ממציא המַעֲגָל

זה לא נכון שעוג מלך הבשן עג את העוגה סביב חוני המַעֲגָל 

נכון שעוג המציא את העוגה 

אבל חוני 

ורק חוני 

המציא את המַעֲגָל 

שנאה אהבה כאחדות הניגודים

יש חפיפה בין החלק השמאלי של העיגול הימני והחלק הימני של העיגול השמאלי. כמו גם בין החלק השמאלי של המילה הימנית והחלק הימני של המילה השמאלית.

לדעתי הנוצרים קידשו את צורת  וסיקה פיסקיס [החלק החופף של שני מעגלים] בגלל ה"גם וגם" והאחדות של הניגודים. 

הערה של NINE:

ישר אני חושב איך זה יכול להשפיע על חיי היום יום. אם אני (בדמיון) מקיף את עצמי במעגל (הילה), וגם את האדם שאני ניצב מולו, הרי שנוצרת בינינו (בחלל בינינו) מעין וסיקה.

מקוריות והעתקה במספרים

בשפה העברית, כמו גם בשפות אחרות, יש הבחנה בין עשרת המספרים הראשונים לבין כל שאר המספרים. עשרת המספרים הראשונים נחשבים כמספרים מקוריים, ואילו כל שאר המספרים נחשבים כהעתקים שלהם, או כמופעים חוזרים שלהם. לכל אחד מעשרת המספרים הראשונים יש שם עצמאי, ואילו שמות כל שאר המספרים מורכבים משמות עשרת המספרים המקוריים, למעט המאה, האלף, והרבבה. וכך שמו של האחד עשרה מורכב משמו של האחד ומשמו של העשר, ושמו של העשרים וחמש מורכב משמו של החמש ומשמו של העשר.

המספרים אחד ועשר חוזרים לראשונה במספר אחד עשרה, השניים חוזר לראשונה בשנים עשרה... העשר - בעשרים, המאה - במאתיים, האלף - באלפיים.

כלומר, השיטה העשרונית בנויה אל תוך השפה.

משום כך, אולי, מתקבל אצלנו הרושם שלעשר ישנו מעמד מיוחד בקרב המספרים. רושם זה מגיע לשיאו בביטוי המפורסם "עשר ולא תשע, עשר ולא אחת עשר" (ספר יצירה, משנה ג). אבל אם לוקחים שורה של נקודות אין כל הבדל בין הנקודה העשירית לזו שלפניה או לזו שלאחריה, כל הנקודות שוות בערכן ושונות במיקומן. וכך גם כאשר מתבוננים בנקודות שמסודרות בצורת עיגול. נכון אמנם שאם מתבוננים במספרים בצורת משולש, דהיינו:

*

*   *

*   *   *

*   *   *   *

העשר הוא הסכום של המספרים שלפני הארבע בתוספת הארבע (1+2+3+4=10), אבל התופעה הזאת איננה מיוחדת רק לו כי גם השש הוא הסכום של המספרים שלפני השלש בתוספת השלש
 (1+2+3=6) וגם השלש הוא הסכום של השניים והמספר שלפניו (1+2=3).

זכר ונקבה בשמות המספרים

בילדותי למדתי בעל פה את שמות המספרים: אחד, שניים, שלוש, ארבע... ורק אתמול שמתי לב שיש כאן ערבוב בין מספרים ממין זכר (אחד, שניים) לבין מספרים ממין נקבה (שלוש, ארבע), והערבוב הזה מסיח את הדעת ממשמעות שמו של המספר, כי כל מספר מונה את מספר היחידות שמרכיבות אותו, והוא בעצם שם מקוצר:

אחת - יחידה אחת

שתים - שתי יחידות

שלש -  שלש יחידות...

ומי שרוצה למנוע מילדיו את בעתת המתמטיקה, שנובעת מן השרירותיות של מונחיה, יכול להתחיל מללמד אותם את שמות המספרים ממין נקבה, ולהסביר להם שיחידה זו נקבה.

נ.ב.

למרות שכל המספרים מורכבים מיחידות המספר היחיד שמודה בכך הוא האחת, שהיא אחת ושמה אחת. 

סדרת המספרים הטבעית במלוא מובן המילה

לא רק בני האדם יודעים לספור

גם הטבע נוהג לסמן את גיל העץ,
שהוא מספר ימי הולדתו 

באמצעות טבעות גיל 

וזוהי סדרת המספרים הטבעית במלוא מובן המילה

שייכות

כמו הראשון בשבוע שהוא אחד משבע, כמו השעה בשעון שהיא אחת משתים עשרה, כמו כל יחידה מעשרת המספרים הראשונים שהיא אחת מעשר, כמו כל אחוז שהוא אחד ממאה - כל שבר של אחד הוא אחד מאחד. לדוגמה, כאשר מחלקים את האחד למאה מקבלים מאה חלקים, שכל אחד מהם הוא אמנם אחד ממאה, אבל בגלל שכל המאה הם חלקים של האחד יוצא שכל מאית שכזאת היא חלק אחד מתוך האחד.

כולנו מכירים את הביטוי המקראי אֶחָד מִנִּי רַבִּים [שמקורו בפסוק: אִם יֵשׁ עָלָיו מַלְאָךְ מֵלִיץ, אֶחָד מִנִּי אָלֶף, לְהַגִּיד לְאָדָם יָשְׁרוֹ (איוב לג, כג), אבל במקרה של השברים-של-האחד ניתן להפוך את צרוף המלים ולומר שמדובר ביחס של רַבִּים מִנִּי אֶחָד. 

מחשב כמילה אנכרוניסטית

כיום המחשב משמש גם כמעבד מילים, גם כמעבד נתונים, גם כמעבד תמונות, גם כמעבד קולות, ומה לא ... אבל בשעת לידתו הוא נועד לתכלית אחת בלבד- לעזור בחישוב מספרים, לשכלל  את החשבונייה המגושמת בביצוע פעולות החשבון היסודיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק.

כיום המילה מחשב איננה הולמת כלל את מגוון הפעולות של המכשיר שנקרא בשמה, אבל נדמה שכבר מאוחר מדיי לשנות את ההרגל להשתמש בה.

עוד מילים מסוג זה שאסף מני שי תחת הכותרת הטכנולוגיה עברה - המילה נשארה: כסף, שקל, לחייג, סרט, פח אשפה, מנורה.
***
הערה של מני שי:
במקרה זה, הטכנולוגיה, לפי דעתי, לא עברה שינוי מהותי, רק היישומים של הטכנולוגיה השתנו. כמו כן, מקובל המינוח "מכונת חישוב" למכשיר שהיישום היחיד שלו הוא עזרה בחישובים.

התבוננות של הראב"ע בשמות המספרים

רבי אברהם אבן עזרא (- 1164 1089) הקדיש ספר מיוחד (יסוד מספר) לבירור שמות המספרים. הספר הודפס עם פירוש של שמחה פינסקר באודסה בשנת תרכ"ג. הספר עוסק ברובו בניקוד של שמות המספרים, בהטיותיהם, במשמעות של מלים קשות במקרא, אבל פה ושם יש בו הבהרות לגבי המספרים עצמם:

אחד:

יש בתנ"ך אחד שחסרה בו האל"ף בפסוק: וְדִבֶּר חַד אֶת אַחַד אִישׁ אֶת אָחִיו לֵאמֹר" (יחזקאל לג, ל).

אחד ברבים: "ימים אחדים" (בראשית כז, מד), הראב"ע מפרש אחדים - פחות מעשר. ושמחה פינסקר מפרש שם: כמו שהאחדים הם המספרים [היחידות] שהם לכל היותר תשעה.

יחיד- מלה שנגזרת מהמלה אחד. יַחֵד לְבָבִי (תהלים פו, יא) משמעו חבר את לבבי ללב אחד.

שנים:

המילה שנים מלמדת על שינוי, כי היא שונה מן האחד בזה שהיא מתחלקת (לשני אחדים) והוא אינו מתחלק, היא מספר (המספר הראשון) והוא אינו מספר אלא סיבת המספרים. פינסקר מעיר שם שבספרים אחרים שלו מציין הראב"ע ששניים שונה מאחד גם בזה ש"כל מספר יקדימנו מספר קטן ממנו" מלבד האחד. [הערה של זאב ברקן: אמנם הראב"ע הכיר את האפס, והיה האירופאי הראשון שהזכירו בכתב, לפני פיבונצ'י, אבל ככל הנראה לא החשיבו כמספר במשמעות זהה לזו של תשעת המספרים שאחריו].  שנים מופיע בסיומות הזוגיות של מלים כמו שמים, עיניים. כאן מבחין הראב"ע בין מלים שלא יתכן שייפרדו (כמו רחיים, שמים), לבין מלים שמורכבות משני אחדים (כמו עיניים). משניים נגזרה המילה משנה למלך. "המלך דומה לאחד, על כן היה השליש פחות מהמשנה במעלה" [בחשיבות]. "ויש אומרים כי שנה מגזרת שניים, בעבור שוב השמש פעם שנית אל הנקודה הראשונה שהייתה כנגדה בשנה שעברה".

שלש:

ממנה נגזרו המילים שלשום, שליש, וכלי הנגינה המקראיים הנקראים שלישים "ויתכן שהכלי יש לו שלושה יתרים". את הביטוי "החוט המשולש" מפרש הראב"ע: "שהם שלושה חוטים".

ארבע:

האלף נוספה לשורש כמו במילה אתמול.

חמש:

וַיַּכֵּהוּ אַבְנֵר בְּאַחֲרֵי הַחֲנִית אֶל-הַחֹמֶשׁ (שמואל ב ב כג) - אולי הכוונה שהכהו באזור צלעו החמישית.

הראב"ע מציג את ההתמקחות של אברהם אבינו עם האל (בראשית יח, כח- לב) לגבי מספר הצדיקים בסדום כתרגיל בשברים:

אברהם מחסיר חצי מעשר שהיא החמישית של חמישים: אוּלַי יַחְסְרוּן חֲמִשִּׁים הַצַּדִּיקִם חֲמִשָּׁה - הֲתַשְׁחִית בַּחֲמִשָּׁה אֶת כָּל הָעִיר? וַיֹּאמֶר לֹא אַשְׁחִית אִם אֶמְצָא שָׁם אַרְבָּעִים וַחֲמִשָּׁה.

אברהם מחסיר את החמישית שנשארה: וַיֹּסֶף עוֹד לְדַבֵּר אֵלָיו וַיֹּאמַר אוּלַי יִמָּצְאוּן שָׁם אַרְבָּעִים?

וַיֹּאמֶר לֹא אֶעֱשֶׂה בַּעֲבוּר הָאַרְבָּעִים.

אברהם מחסיר רבע מהארבעים: וַיֹּאמֶר אַל נָא יִחַר לַאדֹנָי וַאֲדַבֵּרָה: אוּלַי יִמָּצְאוּן שָׁם שְׁלֹשִׁים?

וַיֹּאמֶר לֹא אֶעֱשֶׂה אִם אֶמְצָא שָׁם שְׁלֹשִׁים.

אברהם מחסיר שליש משלושים: וַיֹּאמֶר הִנֵּה נָא הוֹאַלְתִּי לְדַבֵּר אֶל אֲדֹנָי: אוּלַי יִמָּצְאוּן שָׁם עֶשְׂרִים?

וַיֹּאמֶר לֹא אַשְׁחִית בַּעֲבוּר הָעֶשְׂרִים.

אברהם מחסיר חצי מהעשרים:  וַיֹּאמֶר אַל נָא יִחַר לַאדֹנָי וַאֲדַבְּרָה אַךְ הַפַּעַם: אוּלַי יִמָּצְאוּן שָׁם עֲשָׂרָה? וַיֹּאמֶר לֹא אַשְׁחִית בַּעֲבוּר הָעֲשָׂרָה.

נאמר על יוסף: וְחִמֵּשׁ אֶת-אֶרֶץ מִצְרַיִם בְּשֶׁבַע שְׁנֵי הַשָּׂבָע. והראב"ע מסביר שיוסף רכש את חמישית היבול. [בשפה של ימינו היינו אומרים שיוסף הכין תחמושת, או התחיל את מרוץ החימוש]. 

שבע:

את שבעתים שבפסוק וְאוֹר הַחַמָּה יִהְיֶה שִׁבְעָתַיִם כְּאוֹר שִׁבְעַת הַיָּמִים (ישעיהו ל, כו) מפרש ראב"ע ככפול מאור שבעת הימים, אבל הוא מוסיף דעה אחרת, שחוזק האור יהיה שבע בשלישית. לחזקה השלישית קורא הראב"ע בשם "גוף השווה" והכוונה, לפי פירושו של פינסקר שם, לקובייה, שכל שש צלעותיה שוות.

השבע הוא לדעת הראב"ע "חשבון שלם". פיסקר מפרש שם, על פי מה שכתב הראב"ע בעניין זה בספריו האחרים, שהכוונה לכך שהמספר שבע כולל בתוכו את המספרים הזוגיים שניים וארבע ואת האי זוגיים שלש וחמש; ואם תחבר שנים וחמש תקבל שבע ואם תחבר ארבע ושלש תקבל שבע [1]. 

שמונה:

שמונה הוא המעוקב של שנים, ולכן הוא כעין גרסה שמנה שלו: "יתכן להיות מגזרת מֵאָשֵׁר שְׁמֵנָה לַחְמוֹ (בראשית מט, כ) והטעם כי קו לעולם משתי נקודות במחשבת מחשב, והנה השטח מארבע נקודות, והנה הגוף, שעיקרו הגובה, משמונה נקודות".

עשר:

עשר הוא במעלה השניה, והטעם לכך הוא שהעשירי הוא תחילת מספר העשרות וסוף המספרים [המקוריים, כי כל שאר המספרים חוזרים על התשעה הראשונים]  "כאשר מפורש בספר יצירה, כי ככה מספר האצבעות". פינסקר מוסיף בהערה: "בפירושו לתורה בפרשת שמות... כתב: ומדרך אחרת הם (המספרים) עשר ספירות בלימה, כי לא תוכל להחל אם לא יהיו עשרה". משתמע מפרוש זה הסבר חדש למילה בלימה, כי התשע הוא אחרון המספרים, והוא עוצר אותם. כל מה שאחרי התשע הוא צל, או חיקוי, של מספר, ואין מספרים במלוא מובן המילה אחרי העשר כמו שאין לאדם יותר מעשר אצבעות.   

את הביטוי נבל עשור מפרש הראב"ע כשני כלי נגינה, והייתה צריכה להיות ו"ו החיבור ביניהם. וראייה לכך בפסוק שבו הם אכן מופיעים כנפרדים: "עֲ‍לֵי עָשׂוֹר וַעֲלֵי נָבֶל" (תהלים צב ד).

הסיומת עשרות כמו הסיומת מאות אינה חלה על היחידות ופינסקר משלים בהסברו שאי אפשר לומר שלושות.

עשתי עשרה אין מקורו במלים "על שתי עשרה", אלא עשתי מקורה במילה עשת שמשמעותה מחשבה ובלשונו של הראב"ע "חישבון".

"ומילת עשרים  הייתה ראוי הרי"ש להיות פתוח [עשריים] בעבור שהיא שם שתי עשרות" אבל התאימו אותה לשמות העשרות שאחריה: שלושים עד תשעים. 

הערה:
[1] 

בפירושו לפסוק לָכֵן כָּל-הֹרֵג קַיִן שִׁבְעָתַיִם יֻקָּם (בראשית ד, טו) מפרש אבן עזרא:

"שבעתים - עד שבעת דורות, כי אין זאת המלה ארבעה עשר ולא שלוש מאות ומ"ג והעד: ואור החמה יהיה שבעתים ואחר כן ביאר הנביא דבריו ואמר: כאור שבעת הימים".

הסבר: אבן עזרא דוחה את האפשרות שבגלל הצורה הזוגית של המילה שבעתים מדובר בשבע כפול שנים שהם ארבע עשרה. הוא גם דוחה את האפשרות שמדובר בשבע בחזקה שלישית (שלוש מאות ומ"ג= 343 ). 

חיבור וכפל בשמות המספרים

שם המספר אלפיים מקורו באלף. מאתיים במאה. עשרים בעשר. לפי ההיגיון הזה ב"הנדסה לאחור" שניים מקורו באחד. הוא מעין הכלאה של שתי מילים: שני אחדים. כך או כך 2 הוא חיבור של שני אחדים ולא כפל שלהם, כי כפל של שני אחדים הוא עדיין אחד. אבל 20 הוא כפל של 2 בעשר, 200 הוא כפל של 2 במאה, אלפיים הוא כפל של 2 באלף. שניים הוא יוצא דופן בסדרה של היחידות כי רק הוא מספר מחובר.

הסדרה של שניים, עשרים, מאתיים, אלפיים היא סדרה יוצאת דופן כי היחידה הכופלת של החזקה של עשר נעדרת ממנה. לעומת זאת היא קיימת בכל המשכי הסדרה: 3, 30, 300, 3000; 4, 40, 400, 4000 וכן הלאה. אילו הייתה אחידות בשמות המספרים היו לנו במקום עשרים שתי עשרות, במקום מאתים שתי מאות, ובמקום אלפיים שני אלפים.

בין 11 ל 19 יש חיבור מובלע של יחידה עם עשר: 11 זה אחד ועשר, 12- שניים ועשר, וכן הלאה. אחרי 20 כבר מופיעה ו"ו החיבור בגלוי: עשרים ואחד, עשרים ושניים וכן הלאה. רואים אותה רק כשכותבים את המספר במילים. כשכותבים 21 בספרות סימן החיבור נעלם, אבל, למרות זאת, כשמקריאים את 21 ו"ו החיבור מופיעה. באנגלית אין ו"ו החיבור ב 21 ואילך, אבל בצרפתית יש. 

מספרים מרכיבים ומספרים מורכבים

הבינרי שבעשרוני
אפס ואחד על קוביות סוכר
וקראתי לתמונה מתיקותיקה,
כי היא מבטאת את המתיקות שבמתמטיקה

אחד מרכיב את 10, 11, 100, 1000, 10000 וכן הלאה

שנים מרכיב את 12, 20, 200 וכן הלאה, אבל המילה שנים לפי הסיומת שלה מצביעה לכאורה על זה ששנים הוא לא רק מספר מרכיב אלא גם מספר מורכב, כמו שהאופן מרכיב את האופניים.

3-9 הם מספרים מרכיבים.

10 בספרות נראה מספר מורכב מאחד ומאפס, ואנחנו גם יודעים שהוא הגלגול הראשון של אחד, אבל המילה עשר איננה מעידה על היותו מספר מורכב. עשר מרכיב את עשרים, שהיה צריך להיקרא עֶשְרַיִם כי הוא הצורה הזוגית של עשר.

100 בספרות מורכב מאחד ומאפסים, וכך גם  אלף, ריבוא או רבבה, ומיליון, אבל שמות המספרים האלה אינם מעידים על היותם מורכבים, והם מרכיבים את המספרים שמעליהם, כמו 101, 1002, 10003 וכן הלאה.

בספר יצירה מדובר על עשר ולא תשע, עשר ולא אחד עשרה. מחבר ספר יצירה לא הכיר את האפס, שנתגלה בהודו מאות שנים אחרי פרסום ספרו. כך שברור שמדובר שם על אחד עד עשר ולא על אפס עד תשע. המספר אחד-עשרה ברור שהוא מספר שמורכב מעשר ומאחד, אבל עשר, לפי ספר יצירה, הוא מספר מרכיב, ממש כמו אחד עד תשע.

מסתבר, לפיכך, שיש פער בין הצגת המספרים במילים לבין הצגתם בספרות. שמות המספרים שאחרי עשר מלמדים על מרכיביהם, מלבד המאה האלף הרבבה והמיליון, שלא ניתן להבין מהם ממה הם מורכבים, למרות שבתצוגת הספרות שלהם ברור לגמרי שמקורם באחד ובאפס.

נוסיף רק שבאנגלית העשרים מקורו בשניים (Twenty), ובעברית, לעומת זאת, מקורו בעשר.
***
ובניסוח אחר:
כל המספרים מורכבים מאחד
חצי מהמספרים מורכבים מ-2 (זוגיים)
שליש מהמספרים מורכבים מ-3 (זרם 3-6-9)
כל העשרות מורכבות מחמש

   

חבל כאמצעי מדידה

מודדים מצרים מודדים שדה באמצעות חבל ארוך שמגולגל על כתפיהם - איור של Charles K. Wilkinson משנת 1930 על פי ציור קיר מן השנים 1567-1320 לפנה"ס, מקבר מנה (Tomb of Menna) שליד לוקסור. מנה היה, להערכת יודעי דבר, פקיד ממונה על רישום קרקעות. האיור מוצג כיום במוזיאון המטרופוליטן בניו יורק.

לפני ימים אחדים כתבתי על חשיבות חלוקת האדמה לחלקות בעולם העתיק, והזכרתי  שאצל היוונים המונח גיאומטריה משמעו מדידת הארץ או האדמה, ושהיסטוריונים מייחסים את המצאת הגאומטריה בכלל, ואת משפט פיתגורס בפרט, למודדי הקרקע המצרים הקדומים שלמדו ליצור זווית ישרה באמצעות קשרים בחבל. אבל היוונים יכלו ללמוד גאומטריה גם מהעברים בני תקופתם, כי בתנ"ך נזכרת מדידה בחבל פעמים רבות. בספר יהושע (יז יד) בהקשר לחלוקת האדמה לחלקות: וַיְדַבְּרוּ בְּנֵי יוֹסֵף אֶת יְהוֹשֻׁעַ לֵאמֹר מַדּוּעַ נָתַתָּה לִּי נַחֲלָה גּוֹרָל אֶחָד וְחֶבֶל אֶחָד. וכן (בפרק יז ה): וַיִּפְּלוּ חַבְלֵי מְנַשֶּׁה עֲשָׂרָה לְבַד מֵאֶרֶץ הַגִּלְעָד וְהַבָּשָׁן אֲשֶׁר מֵעֵבֶר לַיַּרְדֵּן. פירוש "מצודת ציון" לפסוק זה מסביר מדוע מחוז נקרא בשם חבל: "כי בחבל יחולק נחלה", ומתבסס על ספר עמוס (ז, יז) וְאַדְמָתְךָ, בַּחֶבֶל תְּחֻלָּק.

בספר שמואל ב (ח, ב) נזכר חבל בהקשר למדידה באופן כללי: וַיַּךְ אֶת-מוֹאָב וַיְמַדְּדֵם בַּחֶבֶל הַשְׁכֵּב אוֹתָם אַרְצָה וַיְמַדֵּד שְׁנֵי-חֲבָלִים לְהָמִית וּמְלֹא הַחֶבֶל לְהַחֲיוֹת.

בספר זכריה (ב, ה-ו) נזכר חבל ככלי מדידה: וָאֶשָּׁא עֵינַי וָאֵרֶא וְהִנֵּה-אִישׁ וּבְיָדוֹ חֶבֶל מִדָּה, וָאֹמַר, אָנָה אַתָּה הֹלֵךְ; וַיֹּאמֶר אֵלַי, לָמֹד אֶת-יְרוּשָׁלִַם, לִרְאוֹת כַּמָּה-רָחְבָּהּ, וְכַמָּה אָרְכָּהּ.
המילה הנרדפת ל"חבל" היא "יתר", שמשמשת כיום כשמה של הצלע הארוכה במשולש ישר זווית:

וַיֹּאמֶר אֵלֶיהָ שִׁמְשׁוֹן אִם-יַאַסְרֻנִי בְּשִׁבְעָה יְתָרִים לַחִים אֲשֶׁר לֹא-חֹרָבוּ וְחָלִיתִי וְהָיִיתִי כְּאַחַד הָאָדָם [שופטים טז, ז]

מדידה בחבל הייתה נהוגה גם בתקופת התלמוד: אֵין מוֹדְדִין אֶלָּא בְחֶבֶל שֶׁל חֲמִישִּׁים אַמָּה... (מסכת עירובין, ה, ד:).

במילון למילים המקראיות מאת גזניוס בערך "קו" מסתבר שהמשמעות המקורית של מילה זו היא חבל או חוט ובעיקר חבל מדידה. וכך גם במילון האטימולוגי למילים באנגלית LINE משמעותה, בין היתר, חבל או כבל, ומקורה במילה הלטינית LINEA שמשמעותה, בין היתר, חוט.

למרות שלא ברור אם יש איזה קשר בין מדידה בחבל באזורנו ובין תרבות האינקה ראוי להזכיר שאצלם היה נהוג חישוב מבוסס על קשרים בחבל שנקרא קִיפּו

המקצועות חובל ורב חובל נקראים כך בגלל שתפקידים אלה היו כרוכים בשימוש רב בחבלים. על פי מילון גזניוס למילות התנ"ך גם המילה תחבולה מקורה בחבל, ולדעתי הסיבה לכך היא ששיטות קשירה חדשות מצריכות חוש להמצאות. האגדה על הקשר הגורדי שאלכסנדר הגדול פתר באבחת חרב, מזכירה בעיה מתמטית בלתי פתירה, ונדמה כי למי שהמציא את הקשר הגורדי היה כשרון מתמטי לא מבוטל. 

המילה האנגלית CABLE  מקורה אמנם במילה הלטינית לחבל capulum  , אבל היא כל כך דומה לחבל שנדמה לי שמקורה בעברית.

על חשיבות החבל בתרבות המצרית מעיד גם ההירוגליף שמציין את המספר מאה: 

 שמקורו ככל הנראה בסליל של חבל שמגולגל בצורת ספירלה.

תשע כגלגל

(בהמשך למה שכתבתי כבר על "מספרים ומעלות"  ועל גלגול נשמות").

כאשר משווים את שמות המספרים בערבית לשמות המספרים בעברית:

סִפְר, וַאחַד, תְ'נֵין, תַלַאתֵה, אַרְבַּעֵה, חַ'מְסֵה, סִתֵّה, סַבְּעֵה, תַמַאנְיֵה, תִסְעֵה, עַשַׁרָה, בולטת לעין התחלפות השי"ן העברית בת"יו הערבית (תְ'נֵין, תַלַאתֵה, סִתֵّה, תַמַאנְיֵה).  לאור זאת סביר להניח שהמקור לשם האות היוונית התשיעית תטא בשם המספר העברי תשע, או באות התשיעית באלפבית הפיניקי, "טת", שמשמעותה גלגל. יתכן אפילו שהאות "טת" ומשמעותה התגלגלו איכשהו למילה הצרפתית tête  שמשמעותה ראש, שהיא מילה נרדפת לגולגולת, שמקורה בגלגל. ודרך אגב  גם האות פי F)), שמציינת את היחס הקבוע בין היקף המעגל לקוטרו, מקורה בפ"א העברית, או ב- פֵּה הפיניקית.

וכל ההקדמה הזאת נועדה להבליט את הזיקה שבין מספר תשע לבין הגלגל או המעגל, שכן יש בו במעגל 360 מעלות וסכום הספרות של 360 הוא 9, וקוטרו של המעגל חוצה אותן ל 180 מעלות, כאשר סכום הספרות של 180 הוא 9, והקוטר המאונך לו חוצה את 180 המעלות ל- 90 מעלות, וסכום הספרות של 90 הוא תשע, וחוצה הזווית חוצה את 90 המעלות ל-45 מעלות, שסכומן 9, ורק ל2 ול-7 אין מקום בסדרה הזאת, אבל ניתן אולי לראות בהן רמז ל-22 חלקי שבע של האות פי F)) שמציינת את היחס הקבוע בין היקף המעגל לקוטרו.

בנוסף לכל אלה התשע קודם לעשר כמו שהאפס קודם לאחד. כאשר מוסיפים אפס או תשע למספר כלשהו אותו מספר שומר על עצמאותו (מה שנקרא גלגול, כמו 3 ועוד 9 = 12 שסכום הספרות שלו 3). כלומר, יש בתשע איזה דמיון ב"אופי" לאפס, שהוא, כידוע עגול. גם בצורה הגרפית של 9 ניתן לראות מין הכלאה של אחד ואפס, או לחילופין, ספירלה, שהיא סוג של עיגול שמוליד מעליו עוד ועוד עיגולים, כמו שהתשע מסיים את העיגול של תשע הספרות הראשונות ומיד אחריו מתחיל העשר, וה- 19 מסיים את העיגול השני של תשע הספרות, ומיד אחריו מתחיל העשרים, וכן הלאה. 

טטרקטיס עברי

בשורה הראשונה אחד בריבוע, בשנייה- שניים בריבוע, בשלישית 3 בריבוע, ברביעית 4 בריבוע, בסך הכל שלושים.
בטטרקטיס היווני המקורי בדרך כלל יש בשורה הראשונה אחד, בשנייה- שניים, בשלישית 3, ברביעית 4 בסך הכל עשר.

שיטות לכתיבת מספרים

ארבע שיטות לכתיבת מספרים: ערבית, מספרים ערביים (הודיים), השיטה הרומית, וכתב חרטומים על בול מצרי שיצא לרגל כנס של רופאי עיניים בשנת 1937. ומה חסר? השיטה של תרבות המיה והשיטה העברית.

האפס כנספר

אי אפשר לחלק את האפס לחלקים אבל אפשר לספור אפסים: בעשר יש אפס אחד, במאה שניים, באלף שלושה, ברבבה ארבעה. עד כדי כך נפוצה ספירת האפסים שבסלנג אומרים:

על מנהלים שמקבלים תנאי שכר חלומיים שהם מקבלים שכר של שישה אפסים

על כישלון אומרים "אפס הצלחות",

על ביצוע מושלם אומרים "אפס תקלות".

המעבר משקל ישן לשקל חדש בשנת 1985 נקרא בשם "מחיקת אפסים" (מן השקלים הישנים).

כמה הקבלות יהודיות לתורת המספרים של הפיתגוראים

א. לפי התנ"ך האור ואדם הראשון, כמו האחד אצל הפיתגוראים, נבראו יש מאין. אחרי האור נבראו החושך וההבדל של החושך מן האור; אחרי אדם נבראה חווה. החושך (שהוא העדר אור), וחווה, שנבראה מצלעו של אדם נבראו יש מיש. אותה משמעות יש לשנים אצל הפיתגוראים, שהוא מספר נקבי מספר של חושך, ומספר של הבדלה.

ב. בספר בראשית (א, כז) מסופר על בריאת האדם בצלמו ובדמותו של האל, שהוא אחד. בתורת המספרים של הפיתגוראים מדובר על בריאת המספרים בצלמו ובדמותו של האחד. כאן וכאן מדובר על מקור אחד שהוא אמת, ולו חיקויים רבים שהם אשליה. אם הפיתגוראים קראו את הפסוק שְׁמַע, יִשְׂרָאֵל: ה' אֱלֹהֵינוּ, ה' אֶחָד (דברים ו, ד) הם בטח הדגישו בקריאתם את האחד, ואם הם קראו את שם האל בן ארבע האותיות הם בטח הבליטו את ערכן המספרי: עשר, חמש, שש, חמש.

ג. כמו שבתורת המספרים של הפיתגוראים יש לאחד מעמד מיוחד והוא המקור לכל המספרים האחרים, כך במסורת היהודית האות יו"ד "היא ראש לכל האותיות, שלא תמצא אות בעולם שלא תהיה יסודה יו"ד" (רמ"ק בפירושו לספר יצירה וכן גם הרב בן ציון בר עמי באתר האינטרנט שלו: [יו"ד] כוללת את הכל, וכל האותיות מורכבות ממנה ויונקות מתוכה). וכמו שבתורת המספרים של הפיתגוראים האחד הוא נקודה בלי מקום, כך גם היו"ד אצל המקובלים (הרב בן ציון בר עמי, שם).

ד. כמו שבתורת המספרים של הפיתגוראים המספרים מתחלקים לזוגיים ולאי זוגיים כך גם 12 האותיות הפשוטות שנזכרות בספר יצירה "הם ששה זכרים וששה נקבות" (רמ"ק בפירושו לספר יצירה משנה ה). אצל הפיתגוראים המספר חמש נחשב למספר של נישואין כי הוא תוצאה של חיבור בין המספר הזוגי הראשון (2) למספר הפרדי הראשון (3). רעיון דומה עומד מאחורי הספירה העממית של המספרים מאפס עד תשע: אפס, אחד, שנים, שלוש, ארבע, חמש, שש, שבע, שמונה, תשע - האפס האחד והשנים בלשון זכר, והשאר בלשון נקבה.

ה. רויכלין בספרו  de arte cabalisticaטען שתורת פיתגורס התבססה על תורת הקבלה. בין דוגמאותיו לטענה זו: הטטרגרמטון (שם האל בן 4 האותיות) השפיע על הטטרקטיס של הפיתגוראים [1] ועשר הספירות השפיעו על הדקאד, העשר של הפיתגוראים [2].

ו. הקבלה נחשבה לתורת סוד שאסור ללמדה למי שאינו שייך לחבורת הלומדים, וכך גם תורת הפיתגוראים.

ז.הרעיון בדבר המוסיקה של הכוכבים מופיע גם אצל הפיתגוראים וגם בתנ"ך: בְּרָן יַחַד כּוֹכְבֵי בֹקֶר וַיָּרִיעוּ כָּל בְּנֵי אֱלֹהִים (איוב לח, ז). אצל המלבי"ם (1879-1809) בפירושו לפסוק זה הקשר בין שתי התרבויות בולט במיוחד:

"דרך המלכים שבעת שמניחים אבן פינה ליסד בית מקדש מלך, יעמידו שרים ומנגנים לנגן ולהריע תרועה גדולה, על פי זה מצייר שבעת ירה אבן פינת הארץ רננו כל כוכבי בקר, וכל בני אלוהים הריעו, וזה הציור של הכוח המושך שיש לכל הכוכבים זה את זה ואל כדור הארץ, שערך מיתרי הכוח המושך הזה ויחוסו שווה עם ערך הקולות אשר בחכמת המוזיקה, וזה מראה הערך התבוני והייחוס והשיווי שיש בין הארץ ויתר הכדורים, שכל זה מורה על רוב החכמה וההשגחה".  

ח. בתרבות בת ימינו המספר מייצג משהו בעולם, אצל הפיתגוראים ואצל המקובלים מה שהוא מן העולם מייצג את המספר.

נדמה לי שגם משל המערה של אפלטון - שמדבר על חיי האשליה של האנושות שמחליפה את צל הדברים בדברים  - מושפע מן הרעיון הפיתגוראי שרק לאחד יש ממשות, בעוד שאר המספרים שחוזרים עליו אינם אלא השתקפויות או צללים שלו. זו גם המחשה להשפעת הפיתגוראים על אפלטון.

ט. העולם נברא במספר, כך לפי האסכולה של הפיתגוראים וכך גם בתנ"ך: 

ישעיה מ, כו            שְׂאוּ-מָרוֹם עֵינֵיכֶם וּרְאוּ מִי-בָרָא אֵלֶּה הַמּוֹצִיא בְמִסְפָּר צְבָאָם...

תהילים יט, ב            הַשָּׁמַיִם מְסַפְּרִים כְּבוֹד-אֵל וּמַעֲשֵׂה יָדָיו מַגִּיד הָרָקִיעַ

בזוהר תרומה (קסא, א) דכד ברא קוב"ה עלמא אסתכל בה באורייתא וברא עלמא

איוב לח, ה            מִי-שָׂם מְמַדֶּיהָ כִּי תֵדָע אוֹ מִי-נָטָה עָלֶיהָ קָּו

לפיכך, יש בה בתורת המספרים מעין הבטחה שהיא מובילה להבנה טובה יותר של העולם.

=

[1] on the art of the kabbalah, 1983,  by Martin and Sarah Goodman p. 157

[2] Johannes Reuchlin: Kabbalah, Pythagorean Philosophy and Modern Scholarship by Moshe Idel

מספרים בכמה מטבעות לשון

אחד במאי

אני ואפסי עוד

אפס קצהו

ארבע העונות 

ארבע הקושיות

ארבעה כיווני אוויר

ארבעה נהרות בגן עדן

ארבעים שנה במדבר

בארבע עיניים

הולכי על ארבע

השילוש הקדוש

מספר עגול

מתי מספר

עַל אַחַת כַּמָּה וְכַמָּה

שבעה כוכבי לכת

שבעת החטאים

שבעת פלאי תבל

שורה תחתונה

שלשת הקופים

שני צדדים למטבע

שנים עשר המזלות

תשעה ירחי לידה
עשירי למניין
בטל בשישים

היכן התחבא האפס במשך למעלה מאלף שנים

חכמי המספרים הקדמונים בחצי האלף הראשון שלפני ספירת הנוצרים לא הכירו את האפס. גם מחברי התנ"ך וספר יצירה לא הכירו את האפס.  לקח לאנושות עוד כאלף שנים עד שהאפס נכנס לשימוש אופרטיבי. לנו האפס כל כך מובן מאליו שקשה לנו להעלות על הדעת איך הסתדרו בלעדיו, אבל ההמחשה לכך בספרות הרומיות

X=10

C=100

M =1000

שמסתדרות יפה מאד בלי אות מיוחדת לאפס

ובספרות העבריות

י=10

ק=100

א=1000

ההסטוריונים של המתמטיקה מתחילים מזה שיש לאדם עשר אצבעות ומהן באו לנו לא רק השיטה העשרונית, אלא גם המילה דיגיטאלי, שמקורה מן המילה היוונית לאצבע. אני לא מתפלא שלא הכירו את האפס לאורך תקופה כל כך ארוכה, הוא התחבא היטב בין האצבעות, במקום כל כך גלוי לעין שאף אחד לא טרח למצוא אותו שם.

בתמונה: לוגו של חברת

White Glove  

התפתחות המספרים מן העשר אל האטום

   

בדרך כלל מנסים לתאר את התפתחות המספרים מכיוון האחד אל העשר, אולי בהשפעת הטטרקטיס הפיתגוראי, או בהשפעת עץ החיים של הקבלה. אבל במספרים ניתן לראות כל תופעה גם מן ההתחלה לסוף וגם מן הסוף להתחלה. נדמה לי שהמראה הזה הוא שהניע את דמוקריטוס (370- 460 לפנה"ס) להמציא את מושג האטום (א ביוונית שאינו; טומוס - נחתך),

היחידה שאיננה ניתנת לחלוקה. כי אם נניח שעשר הוא כל המספרים, הוא מתחלק לעשר יחידות, כאשר התשיעית מתחלקת בשלוש, השמינית - בארבע ובשניים... ואילו האחד, כל עוד הוא שלם, אינו מתחלק באף אחד. במלים אחרות המסע של המספרים הוא מן השניים, אבי החלוקה, אל האחד, אבי האחדות הבלתי מתחלקת.

יחסים בין מספרים: שברים

האחד לא שובר את המספרים האחרים, הוא הילד הכי טוב בגן הילדים, אבל המספרים האחרים שוברים אותו לחתיכות: השניים שוברו לשני חצאים, השלוש - לשלושה שלישים, הארבע - לארבעה רבעים, החמש - לחמש חמישיות וכן הלאה. השניים שובר את השלוש לשני שלישים, את החמש לשתי חמישיות, את השבע לשתי שביעיות, את התשע לשתי תשיעיות. את המספרים הזוגיים הוא מחלק, אבל לא שובר, הם מקבלים ממנו יחס מיוחד.
  

חצי - חותמת על בול מאוסטרליה המערבית משנת

1890-1893