סדר וחזרה בגיאומטריה ובתורת המספרים

 הצורות בגיאומטריה והמספרים בתורת המספרים מבוססים על סדר וחזרה. הבסיס של תורת המספרים הוא סדרת המספרים הטבעיים אחד עד תשע. הסדר שלהם הוא סדר עולה. מקבילה להם סדרת הנקודות על גבי קו ישר כאשר הן פרוסות במרחק שווה זו מזו. אותה נקודה חוזרת שוב ושוב, אותו מרחק חוזר שוב ושוב. זה בעצם הבסיס לחשבון הבינארי. הסדר של הנקודות הוא זה לצד זה. על סרגל הזמן הסדר שלהן הוא זה אחרי זה. תשע נקודות על גבי קו מקבילות לתשעת המספרים היסודיים. אחד הוא הנקודה הראשונה שניים השנייה וכן הלאה. הנקודות על הקו הן צורה של המספרים היסודיים. מספרים משולשים הם נקודות שיוצרות צורה של משולש. כל מספר ניתן לסדר בצורה של משולש. המשולש הוא צורה של המספרים. מספר בריבוע הוא נקודות על קו אורך שמתייחסות לאותו מספר של נקודות על גבי קו רוחב באותו גודל. ריבוע הוא צורה של מספרים.

סדר וחזרה

בשיטה העשרונית יש תשעה מספרים שמסודרים בסדר עולה מאחד עד תשע, ואין מספר בין מספר למספר. אותם תשעה מספרים חוזרים בהמשך: עשר הוא עשירייה אחת, עשרים שתי עשיריות... עד המאה. בין העשר לעשרים ישנם עשרה מספרים שאינם נספרים. בין העשרים לשלושים יש עשרה מספרים שאינם נספרים. אנחנו מדלגים עליהם. אנחנו סופרים את העשרות בקפיצות של עשר. הרווח בין עשר לעשר הוא עשר והוא חוזר בין עשירייה לעשירייה. במספרים הזוגיים והאי זוגיים בין איבר לאיבר יש איבר אחד. בין אחד לשלוש אנחנו מדלגים על השניים. לא סופרים אותו. בין שניים לארבע אנחנו מדלגים על השלוש. הרווח הוא רווח חוזר. בגלל הסדר הזה של המספרים הזוגיים והאי זוגיים אנחנו קוראים לטורי המספרים האלה בשם סדרות. הייצוג הגיאומטרי של טורי המספרים הוא של נקודות על קו. וזה גם הייצוג של המרחק ושל הזמן. המרחק הוא מושג ששייך לחלל. אנחנו מודדים את החלל ואת הזמן, שהם העקרונות הראשיים של המציאות, באמצעות סדר וחזרה. סרגל הזמן וסרגל המרחק מבוססים על נקודות שמסודרות על קו במרחק שווה זו מזו. המרחק חוזר. את התבנית הזאת של סדר ושל חזרה על רווח אנחנו מוצאים בכל מיני תחומים. במוזיקה בקצב. בשירה בפזמון החוזר. בהליכה שלי בדרך כלל אני פוסע בקצב של שלושה צעדים בנשיפה ושניים בשאיפה.

ריבוע של כל מספר בנוי משני המספרים המשולשים שלו

סטיקר: 4=3+3

ריבוע של כל מספר בנוי משני המספרים המשולשים שלו, אלא שהבסיס של כל מספר משולש כזה נספר פעם אחת בלבד, כי הנקודות שלו חופפות לבסיס של המשולש השני. 

וכך: 

המספר המשולש של 2 הוא 3. פעמיים 3 הם 6. 6 פחות הריבוע של 2 שהוא 4 נותן 2. כלומר יש שתי נקודות חופפות.

המספר המשולש של 3 הוא 6. פעמיים 6 הם 12. 12 פחות הריבוע של 3 שהוא 9 נותן 3. כלומר יש 3 נקודות חופפות.

וכן הלאה.

מספרים וצורות בשעון

המבנה של המספרים המשולשים של הזרמים

כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשלש עמודות מקבלים בעמודה הראשונה את סדרת המספרים שנקראת הזרם של 147.

כמו לכל מספר יש גם למספרי הזרם הזה מספרים משולשים שהם המספר כולל כל קודמיו. לפיכך מספרו המשולש של 4 הוא 10 כי הוא כולל את 1,2,3,ו-4; ומספרו המשולש של 7 הוא 28 כי הוא כולל את המספרים מאחד עד שבע כולל השבע.

בין המספר המשולש של האיבר הראשון בזרם זה,1, לבין השני, יש הפרש של 9.

בין האיבר השלישי לשני יש הפרש של שתי תשיעיות

בין האיבר הרביעי לשלישי יש הפרש של שלש תשיעיות וכן הלאה.

סכום הספרות של כל המספרים המשולשים של 147 הוא 1.

1+9=10 … 1+0=1

2+8=10 … 1+0=1

הסיבה לכך היא שתשע הוא מספר ששומר על סכום הספרות של המספר המקורי.

בזרם של 147 המעבר מאיבר לאיבר הוא באמצעות הוספת תשיעיות ולכן נשמר סכום הספרות של המספר הראשון בסדרה שהוא 1.
===

המבנה של המספרים המשולשים של 258

המספרים המשולשים הראשונים של 258 הם:

3, 15, 36, 66, 105, 153

להלן המעבר ממספר למספר

3+(1.9) +3=15

15+(2.9) +3=36

36+(3.9) +3=66

66+(4.9) +3=105

105+(5.9) +3=153

בגלל שהמעבר ממספר למספר כרוך בהכפלה ב9 (שמשמרת את סכום הספרות המקורי) אבל גם בתוספת של 3, סכום הספרות נשאר במסגרת הזרם של 369 ואינו חוזר רק על השלש שהתחיל את הסדרה
==

המבנה של המספרים המשולשים של 369

המספרים המשולשים הראשונים של 369 הם:

6, 21, 45, 78, 120

להלן המעבר ממספר למספר

6+(1.9)+6=21

21+(2.9)+6=45

45+(3.9)+6=78

78+(4.9)+6=120

בגלל שהמעבר ממספר למספר כרוך בהכפלה ב9 (שמשמרת את סכום הספרות המקורי) אבל גם בתוספת של 6, סכום הספרות נשאר במסגרת הזרם של 369 ואינו חוזר רק על השש שהתחיל את הסדרה

המספרים המעוקבים על האלכסון של קוביית הקוביות

המספרים המעוקבים מופיעים על האלכסון של קובייה שמכילה את הקוביות הקודמות לה.

הקובייה שאורך הצלע שלה 1 נכנסת לתוך הקובייה שאורך הצלע שלה 2, שבה יש שמונה קוביות בגודל של הקובייה של ה-1.

הקובייה שאורך הצלע שלה 2 נכנסת לתוך הקובייה שאורך הצלע שלה 3, שבה יש 27 קוביות בגודל של הקובייה של ה-1.

הקוביות האחרונות בכל קובייה מתחברות על ידי אלכסון הקובייה, בדומה לתופעה של התחברות הריבועים על האלכסון של לוח הכפל.

העמודה השמינית

כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשמונה עמודות מקבלים בעמודה השמינית את הכפולות של שמונה: 8, 16, 24...

סכום הספרות של הכפולות האלה הוא בסדר יורד

   8 

16=7

24=6

לעומת הכפולות של 10 או של 1 שסכום הספרות שלהן הוא בסדר עולה

ולעומת הכפולות של 9 שדורכות במקום ושוות תמיד ל-9.

העמודה השישית

כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בעמודה אחת מקבלים בה את הכפולות של המספר אחד, שכוללות את המספרים הזוגיים והאי זוגיים בלי שיש ביניהם הפרדה.

כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשתי עמודות מקבלים את האי זוגיים בעמודה אחת ואת הכפולות של 2 באחרת.

כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשלש עמודות מקבלים בעמודה השלישית את הכפולות של שלש, שכוללות את המספרים שמתחלקים בשלש, ובשתי העמודות האחרות את המספרים שאינם מתחלקים בשלוש.

כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשש עמודות מקבלים בעמודה השישית את הכפולות של שש שמסכמות את סכומי האיברים המקבילים בעמודות של 1-2-3.

הסבר של ניקומאכוס לאופן שבו ריבועים יוצרים ריבועים

בסדרת הכפולות של אחד [1, 2, ,3, 4] הריבוע של אחד מופיע במקום הראשון.

בסדרת הכפולות של שניים [2, 4, 6 , 8] הריבוע של שניים מופיע במקום השני. אם מחברים את האיבר שלפני הריבוע לאיבר שאחריו

2+6=8

ומוסיפים לתוצאה את הריבוע פעמיים מקבלים את הריבוע של הארבע [16], שהוא הריבוע של 4:

2+6=8; 4+4=8; 8+8=16

בסדרת הכפולות של שלוש הריבוע של שלוש [9] מופיע במקום השלישי. לפניו 6 אחריו 12 שהם 18 ועוד פעמיים הריבוע שווה לריבוע של שש [36], שהוא הריבוע של 6.

בסדרת הכפולות של ארבע הריבוע של ארבע מופיע במקום הרביעי [4, 8, 12, 16, 20] לפניו 12 ואחריו 20 שהם 32 ועוד פעמיים הריבוע של 16 [32] ... מקבלים 64 שהוא הריבוע של 8.

וכך הלאה.

מקור:

Nicomachus of Gerasa,  Introduction  to  Arithmetic,  Book 1,  Juan F. Balboa  Translation  , 2018, p. 64

אלכסוני הריבועים

כאשר מתבוננים בריבוע של ארבע כשהוא עשוי מנקודות רואים שהוא מתחיל מנקודה אחת מתרחב לשתי נקודות... לשלש, ולארבע, שהוא האלכסון [מסומן בוורוד]. אחרי האלכסון הוא מתכווץ לשלש נקודות... לשתיים ולאחת. בתצוגה הזאת המספר ארבע הוא האלכסון של הריבוע שלו. אבל אם מתבוננים יותר לעומק רואים שהריבוע של ארבע כולל בתוכו את הריבוע של שלש [אלכסון ירוק] ואת הריבוע של שנים [אלכסון אדום]. וזה נכון גם, כמובן, לכל ריבוע אחר.

ועוד דבר שאפשר לראות בתצוגה הזאת הוא שהאלכסונים האלה מקבילים. 

*

הקו של אלכסון הריבוע איננו שווה בגודלו לקו של צלעותיו. מדידת קו-האלכסון הזה כרוכה, לרוב, בהתחלקות למספרים שאינם שלמים. באמצעות ניסיונות לחשב את שורש האלכסון גילו בעבר הרחוק את המספרים שאינם רציונליים. אבל כאשר הריבוע עשוי מנקודות ולא מקווים האלכסון מורכב תמיד ממספרים שלמים. הסיבה להבדל הזה היא שבאלכסון כשהוא קו אנחנו סופרים את היחידות של אורך הקו, ובאלכסון שהוא נקודות אנחנו סופרים רק את מספר הנקודות שלו.
ובאותו עניין ראוי לציין שמבין עשרת המספרים הראשונים רק למספרים 1 4 ו-9 יש שורש שמורכב ממספרים שלמים.

המספרים כשברי ריבועיהם

אחד הוא ריבועו. שורה מתוך שורה אחת של נקודות שיש בה רק נקודה אחת.

שניים הוא חצי מריבועו. שורה מתוך שתי שורות של נקודות שבכל אחת מהן יש שתי נקודות.

שלוש הוא שליש מריבועו. שורה מתוך שלוש שורות של נקודות שבכל אחת מהן יש שלוש נקודות.

ארבע הוא רבע מריבועו. שורה מתוך ארבע שורות של נקודות שבכל אחת מהן יש ארבע נקודות.

חמש הוא חמישית מריבועו. שורה מתוך חמש שורות של נקודות שבכל אחת מהן יש חמש נקודות.

שש הוא שישית מריבועו. שורה מתוך שש שורות של נקודות שבכל אחת מהן יש שש נקודות.

עמודות של סכומי מספרים

העמודה הראשונה, הכוללת את כפולות ה-1, שהם  המספרים הטבעיים, היא בעצם סכום אברי העמודה הכוללת את כפולות ה-10.

העמודה השנייה, הכוללת את כפולות ה-2, שהן המספרים הזוגיים, היא בעצם סכום של העמודה הכוללת את הכפולות של 11: 

1+1=2 

2+2=4

הסבר לסימטריות של ניקומאכוס

כל מספר מורכב מחיבור של אחדים. שניים הם אחד ועוד אחד, ו 55 הם 55 אחדים שמחוברים ביניהם.

====

1

121

12321

1234321

123454321

הסימטריה של ניקומאכוס

כאן מוצגים ריבועי המספרים מאחד עד חמש

אבל זו סדרה שניתן להמשיך עד אינסוף

הסימטריה של ניקומאכוס מראה לנו מה קורה כאשר היחס בין האחדים משתנה מחיבור לכפל:

אחד כפול אחד הם אחד

אחד ועוד אחד [שהם שניים] כפול אחד ועוד אחד הם ארבע. בדרך כלל אנחנו מתייחסים לארבע כאל הריבוע של שניים, אבל ניקומאכוס מציג לנו מבט חדש שלפיו האחד ועוד אחד הוא אחד עשרה ו11 כפול 11 הם 121.

אם נתעלם מההרגל לקרוא מספר כזה בשיטה העשרונית ה 121 מורכב מאחד ועוד אחד ועוד שניים שהם 4 שהוא הריבוע של אחד ועוד אחד [שהם שניים] כפול אחד ועוד אחד 

באיור  למעלה ניתן לראות שיש התאמה בין המיקום העשרוני של המספרים לבין המיקום הגיאומטרי שלהם בריבוע: 121 שהם מאה אחת ועוד שתי עשרות ועוד יחידה אחת.

תורת המספרים מורכבת מסדרה ארוכה של תגליות "פשוטות" כמו זו שגילה ניקומאכוס (60-120 לספירה). לגלות תגלית כזאת יכול היה כל מי שהתבונן במכפלות של אחדים. לא צריך ללמוד מתמטיקה לדוקטורט בשביל לגלות תגלית שכזאת. התגליות הראשונות מהסוג הזה מיוחסות לפיתגוראים החל מהמאה השביעית לפני הספירה. כל תגלית שכזאת מעוררת השתאות על הסדר של המספרים, על היופי שלהם, על המבנה שלהם, על היכולת להציג אותם בצורה גיאומטרית. נדמה שהחכמה של המספרים היא על אנושית, ושאם אדם בודד המציא אותם... לא מתקבל על הדעת שהוא ידע מראש את כל מה שיגלו בהם הבאים אחריו.

חכמת המספרים של היוונים הדהימה את כל מי שנתקל בה. היא מעידה על ביג בנג של התבונה האנושית שהתחולל ביוון ואשר גלי ההדף שלו הגיעו, להערכתי, עד למחברי התנ"ך. 

כחול לבנים וורוד לבנות

כאשר מסדרים את כל המספרים הטבעיים בטור אחד הזוגיים והאי זוגיים מופיעים עליו לסירוגין. כאשר מסדרים  את כל המספרים הטבעיים בשני טורים האי זוגיים מופיעים על הטור האחד ואילו הזוגיים על השני אם מקפיאים את תמונת ארבעת המספרים הראשונים רואים שהזוגיים מופיעים על הקו הניצב האחד ואילו האי הזוגיים  על השני. זוהי התצוגה החד ממדית של הפרדת המינים.  

באיור שלפנינו מסודרים כל המספרים הטבעיים בשלושה טורים, אחרי שמקפיאים את תמונת תשעת המספרים המקוריים. כעת ההפרדה היא דו ממדית כאשר הזוגיים [בוורוד] יוצרים ריבוע משלהם ואילו האי זוגיים יוצרים ריבוע משלהם,והחמש, שהוא אי זוגי, מופיע במרכזם של שני הריבועים.

מאחר ותשעת המספרים המקוריים מופיעים שוב ושוב בהמשכי הטורים (כאשר 10 הוא הגלגול השני של האחד, 11 הוא הגלגול השני של 2 וכן הלאה) התצוגה הזאת נכונה לגבי כל המספרים.

בראשית כח יב: והנה מלאכי אלוהים עולים ויורדים בו

כאשר אנו מסתכלים על הספרה האחרונה של המספרים בלוח הכפל אנו רואים כי הספרות האחרונות של 9 מסודרות בדיוק בכיוון ההפוך לזה של תשעת המספרים הראשונים החל מאחד

חמש בתור מפסק

כאשר מתבוננים בספרה האחרונה של המספרים בלוח הכפל רואים שחמש הוא המספר היחיד שיש לו רק שתי אפשרויות לסיום: 5 או 0. אולי ניתן להשתמש בתופעה זו לייצור מתגי On-Off.

אינסוף ככרטיס חד סטרי

פרדוקס הדיכוטומיה של זנון דורש פיצול מרחק לשני חלקים שוב ושוב:

1/2; 1/4; 1/8; 1/16; 1/32; 1/64

זה דומה מאוד לסדרה של מכפילי 2:

 2; 4; 8; 16; 32; 64

אתה תמיד יכול להוסיף איבר לסדרות אלה על ידי הכפלה או חצייה. הסדרה היא אינסופית.

אבל אם אתה עובר מן האיבר האחרון אל הראשון אתה מגיע בסופו של דבר ל
שניים חלקי שניים וזה נגמר שם

או לחצי כפול שניים... וזה נגמר שם.

איך האיברים של כל סדרה בונים את המספר הבא

שברים הם העיקרון של הסדרות ההנדסיות

1/2

1 הוא החצי של 2

2 הוא החצי של 4

4 הוא החצי של 8

וכן הלאה

1/3

1 הוא השליש של 3

3 הוא השליש של 9

9 הוא השליש של 27

וכן הלאה

1/4

1 הוא הרבע של 4

2 הוא הרבע של 8

8 הוא הרבע של 32

וכן הלאה

חוצה הזווית של לוח הכפל כמרכזם של המספרים האי זוגיים

חוצה הזווית של לוח הכפל כמרכזם של המספרים האי זוגיים