קובייה מכדורים

 

הערה של NINE:

תמונה יפה של גולות.

כל גולה נראית כמו "כדור בדולח" צלול וטהור.

אגב, המילה "גולה" - (מהשורש "ג.ל.ל" או "ג.ו.ל" או "ג.ל.ה") קשורה למילה "עגול" או "מעגל".

האותיות גימל וכף מתחלפות, כי הן דומות, ("עיצורים חוככים").

- ואז מוצאים קשר יפה בין ה"גולה" לבין ה"כּוּלה",

או בין "עגול" לבין "הכול".

ומכאן שהכל הוא עגול!!! כלומר שהמציאות כולה, בכללותה היא עגולה!!!

היא בצורת סְפֵירָה.

המוחשי המופשט או המופשט המוחשי

לכאורה צורות גיאומטריות הן המחשות של מספרים, שהם מופשטים. אבל כאשר אוקלידס מגדיר את הנקודה כמה שאין לו אורך הנקודה איננה המחשה למספר אחד כי היא לא פחות מופשטת ממנו. מדובר בעצם בשתי שפות מופשטות שמבטאות רעיון אחד. אחד הוא קודם כל מילה, או מושג, ורק אחר כך הוא מקבל ביטוי מספרי או גיאומטרי. באופן דומה יש לעתים לעיונים פילוסופיים המחשה ביצירות ספרות.  

עגיל טטרקטיס בדו ממד שיוצר עבורי מכסף בסטודיו עדי גרינשטיין

מספרים כהמחשה של תופעה גיאומטרית

המחשבה המקובלת היא שגאומטריה ממחישה את המספרים [1] אבל ניתן לראות את משפט פיתגורס כמשוואה עם שלושה נעלמים, שמספקים אותה מספרים כמו 3,4,5... כלומר שהמספרים הם המחשה של תופעה גיאומטרית.

ניתן לראות את כל הנקודות שעל הטטרקטיס והמשכו [החל מנקודה אחת בקודקוד, שתיים בשורה מתחתיה, שלש בשורה מתחתיה וכן הלאה] כמשוואה שניתנת להמחשה על ידי המספרים הזוגיים והאי זוגיים, כאשר כל האי זוגיים מופיעים על חוצה הזווית, וכל הזוגיים על שוקי המשולש ולשני צדדי חוצה הזווית. כלומר שכל המספרים הם המחשה של תופעה גיאומטרית.

==========

הערה:

[1] בספרו "היסטוריה של המתמטיקה" מציין ג'ון סטילוול ש"מעורר השתאות שיש למשפט פיתגורס, שהוא עובדה מספרית טהורה, פירוש גאומטרי. ממבט ראשון נדמה שאין קשר בין תחומי הידע של אריתמטיקה וגאומטריה. אריתמטיקה מבוססת על ספירה, שהיא התגלמות של תהליך בדיד, ואילו גאומטריה עוסקת באובייקטים רציפים כמו קווים, ומשטחים. אלמנטים רציפים אינם ניתנים לבנייה מבדידים באמצעות תהליכים של בדידים. יש ציפייה לראות עובדות גיאומטריות ולא להגיע אליהן באמצעות חישוב. משפט פיתגורס היה הרמז הראשון לקשר עמוק ונסתר בין אריתמטיקה וגאומטריה שנמשך לכל אורך ההיסטוריה של המתמטיקה. הקשר הזה היה לעתים קשר של שיתוף פעולה ולעתים של עימות, כמו שקרה אחרי גילוי אי הרציונליות של שורש שניים. לעתים קרובות רעיונות חדשים צצים מתוך אזורים שיש ביניהם מתח, ופתרון הקונפליקט מאפשר לרעיונות בלתי ניתנים להשלמה לשתף פעולה באופן פורה. המתח בין אריתמטיקה וגאומטריה הוא ללא ספק העמוק ביותר במתמטיקה, והוא הוביל למשפטים העמוקים ביותר, שמשפט פיתגורס הוא הראשון שבהם, ובעל ההשפעה הרבה ביותר"...

מקור:

Mathematics and Its History, Third Edition, 2010 by John Stillwell. P. 3

הממדים של תשעת המספרים הראשונים

כפולות המספרים כהיקפים של מצולעים

כאשר אנחנו מסדרים את המספרים הטבעיים בשתי עמודות אחת מהן תכלול את המספרים האי זוגיים ואילו השנייה את הזוגיים.

אבל כאשר אנחנו מסדרים את המספרים הטבעיים ביותר משתי עמודות יהיו תמיד בעמודה האחרונה כל המספרים שמציינים את היקפו של מצולע כלשהו.

וכך, כאשר אנחנו מסדרים את המספרים הטבעיים בשלש עמודות יהיו בעמודה השלישית הכפולות של שלש. שלש הוא היקפו של משולש שאורך צלעו אחד. שש הוא היקפו של משולש שאורך צלעו שניים. תשע הוא היקפו של משולש שאורך צלעו שלש וכן הלאה.

כאשר אנחנו מסדרים את המספרים הטבעיים בארבע עמודות יהיו בעמודה הרביעית הכפולות של ארבע. ארבע הוא היקפו של ריבוע שאורך צלעו אחד. שמונה הוא היקפו של ריבוע שאורך צלעו שניים. 12 הוא היקפו של ריבוע שאורך צלעו שלש. וכן הלאה.

כאשר אנחנו מסדרים את המספרים הטבעיים בעשר עמודות יהיו בעמודה העשירית הכפולות של עשר. עשר הוא היקפו של מצולע משוכלל בעל עשר צלעות שאורך צלעו אחד. 20 הוא היקפו של מצולע משוכלל שאורך צלעו שניים. 30 הוא היקפו של מצולע משוכלל שאורך צלעו שלש. וכן הלאה.

צורת המספרים המקוריים

אצל הפיתגוראים הצורה של עשרת המספרים הראשונים היא צורת משולש שווה שוקיים שבקדקודו נקודה אחת תחתיה שתיים תחתיהן שלש ובבסיסו יש ארבע נקודות. אבל המספר עשר שונה מתשעת המספרים שקודמים לו, כי הם מקוריים ואילו הוא העתק של המספר אחד, מה שגם גלוי לעין כשמחברים את הספרות שמהן הוא מורכב כי אחד ועוד אפס שווה אחד. מבחינה זו העשר דומה לכל ה"גלגולים" של המספרים המקוריים: 11 הוא ההופעה השנייה של 2, 12 הוא ההופעה השנייה של 3 וכן הלאה.

הצורה של תשעת המספרים המקוריים היא צורת ריבוע. הריבוע של שלש. בכל צלע של הריבוע הזה יש שלש נקודות.

סדר כתכונה מרכזית של המספרים

כידוע, סדר הוא תכונה מרכזית של המספרים. הם מופיעים בזה אחר זה או בזה לפני זה, בסדר עולה או בסדר יורד, ולכל מספר יש מקום משלו, שהוא אך ורק שלו.

לכאורה סדר שכזה יש גם לאותיות האלפבית, וכל אחד יכול לסדר את התיקיות שלו במחשב בסדר אלפביתי, אבל יש הבדל מהותי בין הסדר של המספרים לבין הסדר של האותיות. הסדר של האותיות הוא שרירותי, ואילו הסדר של המספרים הוא מהותי. אין שום הכרח שהאות בי"ת תבוא אחרי האות אל"ף ולפני האות גימ"ל [1]. נכון שאומרים מאלף ועד ת"ו, ומתכוונים מהראשון עד האחרון, אבל, כאמור, אלף ראשונה בגלל שלמדנו שהיא ראשונה, ות"ו אחרונה בגלל שלמדנו שהיא אחרונה.

לא רואים את זה במספרים ההודו-ערביים – 1, 2, 3 ... אלה הם רק סימנים של צורות גאומטריות כמו נקודה או קו, שאותן ניתן לראות בפועל.

..+..= .... [שתי נקודות ועוד שתי נקודות שווה לארבע נקודות) שונה מהותית מ 2+2=4, כי לוקח המון זמן עד שההורים ומערכת החינוך מצליחים ללמד את הילדים לחשוב באופן מופשט, ולהפסיק למנות תפוחי עץ וסוכריות.

את ..+..= .... כל ילד מבין. זה מובן מאליו. חשים את זה.

הסדר של המספרים בנוי על עיקרון מאד פשוט. מתחילים מנקודה אחת, מוסיפים עוד אחת כמוה, ועוד אחת... עד שמתעייפים. הנקודה הראשונה תייצג תמיד את המספר אחד, השנייה את המספר שניים וכן הלאה.

כשהגאומטריה נולדה ביוון במאה השישית לפני הספירה לא הייתה הבחנה בינה לבין תורת המספרים. אם פיתגורס המציא את משפט פיתגורס הוא לא ראה בדמיונו שלש בחזקת שניים ועוד ארבע בחזקת שניים ששווים לחמש בחזקת שניים – הוא ראה צורה גאומטרית, משולש ישר זווית, שיש תשעה ריבועים על הניצב הקצר שלו וששה עשר ריבועים על הניצב הארוך שלו ועשרים וחמישה ריבועים על היתר שלו. ואת כל זה הוא למד ולימד באמצעות הנחת אבנים קטנות בחול.

מאות שנים לאחר מכן המתמטיקאים כבר לא יכלו לחשב את חישוביהם על מספרים גדולים מאד באמצעות הצגתם בחול... המתמטיקה נפרדה מהגאומטריה, ואוהביה, כפויי טובה, שכחו מנין קבלה את הסדר המופלא שלה.
==
הערה: ראו מדרש במסכת שבת דף ק"ד.
http://www.soferstam.co.il/content.aspx?PageId=32&lang=he

מאחד עד תשע בשפת המשולשים

אנחנו רגילים לראות את המספרים כסימנים חסרי משמעות ומופשטים (1,2,3...)
הפיתגוראים הציגו אותם בתור נקודות שיוצרות משולש. בתצוגה זו כבר אפשר להבחין בכל מיני תופעות במספרים, כמו למשל את זה שכל המספרים מורכבים מן הנקודה שבראש המשולש. 
בתצוגה שאני מציע באיור לעיל אפשר לראות תופעות בולטות אחרות כמו את זה שהשניים הוא העתק של האחד, שבנוי על אחת מצלעותיו, כמו שחווה בספר בראשית נבראת מצלעו של אדם. השלש נברא על ידי בניית העתקים על שתיים מצלעותיו של האחד, והארבע מסיים את התהליך בבניית העתקים של האחד על כל צלעותיו. החמש מתחיל את הצורות שיש להן מרכז משותף. אמנם לתופעה הזאת היה רמז בשלש, אבל השלש שייך יותר לצורות שנבנות על צלעותיו של האחד שהן, מלבדו, שתיים וארבע. 
מעניין במיוחד האיור של השש שנדמה לקובייה שהסירו ממנה שלשה קירות כך שניתן לראות מה קורה בתוך תוכה. 

שמונה בתלת ממד כשני כדורים

ניתן לראות את הריבוע כתיאור דו ממדי של הקובייה, ואת השמונה כתיאור דו ממדי של שני כדורים שמונחים זה על גבי זה. לכך רומז גם השם שמונה שהשורש שלו הוא שָׁמֵן

פאי ועיצוב המספרים

פאי מתאר את היחס שבין היקף המעגל לקוטרו. כל מעגל בכל גודל שהוא יהיה ביחס של פאי לקוטרו. הספרה אפס [0] ממחישה באופן מושלם את היקף המעגל. הספרה אחד [בספרות ערביות- 1; בספרות רומיות - [I מציגה את קוטרו של המעגל כאשר הוא ניצב (כמו מחוג השעון שמראה על השעה שתיים עשרה).

איך ידע מי שהמציא את העיצוב הגרפי של האפס ושל האחד שיום יבוא ושני המספרים הראשונים ירכיבו את פאי?

לאחד יש קדקוד אחד

לאחד יש קדקוד אחד. לשניים שניים, למשולש שלושה, לריבוע ארבעה, למחומש חמישה, למשושה שישה. קל יותר לראות את זה כשהולכים מהאחרון לראשון. 

צורתו של השבע

הנקודה היא הצורה של האחד, הקו של השניים, המשולש של השלוש, הריבוע והמרובע של הארבע, המחומש והפנטגרמה של החמש, המשושה והמגן דוד של השש.

ישנם שלושה סוגים של קווים ישרים: אורך רוחב ואלכסון. כאשר הם חוצים אלה את אלה הם יוצרים צורת כוכב של ששה קדקודים, שבמרכזו נקודה. הנקודה הזאת היא הצורה של השבע. אם תדמיינו לעצמכם את ששת הקווים של הכוכב כחישורים של גלגל, ואת הגלגל כשהוא מסתובב לאט, תראו בברור שהנקודה העליונה מחליפה את זו שמתחתיה, וזו שמתחתיה את זו שמתחתיה, אבל אף נקודה לא יכולה להחליף את הנקודה שבאמצע, את השבע. זאת ועוד, גם אם הגלגל מסתובב במהירות הנקודה השביעית תמיד נחה [1]. זה המראה שראה מי שכתב את סיפור הבריאה המקראי. השבת היא התגלמות המספר שבע, היא שונה בסוגה משאר המספרים. זה גם מה שראו הפיתגוראים. הם אמרו שהשבע לא נולד מאב ואם אלא הגיע למציאות מוכן, כמו אלת המלחמה אתנה שקפצה לבושה וחמושה ממוחו של זאוס. כי מבין עשרת המספרים הראשונים העשר נולד מהחמש, התשע - מהשלוש, השמונה - מהשניים, השש – מהשלוש.

[1]

כך גם מתאר פילון האלכסנדרוני את המספר שבע:

"for that which neither begets nor is begotten remains motionless; for creation takes place in movement, since there is movement both in that which begets and in that which is begotten, in the one that it may beget, in the other that it may be begotten. There is only one thing that neither causes motion nor experiences it, the original Ruler and Sovereign" (Philo, ON THE CREATION, XXXIII)

פנטגרמה בעיצוב חדש

המעבר מצורה לצורה

במספרים אנחנו יכולים לעבור ממספר למספר באמצעות הוספת אחד. כך נעשה האחד לשניים, השניים לשלוש, השלוש לארבע וכן הלאה.

1+1=2

2+1=3

3+1=4...

בצורות, כמו מצולעים משוכללים, אנחנו יכולים לעבור ממצולע למצולע באמצעות בניית מצולעים זהים על כל צלעותיו של המצולע. בשיטה זו נוספים למצולע הראשון, המשולש, שלושה משולשים והוא הופך להיות לצורה שמכילה ארבעה משולשים זהים, הריבוע הופך לצורה שמכילה חמישה ריבועים, המחומש הופך לצורה שמכילה ששה מחומשים, וכן הלאה.

אם אנחנו בונים משולשים על צלעות הריבוע אנחנו מקבלים ריבוע שחסום בריבוע.

אם אנחנו בונים משולשים על צלעות המחומש אנחנו מקבלים פנטגרמה.

אם אנחנו בונים משולשים על צלעות המשושה אנחנו מקבלים מגן דוד.

הנקודה הקו והמרחב

המרחב מורכב משלושה ממדים: אורך, רוחב ועומק. ממדים אלה צורתם צורת קו, וניתן למדוד אותם באמצעות מספרים. אותו קו שמשמש בתפקיד של אורך יכול לשמש גם בתפקיד של רוחב או עומק. במילים אחרות: שלושת הממדים אינם אלא דבר אחד שיש לו שלושה שמות. כדי לבנות גוף הנדסי דו ממדי או תלת ממדי, כמו ריבוע וקובייה, די לנו בקו, אבל כדי לבנות עיגול אנחנו חייבים להשתמש גם בנקודה, שעליה נעמיד את אחת מרגלי המחוגה. הנקודה מופיעה אמנם בגופים ההנדסיים בעלי הצלעות הישרות, אבל היא מופיעה בהם כתוצאת לוואי של מפגשי הקווים ולא כמרכיב חיוני בבנייה. 

הפיתגוראים ייחסו חשיבות רבה לתפקיד של הנקודה ושל הקו בבריאת העולם. הם הכינו לעצמם מעין לוגו שנקרא טטרקטיס, שבו הם נשבעו. היו בו עשר נקודות מסודרות בארבע שורות, שיצרו צורה של משולש. בשורה הראשונה - נקודה אחת, בשנייה- שתיים, בשלישית - שלוש, וברביעית - ארבע:

*

*   *

*   *   *

*   *   *   *

הפיתגוראים התייחסו אל תשע הנקודות שמתחת לקדקוד הטטרקטיס בתור שלושת הממדים.  

שתי הנקודות ייצגו את האורך, שלוש הנקודות את האורך והרוחב (אורך ורוחב יוצרים שטח)

ארבע הנקודות את האורך הרוחב והעומק (שיוצרים נפח כאשר נקודה אחת תלויה מעל לשלוש הנקודות האחרות). ראוי לציין שהנקודה שבקדקוד הטטרקטיס כבר יוצרת משולש עם שתי הנקודות שמתחתיה, ודי בנקודה זו ביחד עם עוד נקודה כדי לשרטט עיגול.

גם חכמי הקבלה הדגישו את התפקיד המרכזי של הנקודה ושל הקו בבריאת העולם: בספר יצירה מוזכרים ששה כיוונים, שיוצרים את החלל התלת ממדי, ובמרכזם נקודה שמאחדת אותם. לכל קו יש שני כיוונים משלו: "... מעלה ומטה, מזרח ומערב, צפון ודרום... והיכל הקודש מכוון באמצע והוא נושא את כולם" (פרק ד, משנה ד'). כלומר, המרחב מורכב משלושה קווים שיש להם ששה כיוונים, ובמרכזו של המרחב יש נקודה אחת שמאחדת את ששת הכיוונים של שלושת הקווים, שהם, כאמור לעיל, קו אחד.

וכך גם בזוהר: בראשית היא נקודה שנקראת ראשית (דף טו ע''א), שהתפשטה לכל הכיוונים בצורת קו: "ויֹּאמֶר אלֹקִים יקָּווּ המַּיִם וְגו' בְּאֹרַח קַו לְמֶהֱוֵי בְּאֹרַח מֵישָׁר" (דף יח ע''א).

הכבוד האבוד של הפיתגוראים

כאשר אריסטו ביקר את טענת הפיתגוראים שהכל מספר [1], הוא התעלם מהחלק הגיאומטרי של שיטתם  והציג אותה כשיטה מספרית. המספרים של משפט פיתגורס (3, 4, 5) ידידותיים פחות לחוש הראייה מן התצוגה הגיאומטרית של המשולש שעל כל צלע שלו בנוי ריבוע. הצגה לא גיאומטרית של טענת הפיתגוראים שהכל מספר היא הצגה מעוותת. בגלל שאריסטו היה בעל השפעה מכרעת על הפילוסופים שבאו אחריו זלזלו אף הם בטענת הפיתגוראים שהכל מספר.

בגיאומטריה של אוקלידס, שמסכמת מאות שנים של מחקרי הפיתגוראים, הקו אינו נמדד בסנטימטרים. ניתן לצייר את משפט פיתגורס על הדף, בכל גודל שנרצה, או לבנות אותו מאבנים בגודל של קילומטרים על פני מדבר סהרה כדי שיראו אותו החייזרים, והוא יהיה נכון בלי כל קשר לגודלו, אם הפרופורציות בין חלקיו נכונות.

הבעיה של האי רציונליות של שורש שניים היא בעיה מספרית ולא בעיה גיאומטרית. ניתן לבנות יתר למשולש שאורך ניצביו הוא אחד. לא ניתן לחשב את אורכו במספרים שלמים. גילוי המספרים האי-רציונלים מיוחס לפילוסוף היווני היפאסוס, בן האסכולה הפיתגוראית, שחי במאה החמישית לפנה"ס. האגדה מספרת שנענש בטביעה, אבל לדעתי מי שהמציא את האגדה הזאת התייחס לאריסטו ולדומיו, שלא הקפידו על ההצגה הגיאומטרית של השיטה הפיתגוראית. חשוב גם לזכור שהפיתגוראים נדרו נדר של שתיקה ביחס לסודותיהם, נדר מוצדק אחרי שנוכחים לדעת איך אפשר לעוות את גילוייהם.

ההפרדה בין הגיאומטריה לבין המספרים התרחשה אחרי הפיתגוראים. הפיתגוראים חקרו את המספרים ואת הגיאומטריה כמקשה אחת. הם היו מסדרים חלוקי אבן קטנים בצורות גיאומטריות בחול ואלה היו המספרים. המספר עשר, שבו נשבעו הפיתגוראים היה עשר אבנים שכאלה, מסודרות בארבע שורות.

*

*    *

*    *    *

*    *    *    *

בראשונה הייתה אבן אחת, בשנייה שתיים, בשלישית שלוש, ברביעית ארבע. האבן האחת ייצגה את הנקודה ואת המספר אחד. שתי האבנים ייצגו את הקו ואת המספר שנים. שלש האבנים ייצגו את השטח ואת המספר שלוש. ארבע האבנים ייצגו את הנפח ואת המספר ארבע.

מבחינה גיאומטרית העולם אכן בנוי ממספרים:  מדובר  במרחב תלת ממדי. כל גוף בו הוא תלת ממדי. אין במרחב יותר משלושה ממדים. כאשר מפשיטים מגוף שכזה את משקלו מגלים שהוא מורכב משטחים שמגובבים זה על זה. כאשר מפשיטים ממנו את הנפח מגלים שהשטח מורכב מקווים שמגובבים זה על זה. כאשר מפשיטים ממנו את השטח מגלים שהוא מורכב מנקודות שמגובבות זו על גבי זו.

ניתן לתאר את מבנה העולם גם מהכיוון ההפוך: הנקודות יוצרות קווים, הקווים יוצרים שטחים, השטחים יוצרים נפחים, והנפחים בעלי המשקל יוצרים גופים. השורה התחתונה היא שהעולם עשוי מנקודות. הנקודה היא אחת, ולא ניתן לחלק אותה לחלקים. בשפה היוונית מה שלא ניתן לחלוקה נקרא אטום. כאשר הפילוסוף היווני דמוקריטוס ( 460- 370 לפנה"ס) טען שהעולם מורכב מאטומים הוא ניסח בעצם את התפיסה הפיתגוראית במילים אחרות. כיום אנחנו יודעים שהעולם מורכב מאטומים, ושלא רק שהפיתגוראים צדקו אלא שהם גם ראו זאת לפני למעלה מאלפיים שנים.  

הערה:

[1] אריסטו, "מטפיסיקה" 986 א

http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0052%3Abook%3D1%3Asection%3D986a

מספרים בצורת טרפז

כבר בצורת הטטרקטיס (המשולש בן עשר הנקודות) ניתן להבחין באפשרויות של יצירת טרפזים באמצעות מחיקת הנקודה העליונה. טרפזים אלה ממחישים אפשרויות של בניית מספר שאינן מופיעות במספרים המשולשים, המלבניים או הרבועים. וכך, לדוגמה, ניתן לראות במספרים המשולשים את החמש כשהוא מחולק בעצמו, דהיינו, כחמש נקודות, ובמספרים המלבניים את החמש כפול אחד (כמלבן שאורך צלעו האחת חמש ואורך צלעו השנייה אחד), אבל בצורת טרפז ניתן לראות איך הוא מורכב משניים ועוד שלוש.

תרגום משפת הצורות לשפת המספרים

אלכסון אחד מחלק את הריבוע לשני משולשים, אבל שני אלכסונים מחלקים אותו לארבעה. בשפת המספרים היינו אומרים ש
4:2=2
4:4=1

מקוריות והעתקה במספרים

בשפה העברית, כמו גם בשפות אחרות, יש הבחנה בין עשרת המספרים הראשונים לבין כל שאר המספרים. עשרת המספרים הראשונים נחשבים כמספרים מקוריים, ואילו כל שאר המספרים נחשבים כהעתקים שלהם, או כמופעים חוזרים שלהם. לכל אחד מעשרת המספרים הראשונים יש שם עצמאי, ואילו שמות כל שאר המספרים מורכבים משמות עשרת המספרים המקוריים, למעט המאה, האלף, והרבבה. וכך שמו של האחד עשרה מורכב משמו של האחד ומשמו של העשר, ושמו של העשרים וחמש מורכב משמו של החמש ומשמו של העשר.

המספרים אחד ועשר חוזרים לראשונה במספר אחד עשרה, השניים חוזר לראשונה בשנים עשרה... העשר - בעשרים, המאה - במאתיים, האלף - באלפיים.

כלומר, השיטה העשרונית בנויה אל תוך השפה.

משום כך, אולי, מתקבל אצלנו הרושם שלעשר ישנו מעמד מיוחד בקרב המספרים. רושם זה מגיע לשיאו בביטוי המפורסם "עשר ולא תשע, עשר ולא אחת עשר" (ספר יצירה, משנה ג). אבל אם לוקחים שורה של נקודות אין כל הבדל בין הנקודה העשירית לזו שלפניה או לזו שלאחריה, כל הנקודות שוות בערכן ושונות במיקומן. וכך גם כאשר מתבוננים בנקודות שמסודרות בצורת עיגול. נכון אמנם שאם מתבוננים במספרים בצורת משולש, דהיינו:

*

*   *

*   *   *

*   *   *   *

העשר הוא הסכום של המספרים שלפני הארבע בתוספת הארבע (1+2+3+4=10), אבל התופעה הזאת איננה מיוחדת רק לו כי גם השש הוא הסכום של המספרים שלפני השלש בתוספת השלש
 (1+2+3=6) וגם השלש הוא הסכום של השניים והמספר שלפניו (1+2=3).