מדוע נולדה הפילוסופיה דווקא ביוון?

ראשוני הפילוסופים היוונים לא הפרידו בין פילוסופיה לבין מתמטיקה לבין גיאומטריה. על השאלה מהו הדבר האחד שעליו נשען הריבוי של הדברים שמופיעים בעולם הם ענו בפילוסופיה באמצעות מלים, במתמטיקה באמצעות מספרים, ובגאומטריה באמצעות צורות. וכך יצא שהמספר אחד, שהוא המקור לריבוי של המספרים, הוא הנקודה, שהיא המקור לריבוי הצורות, והוא המים או האוויר או האטום, שכל אחד מהם הוצע כמקור לריבוי התופעות שקיימות במציאות הפיזית. 
אבל את ההשראה לשאלה מהו מקורם של הדברים הם קיבלו מן המיתולוגיה היוונית שקדמה להם. שם מופיעה דמות של אחד בשם אטלס שנידון לשאת את כיפת השמים על כתפיו. אם ישמוט אטלס את השמים מכתפיו ייהרס העולם, וזה מה שיקרה למתמטיקה בלי המספר אחד, לגיאומטריה בלי הנקודה, ולפיזיקה בלי האטום, הדבר האחד שאינו ניתן לחלוקה. במבט לאחור המיתולוגיה מוסיפה לשאלה של ראשוני הפילוסופים היוונים משמעות ועומק, לא די לה בהצבעה על ההתחלה, על המניע שאינו מונע, היא גם שואפת לדעת מה מחזיק את העולם כפי שהוא, ומה מונע ממנו להתמוטט. 
לאור כל האמור לעיל משתמע שלא במקרה נולדה הפילוסופיה ביוון, וכי אלמלא המיתולוגיה היוונית לא הייתה באה כלל לעולם. הפילוסופיה תלויה במיתולוגיה כמו שהמספרים תלויים באחד, כמו שהצורות תלויות בנקודה, כמו שהמציאות תלויה באטום. 

כל מספר מורכב מיחידות

אחד מורכב מיחידה אחת שניתן להציג אותה כריבוע של אחד על אחד.

שניים מורכב משתי יחידות שניתן להציגן כמלבן שאורכו שניים ורוחבו 1.

שלש מורכב משלוש יחידות שניתן להציגן כמלבן שאורכו 3 ורוחבו 1.

4 מורכב מארבע יחידות שניתן להציגן כריבוע של 2 על 2.

5 מורכב מחמש יחידות שניתן להציגן כמלבן שאורכו 5 ורוחבו 1.

... ניתן להציג כל מספר ראשוני כמלבן שאורכו המספר ורוחבו 1.

ניתן להציג כל מספר בצורת ריבוע (כשהוא מוכפל בעצמו) או בצורת מלבן (כשהוא מוכפל במספר שאינו עצמו), וכל ריבוע או מלבן שכאלה מורכבים מריבועים קטנים, שכל אחד מהם הוא אחד (או יחידה). הריבועים הקטנים האלה נחשפים כאשר מחלקים ריבוע בעצמו:

1:1=1

2:2=1

3:3=1

4:4=1...

משמעויות של האחד בספר יצירה

אחד מופיע בספר יצירה כמספר שמבטא אחדות, מקוריות, ייחודיות, שלמות. 

המשנה האחרונה בספר יצירה מייחסת את חיבורו לאברהם אבינו, שהוא העברי הראשון, העברי מספר אחד, שממנו נבראו כל העברים האחרים, כמו שכל המספרים נבראים מן האחד.

בפרק א משנה ו נכתב: "עשר ספירות בלימה מדתן עשר שאין להם סוף, נעוץ סופן בתחילתן ותחילתן בסופן כשלהבת קשורה בגחלת. שאדון יחיד הוא ואין שני לו. ולפני אחד מה אתה סופר" וההסבר לכך שנעוץ סופן בתחילתן ותחילתן בסופן הוא שהן מהות אחת, מהות של האחד, שנתפסת בהכרה האנושית כריבוי. מדובר בשלם שאין לו חלקים ואין בו ניגודים. אלה מתחילים במספר שנים. כיוון שכך אין לאחד, ואין באחד, התחלה וסוף. להכרה האנושית בלתי אפשרי לדמות מצב כזה של שלמות, ולכן אומרים שלכאורה יש באחד סוף והתחלה חבויים, עובריים, בלתי נפרדים, שנעוצים זה בזה, וכאשר האחד בורא מתוכו את השניים ניתן לראות כל אחד מהם בנפרד. שהרי אם מותחים נקודה,שהיא אחת, עד שנעשה ממנה קו, "היא" מקבלת שני קצוות. וכך גם במעגל - אין התחלה ואין סוף. לכן דימו הפיתגוראים את האחד לעיגול, שנקרא בפיהם בשם מונאדה. מכאן גם אורבורוס, הדימוי של האלכימאים לנחש שבולע את זנבו, שמצויר תמיד בצורת מעגל.

בפרק ו משנה ז נכתב: "אחד על גבי שלש, ושלש על גבי שבעה, ושבעה על גבי שנים עשר, וכולן אדוקים זה בזה". כאן מופיע האחד כמהות שאיננה ניתנת לספירה, שהרי אילו היה נספר היו לנו 23 אותיות, כי:

1+3+7+12=23

גם 22 האותיות, טוען מחבר ספר יצירה, הן מהות אחת שההכרה האנושית איננה בנויה לקלוט אותה כאחת:

"צופה וממר ועושה את כל היצור ואת כל הדבור שם אחד, וסימן לדבר כ"ב חפצים וגוף אחד". (פרק ב, משנה טו).

מספרים בספר יצירה

במקביל לאחד (האחד) שאינו נספר יש אחד שנספר, והוא אל"ף באותיות, והוא יום ראשון בשבוע, והוא היחידה שמרכיבה כל מספר. המספר שלוש מורכב משלוש יחידות, שבנויות כמעין מאזניים. הראשונה והשלישית שואפות להטות את כף המאזניים כל אחת לכיוון שלה, והאמצעית, לשון המאזנים, אם היא מצטרפת לאחד הצדדים, היא מטה את הכף לטובתו, כי היא יוצרת שתי קבוצות שבאחת יש שתי יחידות  ובשנייה נותרת יחידה אחת:  "שלש אמות אמ"ש, יסודן כף זכות וכף חובה, ולשון חק מכריע בנתיים" (פרק א משנה ד).

אותו מבנה חוזר על עצמו במספר שבע: אלא שהפעם במקום יחידות יש לפנינו שלוש קבוצות. בשתיים מהן יש בכל אחת שלש יחידות, ובשלישית יש יחידה אחת, שאם היא מצטרפת לאחת הקבוצות היא מכריעה את כף המאזנים לטובתה, כי 1+3=4 ו 4 גדול מ-3.

אותו מבנה חוזר על עצמו ב-12 שמורכב מארבע קבוצות שבכל אחת מהן יש שלש יחידות, וכל שתים מהן מנוגדות זו לזו, וכולן כפופות לאחד שאינו נספר: "שלשה - אחד אחד לבדו עומד. שבעה - חלוקים: שלש מול שלש, ואחד מכריע ביניהם. י"ב - עומדים במלחמה: שלשה אוהבים שלשה שונאים, שלשה מחיים, שלשה ממתים, ואל מלך נאמן מושל בכולן ממעון קדשו" (פרק ו משנה ו). 

אריתמטיקה גיאומטריה והתבוננות בצל

בתמונה: שעון השמש בחזית הספרייה הלאומית בירושלים

חכמי תורת הדקדוק טוענים שהאות למ"ד מקורה במלמד הבקר, אבל מה כבר אפשר ללמוד ממלמד הבקר? בכתב הפיניקי למ"ד נראית בכלל כמו האות שי"ן הרהוטה. 

לדעתי, הלמד מקורה בגנומון, מקור הצל של שעון השמש, שביחד עם הצל שהטיל הייתה לו צורה של זווית, כמו בחלק העליון של האות למ"ד, וכמו באות L הלטינית.  ביוונית האות הזאת נקראת למדה או למבדה, והיא נראית כמו האות V כשקדקודה כלפי מעלה. שעוני שמש הופיעו בסין, במצרים ובבבל, לכל המאוחר בשנת 2500 לפנה"ס.

ובכן, שעון השמש מטיל צל שנע ברציפות בצורת עיגול.  הנקודות הקבועות המסומנות על העיגול מייצגות את המספרים של האריתמטיקה, שמקפיאים (מדי שעה או מדי דקה) את התנועה הרצופה שמייצגת את  הגיאומטריה. 

גנומון בשעון שמש בול שבדי משנת 2013

אצל הפיתגוראים הגנומון היה המחשה גיאומטרית לכל המספרים: האי זוגי (שהוספתו יוצרת ריבוע מריבוע שקטן ממנו, כמו חמש נקודות בצורת L שמוסיפים לארבע הנקודות של הריבוע של 2 כדי לקבל את תשע הנקודות של הריבוע של 3)  או הזוגי, שמשלים מלבן למלבן שגדול ממנו. 

על ראשון הפילוסופים היוונים, תאלס, בן המאה השישית לפנה"ס מספרים שלמד על גובה הפירמידה כשהשווה  בין אורך הצל של הפירמידה לבין אורך הצל של מקלו.

ארטוסתנס, בן המאה השלישית לפנה"ס, למד על היקף כדור הארץ באמצעות צל של מוט,  באמצעות חדירת קרן שמש לבאר באסואן, ובאמצעות מדידת המרחק בין  אלכסנדריה לאסואן.

בהבדל מן הדעה המקובלת שלפיה מספרים מקורם במספר האצבעות, פילון האלכסנדרוני (בספרו על בריאת העולם ספר ראשון סעיף 60) טען שהמספרים מקורם בתנועת המאורות  "כי מיום אחד בא המספר אחד, ומשניים - המספר שניים, ומשלשה - המספר שלשה, ומחודש - המספר שלושים, ומשנה - הקיבוץ השווה במספרו לימים המצטרפים מ 12 חודש, ומזמן האינסופי - המספר האינסופי". 

בריאת מספר מהמספר שלפניו

מקור התמונה בויקיפדיה ערך סקסטוס אמפיריקוס

בדרך כלל מדמים את בריאת מספר מהמספר שלפניו כתוספת של אחד, מה שמסביר את העובדה שככל שמספר גדול יותר הוא מכיל יותר אחדים, אבל אצל הפילוסוף היווני סקסטוס אמפיריקוס, בן המאה השנייה לספירה (בפסקאות 92 עד 109 בספרו נגד הלוגיקנים) מופיע אותו רעיון בניסוח שונה במקצת, שמבוסס על השברים:

2 בנוי מאחד ועוד אחד חלקי 1

3 בנוי מאחד ועוד חצי מ 2

4 בנוי מאחד ועוד שליש מ 3

5 בנוי מאחד ועוד רבע מ 4

6 בנוי מאחד ועוד חמישית מ 5

וכן הלאה

כלומר לא האחד הראשון מוסיף עצמו מחדש לכל מספר חדש אלא מספר כלשהו מחלק עצמו בעצמו, ותורם לזה שאחריו את אחד מחלקיו/אחדיו. ניסוח מיתולוגי לגרסה של סקסטוס אמפיריקוס: לא אדם הראשון מוליד כל אחד מאתנו אלא כל דור נולד מהדור שלפניו. 

הגלגול שלפני הגלגול

כל המספרים מקורם בתשעת המספרים הראשונים (10 הוא הגלגול הראשון של 1 וסכום הספרות שלו 1; 11 הוא הגלגול השני של 2, וסכום הספרות שלו 2 וכן הלאה).

יש שלושה זרמים של מספרים: 147, 258, 369.

147 הוא זרם מקורי.

258 הוא זרם מעורב:

2=1+3:2

5=4+6:2

8=7+9:2

369 אינו זרם מקורי. הוא זרם שחוזר על עצמו. הוא בעצם הצל של 123 כאשר

1.3=3

2.3=6

3.3=9

כמו שכל המספרים מקורם בתשעת המספרים הראשונים, הזרם של ה-369 מקורו בשלושת המספרים הראשונים.

וכמו שכל מספר מתשעת המספרים הראשונים שמוסיפים לו 9 מתגלגל בצורה  חדשה, אבל נשאר עצמו כך גם כל מספר בזרם של ה -369 שמוסיפים לו 3  נשאר בתוך הזרם של ה 369, והתבנית של הסדרה האינסופית כולה, כשמחברים את סכומי הספרות של המספרים שאחרי התשע, היא תבנית חוזרת של 369:

3 הוא גלגול שני של 1 או, במלים אחרות: האחד מופיע בפעם השנייה בשלוש.

6 הוא גלגול שני של  2   

9  הוא גלגול שני של 3    

12 הוא גלגול שלישי של 1 וסכום הספרות שלו הוא 3

15 הוא גלגול שלישי של 2 וסכום הספרות שלו הוא 6

18 הוא גלגול שלישי של 3 וסכום הספרות שלו הוא 9

21 הוא גלגול רביעי של 1 וסכום הספרות שלו הוא 3

24 הוא גלגול רביעי של 2 וסכום הספרות שלו הוא 6

27 הוא גלגול רביעי של 3 וסכום הספרות שלו הוא 9

30 הוא גלגול חמישי של 1 וסכום הספרות שלו הוא 3

33 הוא גלגול חמישי של 2 וסכום הספרות שלו הוא 6

36 הוא גלגול חמישי של 3 וסכום הספרות שלו הוא 9

39 הוא גלגול שישי של 1 וסכום הספרות שלו הוא 3

42 הוא גלגול שישי של 2 וסכום הספרות שלו הוא 6

45 הוא גלגול שישי של 3 וסכום הספרות שלו הוא 9

טבלת הגלגולים

טבלת הגלגולים מציגה את המעבר מתשעת המספרים הראשונים, בעלי הספרה האחת אל גלגוליהם, שהם המספרים בעלי יותר מספרה אחת.

עוברים משורה לשורה באמצעות הוספת המספר 9.

כל עמודה מוצגת בצבע שונה.

סכום הספרות בכל תא מצטמצם למספר שהוא מקור הגלגול וכך

5=14=77

טבלה זו ממחישה שבעצם  אנחנו סופרים בכל שורה מחדש את תשעת המספרים הראשונים, אבל כדי שלא נתבלבל אנחנו נותנים להם שמות חדשים. וכך: עשר הוא שמו החדש של אחד, הוא הגלגול הראשון של אחד, ותשע עשרה אף הוא שמו החדש של האחד, אבל הוא הגלגול השני שלו, וכן הלאה.
***

הסיבה לכך שסכום הספרות של מספר שיש בו יותר מספרה אחת מצטמצם לספרה אחת היא שאנחנו מסירים ממנו את התשיעיות. באריתמטיקה התהליך הזה נקרא בשם 

Casting out nines

וכך:

16-9=7 (1+6=7)

29-27=2 (2+9=11=2)

בלטינית התהליך הזה נקרא

Abjectio novenaria

הבישוף היפוליטוס בן המאה ה-3 דן בשיטה זו בפרק ה-14 בספרו נגד הכופרים,

Refutations of all heresies

והוא מכנה בשם שורש את המספר האחד שנשאר לאחר חיבור הספרות, ויהא המספר ארוך ככל שיהיה. אם המספר מתחלק בתשע בשלמות ללא שארית שורשו תשע. אבל היו כאלה, ממשיך היפוליטוס, שלא חילקו בתשע אלא בשבע. הנוהג שנגדו יוצא היפוליטוס הוא המרת שמות מצביאים יריבים למספרים, צמצומם של מספרים אלה לשורשיהם, והשוואתם לפי קריטריונים שונים לצורך ידיעה מראש מי ינצח בקרב.   

***

גלגל הגילגולים
מקור: דיון בפורום בנושא הפלא שראה ניקולה טסלה במספרים 369

   

על חשיבות פעולת החילוק

בסקירות על תולדות המספרים נוהגים להתייחס אל פעולת החיבור כאל הפעולה היסודית ביותר, כי האחד, הראשון, "מוסיף" את עצמו לעצמו עד שנוצר אחרון המספרים. אבל מבחינה היסטורית קרוב לוודאי שהפעולה היסודית ביותר היא פעולת החילוק, כי בתקופה החקלאית הארוכה שבין תקופת הציידים-לקטים לבין המהפכה התעשייתית, הייתה חשיבות שקשה להפריז בחשיבותה, לחלוקת האדמה לחלקות, ולקביעת הגבול בין חלקה לחלקה.   

אצל המצרים הייתה למדידת הקרקעות (ולחלוקתן מחדש בעקבות הצפות חוזרות ונשנות של הנילוס, שמחקו את סימני הגבול) השפעה עצומה על התפתחות הגיאומטריה ותורת המספרים. היסטוריונים מייחסים את המצאת משפט פיתגורס למודדים אלה, שלמדו ליצור זווית ישרה באמצעות קשרים בחבל.  

מנקודת המבט של בן תקופתנו קשה להבין מדוע מוקדשים בתנ"ך כל כך הרבה פסוקים לגבולות  השבטים ולנחלותיהם שחולקו לחלקות. (למילים "חלקה" "חילוק" "מחלוקת" ו"חלק" יש שורש זהה). על חשיבות הגדר, שממנה יש לנו את המילה הגדרה, ניתן ללמוד מן העובדה שגודר (בונה גדרות) היה שם של מקצוע בתקופת המלכים (מלכים ב, יב, יג). 

אצל היוונים המונח גיאומטריה משמעו מדידת הארץ, ומדידה זו, יש לשער, נבעה מן הצורך לחלק אותה לתושביה, ולשמור על גבולות החלקות. אצל אוקלידס, אבי הגיאומטריה, יש חשיבות עליונה למושגים אחד ונקודה, ששניהם מוגדרים כמה שאין לו חלקים. 

ברוס מקלנן (Bruce MacLennan) מספר [בפרק השני ("הרציף והנפרד") בספרו

Word and Flux: The Discrete and the Continuous In Computation, Philosophy, and

Psychology (2006)]

שהפיתגוראים קראו לחלוקי הנחל שמהם הרכיבו את המספרים [על מנת להתבונן בהם] " אבני גבול"  ולרווחים שבין חלוקי הנחל קראו "שדות". המילה היוונית לאבן תורגמה ללטינית למונח TERM שתרגומו לעברית -"מונח"- ובין שלל המשמעויות שלו- גבול, ציון דרך, הגדרה. על חשיבותן העצומה של אבני הגבול [Terminus] שבין החלקות מעיד החוק הרומי שלפיו הזזת אבני הגבול היא עבירה שחומרתה שווה לזו של רצח אב או גילוי עריות.

טרמינוס האל הרומי ששומר על אבני הגבול

מקור התמונה: ויקיפדיה באנגלית ערך Term (ארכיטקטורה)

בראש טבלת עשרת הניגודים, שמופיעה בכתבי אריסטו, הניגוד שבין המוגבל לבלתי מוגבל, שהוא הניגוד החשוב ביותר, כי עליו מתבססים תשעת הניגודים הבאים. 

הטטרקטיס מקורו והשפעותיו

לא קראתי את זה בשום מקום, אבל נדמה לי שמקורו של הטטרקטיס הפיתגוראי בשיטה העשרונית, כי אם נסדר בצורת משולש את האחד בשורה הראשונה, את העשר בשנייה, את המאה בשלישית ואת האלף ברביעית  - נקבל את הצורה או את הרעיון הבסיסי של הטטרקטיס. הנה כך:

מנקודת מבט זו ניתן  לראות עד כמה הטטרקטיס מושפע מן ההמצאה המופלאה של שיטת מיקום-ערך, שהקדימה באלפי שנים את הפיתגוראים. אמנם הפיתגוראים לא הכירו את האפס ולא יכלו לתאר לעצמם את הצורה כפי שהיא מופיעה כאן, אבל גם אצלם העשר בא אחרי ה-9, המאה אחרי ה-99, והאלף אחרי ה-999.

בטטרקטיס בצורתו הפשוטה ביותר עדיין אין שוני בערך של האחדים שמופיעים בשורותיו השונות:

1

11

111

1111

אבל אפלטון, שחי כמאתיים שנים אחרי פיתגורס, כבר עיבד את הטטרקטיס ללמבדה (שבה מוצגים רק שמונה מעשרת המספרים של הטטרקטיס) כאשר בטור האחד -  החזקות של שניים: 1, 2, 4, 8 , ואילו בטור השני - החזקות של שלש: 1, 3, 9, 27.

תיאון מסמירנה, בן המאה הראשונה לספירה, סיכם אחד עשר פירושים לטטרקטיס, וביניהם מופיע גם הפירוש הנ"ל של אפלטון. רובם עוסקים במשמעויות של הטטרקטיס  (כמו: ארבע עונות השנה, ארבעת היסודות, ארבע תקופות בחיי אדם) אבל שניים מהם "מתרגמים" את הטטרקטיס לגיאומטרית: לפי הפירוש הראשון האחד הוא נקודה, השניים- קו, ה-3 שטח, ה-4 נפח. לפי הפירוש השני כל שורה בטטרקטיס מייצגת אחד מן הגופים האפלטוניים.

במשולש שנקרא על שם בלייז פסקל, בן המאה ה 17 (שהיה ידוע כבר להודים במאה השלישית, לעומר כיאם בן המאה ה-11, ולסינים במאה השלוש עשרה - ראו בול לעיל)  מופיעות החזקות של 11:

11

121

1331

וכן הלאה

עקרונות התנועה המספרית -מבט בלתי שגרתי-3

מאת יורם טנצר

למה מרכיבי התנועה הכפולה חייבים להיות שונים?

נתבונן בראשית התנועה מתוך האי תנועה. ואין הכוונה לאירוע היסטורי, אלא למבט עקרוני על התנאים ההכרחיים כדי שתנועה כזו של ריבוי תצא מתוך אי תנועה מספרית.

התנועה המספרית, עוד לפני היקבעותם של המספרים השונים כשמות, כלומר של ישויות מספריות מוגמרות שניתן להשתמש בהן ולאגור אותן, לחבר, להחסיר, לכפול ולחלק, שיש הרבה מהן כרצוננו. האם יש תנאים ל"קיום" הזה שאותו אנו רואים כמובן מאליו?

המבט בלתי שגרתי טוען שאנו עיוורים לגורם שמחולל את התנועה (נקרא לו X). מבחינתנו המספרים פשוט "ישנם".

התנועה הסמויה של הגורם המחולל, הכוח המניע X, חייבת להיות מוכפלת, ותמונת הראי להיות שונה ב-1, כלומר להפוך ל M. זה התנאי ההכרחי להיווצרות התנועה הכפולה של אירוע ספירה שלם היוצא מאי תנועה ומסתיים שוב באי תנועה. זהו הבית של התנועה, או בביטוי המלא שלה - המעויין.

כי באופן ראשוני אין שני X. על ידי תנועה בעוצמה X, שהיא אחת, אחד הופך ל- M ונסוג שוב ל 1.

נראה זאת בדוגמה של X=2

יש כאן משהו פלאי שביטויו המדויק ביותר הוא אולי "צבת בצבת עשויה", שבו כבר קיים התנאי לביטוי של 3 באופן ראשוני כשלש בריבוע.

1 2 3 2 1 מאפשרים לתנועה של X=2 להתקיים ונוצר 3. הביטוי המצומצם של התנועה הזאת הוא הבית 5.

באירוע הספירה הבא (בעקרון ולא בזמן)  X=3

יתקיים התנאי לביטוי של 4 באופן ראשוני כ4 בריבוע.

ניתן לומר שבמבט הזה ה-1 משמש כמרכיב השוני, והוא מצטרף ל-X, ומייצר את המספר הבא כ M

בריבוע.

הפועל יוצא המוכר לכל ילד:

3=2+1

4=3+1

מכיל בתוכו תנועה סמויה מורכבת ושלמה.

ההבדל בין M בריבוע לבין X בריבוע (שגם הוא בתורו היה M בריבוע) הוא הבית המורכב משני הגורמים X ו M.

אם נשתמש בשתי הדוגמאות שלמעלה:

ביניהם נמצא הבית של 3=X

                                  4=M

                                7= בית

או  

16-9=7

M בריבוע= הבית + X בריבוע

יש המכנים זאת משפט פיתגורס. זה איננו המשפט שלמדנו בביה"ס. ואולי היו לפיתגורס כמה משפטים?

בפעם הבאה נראה כמה רמזים לכך שאכן שני מרכיביה של התנועה הכפולה שונים, ואולי גם נשאל למה זה כל כך חשוב?

ועוד עצמו

בבית הספר התיכון למדתי חשבון במגמה עיונית, כך שההשכלה שלי בתחום זה מצומצמת, אבל גם עם ההשכלה המצומצמת הזאת נדמה לי שלא אטעה אם אומר שכמעט כל תשומת הלב במערכת החינוך הממוסדת מוקדשת להתבוננות במספר כפול עצמו, כלומר, בסדרת המספרים בריבוע. אבל מה עם המספר פחות עצמו? המספר חלקי עצמו? המספר ועוד עצמו? נדמה לי שהשאלה האחרונה בכלל לא נשאלת.
תורת המספרים שלמדתי בסוף שנות השבעים מיוסף ספרא לא נשענה כלל על לימודי החשבון הממוסדים, ושאלת המספר ועוד עצמו הייתה במרכז תשומת הלב. מספר אי זוגי נקרא בית או 2x+1, כלומר מספר ועוד עצמו ועוד אחד. סדרת המספרים הזוגיים נקראה 2x, כלומר המספר ועוד עצמו. וחשוב לשים לב שכל מספר אי זוגי כשהוא מוסיף את עצמו לעצמו הופך למספר זוגי, ומיותר לומר שמספר זוגי שמוסיף את עצמו לעצמו אף הוא זוגי.

כאשר משחזרים את בריאת המספרים מתחילים תמיד מאחד שנברא יש מאין (מאפס), ושכפל את עצמו, כמו בסיפור המקראי על בריאת האדם (וַיֹּאמֶר אֱלֹהִים נַעֲשֶׂה אָדָם בְּצַלְמֵנוּ כִּדְמוּתֵנוּ -בראשית א, כו) שלפיו אדם לא נולד מאב ואם, אלא יש מאין, וחווה אף היא איננה בת לאב ולאם, אלא נבראה מצלעו של אדם, כמו שהשנים נברא מן הצלע של הריבוע של אחד. ומן השנים הראשונים נבראו שאר המספרים כי שנים ועוד אחד הם שלש, ושנים ועוד שנים הם ארבע, וארבע הם כבר עשר, כמו שלימדו אותנו הפיתגוראים (4+3+2+1=10)... וכל המספרים האחרים הם תולדות של העשרה הראשונים.

מה שמיוחד וחד פעמי בחיבור של 1+1 הוא שהתוצאה שלו כפולה מזו של הכפלת 1 ב1, כלומר כפולה מן הריבוע של אחד, שהוא ריבוע סמוי.

2+2 הוא הריבוע הגלוי הראשון

* *

* *

ואף הוא יחיד במינו כי החיבור של 2 עם עצמו והכפל שלו בעצמו שווים.

2+2=4=2.2

3+3 הוא החיבור הראשון שתוצאתו קטנה מזו של הכפל של 3 בעצמו, ומכאן ואילך זה יהיה נכון לגבי כל מספר שגדול משלוש. אבל היחס בין החיבור של מספר לעצמו לבין הכפל של מספר בעצמו הוא יחס קבוע:

פעמיים הריבוע של מספר חלקי עצמו נותן את המספר ועוד עצמו וכך:

3+3=2.(3.3):3=(2.9):3=6

4+4=2.(4.4):4=(2.16):4=8

5+5=2.(5.5):5=(2.25):5=10

6+6=2.(6.6):6=(2.36):6=12

7.7=2.(7.7):7=(2.49):7=14

וכן הלאה

אם ניקח לדוגמה את הריבוע של 3

* * *

* * *

* * *

הוא בנוי משלש שורות שבכל אחת מהן יש שלושה אחדים. בשורה הראשונה מוצג המספר עצמו. בשנייה החיבור שלו עם עצמו. בשלישית: שלוש פעמים עצמו, שזה עצמו בריבוע.

בריבוע של ארבע בשורה הראשונה מוצג המספר עצמו. בשנייה החיבור שלו עם עצמו. ואז הוא מוסיף את עצמו לעצמו עוד פעמיים ומגיע ל-4 פעמים ארבע שזה עצמו בריבוע.

* * ** 

* * ** 

* * ** 

 * * * * 

וכן הלאה, תמיד החיבור של מספר עם עצמו הוא חלק מהכפלתו בעצמו, הכפלה שהיא בעצם קיצור של חיבור המספר לעצמו שוב ושוב. וזה מה שקרה לי בלימודי החשבון הממוסדים, שמרוב שהדגשתי את ההעלאה בריבוע הפרדתי אותה ממקורה. 
=

אומרים על 10 שהוא מספר זוגי, והכוונה היא שהוא מתחלק ב-2, אבל כדי להיווכח בזוגיות שלו צריך לחלק אותו בפועל. או אז מגלים שהוא 5 ועוד עצמו, ומאחר ו-5 הוא אי זוגי - 10 הוא זוג של אי זוגיים, או מה שנקרא היום זוג חד מיני. לעומתו ה-12 מתחלק לשש ועוד עצמו, ואף הוא זוג חד מיני, אלא שהפעם הוא זוג של זוגיים.

כאשר מספר מוסיף את עצמו לעצמו הוא הופך לפלינדרום, מספר שניתן לקרוא אותו באותה מידה דיוק אם קוראים אותו מימין לשמאל או אם קוראים אותו משמאל לימין, והוא יכול להוסיף את עצמו עוד ועוד פעמים בלי לשנות תכונה זו. ריבוע של שמונה הוא פלינדרום של שמונה שמיניות: 88888888

ריבוע של שמונה מורכב בעצם משמונה יחידות שכל אחת מהן קוראת לעצמה שמונה. אם נתבונן בשמונה

המקורי נראה את השורה הבאה:

1    1    1    1    1    1    1    1

שמונה הוא הסכום של השורה הזאת והאחרון שבה. הריבוע של שמונה הוא שכפול של השורה האחת לשמונה שורות, או הוספת השמונה לעצמו שמונה פעמים.

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

מקור הרעיון של סכום הספרות של מספר

בתורת המספרים שלמדתי אצל יוסף ספרא הרבינו להשתמש בסכומי ספרות של מספר, וכך אמרנו שאם נחבר את הספרות של המספר 321 נקבל את המספר שש. חיבור הספרות מוכר גם בגימטריה, על סוגיו השונים, אבל עד כה לא נתקלתי במקורו. אתמול קראתי בעמוד 115 בספרו של 

 T. L. Heath

A History of Greek Mathematics, Volume 1

שימבליכוס, בן המאה הרביעית לספירה  

(c. 245 – c. 325 C.E.)

טען בספרו "הקדמה לאריתמטיקה של ניקומאכוס" שחיבור הספרות של שלושה מספרים עוקבים מצטמצם בסופו של חשבון לשש

לדוגמה,

10+11+12=33=6

994+995+996= 2985=24=6

ובהמשך אותו עמוד מסופר על אב כנסייה בשם היפוליטוס, בן המאה השלישית לספירה, שכתב ספר שעוסק בהפרכת אמונות טפלות, שבו הוא מתנגד ל"חישוב פיתגוראי" שבו השתמשו בימיו לניבוי העתיד. חישוב זה נעשה באמצעות חיבור הערך המספרי של אותיות שמו של אדם וצמצומו לספרה אחת. 

 מחבר הספר מסכם במסקנה שהשימוש בשיטות שכאלה קדום בהרבה לסיפורים אלה, ושמקורו באריתמטיקה הפיתגוראית.

רבייה עצמית במספרים

האלה אתנה על בול יווני משנת  1986

בנוסף להתרבות המספרים באמצעות הוספת אחד שוב ושוב, או באמצעות הכפלה, כמו

2.3=6

מעניין לשים לב שכל מספר מחמשת המספרים הראשונים שבעשר יוצר את המספרים הבאים באמצעות הוספת עצמו לעצמו:

X	X+	=
1	1	2
2	2	4
3	3	6
4	4	8
5	5	10
6	3	9
7

האחד יוצר את השנים

השנים את הארבע

השלש את השש, ובהוספה נוספת של עצמו לעצמו את התשע

הארבע את השמונה

החמש את העשר

ורק השבע אינו נוצר בצורה הזאת. לכן הוא נחשב אצל הפיתגוראים למספר שנוצר יש מאין, ולכן הם קראו לו על שם אלת המלחמה אתנה, כי זו לא נולדה כלל אלא קפצה מראשו של זאוס עם כלי הנשק שלה, ממש כמו האחד.