הסבר מספרי לאותיות מנצפ"ך

מאת יצחק בער לווינזון, "בית יהודה", 

עמוד 156-157

אותיות המספר נקראו בספר יצירה בשם אבנים, וכן נקראו אצל היוונים אותיות המספר בשם פַּסִפִיאָ  ר"ל אבנים, וכבר אמרתי שהיוונים הקדמונים כתבו סודות החכמה (למען העלימם) ברמזי המספרים, ומסְפְרִיהֶם היו אותיות,  כידוע שהיוונים נתנו מספר לאותיות האלפא ביתא, דרך משל: אַלְפָא הוא אחד, בִיתָא הוא שנים וכן הלאה... ומספר אותיות האלפא ביתא של היוונים מן אַלפָא עד אָמָעְגא, שהמה כ'ד אותיוח, לא  הספיקו למו עד מספר אלף : על כן הוסיפו עור שלשה סמנים תמורת אותיות  למען השלם המספרים עד אלף , והסמנים האלו שאולים מהאותיות של אלפא ביתא , אבל נתנו למו איזה שינוי למען ההיכר , ואם כן סך הכולל מהאותיות על הסדר הנצרכות להמספר מן אחד עד תשע מאות , המה עשרים ושבע אותיות, וכאשר עשו היהודים הכירות בהתחלת בנין בית שני עם חכמת היונים מהרמזים, ויתר האומות , עיין לעיל והיו משתדלים גם כן להתוות סודותיהם בחכמות הללו ‏ (למען הסתירם מהמון) במספרים , [כנראה בכל ספר יצירה והוא סְפַר (ספוּר וסַפֶר) כמו שפרשנו במקום אחר , וכן נראה בספרים אחרים מקדמונינו , וכן נמצאו רמזים בשני התלמודים והמדרשות , ואין כאן מקומו לדבר בארוכות מענין הזה] , ולתכלית זה היו צריכים לתת גם כן מספר להאותיות של האלף בית ער מספר אלף, ‏ וכאשר מצאו באלף בית רק עשרים ושתים אותיות העולות על הסדר במספר מן אחד עד ארבע מאות היינו מן א' שהוא מספר אחד עד ת' שהוא מספר ד' מאות ; לכן עשו גם כן כמו שעשו היוונים, והוסיפו סמנים במקום אותיות הלקוחים מהאלף בית עוד חמש אותיות בס"ה עשרים ושבע אותיות כמו אצל היוונים, ושיספיקו למו גם כן לחשוב כמו עד אלף (והוא אינו בכלל , והמה ‏ אותיות ך'ס' ן'ף'ץ (הנודעות בשם. מ'נ'צ'פ'ך') , ובזה השלימו מן ד' מאות = עד תשע מאות (והוא בכלל, כזה : ך חמש מאות, ס' שש מאות, וכן הלאה עד ץ'/.   שהיא תשע מאות, (ועיין מהרש"א בחידושי אגדות בפר' כ'ג)והוספה זו מ'נ'צ'פ'ך היה כפי הנראה תיכף בזמן עזרא וסיעתו מן הנביאים אחר שהחליף עזרא את הכתב, והיה קל למו מאוד לעשות הוספה זו גם כן, ולמען לא יאבדו מזכרם החמש אותיות האלו להשתמש במו ברמזי החכמות, נתנו למו מקום בספרי קודש, ובכל השתמשותם בכתבים ובספרים , ונתנו למו מקום בסוף כל תיבה שצריכה אחת מאותיות הללו , ונקראות ג"כ פשוטות נגד הראשונות שהנה כפופות , כי אין בהם הוספה כלל , אך פשטו העקמימות שבאותיות , כזה : מן כ' פשטו התושבת ועשו ממנו קו פשוט כזה ך', וכן הלאה 

היקפי הריבועים

המספרים הטבעיים מופיעים על הטור של האחד שהוא גם הטור של התוהו והבוהו, כי כל התופעות המספריות מופיעות בו ביחד: זוגיים ואי זוגיים, זרמים, ריבועים, מספרים משולשים, מספרים ראשוניים וכן הלאה.

כאשר מסדרים את המספרים בשני טורים מפרידים את הזוגיים מהאי זוגיים באופן כל כך יסודי שלעולם לא יהיה מספר זוגי על הטור האי זוגי או מספר אי זוגי על הטור של הזוגי. 

כאשר מסדרים את המספרים בשלושה טורים מקבלים את "הזרמים", ובטור השלישי של הזרמים מקבלים את הכפולות של שלש. 

כאשר מסדרים את המספרים בארבעה טורים מקבלים בטור הרביעי את היקפי הריבועים: 

1=4

2=8

3=12

4=16

5=20

6=24

7=28

8=32

9=36 

10=40 

מעניין שהאות מ"ם סופית שנראית כמו שרטוט של היקף של ריבוע - [ם] - ערכה בגימטריה 40, והיא ההיקף של הריבוע של עשרת המספרים הראשונים.
=
הערה:
הזרם של הכפולות של השלש הוא בעצם גם הזרם של היקפי המשולשים שווי הצלעות.   

ולפני אחד מה אתה סופר

האותיות במסורת היהודית משמשות  גם כמספרים. אם סופרים מהכיוון של האלף יו"ד היא האחרונה בעשרת המספרים המקוריים, היא העשירית או העשר, אבל אם סופרים מהכיוון של יו"ד היא הראשונה. היא האחד. בספירה הראשונה אין לפניה מספר, אלא אם רוצים להחשיב את האפס כמספר, אבל בספירה השנייה יש לפניה תשעה מספרים.

אפשר להציג את שתי האפשרויות האלה גם כשעשרת המספרים מסודרים בצורת מעגל. פעם אנו סופרים עם כיוון השעון ופעם נגד כיוון השעון.

כך שלשאלה של ספר יצירה (משנה ו) יש תשובה חלקית: "ולפני אחד מה אתה סופר?"... תשע. מעניין שבגימטריה סכום האותיות מ"ם וה"א הוא תשע [מ"ם היא ארבע וה"א היא חמש]. 

כך שיש ליחסים שבין עשר ותשע חשיבות מיוחדת.

אז הנה מראה במספרים שמתחבר לסוגיה זאת:

1+9=10

2+2.9=20

3+3.9=30

4+4.9=40

5+5.9=50

6+6.9=60

7+7.9=70

8+8.9=80

9+9.9=90

10+10.9=100

וכן הלאה

וגם

10 הוא ההופעה השנייה של אחד וסכום הספרות של 10 הוא אחד.

19 הוא ההופעה השלישית של אחד וסכום הספרות שלו אחד.

19 בא אחרי 18 שסכום הספרות שלו 9

וכן:

 28 = 1

 27 = 9

37 = 1

36 = 9

46 = 1

45 = 9  

וכן הלאה

אבל לפני אחד יש אפס. ולכן יש לפניו עשרה מספרים. 

לאפס יש מקום בין האחד לבין המינוס אחד. 

אפס משמעותו אין מקום. במספר מיליון הספרה הראשונה היא אחת אבל זו שלאחריה מספרת לנו שאין מקום למאות אלפים וזו שאחריה שאין מקום לעשרות אלפים וכן הלאה.

וגם:

אחרי תשע מתחילים לספור מחדש:

10=1

11=2

וכך עד

18=9

שלאחריו מתחילה ספירה מחדש:

19=1

20=2

21=3

האחד החדש הוא 19 ולפניו נמצא ה18 שהוא התשע בספירה החדשה

וגם:

1=10/10

ולפניו נמצא

9/10

וכך גם אם מחשיבים את אחד כתשע חלקי תשע, כי אז לפניו נמצא שמונה חלקי תשע

המקור לצופן אתב"ש

המקור לצופן אתב"ש בגימטריה הוא גיאומטרי שהרי כאשר מתבוננים בשורה של נקודות ניתן לציין באמצעות מספר את המיקום של כל נקודה גם מימין לשמאל וגם משמאל לימין. לעומת זאת מספרים אנחנו רגילים לקרוא משמאל לימין, ואפילו בעברית, שכיוון הכתיבה שלה הוא מימין לשמאל. 

משמעות נסתרת של האות יו"ד

אם מציבים במקום הנקודות של הטטרקטיס את המספרים לפי סדרם:

1

1     2

1     2     3

1     2     3     4

ומסכמים את כל השורות

1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)=20

 מפליא לראות את ההתאמה שבין תצוגה זו של הטטרקטיס לבין הגימטריה של שמה של

האות יו"ד (שהיא האות העשירית באלף בית העברי, והאופן שבו נכתב המספר עשר בחשבון העברי)

י=10

ו=6

ד=4

10+6+4=20

הסבר נוסף לספירה המצומצמת של הגימטריה

בספירה המצומצמת של הגימטריה עשר ערכו אחד, אחד עשרה ערכו שניים וכן הלאה. בדרך כלל מסבירים שהסיבה לכך היא הגלגול של המספר, כלומר, הוספת תשע שוב ושוב לאחת מתשע הספרות הראשונות. כך לדוגמה:

1+9=10 [10=0+1=1]

19=1+9=10=1

28=2+8=10=1

37=3+7=10=1...

2+9=11; 11= 1+1=2

3+9=12; 12=1+2=3

ההסבר האחר הוא שעשרה מטבעות של שקל אחד ערכן שווה למטבע אחת של עשרה שקלים.

כאשר מחברים מטבע של עשרה שקלים ומטבע של שקל אחד סכום המטבעות הוא שניים בלי קשר לערכן. וכן הלאה:

מטבע של עשרה שקלים ושני מטבעות של שקל אחד סכום המטבעות הוא שלושה בלי קשר לערכן.

מטבע של עשרה שקלים ושלשה מטבעות של שקל אחד סכום המטבעות הוא ארבעה בלי קשר לערכן...

הִכָּה שָׁאוּל בַּאֲלָפָיו וְדָוִד בְּרִבְבֹתָיו

דוד בגימטריה 14 - האות דל"ת ערכה המספרי ארבע, ו"ו היא שש, דל"ת היא ארבע:

4+6+4=14

 14 הוא גם הסכום של שלושת הריבועים הראשונים:

1+4+9=14
ושל שלושת האברים הראשונים בסדרה ההנדסית של שניים
2+4+8=14

הפשט לפסוק הִכָּה שָׁאוּל בַּאֲלָפָיו וְדָוִד בְּרִבְבֹתָיו (שמואל א יח ז) הוא שדוד הכה פי עשרה יותר פלשתים משאול. אבל ניתן להתייחס לפסוק הזה כאל מפתח שמאפשר לראות מראה מסוים בתורת המספרים.

פסוק זה מכיל שני שמות של מספרים (אלף ורבבה) שהיחס שביניהם הוא אחד לעשר. הסכום של שבעת הריבועים הראשונים הוא 140... פי עשרה מהסכום של שלושת הריבועים הראשונים שאותו מגלם שמו של דוד:

1+4+9+16+25+36+49= 140

 ועניין שבעת הריבועים הראשונים מתחבר אצלי לעניין שבעת הרועים (אברהם, יצחק, יעקב, משה, אהרן, יוסף ודוד), שדוד הוא האחרון שבהם.

השיטה העשרונית בראי הגימטריה

האחד כדגל של הדגול מרבבה

האות י' ערכה בגימטרייה עשר.

שם האות יו"ד ערכו בגימטריה עשרים (י=10; ו=6; ד=4).

העשר של הי' ועוד העשרים של שמה הן שלושים.

עשר עשרים שלושים הם שלושת האיברים הראשונים של הסדרה העשרונית. בחישוב המצומצם הם

1, 2, 3 שהם התחלת המספרים.

מאה ערכה בגימטריה 46. סכום הספרות של 46 הוא עשר. כשהמאה מסתכלת אחורה היא רואה לפניה בשיטה העשרונית את העשר.

אלף ערכה בגימטריה 111. (א=1; ל=30; ף=80) כשהאלף מסתכלת אחורה היא רואה לפניה את המאה הראשונה, את העשר הראשון, ואת היחידה הראשונה.

רבבה ערכה בגימטריה 209. סכום הספרות של 209 הוא 11. ה-11 הזה מצהיר שגם הרבבה, כמו ה- 111 של האלף, שייכת לחבורה של האחדים שלפני האפסים, שכל אחד מהם נראה כמו דגל, ומכאן, אולי שאב שלמה המלך את ההשראה לפסוק: "צַח וְאָדוֹם דָּגוּל מֵרְבָבָה" (שיר השירים ה, י).

האחד הוא מקור האותיות, מקור המספרים ומקור היקום

כל אות באלפבית העברי, במה שנקרא "אותיות דפוס", מורכבת משניים עד ארבעה קווים מלבד האות יו"ד והאות ו"ו, שיוצאות מן הכלל, ומורכבות מקו אחד בלבד. האם מדובר בממצא מקרי או שמא שיגרו לנו ממציאי האלפבית העברי "מכתב בבקבוק", מסר חשוב במיוחד, שנועד להישמר עד אחרית הימים?

האות יו"ד מייצגת את הנקודה*. האות וא"ו את הקו. הקו מורכב מנקודות. יוצא שכל האותיות מורכבות מקווים שמורכבים מנקודות. הנקודה והקו בוראות את השטח, את הנפח, ואת [קו] הזמן, שהם ממדים בוראי עולם. הנקודה היא המרכיב הקטן ביותר, שאינו ניתן לחלוקה. היוונים קראו למרכיב הזה בשם א - טום (תרגום לעברית: שאינו ניתן לחלוקה) והפילוסוף היווני, בן המאה החמישית לפנה"ס, דמוקריטוס, הצהיר שהיקום מורכב מאטומים. בדרך כלל מבינים את הצהרתו של דמוקריטוס בהקשר של הפיסיקה, אבל תפיסה זו אפיינה גם את החשיבה המופשטת של הפיתגוראים, שזיהו מספרים עם צורות, והמציאו את הגאומטריה האוקלידית שמוכרת לנו עד היום. הפיתגוראים המירו את הנקודה במספר אחד ואת המספר אחד בנקודה. הקו, על שני קצותיו, היה המספר שניים, המשולש -שלש (כמייצג של השטח) והפירמידה  - ארבע (כמייצגת של הנפח). החיבור של ארבעת המספרים הראשונים ברא את העשר, שנחשב אצל הפיתגוראים למספר מקודש. אצלנו היהודים העשר הוא האות יו"ד, ששמה בא לה מן המילה "יד", כי בשתי הידיים יש לנו עשר אצבעות. אם מסדרים עשר נקודות בשורה, הנקודה הראשונה מימין יכולה לייצג את המספר אחד והאחרונה את העשר, אבל אם סופרים משמאל הנקודה האחרונה (או האות יו"ד) יכולה לייצג את המספר אחד, שכל המספרים האחרים הם תולדה שלו, שהוא המקור לא רק לכל המספרים, אלא גם לכל האותיות, ולכל האטומים שמהם נברא היקום בכל רגע מחדש.  

=

הערות:

* בעמוד ג בספר 'ברייתא מעשה תורה', המיוחס ליהודה הנשיא עם הוספות של הגאון רבי אליהו מווילנה (הגר"א, 1720-1797):

"אות י הוא היסוד לכל האותיות... כי אי אפשר לכתוב שום אות בלא נקודת היוד תחילה. והוא בכל האותיות. והם בו בכוח... ולכן גם מספר עשר יסוד לכל מספר, כי מספר עשר ממקורו יצא..".

**
בשפות לועזיות רבות האות i מורכבת מקו ומנקודה, והיא האות היחידה באותו אלפבית שמורכבת רק מקו אחד, כך שניתן לומר שגם שם עובר אותו רעיון שבו דנתי לעיל.

**

בניסוח אחר: הנקודה מופיעה או כצורה, או כמספר, או כאות, או כחומר, אותה גברת בשינוי אדרת. בלעדיה העולם אינו מתקיים. באגדה על למ"ד ו"ו הצדיקים הנסתרים שבלעדיהם העולם אינו מתקיים בדרך כלל הצדיקים מושכים את תשומת הלב, אך אם הם נסתרים איך יודעים עליהם?

אולי אין המדובר באנשים אלא בנקודות שיכולות להופיע באופנים שונים (בלמ"ד ו"ו אופנים: בספר יצירה מדובר על שלושים ושניים נתיבים, שמהם עשרים ושנים נתיבים של אותיות ועשרה נתיבים של מספרים. לאלה ניתן להוסיף את ארבעת ממדי הצורות - הנקודה, הקו, השטח והנפח). כל נקודה היא נסתרת - לא ניתן לראותה. הנקודה הפיזית היא המחשה גסה שלה.  גם הגימטריה יונקת את משמעותה מן הבסיס המשותף לצורה לאות למספר ולחומר. היוונים לא הפרידו בין גאומטריה למתמטיקה, בין צורות לבין מספרים. המילה 'גימטריה' מצביעה בקרבתה למילה 'גאומטריה' על מה שמאחד את האותיות עם המספרים. 

פעולות החשבון כבסיס לסווג המספרים

פעולת החילוק משמשת כבסיס לחלוקת המספרים לזוגיים (מתחלקים למספרים שלמים) ולאי זוגיים (שאינם מתחלקים למספרים שלמים), לראשוניים (שמתחלקים באחד ובעצמם) ולמורכבים (שמתחלקים גם במספרים אחרים). המילה מורכבים  היא מילה נרדפת למילה מחוברים, שכרוכה בפעולת חיבור. היא פחות מוצלחת ממנה מפני שהיא מסתירה את הקשר שבין הסיבה לבין התוצאה. פעולת החילוק היא גם הסיבה לקיומם של השורשים והשברים.

בזכות פעולת החיבור יש לנו מספרים משולשים, שהם סכומי המספרים מאחד ועד אליהם.

בזכות פעולת החיבור של תשע לכל אחת מהיחידות יש לנו גלגולים, בזכות פעולת החיבור של שלש לכל אחד משלשת המספרים הראשונים יש לנו זרמים (147, 258, 369). 

בזכות פעולת החיבור יש לנו את סכומי הספרות של מספר, שבזכותם אנו נזכרים בכל פעם מחדש שלא חשוב מה גודלו של מספר הוא תמיד יהיה העתק חיוור של אחת מעשר היחידות הראשונות.   

סדרה חשבונית בנויה על חיבור וסדרה הנדסית בנויה על כפל. 

בזכות פעולת החיסור יש לנו מספרים שליליים.

פעולת הכפל משמשת כבסיס למספרים בריבוע, למעוקבים, לחזקות ולמספרים מלבניים (מכפלות של מספרים זוגיים).

בזכות פעולת ההשוואה יש לנו משוואות, שבהן כל נעלם הוא מעין מנעול שממתין למפתח שמתאים לו.

בזכות פעולת ההשוואה יש לנו גימטריות שבהן מספר שווה לאות ואות למספר. 

על הקשר שבין מספר לבין שמו

כאשר סופרים באמצעות האצבעות יש התאמה חד חד ערכית בין מספר האצבעות למספר היחידות.  

בספרות רומיות כשכותבים I רואים אחד,  כשכותבים II רואים שנים, כשכותבים III רואים שלוש, אבל מארבע ואילך הקשר בין צורת המספר למספר עצמו דורש שינון.

בספרות הודו-ערביות כשכותבים 1 רואים אחד, משנים ואילך הקשר בין צורת המספר למספר עצמו תלוי שינון. 

כאשר כותבים בספרות, 10, נדמה שהוא מורכב מאחד ומאפס, ולא מעשרה אחדים. וכך גם לגבי המאה, האלף, הרבבה וכן הלאה.

ועוד אי התאמה יש בגימטרייה של המספר מאה, שהיא עשר, כי מ"ם = 40, אל"ף=1, ה"א=5 יחד 46 וסכום הספרות של 46 הוא 10 ולא מאה. כך גם באלף שסכום הספרות שלו 111. 

הצורה הגיאומטרית של הנקודה ממחישה את האחד, שתי הנקודות שבקצה הקו ממחישות את השנים, צורת המשולש את השלוש, צורת המרובע את הארבע, צורת המחומש את החמש, צורת המשושה את השש, אבל נדמה לי שמשבע ואילך ההקשר כבר אינו מיידי, וצריך לספור את הצלעות בשביל לראות את הקשר שבינן לבין המספר. 

מספרים יכולים להופיע בצורות גאומטריות שונות

שלוש בשלישית אלה 27 נקודות, שמסודרות בצורת קובייה שיש בה שלושה ריבועים של שלוש על שלוש,זה על גבי זה, אבל ניתן לסדר אותן גם בצורת מלבן שמורכב מתשע שורות, כאשר בכל שורה יש שלוש נקודות.

את 16 הנקודות של הריבוע של 4 ניתן להציג גם כמלבן של 2 על 8, או כשורה של 16, או במעגל. היכולת של אותו מספר להופיע הן כקובייה, הן כריבוע, הן כמלבן, הן כישר והן כמעגל, שהיא, אגב, מעין הוכחה גם לריבוע העיגול וגם לעיגול הריבוע, מעידה על הגמישות של המספרים, שיכולים ללבוש ולפשוט צורות.

בנוסף, ניתן להציג את כל המספרים על משולש שווה צלעות אחד, שאותו ניתן להמשיך עד כמה שרוצים:

*

*  *

 *  *  *

*  *  *  *

משולש זה, שנקרא גם בשם "עץ המספרים", מציג, בעצם, את תוכנו של כל מספר טבעי, באופן שממחיש שכל מספר מורכב מתוכנם של המספרים שלפניו.

תצוגות שונות אלה מבליטות את תכונת האחידות של המספרים, ואת היכולת שלהם להכיל זה את זה,  יכולת שאינה מובנת מאליה כלל. אותיות, לעומת זאת, אינן נותנות עצמן לסידור בצורות גאומטריות שונות, ואינן מכילות זו את זו, למרות שבגימטריה הן ניתנות להמרה למספרים. 

X כמספר הזוגות שמרכיבים מספר

המספרים מורכבים מאחדים: 1+1=2, 1+1+1=3, וכן הלאה.

חלק מהמספרים מורכבים מעצמם (המספר "ועוד עצמו"):

1 מופיע פעם שניה ב-2, ופעם שלישית ב-3

2 מופיע פעם שניה ב-4, פעם שלישית ב-6, ופעם רביעית ב-8

3 מופיע פעם שניה ב-6, ופעם שלישית ב-9

המספרים מורכבים מזוגות, ומספר הזוגות הוא כמספר האגף של כל  מספר (X), שהוא מחצית המספר הזוגי, או המספר האי זוגי פחות אחד חלקי שנים. לפיכך ניתן לפרש את  Xכמספר הזוגות שמרכיבים מספר.

מספר הזוגות שמרכיבים את 1 הוא אפס, וזה גם ה-X של 1 

מספר הזוגות שמרכיבים את 2 הוא אחד: (1+1) וזה גם ה-X של 2 

מספר הזוגות שמרכיבים את 3 הוא אחד: (2+1) וזה גם ה-X של 3 

מספר הזוגות שמרכיבים את 4 הוא שנים: (3+1, 2+2) וזה גם ה-X של 4

מספר הזוגות שמרכיבים את 5 הוא שניים: (2+3,  4+1) וזה גם ה-X של חמש

מספר הזוגות שמרכיבים את 6 הוא שלש: (5+1, 4+2, 3+3) וזה גם ה-X של 6

מספר הזוגות שמרכיבים את 7 הוא שלש: (3+4, או של 1+6, או של 2+5) וזה גם ה-X של 7

מספר הזוגות שמרכיבים את 8 הוא ארבע: (7+1, 6+2, 5+3, 4+4), וזה גם ה-X של 6

מספר הזוגות שמרכיבים את 9 הוא ארבע: (8+1, 7+2, 6+3, 5+4), וזה גם ה-X של 9

וכן הלאה
***

אבא בגימטריה 4 (א=1, ב=2, א=1)

אמא בגימטריה 6 (א=1, מ=4, א=1)

ביחד 10

בן בגימטריה 10=5.2 (ב=2, נ=5)

הבן הוא החמש שבין האבא לאמא, בין ה 4 ל- 6.

חמשת הזוגות שמרכיבים את העשר הם

1+9

2+8

3+7

4+6 (אבא אמא)

5+5 (בן)

שובל של מספרים- פרק ב

שמח ומבדח עם רעשן שמעשן ונושף מספרים.
הפתעה:

   התגלה שזו בעיה פתוחה בתורת המספרים, על שם קולץ

מאת חיליק ואו פתוח

יש לפתע הפתעה מרתקת בעולם שנפתח לנו, עולם "הרעשן שמעשן מספרים".

סיפרתי עליו לידידי המתמטיקאי (לא הפרופסור) והוא צחק ואמר "חיליק , עלית על בעיה פתוחה וידועה במתמטיקה, או יותר נכון בתורת המספרים, שנקראת הבעיה הפתוחה של קולץ" .
[ראו: ויקיפדיה ערך השערת קולץ]

בעיה פתוחה זו מילה מכובדת ביותר. זה אומר שזו בעיה שעבדו ועבדו ועבדו עליה, ועדיין לא מצאו את פתרונה.

יש צרור של בעיות כאלו, וחלקן העסיקו את מיטב המוחות המתמטיים בכל הדורות...

קולץ, בשנות השלושים של המאה הקודמת, גם שיחק כמוני עם "הרעשן שמעשן ונושף מספרים" ומסתבר שהוא לא מצא, ואף אחד עד היום לא מצא, שובל שלא, אחרי כל התהליך שלמדנו אותו, מסתיים ב-1. זה הביא אותו להכריז על הבעיה הזו כבעיה פתוחה.

הבעיה הפתוחה של קולץ בשפה שלנו: האם יש שובל שנוצר ע"י רעשן מעשן שלא מסתיים בספרה 1

שלב ב:  לרעשן שמעשן ונושף מספרים

השובל של 27

בחיפושי מצאתי גרף מעניין שמתאר את ה'רעשן המעשן' שמייצר את השובל הארוך ,שרמזתי עליו ושעכשיו אפשר לגלות לכם, של   27 .

 שובל זה אורכו 111   והוא 'מטפס' ומגיע  , ל'גובה' של 9232

הנה השובל עצמו – עשן המספרים של ה 27:  

 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

התבוננות:

א  השיא של השובל של 27 הוא  9232

ב. השיא השני  7288

ג . שאלה: יש עוד שיאים?

נסתכל על הגרף הבא שמתאר את השיאים השונים של השובל של 27

בציר האופקי מופיעים המספרים ה 1 עד 111 והציר האנכי המספרים שהרעשן יצר:

ממש מרתק הגרף הזה.  ניתן תאור ראשוני שלו:

1. בסביבות ה 80 על הציר האופקי מתנשאת פסגה שאנו יודעים כבר שהיא  ה 9232

2. בין 60 ל 70 מתנשאת הפסגה השנייה , השיא השני,  7288. וכן שיא שלישי צנוע בסביבות 40

3. סביב שתי הפסגות הנבדלות האלו מתגלים (אנו במסע, מסע של גילויי הארץ הזאת שהתגלתה לנו) למעלה מ 30  פסגות. כל הפסגות ה'מרוחקות' זו מזו שוות. בערך 'מרחק' של יחידה. תמונה של תנודות

ד.  מעניין להתבונן בגרף ואח'כ בעשן המספרים של ה27. אלו שתי הצגות שונות של אותו שובל:

     שאלה: איזה הבדל אתה רואה, חש, קולט הן בראיה ישירה והן באופן הגיוני (ראייה לא ישירה)

בין שתי ההצגות האלו?

קל לראות ששתי ההצגות האלו  מאד שונות זו מזו.

ההצגה המספרית מבליטה את 'העשן', לא נראה כל סדר.

ההצגה הגרפית מגלה  סדר. מבנה עם 3 פסגות עטופות בפסגות משנה ותנודתיות, יש קליטה ברורה יותר של התחלקות המספרים .

אגב המספר  111  בגימטריה הוא פלא

נחמד

כל השיאים של השובל של 27 , בצמצום שלהם, הם, לא ברור לי למה, מהזרם של 1 4 7 - יותר שביעיות ופחות רביעיות, וללא אחד:

שיא         צמצום

124              7

142               7

214               7

322               7

484               7

364               4

274               4

412               7

310               4

466               7

700               7

526               4

790               7

1186             7

1780             7

1336             4

502               7

754               7

1132             7

850               4

1276             7

958               4

1438             7

2158             7

3238             7

4858             7

7288          7

2734             7

4102             7

 6154            7

9232         7

1732             4

1300             4

976             4

184             4

70               7

106             7

160             7

16               7

סה"כ:

24 שביעיות

9 רביעיות                                    
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

האם תורת המספרים הייתה מוכרת לכותבי התנ"ך?

האם תורת המספרים הייתה מוכרת לכותבי התנ"ך?

האם תורת המספרים מקורה בתנ"ך?

תורת המספרים מוכרת לנו באמצעות הפיתגוראים, אבל ההיסטוריונים בני תקופתם  מספרים עליהם שלמדו אותה מן הבבלים ומן המצרים. את שמות האותיות, שבהן השתמשו הפיתגוראים כמספרים, שאלו מהאלפבית הפיניקי. קשה להגביל את תפוצתם של רעיונות לאזור מסוים, או לעם מסוים, וסביר להניח שגם את תורת המספרים הכירו גם בני עמים אחרים. כך לדוגמה, ייתכן בהחלט שהטטרקטיס הפיתגוראי מקורו בפירמידה המצרית, שאף היא בנויה מארבע נקודות. 

על פי תורת המספרים הפיתגוראית כל המספרים מקורם בתשעת המספרים הראשונים, שמגובשים כקבוצה במספר התשיעי. ה-9 מצדו מתחלק לשני חלקים שווים (X2), וביניהם המספר אחד. הרעיון הזה מופיע לכאורה בנבואה של הנביא ישעיהו שלפיה באחרית הימים כולם ידעו את האל "כמים לים מכסים" (ישעיהו יא, ט). המילה "מים" ערכה בגימטריה 90: מ"ם=40, יו"ד=10, ושוב מ"ם=40. בחישוב בלי האפסים מ"ם=4, יו"ד=1, ושוב מ"ם=4.

(2x+1)=(4+1+4)=9

על פי מדרש שיר השירים רבה (א, יט): "נמשלו דברי תורה במים". אם מניחים שתורה שווה מים (כל המספרים) ושתורה שווה הכל - אז המסקנה היא שהכל שווה מים. זה בדיוק מה שטען ראשון הפילוסופים היוונים, תאלס, במאה השביעית לפני הספירה. כולם חשבו שהוא התכוון למים הפיזיים, אבל אם הוא למד את תורת המספרים אצל העברים בני תקופתו יכול להיות שהתכוון בכלל למספרים.  

ועוד נציין שראשי התיבות של  "כמים לים" הם כל.  המילה "הכל" ערכה בגימטריה  55 (ה"א היא חמש, כ"ף היא 20, למ"ד היא 30). 55 הוא הסכום של המספרים מ1 עד 10. ואם הפירוש של מים הוא אכן "כל המספרים" הוא מאפשר לפרש את הפסוק שַׁלַּח לַחְמְךָ עַל פְּנֵי הַמָּיִם, כִּי בְרֹב הַיָּמִים תִּמְצָאֶנּוּ (קוהלת יא א) כמכתב בבקבוק ששלחו לנו העברים שקדמו לפיתגוראים בהתבוננות במספרים.  

מקור הרעיון של סכום הספרות של מספר

בתורת המספרים שלמדתי אצל יוסף ספרא הרבינו להשתמש בסכומי ספרות של מספר, וכך אמרנו שאם נחבר את הספרות של המספר 321 נקבל את המספר שש. חיבור הספרות מוכר גם בגימטריה, על סוגיו השונים, אבל עד כה לא נתקלתי במקורו. אתמול קראתי בעמוד 115 בספרו של 

 T. L. Heath

A History of Greek Mathematics, Volume 1

שימבליכוס, בן המאה הרביעית לספירה  

(c. 245 – c. 325 C.E.)

טען בספרו "הקדמה לאריתמטיקה של ניקומאכוס" שחיבור הספרות של שלושה מספרים עוקבים מצטמצם בסופו של חשבון לשש

לדוגמה,

10+11+12=33=6

994+995+996= 2985=24=6

ובהמשך אותו עמוד מסופר על אב כנסייה בשם היפוליטוס, בן המאה השלישית לספירה, שכתב ספר שעוסק בהפרכת אמונות טפלות, שבו הוא מתנגד ל"חישוב פיתגוראי" שבו השתמשו בימיו לניבוי העתיד. חישוב זה נעשה באמצעות חיבור הערך המספרי של אותיות שמו של אדם וצמצומו לספרה אחת. 

 מחבר הספר מסכם במסקנה שהשימוש בשיטות שכאלה קדום בהרבה לסיפורים אלה, ושמקורו באריתמטיקה הפיתגוראית.