Grammar  שסמלים של מידות של תבואה הולבשו על סיפור שמספרת המיתולוגיה המצרית על העין של האל רע, שהיה אל שמש, או של האל הורוס, שהיה אף הוא אל שמש, וראשו ראש של בז) כך שכל חלק של העין מסמל שבר אחר: חצי מזוהה עם הצד הימני של גלגל העין, רבע עם האישון, שמינית עם הגבה, 1/16 עם הצד השמאלי של גלגל העין, 1/32 עם הספירלה, 1/64 עם הדמעה.
מרקו רודין נשען על סיפור זה כשהוא מצמצם את הספרות של מספרי סדרת המספרים ההנדסית של השברים לספרה אחת:
1/2=2
1/4=4
1/8=8
1/16=1+6=7
1/32=3+2=5
1/64=6+4=10=1
1/128=1+2+8=11=2
1/256=2+5+6=13=4
וכן הלאה
ומשתמע מדבריו שהמצרים הכירו את המספר המחזורי 248751 שעליו (ועל העדר הזרם של 369 ממנו) הוא מבסס את משנתו.

Jim Ritter  טען במאמר משנת 2002 שאמנם סימוני השברים האלה היו בשימוש של המצרים בתקופת הפרעונים, אבל לא היה להם אז שום הקשר דתי.


משנה מקום משנה צורה







בדגם של שורות נמצאים בשורה הראשונה תשעת המספרים הראשונים, בשורה השניה, בִּמקום ה-1 מופיע ה-10, שסכום הספרות שלו 1, בִּמקום ה-2 מופיע ה-11 שסכום הספרות שלו 2 וכן הלאה. לתופעה זו קראנו בכתבות קודמות בשם "גלגולים", וניתן לראות אותה גם בדגם של מעגל, כאשר בגלגול הראשון מופיעים תשעת המספרים הראשונים, ובגלגול השני בִּמקום ה-1 מופיע ה-10, שסכום הספרות שלו 1, בִּמקום ה-2 מופיע 11 שסכום הספרות שלו 2 וכן הלאה.  בדגם של שורות כל מספר מה 1-9 שומר על ערכו ועל מקומו בשורה, או במעגל, כאשר מוסיפים לו תשע. אבל כאשר מוסיפים לו עשר (או כאשר בכל שורה מופיעים 1-10) הערך משתנה, וכל מספר יכול להופיע בצורת כל מספר אחר:
11+10=11=2
11+10=21=3
21+10=31=4
31+10=41=5
41+10=51=6
51+10=61=7
61+10=71=8
71+10=81=9
81+10=91=1
תופעה דומה נמצא בגאומטריה. כאשר מציבים תשע נקודות בשורה הן יוצרות קו, אבל כאשר משנים את מיקומן ואת סדרן אותן נקודות יכולות ליצור כל צורה גאומטרית שנעלה על הדעת. קו ניתן לקפל עד שהוא סוגר שטח: משולש, מרובע, מחומש... מעגל. והתהליך הזה עובד גם לכיוון השני- ניתן לפרוש כל צורה שכזו עד שהיא מתיישרת לקו.

נדמה שהמתמטיקה והגאומטריה מושתתות על הגמישות של אבני היסוד שלהן, שהן בעצם אותן אבני יסוד, כפי שלמדנו מן הפיתגוראים. בגאומטריה אנחנו רגילים לדמות את הקו לסרגל, אבל לאור הגמישות שראינו לעיל עדיף לדמות את הקו לחבל. ואכן הולדת הגאומטריה מיוחסת לפקידי משרד המקרקעין של הפרעונים, שהיו מודדים את גבולות הנחלות בחבל. להערכתי גם צורת המגן דוד שבה שני משולשים משתלבים זה בזה מקורה במגן דוד שהיה עשוי מחבל. 

יום ראשון, 13 באפריל 2014

עיגול ללא מעגל


בדרך כלל מגדירים מעגל כאוסף של כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה ממרכזו. כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה מנקודה מסוימת נקראות רדיוסים. אבל אם ממלאים את שטח העיגול ברדיוסים אין צורך בקו ההיקף שנקרא מעגל - אנחנו כבר רואים אותו בדמיוננו. במלים אחרות: ניתן לצייר עיגול באמצעות סרגל בלבד, וללא מחוגה, אם ממלאים את שטחו באמצעות קוים שווים באורכם שנפגשים במרכזו. 

  גם המגב, אם לא היו עוצרים אותו בחצי הדרך, היה יכול לצייר לנו על החלונות עיגול ללא מעגל 

מספרים בדגם מעגלי


בדרך כלל אנחנו רגילים לדמות לעצמנו את המספרים כשהם מסודרים להם לאורך קו, או סרגל, בזה אחר זה, עד אינסוף. אנחנו רגילים גם לראות מספרים סביב שעון, ולכן אולי ניטה לדמות לעצמנו את תשעת המספרים הראשונים, המקוריים, שכל האחרים הם חיקויים שלהם, נצמדים לעיגול. אבל לאור דברי אוקלידס שהאחד הוא נקודה שאין לה אורך, והשניים הוא קו שאין לו רוחב, נראה לי נכון יותר להחליט שהאחד הוא מרכזו של עיגול, והשניים הוא בקצה השני של הרדיוס. אחרי ה-2 מופיעים על המעגל המספרים לפי הסדר, עם כיוון השעון, אבל אחרי התשע הם חוזרים שוב אל האחד, שהוא כעת העשירי, או הגלגול הראשון של אחד, אחריו בא ה-11, במקום השנים, וסכום הספרות שלו 2, ואחריו ה- 12 במקום השלוש, וסכום הספרות שלו 3. אחרי ה-18, שהוא תשע בגלגולו השני, חוזרים שוב למרכז המעגל, שנקרא כעת 19, וסכום הספרות שלו אחד, כי הוא אכן האחד בגלגולו השני. והתהליך הזה חוזר חלילה ככל שנרצה.
מעניין לשים לב שבדגם הזה האפס נולד בפעם הראשונה בעשר, ולא לפני האחד. מה שמזכיר את הניסוח בספר יצירה (פרק א, משנה ו): "עשר ספירות בלימה מדתן עשר שאין להם סוף, נעוץ סופן בתחילתן ותחילתן בסופן כשלהבת קשורה בגחלת... ולפני אחד מה אתה סופר".

ולא רק שאין בדגם הזה אפס לפני האחד, גם אין בדגם הזה אינסוף, כי סופו של כל גלגול לחזור לאחד, שהוא בו זמנית ההתחלה של הסוף והסוף של ההתחלה. זה שאנחנו קוראים לו בכל פעם בשם חדש זו לא בעיה שלו- זו בעיה שלנו. 

יום שישי, 11 באפריל 2014

חילוק כחיסור או האשליה של השבר העשרוני


שבר ניתן להציג בשני אופנים:

א. כשבר רגיל: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 וכן הלאה
ב. כשבר עשרוני: 0.5, 0.25, 0.125, וכן הלאה

כאשר אנחנו מסכמים את סכומי הספרות של הסדרה ההנדסית היורדת שמוצגת בצורת שבר עשרוני אנחנו מקבלים את סדרת המספרים הבאה:
0.5=5
0.25=7 (0+2+5=7)
0.125= 8 (0+1+2+5=8)
וכן הלאה
אבל אם מסכמים את סכומי הספרות של הסדרה ההנדסית היורדת שמוצגת בצורת שבר רגיל (חצי רבע שמינית וחבריהם) מקבלים את הסדרה ההנדסית הרגילה:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64...
או בתצוגה המצומצמת של סכומי הספרות
1, 2, 4, 8, 7, 5
וחוזר חלילה

כאשר אנחנו מחלקים מספר לשנים אנחנו מקבלים שני חלקים, אבל לצורך חישוב הסדרה ההנדסית היורדת אנחנו מחסרים חלק אחד, מתעלמים ממנו, ומחלקים רק את החלק השני. אנחנו אומרים אחד חלקי שנים שווה חצי (ולא שני חצאים) וחצי חלקי חצי הוא רבע (ולא ארבעה רבעים). לעומת זאת בסדרה ההנדסית העולה אנחנו לא מתעלמים ולא מחסרים כלום: אחד כפול שניים הם שניים, ושניים כפול שניים הם ארבע.
סכומי הספרות של הסדרה ההנדסית העולה זהים לסכומי הספרות של היורדת, כל עוד היא מוצגת בשברים רגילים, אבל כאשר היא מוצגת בצורת שבר עשרוני אנחנו מקבלים סדרה שונה, שבה סדר הספרות הפוך מזה של הסדרה ההנדסית העולה
5, 7, 8, 4, 2, 1
וחוזר חלילה

מי שמציגים את הסדרה ההנדסית העולה ביחס לסדרה-ההנדסית-היורדת-כשהיא-בתצוגה-של-השבר-העשרוני - מציגים חצי מן התמונה המלאה, ואם הם מסיקים מזה מסקנות לגבי מהותם של המספרים, ההסתברות של התוקף של כל מסקנה שכזו היא של חמישים אחוז, או של 0.5 או של  1/2 או של חצי, יש לנו מחסן שלם של מלים נרדפות שיכולות להוליך אותנו שולל.