פעולות חשבון בסכומי ספרות

1+9=10=1+0=1

1X9=9

2+9=11=1+1=2

2X9=18=1+8=9

3+9=12=1+2=3

3X9=27=2+7=9

הערה של

NINE

===

אני מאמין שהתשע מהווה מעין ציר יציב שסביבו סובבים שאר שמונה בספרות

אפשר לראות בסמל שמונת ימי החנוכה, החנוכיה, מעין מיצג הממחיש את רעיון עליונות המספר תשע.  הריהו השַׁמָּשׁ. שברוב צניעותו האלוהית, רבים מחשיבים או רק כעוזר ומשָמֶש את שאר שמונת הנרות 

אבל האמת היא - שהוא הוא זה שנותן את האור לכולם

כל שמונת הנרות קבועים בסדר קווי ישר, אבל השמש

 באמצע, מרכז הסיבוב, או בצד, מקיף הכל

העצמאות של הגיאומטריה

 מה שמשותף למשולש לריבוע ולמחומש הוא שבכל אחד מהם מספר הצלעות מתאים לשם של המצולע. למשולש יש שלש צלעות, לריבוע ארבע ולמחומש חמש. המצולעים  האלה, ששייכים לעולם הגיאומטריה,  גם ממחישים יפה את פעולת הכפל ששייכת לעולם המספרים. בכל אחד מהם הצלע ממחישה את המספר אחד, כך שאם יש שלש צלעות המשולש ממחיש את הפעולה אחד כפול שלש, הריבוע ממחיש את אחד כפול ארבע  והמחומש את אחד כפול חמש. אחרי שמבינים את העיקרון הזה קל להבין שמשושה יהיה מצולע בעל שש צלעות שמדגים את אחד כפול שש ואיך ייראו השביעון והמתומן. כדי לצייר מצולע שכזה באופן מדויק צריך כבר לדעת לחלק מעגל באמצעות מחוגה וסרגל. צלע היא בעצם קו שמחבר שתי נקודות על מעגל. כדי לבנות משולש שווה צלעות צריך לבנות שני מעגלים, באופן שאינו מובן מאליו. כל מי שלומד לראשונה לבנות משולש משוכלל מבין שהוא לא היה יכול להמציא את זה בעצמו, שלקח דורות של ניסוי ותעייה עד שמישהו גילה את האפשרות הנפלאה הזאת. מכאן שהגיאומטריקן הוא ממציא גאה עצמאי ושווה ערך למתמטיקאי ואינו העבד שלו שממונה על ההמחשות. 

מיש לאין

כאשר מחלקים לחם לשניים מקבלים שני חצאים, ואם מחלקים חצי-לחם  לשניים, לארבע, לשמונה וכן הלאה מגיעים לפיסות זעירות, מיקרוסקופיות, ותמיד קיימת התקווה שנגיע לאפס. במספרים הרבה יותר פשוט לראות שלעולם לא נגיע לאפס, כי כל מספר שנחלק ב 10 רק יזיז אותו, שוב ושוב, לעמדה העשרונית שמימינו. השורה התחתונה היא שאי אפשר להגיע מיש לאין  באמצעות חלוקת היש שוב ושוב.
=
במקביל, האיור הזה מדגים גם את העיקרון של ההומאופתיה

הכפלה וחצייה

הזוגיים של האי זוגיים

כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בעמודה אחת מקבלים את הכפולות של המספר אחד כאשר המספרים הזוגיים והאי זוגיים מופיעים בהן ביחד, בלי שיש ביניהם הפרדה.

כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשתי עמודות מקבלים את האי זוגיים בעמודה אחת ואת הכפולות של 2 באחרת. בכך נדמה לנו שפתרנו את בעיית הפרדת המינים, אבל היא חוזרת שוב בכפולות של כל מספר אי זוגי: בכפולות של ה-3 נמצא את ה-6 ואת ה-12 שהם זוגיים, בכפולות של ה-5 את העשר והעשרים שהם זוגיים, בכפולות של השבע את ה-14 וה-28 שהם זוגיים וכן הלאה.

כדי לסנן את הזוגיים מבין כל עמודה שכזו צריך לרשום את מספריה בשני טורים.

בלוח הכפל אנחנו רואים שחצי מהעבודה כבר נעשתה כי הכפולות של 2 כבר מסוננות, וכך גם הכפולות של שש ושל עשר. כלומר לוח הכפל בנוי מחמש עמודות מעורבות [1,3,5,7,9], שלש מסוננות [2,6,10], ושתיים שהן כפולות של עמודות זוגיות [4, 8]

לאור כל זאת ניתן לומר ששניים הוא הזוגי של אחד, שש הוא הזוגי של שלש, עשר הוא הזוגי של חמש, 14 של ה-7, 18 של ה-9.  

הכפלה וחילוק באחד

אי אפשר לחלק אחד למספרים שלמים. החלוקה למספרים שלמים מתחילה משניים, שמחלק את השניים לשני אחדים שלמים. מאותה סיבה גם אי אפשר לחלק אחד בעצמו. זה אותו דבר כמו לחלק באחד, רק במילים אחרות.

גם אי אפשר להכפיל מספר באחד. כפל משמעו ריבוי [באנגלית Multiplication ] כאשר מכפילים 2 ב-4 מקבלים 4, ו4 זה יותר משניים. כאשר מכפילים 4 באחד מקבלים 4, שזה אותו דבר. ההכפלה באחד היא בזבוז אנרגיה. היא לא משנה דבר.

אומרים שהאחד אינו מספר ראשוני, כי הוא מתחלק רק באחד ובעצמו, אבל החלוקה באחד, כפי שתיארתי לעיל, היא בדיחה שאנשים מתייחסים אליה ברצינות.

אומרים שהמספרים הראשוניים בונים את יתר המספרים, אבל האחד בונה את כל שאר המספרים יותר מכל מספר ראשוני רשמי, ולראייה: כל מספר בהתחלקו בעצמו חושף את האחדים מהם הוא מורכב.

המספרים הראשוניים לפי הזרמים

מאז שלמדתי את לוח הכפל התרגלתי, ככל הנראה, להתייחס אל המספרים כאילו הייתה איזו חובה לראות אותם כשהם מסודרים בעשר עמודות. הסידור הזה מדגיש את תפקידה של הספרה האחרונה של כל מספר. הוא שומר, למשל, שמתחת לאחד יהיו כל המספרים שמסתיימים באחד. מוקדשת אפילו עמודה למספרים שמסתיימים באפס, והיא מרכזת במגרה אחת את כל העשרות, המאות, האלפים... שלהם מקום כל כך חשוב בשיטה העשרונית.  

בהרגל הזה של סידור המספרים לפי העשר כרוך גם הניפוי של המספרים הראשוניים, כי קל לנפות את המתחלקים ב-2 וב- 5 לפי הספרה האחרונה שלהם.

לאחרונה התחלתי להתבונן במספרים כשהם מסודרים לפי מספרים אחרים של עמודות. התגלית הכי מעניינת שגיליתי היא שכאשר מסדרים את המספרים בתשע עמודות [ראו איור למעלה] הראשוניים [באדום] אינם מופיעים בעמודות של 3, 6, ו 9 [שמספריהן מסומנים בירוק] מלבד המספר 3 עצמו. בטבלה של עשר אין אפשרות לנפות של המתחלקים בשלש לפי איזה סימן מסגיר. הטבלה של התשע שומרת על סכומי הספרות כך שאם בשורה העליונה יש חמש מתחתיו יופיעו 14, 23, 32... כל המספרים שסכום הספרות שלהם הוא חמש.

כאשר מחלקים את המספרים הטבעיים לשלש עמודות מקבלים את הזרמים: 147, 258, ו 369.  

מה שמוביל אותנו להתייחס  לזרם של ה 369 כאל הזרם המסדר ואל הזרמים האחרים כאל הזרמים הבונים את המספרים מן המספרים הראשוניים. למרות שעוד לא ברור לי תפקידו של המספר 6 בכל הסיפור הזה.

פעולות החשבון היסודיות כעקרון לסיווג של מספרים

חילוק

המספר היחיד שאינו מתחלק למספר שלם אחר הוא המספר 1

כל מספר מתחלק ב-1

כל מספר מתחלק בעצמו [ובכך הוא חושף את מספר האחדים שמהם הוא מורכב]

כל מספר ריבועי שמתחלק בעצמו הוא שורש

כל מספר ריבועי שמתחלק בעצמו למספר שלם הוא רציונלי

כל מספר ריבועי שמתחלק בעצמו למספר שאינו שלם הוא אי-רציונלי

כל מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו הוא מספר ראשוני

כל מספר שמתחלק ב 2 הוא זוגי

כל מספר שאינו מתחלק ב 2 הוא אי-זוגי

כל מספר שסכום הספרות שלו 3 או 6 או 9 שייך לזרם של 3-6-9 ומתחלק ב-3

כל מספר שהספרה האחרונה שלו היא 5 מתחלק ב-5

כל מספר שהספרה האחרונה שלו היא 0 מתחלק ב- 10 ב-2 וב-5

כפל 

כל מספר  כפול 1 שווה לעצמו

כל מספר כפול עצמו יוצר ריבוע

כל מספר כפול עצמו כפול עצמו יוצר קובייה

התוצאה של כל מספר אי זוגי שנכפל במספר אי זוגי היא מספר אי זוגי

התוצאה של כל מספר שנכפל במספר זוגי היא מספר זוגי

התוצאה של כל מספר שלם שנכפל במספר שלם היא מספר שלם

חיבור 

כל מספר שמוסיפים לו 9 סכום הספרות שלו הוא המספר [5 ועוד 9 = 14 וסכום הספרות של 14 הוא 5].

כל מספר שמוסיפים לו עשר שומר על הספרה האחרונה שלו [5 ועוד 10 הם 15 – הספרה האחרונה של 15 היא 5]

כל מספר שמוסיפים לו אפס נשאר הוא עצמו.

כל מספר שמוסיפים לו את המספרים שלפניו הוא המספר המשולש של עצמו [ 1+2+3+4=10. עשר הוא המספר המשולש של 4].

אפס כראשיתו של לוח הכפל

בדרך כלל כשמסתכלים על לוח הכפל מתחילים ממספר חיובי ו"הולכים קדימה" כמו: 1, 2, 3, 4, 5 ...

בדרך זו של הצגת כפולות המספרים מוסתרים האפסים לפני ההתחלה. אז חשבתי שזה יכול להיות רעיון טוב להראות לכם את מקור הכפולות [מסומן ב אדום]

כפולות הגלגולים של זרם 369

גלגול הוא המונח למספר שנוצר על ידי הוספת 9 למספר כלשהו. הוספת 9 ל 1 נותנת לנו 10 [מסומן בירוק] וסכום הספרות של 10 הוא אחד כך שהוא אינו ניתן לחלוקה ב 3. כך גם עבור 2 אשר נותן לנו 11 [סכום הספרות שלו, 1 + 1, הוא 2]. כך גם לגבי מספר כלשהו בזרמים 147 ו -258. אבל לגבי הזרם של 369 זה כבר סיפור אחר [מסומן באדום].

אז מעתה ואילך, כאשר אתה רואה מספר כגון 12009 או 15111 או 18191919 אתה יודע מיד כי הוא מתחלק על ידי 3. וכאשר אתה מוסיף אחד לכל אחת מהדוגמאות האלה, או מחסר אחד, אתה יודע מיד כי מספר זה אינו ניתן לחלוקה על ידי 3.

לוח הכפל בתור נוסחה

בראשית כח יב: והנה מלאכי אלוהים עולים ויורדים בו

כאשר אנו מסתכלים על הספרה האחרונה של המספרים בלוח הכפל אנו רואים כי הספרות האחרונות של 9 מסודרות בדיוק בכיוון ההפוך לזה של תשעת המספרים הראשונים החל מאחד

חלוקת מספרים ראשוניים לשני מספרים שלמים

חלוקת מספרים זוגיים לשני מספרים שלמים ושווים אפשרית אבל חלוקת מספרים ראשוניים לשני מספרים שלמים ושווים היא משימה בלתי אפשרית. עם זאת, מספרים ראשוניים עשויים משני חלקים שווים ועוד אחד, ואם מוסיפים את האחד הזה לאחד החלקים השווים חלוקת המספרים הראשוניים לשני מספרים שלמים [לא שווים] היא  משימה שניתנת לביצוע.

הערות ללוח הכפל

הכפולות של 2 כבר נמצאות בעמודה של הכפולות של 1

אלא שהן מהוות מחצית ממספר האיברים של הכפולות של 1

חיבור האיברים מהעמודה של ה-1 עם האיברים של העמודה של ה-2

מייצר את העמודה של 3

טטרקטיס בממד השלישי

בטטרקטיס המקורי אנחנו מדברים על
 1 + 2 + 3 + 4 = 10
בממד השלישי אנו רואים תופעה חדשה:
1 הוא 1 וסכום השורה שלו הוא 1 שהוא 1 בריבוע
2 הוא 8 וסכום השורה שלו הוא 16 שהוא 4 בריבוע
3 הוא 27 וסכום השורה שלו הוא 81 שהוא 9 בריבוע
4 הוא 64 וסכום השורה שלו הוא 256 שהוא 16 בריבוע
ואנחנו יכולים להמשיך את הסדרה עד שנתעייף

תבנית בכיוון אחד

 במספרים הזוגיים בלבד ישנה תבנית שלפיה:

כל מספר שמתחלק ב-6 מתחלק ב-3 אבל לא כל מספר שמתחלק ב3 מתחלק ב-6, למשל 9 או 15

כל מספר שמתחלק ב-4 מתחלק ב-2, אבל לא כל מספר שמתחלק ב2 מתחלק ב-4 למשל 6 או 10

כל מספר שמתחלק ב-8 מתחלק בארבע אבל לא כל מספר שמתחלק ב-4 מתחלק ב-8 למשל 12 או 20 

כל מספר שמתחלק ב-10 מתחלק ב-5  אבל לא כל מספר שמתחלק ב 5 מתחלק ב -10 למשל 25

התחלת הריבוי

אנחנו רגילים לחשוב שהאחד מתרבה בשיטת העתק הדבק. הוא, כביכול, מעתיק את עצמו, ומניח את העותק של עצמו לצדו. אבל בעצם לא הוא מעתיק את עצמו אלא אנחנו, אלה שמנסים להבין את המספרים שבהם אנחנו משתמשים.

אז הנה עוד אפשרות להתבוננות בתופעה של התחלת ההתרבות שהיא, לטעמי, אפשרות הרבה יותר מוחשית:

לכל קו יש שני קצוות, שהם נקודות, שהן נקודות קצה. נקודות אלה הן גלויות. אבל יש עוד נקודה אחת סמויה מן העין באמצע שבין שתי הנקודות הגלויות. כאשר מחלקים את הקו לשניים אנחנו מקבלים שני קווים שלכל אחד מהם יש  שני קצוות, שהם נקודות, שהן נקודות קצה, ובסך הכל יש לנו עכשיו ארבע נקודות, וכולן גלויות. האחת היא הנקודה הימנית בקו המקורי. השנייה- השמאלית בקו המקורי. ושתי הנוספות הן ההכפלה של נקודת האמצע הסמויה.

ולהפך: כאשר מחברים שני קווים, אחת מנקודות הקצה של הקו הראשון ואחת מנקודות הקצה של הקו השני מתחברות לנקודת אמצע נסתרת.

לוח הכפל הוא קונקורדנציה

לוח הכפל הוא הקונקורדנציה של הכפלות היחידות וחלוקותיהן

טטרקטיס כלוח כפל זעיר

אנחנו רגילים ללוח הכפל שהוא בצורת ריבוע, ושבאמצעותו ניתן לחשב את הכפולות של עשרת המספרים הראשונים; אבל הפיתגוראים כבר הראו שאפשר להתייחס לטטרקטיס, שהוא משולש 
שבנוי מנקודות, כאילו שהוא הלוח שבו המספר הראשון, אחד, כופל עצמו בארבעת המספרים הראשונים... וניתן להסיק מכאן שאם נציב במקום אחד מספר אחר, כמו שלוש, לדוגמה, נקבל את כפולותיו של המספר החדש. כמובן שניתן להאריך את הטטרקטיס באמצעות הוספת שורות מתחתיו ככל שרוצים. 

האחד שלפני האחד

על פי מודל אחד של  הגיאומטריה האוקלידית המספר אחד הוא הקטע של הקו המשמש כקנה מידה למדידת אורכים, שטחים או נפחים. וכך, לדוגמה, אנחנו מתייחסים לסנטימטר אחד, לסנטימטר רבוע אחד או לסנטימטר מעוקב אחד.

על פי מודל שני, יש לפני האחד הנמדד אחד שאינו נמדד. מודל שני זה מקורו בטטרקטיס של הפיתגוראים; טטרקטיס זה צורתו צורת משולש שבנוי מנקודות. בקדקודו נקודה אחת, שהפיתגוראים קוראים לה "אחד" או "מונאדה", מתחתיה שתי נקודות שמהן ניתן ליצור קו, תחתיהן שלש נקודות שמהן ניתן ליצור שטח של משולש, ובבסיס הטטרקטיס יש ארבע נקודות שמהן ניתן ליצור פירמידה משולשת.

האחד שמופיע בטטרקטיס הוא האחד שלפני האחד, והוא מנוגד לאחד שנמדד. אין לו אורך, אין לו התחלה, אין לו סוף, והוא אינו משמש כחלק מקו אחר.

זאת ועוד, במשולש שבנוי משלוש צלעות, שלשת הקדקודים אינם נקודות. הם אינם נמצאים במקום נפרד מזה של הצלעות. אי אפשר לראות אותם. כל מה שאנחנו רואים הוא שלש צלעות, שהן שלושה קווים, שנפגשים בשלושה מקומות. מלמדים אותנו בבית הספר לסמן שלש נקודות באותיות ABC ולמתוח ביניהן קווים על מנת ליצור משולש, אבל הנקודות נבלעות בקווים שמתחנו ביניהן... ונעלמות.

הטטרקטיס המקורי מכיל ארבע שורות של נקודות, אבל כאשר מתאימים אותו לאחד שנמדד הוא נראה כמו טרפז שבראשו יש שתי נקודות שהן הקצוות של יחידת מידה אחת, מתחתיהן שלש נקודות שהן הקצוות של שתי יחידות, מתחתיהן יש ארבע נקודות שהן הקצוות של שלש יחידות שמהן ניתן לבנות משולש, ובבסיס יש חמש נקודות שהן הקצוות של ארבע יחידות.

בשני המודלים לא ניתן לראות או למשש לא את הנקודות ולא את הקווים כי לנקודות אין אורך ורוחב ולקווים אין רוחב. מקומם בדמיון... וכל ניסיון להמחישם במציאות באמצעים ציור קווים בחול או על גבי נייר מעוות את צורתם ואת משמעויותיהם.