יום שבת, 31 במאי 2014

שייכות


כמו הראשון בשבוע שהוא אחד משבע, כמו השעה בשעון שהיא אחת משתים עשרה, כמו כל יחידה מעשרת המספרים הראשונים שהיא אחת מעשר, כמו כל אחוז שהוא אחד ממאה - כל שבר של אחד הוא אחד מאחד. לדוגמה, כאשר מחלקים את האחד למאה מקבלים מאה חלקים, שכל אחד מהם הוא אמנם אחד ממאה, אבל בגלל שכל המאה הם חלקים של האחד יוצא שכל מאית שכזאת היא חלק אחד מתוך האחד.

כולנו מכירים את הביטוי המקראי אֶחָד מִנִּי רַבִּים [שמקורו בפסוק: אִם יֵשׁ עָלָיו מַלְאָךְ מֵלִיץ, אֶחָד מִנִּי אָלֶף, לְהַגִּיד לְאָדָם יָשְׁרוֹ (איוב לג, כג), אבל במקרה של השברים-של-האחד ניתן להפוך את צרוף המלים ולומר שמדובר ביחס של רַבִּים מִנִּי אֶחָד. 

יחסים בין מספרים

יחס של שייכות


בלימודי המתמטיקה מוגבלת המילה יחס (פרופורציה) לחילוק של שני מספרים זה בזה. אומרים שבין אחד לשנים יש אותו יחס כמו בין שניים לארבע, ארבע לשמונה וכן הלאה.
בטבלת עשרת הניגודים של הפיתגוראים, שמופיעה בכתבי אריסטו (ב"מטפיסיקה" 986 א) מופיעים יחסים נוספים:
המוגבל ושאינו מוגבל (שאותו פירשו הפיתגוראים, בין היתר, כהבדל שבין מספר זוגי לאי זוגי, אבל ניתן לפרש ניגוד זה גם כיחס של יש לאין, שהוא היחס שבין האחד לאפס), 
אחדות וריבוי (שאותו פירשו כיחס שבין האחד לבין שאר המספרים, אבל ניתן לפרשו גם כיחס של שייכות, שהוא היחס שבין השלם לחלקיו- הם שייכים לו והוא שייך להם)
ימין ושמאל (שאותו ניתן לפרש כיום כיחס שבין מספרים שליליים וחיוביים)...
ריבוע ומלבן.

אם נתבונן בשלשת המספרים הראשונים: נראה שהאחד ראשון, השנים אמצעי, והשלוש אחרון. ראשון ואחרון הם יחסים של ניגוד. גם אמצע הוא יחס בין שני דברים.
שנים בא אחרי אחד ולפני שלוש. אחרי ולפני הם יחסים מנוגדים שבאמצעותם אנחנו משווים מקומות וזמנים. אם נוסעים מירושלים לחיפה, חיפה נמצאת אחרי ת"א, ות"א נמצאת לפני חיפה.
גם השוואה היא יחס בין שני דברים, והיא יחס הדדי: לא רק הראשון שווה לשני אלא גם השני לראשון.
אחד קטן משניים ושלוש גדול ממנו. קטן וגדול הם יחסים של גודל, שמאפיינים את הגיאומטריה. לעומת זאת בשניים יש שני אחדים ובשלוש יש שלושה אחדים, וכאן כבר מדובר ביחסים כמותיים שמאפיינים יותר את האריתמטיקה.

במשוואה יש בדרך כלל בצד שמאל פעולה בין פעיל לסביל: כופל ונכפל, מחלק ומחולק, מחבר ומחובר, מחסר ומחוסר. פעיל וסביל הם ניגודים והם מתאחדים בתוצאה. יוצאת מן הכלל היא המשוואה של איינשטיין E=mc2  שבה התוצאה מימין, אבל השוני הזה נועד אולי להבליט שאנחנו מחפשים תשובה לשאלה מהי אנרגיה, ולאו דווקא להכניס ערכים במקום המשתנים ולראות מה התוצאה.  
בין שם של מספר לבין המספר עצמו יש יחס של זהות, שהוא התאמה ייחודית. רק השם המסוים הזה מתאים למספר המסוים הזה, ורק המספר המסוים הזה מתאים לשם המסוים הזה. שם שונה לא יתאים. שווה ושונה הם יחסים מנוגדים. כל מספר שווה לעצמו ושונה מכל מספר אחר. כאשר אנחנו מחלקים מספר בעצמו אנחנו חושפים לא רק את יחידותיו, אלא גם את ההתאמה בין מספרן לבין שמו של המספר. בשלוש יש שלוש יחידות, ולכן הוא נקרא בשם שלוש.

בסדרת המספרים הטבעיים לא רק שכל מספר בא אחרי המספר שלפניו אלא שכל מספר גם מכיל את המספרים שלפניו. הסדר של המספרים הטבעיים הוא זה אחר זה וזה בתוך זה, ו"זה אחר זה וזה בתוך זה" הם יחסים.   

המספר האחרון


המספר האחרון, כמו אחרית הימים, הוא מספר שאינו ידוע, אבל בהבדל מאחרית הימים, שיש סיכוי שתתרחש אי פעם, המספר האחרון גם אינו יכול להיות ידוע. ולא רק הוא אינו יכול להיות ידוע אלא גם המספר שלפניו, ועוד הרבה מספרים שלפניהם. כל המספרים שאנחנו מכירים הם חלק לא ידוע מן המספר האחרון. ניתן לומר שהמספרים בנויים כך שיש להם התחלה אבל אין להם סוף, ולא יכול להיות להם סוף. די קשה למחשבה להתמודד עם זה, כי אם פאי הוא מספר אינסופי, והמספר של חתך הזהב הוא מספר אינסופי ששונה ממנו, איך נדע מי מהם יותר גדול? ולא יעזור אם נקרא למספר האחרון "פאי ועוד אחד",  כי תמיד יבוא עוד אחד אחרי "פאי ועוד אחד",  ועוד אחד אחריו, כמו שכתוב בקהלת (ה,ז): אַל תִּתְמַהּ עַל הַחֵפֶץ כִּי גָבֹהַּ מֵעַל גָּבֹהַּ שֹׁמֵר וּגְבֹהִים עֲלֵיהֶם. המספר האחרון הוא לא רק שיא גינס, אלא גם הדבר הכי גדול שהמחשבה האנושית המציאה אי פעם. וזה המשפט הראשון שצריך מורה לחשבון להגיד לתלמידיו אם הוא רוצה לקרב אותם לתורת המספרים. וכל מה שאמרנו עד כה על המספר האחרון החיובי נכון גם לגבי המספר האחרון השלילי, כך שיש לנו שניים כאלה, אחד בכל כיוון, והם כנראה באותו גודל, ולמרות שאין לנו מושג מה הם יש לנו עבורם שם: המספר האחרון.  

שעת אפס


למרות שאפס בא לפני אחד אף אחד לא קורא לו ראשון, חוץ מתלמידי בתי הספר, שבסלנג שלהם השעה שלפני שעת פתיחת בית הספר נקראת שעת אפס. ולפני האפס בא האחד השלילי, אבל גם את זה אף אחד לא לוקח ברצינות, שהרי האחד השלילי הוא הראשון במספרים השליליים.

זאת אולי עוד הוכחה לטובת אלה שמאמינים שהאפס אינו מספר, וביניהם מחבר ספר יצירה, שחי אמנם לפני המצאת האפס, אבל כבר ידע (בפרק א משנה ו): "שאדון יחיד הוא ואין שני לו. ולפני אחד מה אתה סופר". לעומת המה שאינו ניתן לספירה יש אצלו עשר ספירות בלימה (בלי מה), כנגד עשר אצבעות (כנגד עשרה מספרים), והן בדיוק עשר, לא תשע ולא אחת עשרה, מאחד עד עשר, בלי האפס.

יום שישי, 30 במאי 2014

תמצית חשבון


בחצי השנה שעברה פרסמתי בבלוג זה כשלוש מאות כתבות שעוסקות בהתבוננות במספרים.

התחלתי מהתבוננות בשמות המספרים. אחר כך ניסיתי להיזכר בתורת המספרים שלמדתי אצל יוסף ספרא בסוף שנות השבעים. חקרתי את מקורותיה. התחלתי מספר יצירה, שממנו נהג יוסף ספרא לצטט כמה משפטים. משם התפשט העניין שלי לתורת המספרים אצל היהודים, ובעיקר בתנ"ך ואצל רבי אברהם אבן עזרא. גיליתי שחלקים ניכרים מתורת המספרים שלמדתי אצל יוסף מופיעים אצל הפיתגוראים. בעקבות זאת, התפשט העניין שלי אל תורת המספרים של הפיתגוראים, וגיליתי את הקשר ההדוק שלה לגיאומטריה. לכל אורך הדרך הקפדתי לא להיסחף לנוסטלגיה או להיסטוריה, ולהתמקד בהתבוננות עצמאית במספרים, שהיא בעיניי עיקר הבלוג וההצדקה לקיומו. בדרך אגב אספתי יצירות אמנות ובולים שבהם מופיעים מספרים, מתוך תקווה שאמנים יצליחו להאיר את המספרים מזווית אחרת. לאורך כל הדרך ניסיתי להמחיש את הדברים המופשטים שכתבתי באמצעות צילומים שצילמתי, ובאמצעות איורים שעיבדתי במחשב.     

יום חמישי, 29 במאי 2014

אין משמעות לשמות המספרים בשפות אירופאיות


שמות המספרים בשפות הודו-אירופאיות מקורם משותף, אבל, כמו לדוברי עברית, אין למשתמשים בשפות אלה מושג מה משמעותם. הם יודעים ש- ONE באנגלית מציין את המספר הראשון, אבל אינם יודעים מדוע. מעניין שהיוונים שאלו מהפיניקים את שמות אותיות האלף בית אבל לא את שמות המספרים. לאותיות האלף בית יש משמעות בפיניקית, ולשמות המספרים העבריים יש אולי משמעות באכדית, אבל, נכון להיום, למספרים בשפות ההודו-אירופאיות אין משמעות. לומדים אותם באמצעות שינון, לא באמצעות הבנה, וזה עוד משהו קטן שתורם לחוסר הידידותיות של המספרים, ולא תורם כלל להפגת בעתת המספרים, למי שסובל ממנה. 

יום רביעי, 28 במאי 2014

מחשב כמילה אנכרוניסטית



כיום המחשב משמש גם כמעבד מילים, גם כמעבד נתונים, גם כמעבד תמונות, גם כמעבד קולות, ומה לא ... אבל בשעת לידתו הוא נועד לתכלית אחת בלבד- לעזור בחישוב מספרים, לשכלל  את החשבונייה המגושמת בביצוע פעולות החשבון היסודיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק.
כיום המילה מחשב איננה הולמת כלל את מגוון הפעולות של המכשיר שנקרא בשמה, אבל נדמה שכבר מאוחר מדיי לשנות את ההרגל להשתמש בה.

עוד מילים מסוג זה שאסף מני שי תחת הכותרת הטכנולוגיה עברה - המילה נשארה: כסף, שקל, לחייג, סרט, פח אשפה, מנורה.
***
הערה של מני שי:
במקרה זה, הטכנולוגיה, לפי דעתי, לא עברה שינוי מהותי, רק היישומים של הטכנולוגיה השתנו. כמו כן, מקובל המינוח "מכונת חישוב" למכשיר שהיישום היחיד שלו הוא עזרה בחישובים.

יום שלישי, 27 במאי 2014

משמעויות של השניים בספר יצירה


שניים מופיע בספר יצירה בכמה וכמה משמעויות:
א. כמספר שמבטא ניגודים כמו הניגוד בין זכר לנקבה (בדומה למשמעותו אצל הפיתגוראים). עשר הספירות מסודרות בחמישה זוגות של ניגודים: עומק ראשית ועומק אחרית וכו'.
ב. בין הניגודים האלה יש יחסים של מלחמה או של השלמה. ההשלמה היא באמצעות
1. זוג:
בשנים עשרה יש ששה זוגות: "שנים לועסים, שנים לועזים, שנים עליצים, שנים עליזים, שנים נועצים, שנים טורפים, שנים ציידים. עשאן כמין מריבה, עשאן כמין מלחמה, גם את זה לעומת זה" (פרק ו משנה ד).
2. ברית: "כרת לו ברית בין עשר אצבעות רגליו והוא ברית מילה, כרת לו ברית בין עשר אצבעות ידיו והוא ברית לשון". (פרק ו משנה ח)], הברית היא בין חמש אצבעות ימין לבין ניגודן: חמש אצבעות שמאל.
אותו מבנה של חמישה זוגות של ניגודים שמופיע בחלוקה של האצבעות ליד ימין ויד שמאל מופיע גם בחלוקת עשר הספירות, וגם בחלוקה (המסורתית, כי חלוקת המצוות לחמש חמש בכל לוח אינה מתוארת במקרא) של עשר הדברות לשני לוחות הברית, כאשר הברית אחת, הלוחות שניים, ועל כל לוח כתובות חמש מצוות.
כמו על מנת להזכיר לנו את הדמיון בין לוחות הברית לבין אצבעות הידיים מופיעה בפרשת הלוחות אצבע אלוהים: וַיִּתֵּן אֶל מֹשֶׁה, כְּכַלּתוֹ לְדַבֵּר אִתּוֹ בְּהַר סִינַי, שְׁנֵי לֻחֹת הָעֵדֻת, לֻחֹת אֶבֶן כְּתֻבִים בְּאֶצְבַּע אֱלֹהִים (שמות לא, יח).
ג. כמספר סודר - יום שני, וכן :"שאדון יחיד הוא ואין שני לו" (פרק א, משנה ו).
ד. כהכפלה (דגש באותיות בגד כפרת):

"ומתנהגות בשתי לשונות ב"ב ג"ג ד"ד כ"כ פ"פ ר"ר ת"ת, רך וקשה, גבור וחלש, כפולות שהן תמורות..." (פרק ד משנה ב).

יום שני, 26 במאי 2014

משמעויות של האחד בספר יצירה

אחד מופיע בספר יצירה כמספר שמבטא אחדות, מקוריות, ייחודיות, שלמות. 
המשנה האחרונה בספר יצירה מייחסת את חיבורו לאברהם אבינו, שהוא העברי הראשון, העברי מספר אחד, שממנו נבראו כל העברים האחרים, כמו שכל המספרים נבראים מן האחד.

בפרק א משנה ו נכתב: "עשר ספירות בלימה מדתן עשר שאין להם סוף, נעוץ סופן בתחילתן ותחילתן בסופן כשלהבת קשורה בגחלת. שאדון יחיד הוא ואין שני לו. ולפני אחד מה אתה סופר" וההסבר לכך שנעוץ סופן בתחילתן ותחילתן בסופן הוא שהן מהות אחת, מהות של האחד, שנתפסת בהכרה האנושית כריבוי. מדובר בשלם שאין לו חלקים ואין בו ניגודים. אלה מתחילים במספר שנים. כיוון שכך אין לאחד, ואין באחד, התחלה וסוף. להכרה האנושית בלתי אפשרי לדמות מצב כזה של שלמות, ולכן אומרים שלכאורה יש באחד סוף והתחלה חבויים, עובריים, בלתי נפרדים, שנעוצים זה בזה, וכאשר האחד בורא מתוכו את השניים ניתן לראות כל אחד מהם בנפרד. שהרי אם מותחים נקודה,שהיא אחת, עד שנעשה ממנה קו, "היא" מקבלת שני קצוות. וכך גם במעגל - אין התחלה ואין סוף. לכן דימו הפיתגוראים את האחד לעיגול, שנקרא בפיהם בשם מונאדה. מכאן גם אורבורוס, הדימוי של האלכימאים לנחש שבולע את זנבו, שמצויר תמיד בצורת מעגל.

בפרק ו משנה ז נכתב: "אחד על גבי שלש, ושלש על גבי שבעה, ושבעה על גבי שנים עשר, וכולן אדוקים זה בזה". כאן מופיע האחד כמהות שאיננה ניתנת לספירה, שהרי אילו היה נספר היו לנו 23 אותיות, כי:
1+3+7+12=23
גם 22 האותיות, טוען מחבר ספר יצירה, הן מהות אחת שההכרה האנושית איננה בנויה לקלוט אותה כאחת:
"צופה וממר ועושה את כל היצור ואת כל הדבור שם אחד, וסימן לדבר כ"ב חפצים וגוף אחד". (פרק ב, משנה טו).

מספרים בספר יצירה

במקביל לאחד (האחד) שאינו נספר יש אחד שנספר, והוא אל"ף באותיות, והוא יום ראשון בשבוע, והוא היחידה שמרכיבה כל מספר. המספר שלוש מורכב משלוש יחידות, שבנויות כמעין מאזניים. הראשונה והשלישית שואפות להטות את כף המאזניים כל אחת לכיוון שלה, והאמצעית, לשון המאזנים, אם היא מצטרפת לאחד הצדדים, היא מטה את הכף לטובתו, כי היא יוצרת שתי קבוצות שבאחת יש שתי יחידות  ובשנייה נותרת יחידה אחת:  "שלש אמות אמ"ש, יסודן כף זכות וכף חובה, ולשון חק מכריע בנתיים" (פרק א משנה ד).
אותו מבנה חוזר על עצמו במספר שבע: אלא שהפעם במקום יחידות יש לפנינו שלוש קבוצות. בשתיים מהן יש בכל אחת שלש יחידות, ובשלישית יש יחידה אחת, שאם היא מצטרפת לאחת הקבוצות היא מכריעה את כף המאזנים לטובתה, כי 1+3=4 ו 4 גדול מ-3.
אותו מבנה חוזר על עצמו ב-12 שמורכב מארבע קבוצות שבכל אחת מהן יש שלש יחידות, וכל שתים מהן מנוגדות זו לזו, וכולן כפופות לאחד שאינו נספר: "שלשה - אחד אחד לבדו עומד. שבעה - חלוקים: שלש מול שלש, ואחד מכריע ביניהם. י"ב - עומדים במלחמה: שלשה אוהבים שלשה שונאים, שלשה מחיים, שלשה ממתים, ואל מלך נאמן מושל בכולן ממעון קדשו" (פרק ו משנה ו). 

הספר המספרים והספירות

אחדים ממפרשי ספר יצירה מפרשים את המילה ספירות כמספרים. כך הראב"ע בספר "יסוד מספר" אומר שהעשירי הוא תחילת מספר העשרות וסוף המספרים, "כאשר מפורש בספר יצירה, כי ככה מספר האצבעות". בספר יצירה מספר האצבעות מתייחס למספר הספירות, כך שמשתמע שהראב"ע מזהה ספירות כמספרים. פינסקר, שמפרש את הראב"ע באותו ספר, מוסיף בהערה: "בפירושו לתורה בפרשת שמות... כתב [הראב"ע]: ומדרך אחרת הם (המספרים) עשר ספירות בלימה".
כך גם לדעת רבי משה קורדוברו, בספר פרדס רמונים א' א':
"ולשון הספירות הוא לשון מספר שישפוט בהם המספר ואף אם הם בלי מה. והעד על זה שמם שהם ספירות לשון מספר כדפירשנו. ולהכריח שהם מספר ושמספרם י' אמר מספר י' אצבעות."
לחיזוק פירוש זה ניתן להישען גם על הניסוח המופיע במשנה הראשונה בספר יצירה לפיו האל חקק את עולמו "בשלשה ספרים בספר ספר וספור". המכנה המשותף לארבע המלים האחרונות במשפט זה משותף גם למילה מספר.
חיזוק נוסף לגרסה זו הוא שהמילה הַסְּפָר (האמצעית בביטוי "ספר ספר וסיפור" מופיעה במשמעות של ספירה בדברי הימים ב (ב, טז): "וַיִּסְפֹּר שְׁלֹמֹה כָּל-הָאֲנָשִׁים הַגֵּירִים אֲשֶׁר בְּאֶרֶץ יִשְׂרָאֵל אַחֲרֵי הַסְּפָר אֲשֶׁר סְפָרָם דָּוִיד אָבִיו וַיִּמָּצְאוּ מֵאָה וַחֲמִשִּׁים אֶלֶף וּשְׁלֹשֶׁת אֲלָפִים וְשֵׁשׁ מֵאוֹת". וכך גם מסביר מילה זו גזניוס בלקסיקון שלו למלים המקראיות.
אחרים מפרשים את המילה ספירות כהשפעות רוחניות, בלא כל קשר למספרים.

כך או כך מספרים מופיעים בספר יצירה כמעט בכל משנה, והם מופיעים בו במשמעויות מסוימות. הם סופרים את מספר הנתיבות, את מספר האותיות, את מספר הספירות, ויש להם תכונות מסוימות. ועל כך בהמשך.

יום ראשון, 25 במאי 2014

מספרים על כמה מבולי ישראל



לפי הסדר מן הפינה השמאלית העליונה עד לפינה הימנית התחתונה:
5
יום העצמאות החמישי. עיצוב: וינד סטרוסקי - הספרה חמש מאחורי חמישה פרחים.

5
משחקי ילדים. עיצוב: שרון מורו- כיתוב: חמש אבנים.
100

10
עשור למלווה הפיתוח.  עיצוב: מקסים וגבריאל שמיר- המספר עשר.

18
מועדים 1995. עיצוב: יצחק גרנות - כיתוב על פרוכת- בן שמונה עשרה לחופה.

100
מאה שנה לבצלאל. עיצוב: טליה שטיין - המילה מאה בכיתוב.

8
סיפורי הרפתקאות. עיצוב :מירי ניסטור סופר- כיתוב: שמונה (בעקבות אחד), שם של ספר ילדים ידוע מאת ימימה טשרנוביץ.

60

ששים לעצמאות ישראל. עיצוב: מירי ניסטור סופר - המספר ששים בצורת סרט בד ארוך.

מספרים מאחד לאפס - יצירה של רוברט אינדיאנה




רוברט אינדיאנה, יליד 1928, הוא אמן אמריקאי המזוהה עם תנועת הפופ ארט.
"מספרים מאחד לאפס" נוצרה בין 1983 - 1980. היא נמצאת במוזיאון לאמנות באינדיאנופוליס, אינדיאנה.
טווח הצבעים של היצירה כולל עשרה גוונים:
ארבעה גוונים של כחול ואדום
שלושה גוונים של ירוק
שני גוונים של כתום, צהוב ולבן
וצל אחד סגול, אפור, ושחור


הצילום באדיבות: קלרק מקסוול וכל הזכויות עליו שמורות לו.
עבודות נוספות של רוברט אינדיאנה בנושא המספרים:
על מספר שניים משנת 1962


עבודה בשם איטריה משנת 1962
ובה שמונת המספרים הראשונים בשחור ולבן


על מספר ארבע משנת 1962

 

מספרים מתפוצצים - משנת 1966-1964

 

על המספרים המונים משנת 1966

http://robertindiana.com/works/the-cardinal-numbers/

 

 Decade Autoportrait 1961 , 1972

 




יום שישי, 23 במאי 2014

אריתמטיקה גיאומטריה והתבוננות בצל


בתמונה: שעון השמש בחזית הספרייה הלאומית בירושלים

חכמי תורת הדקדוק טוענים שהאות למ"ד מקורה במלמד הבקר, אבל מה כבר אפשר ללמוד ממלמד הבקר? בכתב הפיניקי למ"ד נראית בכלל כמו האות שי"ן הרהוטה. 
לדעתי, הלמד מקורה בגנומון, מקור הצל של שעון השמש, שביחד עם הצל שהטיל הייתה לו צורה של זווית, כמו בחלק העליון של האות למ"ד, וכמו באות L הלטינית.  ביוונית האות הזאת נקראת למדה או למבדה, והיא נראית כמו האות V כשקדקודה כלפי מעלה. שעוני שמש הופיעו בסין, במצרים ובבבל, לכל המאוחר בשנת 2500 לפנה"ס.
ובכן, שעון השמש מטיל צל שנע ברציפות בצורת עיגול.  הנקודות הקבועות המסומנות על העיגול מייצגות את המספרים של האריתמטיקה, שמקפיאים (מדי שעה או מדי דקה) את התנועה הרצופה שמייצגת את  הגיאומטריה. 



גנומון בשעון שמש בול שבדי משנת 2013

אצל הפיתגוראים הגנומון היה המחשה גיאומטרית לכל המספרים: האי זוגי (שהוספתו יוצרת ריבוע מריבוע שקטן ממנו, כמו חמש נקודות בצורת L שמוסיפים לארבע הנקודות של הריבוע של 2 כדי לקבל את תשע הנקודות של הריבוע של 3)  או הזוגי, שמשלים מלבן למלבן שגדול ממנו. 

על ראשון הפילוסופים היוונים, תאלס, בן המאה השישית לפנה"ס מספרים שלמד על גובה הפירמידה כשהשווה  בין אורך הצל של הפירמידה לבין אורך הצל של מקלו.

ארטוסתנס, בן המאה השלישית לפנה"ס, למד על היקף כדור הארץ באמצעות צל של מוט,  באמצעות חדירת קרן שמש לבאר באסואן, ובאמצעות מדידת המרחק בין  אלכסנדריה לאסואן.


בהבדל מן הדעה המקובלת שלפיה מספרים מקורם במספר האצבעות, פילון האלכסנדרוני (בספרו על בריאת העולם ספר ראשון סעיף 60) טען שהמספרים מקורם בתנועת המאורות  "כי מיום אחד בא המספר אחד, ומשניים - המספר שניים, ומשלשה - המספר שלשה, ומחודש - המספר שלושים, ומשנה - הקיבוץ השווה במספרו לימים המצטרפים מ 12 חודש, ומזמן האינסופי - המספר האינסופי". 

יום חמישי, 22 במאי 2014

שבע פעמים שבע ושבת בציור של אליהו סידי

שבע פעמים שבע, שני לוחות הברית ושבת 
בציור של הצייר הירושלמי אליהו סידי 
צילם אברהם חי וכל הזכויות שמורות לו

יום שלישי, 20 במאי 2014

אחד ואפס בציורים של אורי כהן





בתערוכה "לבן" שמוצגת בימים אלה במרכז אמנויות הבמה בשוהם (אוצרת: רחל זיו) הוצגו ציורים של אורי כהן בשם "1:0", שמן על קנבס, 60X40
עם הכיתוב:

ההשראה לעבודה זו, באה מעבודתי כמנהל פיתוח
במחשבים הכל מבוסס על 0 ו 1.
יש ואין מוחלטים
הכל שחור לבן מוחלטים
אבל בחיים זה לא כך,
יש הרבה גוונים".
***
054-9787422
cohen.uri@gmail.com

הציורים מתפרסמים כאן באדיבות אורי כהן וכל הזכויות עליהם שמורות לו.
***
תודה לרחל זיו שהפנתה אותי לציור זה.

יום שני, 19 במאי 2014

בריאת מספר מהמספר שלפניו

מקור התמונה בויקיפדיה ערך סקסטוס אמפיריקוס

בדרך כלל מדמים את בריאת מספר מהמספר שלפניו כתוספת של אחד, מה שמסביר את העובדה שככל שמספר גדול יותר הוא מכיל יותר אחדים, אבל אצל הפילוסוף היווני סקסטוס אמפיריקוס, בן המאה השנייה לספירה (בפסקאות 92 עד 109 בספרו נגד הלוגיקנים) מופיע אותו רעיון בניסוח שונה במקצת, שמבוסס על השברים:
2 בנוי מאחד ועוד אחד חלקי 1
3 בנוי מאחד ועוד חצי מ 2
4 בנוי מאחד ועוד שליש מ 3
5 בנוי מאחד ועוד רבע מ 4
6 בנוי מאחד ועוד חמישית מ 5
וכן הלאה
כלומר לא האחד הראשון מוסיף עצמו מחדש לכל מספר חדש אלא מספר כלשהו מחלק עצמו בעצמו, ותורם לזה שאחריו את אחד מחלקיו/אחדיו. ניסוח מיתולוגי לגרסה של סקסטוס אמפיריקוס: לא אדם הראשון מוליד כל אחד מאתנו אלא כל דור נולד מהדור שלפניו. 

ההופעה הראשונה של הספרות ההודיות-ערביות באירופה



ההופעה הראשונה של הספרות ההודיות-ערביות באירופה הייתה במאה העשירית לספירה בספרד בקודקס ויגילנוס (Codex Vigilanus). בתמונה נראות ספרות אלה על בול  שהנפיקה ספרד בשנת 2006. הספרה אפס לא נמצאת כאן - היא מחכה שפיבונאצ'י יפרסם אותה באירופה בשנת 1202.
*

ספרות הודיות על בול שהנפיקה ממשלת הודו בשנת 2004 לזכר פניני, דקדקן בן המאה הרביעית לפנה"ס

יום ראשון, 18 במאי 2014

שאלת המדוע


ככלל, נדמה לי שמלמדים מספרים בלי להסביר מדוע. אם תשאל מדוע חשוב לדעת אם מספר הוא זוגי או אי-זוגי, ראשוני או מורכב, ריבועי או מלבני, יענו לך- ככה זה, אין לזה שום סיבה, למה זה כל כך חשוב לך? מלמדים שסדרה חשבונית מסוימת מורכבת מהפרש של שניים בין איבר לאיבר, אבל לא מסבירים למה זה אמור לעניין. מי שלומד אריתמטיקה רוצה להשתמש בה לחיי היום יום שלו, אבל זו תשובה לשאלה מדוע ללמוד תורה זו, שהיא כבר שאלה אחרת. אבל מדוע לשאול מדוע?  אולי אין מדוע. נדמה שהשאלה של מדוע היא, במקרה זה, שאלה שאיננה חוקית.
בשביל להראות לכם למה אני מתכוון קחו תוכן של מספר. באריתמטיקה זה נקרא מספר משולש: סכום המספרים מאחד עד המספר המבוקש.
1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
הלאה
למה חשוב לדעת את זה?
התשובה שלי היא שידיעת תוכנו של מספר היא חצי הדרך לגילוי הסדר המופלא שמאחורי סדרת הריבועים. אם ניקח את התוכן של שבע כשורה של מספרים מאחד עד שבע, בלי סימני החיבור
1+2+3+4+5+6+7=28
ונוסיף אותו גם מצדו השני של השבע:
1234567654321
נקבל פלינדרום (מספר שנקרא באותו אופן גם מימין לשמאל וגם משאל לימין)
שמורכב מסכום התכנים של שש ושל שבע, ויש בו סדר מופתי, וסימטריה מופלאה. וזה נכון לגבי הריבוע של כל מספר.
הפיתגוראים ענו על שאלת המדוע, אבל התשובות שלהם עליה היו תשובות רוחניות, שבעצם אינן מסתפקות במספרים עצמם, אלא מוסיפות להם משמעויות. הריבוע, מכפלה של מספר בעצמו, היה לגביהם ביטוי לעיקרון הנאצל של המוגבל, כי לכל מספר יש רק ריבוע אחד. לעומת זאת מכפלה של מספר במספר אחר הם ראו כמלבן, שממד אחד שלו (נאמר האורך) קבוע, ומשמש כמכפיל, ואילו הממד השני שלו, המוכפל, משתנה לאין סוף, ואין סוף נחשב אצלם לעיקרון נחות. תשובות שכאלה, שמוסיפות משמעויות לפי איזו תורה שהיא חיצונית למספרים, יש גם בקבלה ובנומרולוגיה.
 לסיכום: המספרים הם תחום אוטונומי, שיש לו ערכים אסתטיים משלו, שאינם תלויים בתחומים אחרים. הבנה של עניין מסוים במספרים מעוררת תמיד חוויה של התפעלות, ואם היא משרתת הבנה של עניין אחר, על אחת כמה וכמה. 
***
 מדוע חשוב לדעת על הגלגולים? 
מפני שעשרת המספרים הראשונים בוראים את כל שאר המספרים באמצעות הגלגולים, שהם הוספת תשע לכל אחד מהם. מכאן שאין אינסוף, שהרי כל מספר חדש שנוסיף יהיה חזרה על אחד מעשרת המספרים הראשונים (ואולי לכך רמז קהלת באומרו: "מַה שֶּׁהָיָה הוּא שֶׁיִּהְיֶה, וּמַה שֶּׁנַּעֲשָׂה הוּא שֶׁיֵּעָשֶׂה, וְאֵין כָּל חָדָשׁ תַּחַת הַשָּׁמֶשׁ" (קהלת א, ט).

מדוע העשר נכלל בקבוצת הבוראים?
מפני שאי אפשר לברוא את ה-11 עד 19 ואת העשרות שמעליהם מתשע היחידות שלפני העשר. 
מדוע חשוב לדעת על משפט פיתגורס?
משום שהוא מטמין בתוכו מסר חיוני לתורת המספרים: שכל מספר הוא חלק ממספר שגדול ממנו, ושכל המספרים תחובים זה בתוך זה כמו גלדים בבצל. 


הריבוע כמעוין


אנחנו רגילים לראות ריבוע של מספר בצורת ריבוע, אבל רק בשביל לשחרר את המוח ממחלת הקיבעון הריבוע הזה יכול להיראות גם כמעוין. לדוגמה הנה הריבוע של שניים כמעוין:

*
*      *
*

הנה הריבוע של שלש:

*
*      *
*     *     *
*     *
*

בצילום רואים את הריבוע של שמונה כמעוין שבנוי על העיקרון

12345678987654321

מספר חמישים בציור של אהובה קליין


תקיעת שופר בשנת היובל
ציירה: אהובה קליין © [שמן על בד]
הציור מבוסס על הפסוקים:
"והעברת שופר תרועה בחודש השביעי בעשור לחודש ביום הכיפורים תעבירו שופר בכל ארצכם:
וקידשתם את שנת החמישים שנה וקראתם דרור בארץ..."[ויקרא ,כ"ה, ט-י]
המספר חמישים- שמהותו שנת היובל- הוא כנגד חמישים ימי הספירה מיום שני של חג הפסח [הבאת קורבן העומר לכוהן]-עד חג מתן תורה, כפי שנאמר:
"וספרתם לכם ממחרת השבת מיום הביאכם את- עומר התנופה שבע שבתות תמימות תהיינה: עד ממחרת השבת השביעית תספרו חמישים יום.." [ויקרא  כ"ג ט"ו-ט"ז]
ימים אלה הם הכנה ליום הקדוש של מעמד הר סיני- בו התאחדו כל עם ישראל-כאיש אחד בלב אחד- ואמרו: "נעשה ונשמע"!


יום שישי, 16 במאי 2014

האם הייתה למחברי התנ"ך תורת מספרים?



בבלוג הזה הנושאים צצים כמו מאליהם, בלי סדר ובלי תכנון מראש, אבל כשמתבוננים על נושא מסוים, כמו מעל פסגת הר לכיוון  הדרך שעברנו עד כה, רואים שהעיון במספרים שבתנ"ך מבצבץ שוב ושוב, והולכת ומתבהרת השאלה האם או באיזו מידה, הייתה למחברי ספרי המקרא תורת מספרים. הנחת היסוד היא שהעברים, כמו הפיתגוראים, הכירו את תורת המספרים של המצרים, שהרעיונות של הפיתגוראים לא נעצרו בגבולות יוון, ושהידע האריתמטי-גאומטרי היה משותף לכל העמים בני אותה תקופה. אז ראינו בתחילת הבלוג שבריאת העולם היא בדרך אגב גם בריאת שבעת המספרים הסודרים הראשונים. שהיום השביעי, כמו השבע, מגבש את ששת המספרים המפורדים שלפניו לקבוצה, לשבוע, כמו שהעשר מגבש לקבוצה את תשע היחידות שלפניו. השביעי הוא כמו הנקודה הגיאומטרית שממנה מתפשטים, כבקוביה, ששת הכיוונים שמרכיבים את שלושת הממדים: ימין ושמאל שמרכיבים את האורך, קדימה ואחורה שמרכיבים את הרוחב, מעלה מטה שמרכיבים את הגובה.
ראינו שבריאת אדם יש מאין ובריאת חווה מצלעו מקבילים אולי לתיאור של הפיתגוראים על בריאת האחד יש מאין ועל בריאת השניים מהאחד, כאשר בשתי התרבויות האחד הוא זכר והשניים נקבה. 
ראינו שהסיפור על נהרות גן עדן, אחד שמתפצל לארבעה, מזכיר את הטטרקטיס של הפיתגוראים, שהוא משולש עשוי מעשר נקודות כאשר ראשו באחד ובסיסו בארבע, ושהטטרקטיס מזכיר את הפירמידה המצרית.
ראינו שמדידת נחלות בחבל, שהיא היסוד למשפט פיתגורס ולגיאומטריה (שמורכבת מן המלים גיאו- אדמה, מטריה - מדידה) נזכרת כמה וכמה פעמים בתנ"ך.
ראינו שחלום יוסף על אלומות אחיו שמשתחוות לאלומתו רומז אולי למעמדו המיוחד של האחד שממנו כל המספרים מורכבים ובלעדיו אין להם חיים.

ניתן להבין את משפט שלמה המלך (– מלכים א' ג', טז-כח) כתשובה לשאלה מהו האחד: האחד אינו ניתן לחלוקה, אם יחולק ימות. באחדותו- חיותו.
כעת אני רוצה להתייחס לעניין חדש - התנחלות השבטים בארץ. מתוך 12 השבטים התנחלו בתוך הארץ תשעה וחצי, ואילו שנים וחצי שבטים (ראובן גד וחצי המנשה) התנחלו בעבר הירדן. האם יתכן שיש בסיפור זה רמז למעבר מבסיס 12 לשיטה  העשרונית? כאשר המספר עשר הוא עם חצי רגל ביחידות וחצי רגל בעשרות?
***
הערה של ידידי עמנואל:
לגבי  מספרים חיוביים ושליליים כבר  נאמר בקהלת י, ב: לֵב חָכָם לִימִינוֹ (מספר חיובי)וְלֵב כְּסִיל לִשְׂמֹאלוֹ (מספר שלילי) כאשר שניהם מתחילים מאפס .

                                            


מספרים שליליים


בדגם לינארי מספרים חיוביים ממוקמים מימין לאפס, וככל שהם גדלים הם מתרחקים ממנו. המספרים  השליליים ממוקמים משמאל לאפס, וככל שהם גדלים הם מתרחקים ממנו. בדגם מעגלי נוכל לסדר את החיוביים עם כיוון השעון ואת השליליים נגד כיוון השעון, כאשר הספירה מתחילה מחדש לאחר כל  עשרה מספרים, כלומר בסיבוב השני יהיו 11 או מינוס 11,  בסיבוב השלישי יהיו 21 או מינוס 21 וכן הלאה. ניתן ללמוד משתי אפשרויות הסידור האלה שמספר הוא תלוי מקום ותלוי כיוון. האחד יהיה תמיד לפני השניים, בין אם הוא חיובי או שלילי, אבל השניים יהיה פעם לימינו (בחיוביים) ופעם לשמאלו (בשליליים). כך או כך שמו של המספר נגזר ממיקומו ביחס לאפס- אחד הוא הראשון, הכי קרוב לאפס, שניים השני מהאפס וכן הלאה. 

מספר משוער

כמה פקקים יש בתמונה, לא בדיוק אבל בערך?

מספרים עוזרים לנו לענות על שאלות של כמה ומתי, אבל לעתים אין לנו צורך במספרים מדויקים, מספיק לנו לדעת בערך, בקירוב, באומדן גס, בניחוש מושכל, פחות או יותר, על איזה סדר גודל אנחנו מדברים, אם הרבה או מעט, אם המון או קצת. וזה מתקשר להבדל שבין הרציף לבין הבדיד, להבדל שבין גאומטריה לבין אריתמטיקה, כשהאחרונה עוסקת בדרך כלל במספרים מדויקים (אף כי לעתים היא מעגלת אותם), והשנייה די לה בהבדל שבין זוויות חדות לזוויות קהות, או ישרות, ואצלה כל קו יכול להיות באיזה גודל שירצה, כמו גם כל צורה. 

יום חמישי, 15 במאי 2014

פעולות החשבון כבסיס לסווג המספרים



פעולת החילוק משמשת כבסיס לחלוקת המספרים לזוגיים (מתחלקים למספרים שלמים) ולאי זוגיים (שאינם מתחלקים למספרים שלמים), לראשוניים (שמתחלקים באחד ובעצמם) ולמורכבים (שמתחלקים גם במספרים אחרים). המילה מורכבים  היא מילה נרדפת למילה מחוברים, שכרוכה בפעולת חיבור. היא פחות מוצלחת ממנה מפני שהיא מסתירה את הקשר שבין הסיבה לבין התוצאה. פעולת החילוק היא גם הסיבה לקיומם של השורשים והשברים.
בזכות פעולת החיבור יש לנו מספרים משולשים, שהם סכומי המספרים מאחד ועד אליהם.
בזכות פעולת החיבור של תשע לכל אחת מהיחידות יש לנו גלגולים, בזכות פעולת החיבור של שלש לכל אחד משלשת המספרים הראשונים יש לנו זרמים (147, 258, 369). 
בזכות פעולת החיבור יש לנו את סכומי הספרות של מספר, שבזכותם אנו נזכרים בכל פעם מחדש שלא חשוב מה גודלו של מספר הוא תמיד יהיה העתק חיוור של אחת מעשר היחידות הראשונות.   
סדרה חשבונית בנויה על חיבור וסדרה הנדסית בנויה על כפל. 
בזכות פעולת החיסור יש לנו מספרים שליליים.
פעולת הכפל משמשת כבסיס למספרים בריבוע, למעוקבים, לחזקות ולמספרים מלבניים (מכפלות של מספרים זוגיים).
בזכות פעולת ההשוואה יש לנו משוואות, שבהן כל נעלם הוא מעין מנעול שממתין למפתח שמתאים לו.

בזכות פעולת ההשוואה יש לנו גימטריות שבהן מספר שווה לאות ואות למספר. 

שם צורה



בתורת הדקדוק יש פרק שלם שמוקדש לשם של מספר, אבל למרות שיש התאמה מופלאה בין מספרים לבין צורות  גיאומטריות, לא מצאתי בתורת הדקדוק אפילו סעיף אחד שעוסק בשם של צורה. אז הנה כמה שמות של צורות: נקודה, קו, עיגול, רדיוס, קוטר, משולש [1], מרובע, ריבוע, מלבן, מקבילית, טרפז, מחומש, פנטגרמה, משושה, מגן דוד, משובע, מתומן, תשיעון, עשירון, מצולע, דלתון, מעוין, חסר צורה (אמורפי).
בתנ"ך מופיעה המילה צורה ביחזקאל מג, יא: "וְאִם נִכְלְמוּ מִכֹּל אֲשֶׁר עָשׂוּ צוּרַת הַבַּיִת וּתְכוּנָתוֹ וּמוֹצָאָיו וּמוֹבָאָיו... הוֹדַ֣ע אוֹתָ֔ם וּכְתֹ֖ב לְעֵֽינֵיהֶ֑ם וְיִשְׁמְר֞וּ אֶת כָּל צוּרָת֛וֹ וְאֶת כָּל חֻקֹּתָ֖יו וְעָשׂ֥וּ אוֹתָֽם". שורש המילה צורה הוא צור שמשמעו סלע, ובהשאלה הגנה, מחסה ומכאן הכינוי לאלוהים, צור ישראל, שמופיע במגילת העצמאות. אפילו יש בתנ"ך שם של מקצוע של זה שעושה צורות (בחימר או בחומר) - יוצר.

הערות:
[1] הסבר לגבי המילה משולש בתנ"ך שמופיע אצל רבי אברהם אבן עזרא בפירושו לבראשית טו, ט:

עז משולשת - יש אומרים: ג' עזים. והישר בעיני: בת שלוש שנים.


יום שלישי, 13 במאי 2014

קווים מקבילים בתורת המספרים



גאומטריה ואריתמטיקה הן שפות מקבילות, ומה שיש בשפה האחת ניתן לתרגום לשפה השנייה, ואם מתבוננים בסדרת הזוגיים לעומת סדרת האי זוגיים רואים שאכן שתי הסדרות האלה מקבילות, ואין אף איבר שמתחלק לשניים על טור האי זוגיים, כשם שאין אף איבר שאינו מתחלק לשניים על טור הזוגיים.  

       זוגיים ואי זוגיים כקווים מקבילים
סטנסיל מספרים במעבר חצייה, עם קשר קלוש לעשרה הדיברות 

אבן היסוד של כל המספרים הטבעיים



X הוא אבן היסוד של כל המספרים הטבעיים, לפי תורת המספרים שלמדתי מיוסף ספרא בסוף שנות השבעים. X הוא גם חצי מכל מספר זוגי, וגם החצי הקטן של כל מספר אי זוגי (לצד המרכז, M, של המספר האי זוגי, שהוא חציו הגדול). כלומר, X נוטל חלק גם במספר הזוגי (2X) שהוא חציו, וגם במספר האי זוגי (2X+1) שמעל לאותו מספר זוגי. וכך 1 הוא גם הX של 2 וגם של 3, ו 2 הוא הX גם של 4 וגם של 5, וכן הלאה. מעניין לשים לב שהסכום של הזוגי עם האי זוגי שיש להם אותו X יוצר מספר שהX שלו הוא פעמיים הX של המספרים שמהם הוא מורכב:
X=1
2+3=5
M=3; X=1+1

X=2
4+5=9
M=5; X=2+2

X=3
6+7=13
M=7; X=3+3

וכן הלאה