השיטה העשרונית מנקודת מבט גיאומטרית

מכל מספר (מעל לאחד) ניתן ליצור סדרה של חזקות שהיא בעצם סדרה של ריבועים או קוביות. אנחנו רגילים להתייחס לשיטה העשרונית במספרים, אבל יש לה ביטוי מקביל בצורות הגיאומטריות, כי המאה הוא ריבוע של עשר, האלף הוא קובייה של עשר, והרבבה היא ריבוע של מאה.

בנוסף, הריבועים של ארבעת המספרים הראשונים מרכיבים פירמידה מרובעת, כאשר כל אחת מהדפנות שלה היא טטרקטיס, משולש שווה צלעות שמורכב מנקודות שמייצגות את ארבע הספרות הראשונות, שחיבורן מרכיב את העשר.

וראוי להזכיר גם כי המעוקבים של ארבעת המספרים הראשונים מרכיבים את המאה.

הערה של NINE:

חומר למחשבה (על אחריות הקורא בלבד): נראה, לכאורה, שהביטוי "שיטה עשרונית" מתייחס למערכת מתמטית שבה עשר הוא "השליט" או מהווה יחידה אחת כוללת, או שיש פשוט עשר אבני–בניין מספריים, וכד'...

אבל אם בוחנים בעין אחרת (לאו דווקא נכונה יותר או נכונה פחות), אפשר לראות במספר 10 את המספר 1 (כי 1=1+0), ובמספר 11 את המספר 2 (2=1+1), וכן הלאה. כלומר לעשות סכום (Σ סיגמא) של כל הספרות עד שמגיעים לספרה בודדת. (במילים אחרות – "גימטריה קטנה").

אם מסתכלים כך על "השיטה העשרונית" מתגלה לעיננו הפלא ש"השיטה העשרונית" היא בעצם שיטה שבה שולט המספר תשע. (כי אחרי 9 בא שוב 1 ואז 2... עד 9 ואז שוב 1 וחוזר חלילה עד אין סוף...)

הערה: על פי זה – המספר עשר ("הסוף") מתקשר לאחד ("ההתחלה"), כי 10 הוא בעצם 1. ועל זה, כנראה, נאמר בספר יצירה "עשר ספירות בלי מה... נעוץ סופן בתחילתן, ותחילתן בסופן"...

קובייה מכדורים

 

הערה של NINE:

תמונה יפה של גולות.

כל גולה נראית כמו "כדור בדולח" צלול וטהור.

אגב, המילה "גולה" - (מהשורש "ג.ל.ל" או "ג.ו.ל" או "ג.ל.ה") קשורה למילה "עגול" או "מעגל".

האותיות גימל וכף מתחלפות, כי הן דומות, ("עיצורים חוככים").

- ואז מוצאים קשר יפה בין ה"גולה" לבין ה"כּוּלה",

או בין "עגול" לבין "הכול".

ומכאן שהכל הוא עגול!!! כלומר שהמציאות כולה, בכללותה היא עגולה!!!

היא בצורת סְפֵירָה.

המעבר מאחד לשניים בשלושת הממדים

המעבר מאחד לשניים במספרים נעשה פשוט באמצעות הוספה של אחד.

מאחד בריבוע לשניים בריבוע באמצעות הגנומון 3. [1+3]

מאחד בשלישית לשנים בשלישית באמצעות הכפלת הגנומון [2+6]

בגיאומטריה האחד הוא קטע קו והשניים הוא קטע קו באורך כפול.

כשטח הוא מוכפל במלבן שאורכו שני ריבועים [1]

כנפח באמצעות תיבה שאורכה שתי קוביות. אבל מעניין להזכיר שהיוונים הקדמונים בנו ריבוע ששטחו כפול על אלכסון של ריבוע של אחד, והתמודדו ללא הצלחה עם הכפלת נפח הקובייה באמצעות סרגל ומחוגה. הם הצליחו לפתור את הבעיה באמצעים אחרים. ניתן לבנות משמונה קוביות זהות בגודלן קובייה של שניים-בשלישית כמו בגנומון של המספרים [2+6].

=

[1]

מעניין לראות את משפט פיתגורס כהוכחה לבניית הריבוע של חמש משני הריבועים שקדמו לו במסגרת בניית המספרים לפי הממד השני 

יחסים וממדים

ממד ראשון

האחד הוא שליש מהשלוש.

השניים הוא שני-שליש מהשלוש.

השליש והשני-שליש יוצרים את השלוש.

הם יוצרים אותו כקו שיש עליו שלש נקודות.

ממד שני

השלוש הוא שליש מריבועו.

השש הוא שני-שליש מריבועו של השלוש.

ביחד הם יוצרים את התשע.

הם יוצרים אותו כשטח שיש לו צורה של ריבוע

ממד שלישי

התשע הוא שליש ממעוקבו של השלוש

ה-18 הוא שני-שליש ממעוקבו של השלוש

ביחד הם יוצרים את ה-27.

הם יוצרים אותו כנפח שיש לו צורה של קובייה

מספרים טבעיים לפי ממדיהם

המספרים הראשוניים הם מבחינה גאומטרית קווים, או צלעות של ריבועים ושל מלבנים, ולכן הם שייכים לממד הראשון.

הממד השני כולל את מספרי השטח שהם מבחינה גאומטרית ריבועים, מלבנים וגם משולשים, שהרי כל שני מספרים משולשים עוקבים בונים ריבוע.

הממד השלישי, ממד הנפח, כולל את המספרים המעוקבים.

המספר שניים הוא מספר ראשוני, הוא קו, הוא צלע בריבוע שלו שהוא כבר בממד השני, ממד השטח. 8 הוא המעוקב שלו והוא בממד השלישי.

המבנה התלת ממדי של המספרים

זה לא מובן מאליו שהמספרים הטבעיים הם כפולות של אחד. בשביל לגלות זאת צריך ללכת מהכפולות של שלש לכפולות של שניים, ולהבין, שכמו ששלוש הוא הכפולה הראשונה של שלוש, ושניים הוא הכפולה הראשונה של שניים, כך האחד הוא הכפולה הראשונה של אחד, ושניים הם הכפולה השנייה שלו...

באופן דומה זה לא מובן מאליו שכל מספר ראשוני הוא קו, שכל מספר בריבוע הוא ריבוע, ושכל מספר בשלישית הוא קובייה. בשביל לגלות זאת צריך ללכת מן הקובייה אל הריבוע ומן הריבוע אל הצלע של הריבוע, שהוא קו.

בעצם, הדו-ממד של המספרים כולל לא רק ריבועים אלא גם שטחים אחרים, והתלת ממד שלהם כולל לא רק קוביות אלא גם נפחים אחרים. לדוגמה, עשר הוא מלבן שמורכב מעשרה ריבועים של אחד, שהם תוצאה של הכפלה של צלע של שניים בצלע של חמש.

המבנה התלת ממדי של המספרים מבליט את החשיבות של המספרים הראשוניים, וממחיש את ההתאמה העמוקה שבין העולמות המקבילים של המספרים ושל הצורות הגאומטריות.   

המספרים המעוקבים על האלכסון של קוביית הקוביות

המספרים המעוקבים מופיעים על האלכסון של קובייה שמכילה את הקוביות הקודמות לה.

הקובייה שאורך הצלע שלה 1 נכנסת לתוך הקובייה שאורך הצלע שלה 2, שבה יש שמונה קוביות בגודל של הקובייה של ה-1.

הקובייה שאורך הצלע שלה 2 נכנסת לתוך הקובייה שאורך הצלע שלה 3, שבה יש 27 קוביות בגודל של הקובייה של ה-1.

הקוביות האחרונות בכל קובייה מתחברות על ידי אלכסון הקובייה, בדומה לתופעה של התחברות הריבועים על האלכסון של לוח הכפל.

מדוע חיבור של מעוקבים נותן תוצאות בריבוע

ניקומאכוס מגראסה, בן המאה הראשונה לספירה, גילה בספרו "הקדמה לאריתמטיקה" שהמספרים המעוקבים בהתחברם זה לזה נותנים תוצאה במספרים רבועים באופן שיטתי. הוא לא הסביר מהי הסיבה לכך, אבל אני משער שזה קשור למספרים המשולשים:

1.1.1+2.2.2=3.3=9

והבסיס לכך הוא שבמספרים המשולשים

1+2=3

1.1.1+2.2.2+3.3.3=36

והבסיס לכך הוא שבמספרים המשולשים

1+2+3=6

1.1.1+2.2.2+3.3.3+4.4.4.4=100

והבסיס לכך הוא שבמספרים המשולשים

1+2+3+4=10

1.1.1+2.2.2+3.3.3+4.4.4.4+5.5.5.5.5=225

והבסיס לכך הוא שבמספרים המשולשים

1+2+3+4+5=15

==

האיור מנסה להציג את שלשת ממדי ה-9: 1 עליון, 4 בקומה השנייה & 4 בקומה התחתונה. 4 + 4 יוצרים קובייה.

מספרים משולשים כמבנה של קוביות

הקובייה של 3 מכילה 27 קוביות מסודרות במבנה של המספרים המשולשים של 2 [3 = 1 + 2] ו 3 [1 + 2 + 3 = 6] בכל "קומה", ויש לנו במקרה זה 3 "קומות" כך שיש לנו
 3 + 6 + 9 + 6 + 3.

במקרה של 4 יש לנו 64 קוביות במבנה של המספרים המשולשים של 3 [1 + 2 + 3 = 6] ו 4 [1 + 2 + 3 + 4 = 10] מסודרים ב 4 "קומות" כך שיש לנו
 4 + 8 + 12 + 16 + 12 + 8 + 4.

זהו המבנה האלטרנטיבי. 

המבנה היותר מוכר מבוסס על הגנומונים: במקרה של 3 זה 3 + 9 + 15 [שלוש "קומות" של 1 + 3 + 5].

במקרה של 4 זה

4 + 12 + 20 + 28 [4 "קומות" של 1 + 3 + 5 + 7].

גנומונים בתור המבנה של הקובייה

אנו רואים כאן את הקובייה של 3 שעשויה מ27 קוביות [אבנים].

צבועות באדום - 3 קוביות של 1.

צבועות בכחול - 9 קוביות של 3.

צבועות בירוק - 15 קוביות של 5.

 3 + 9 + 15 = 27

=

"בקומה העליונה" אנו רואים את הריבוע של 1 [אדום]. כאשר אנו מוסיפים לאחד את 3 האבנים הכחולות מקבלים 4 שהוא הריבוע של 2. כאשר אנו מוסיפים לריבוע של 2 את חמש האבנים הירוקות מקבלים 9 שהוא הריבוע של 3

 1 + 3 + 5 = 9 . הגנומונים, המספרים האי זוגיים, בונים את הריבוע.

=

המבנה הידוע של הקובייה הוא

3X3X3

האיור משמש כהדגמה של המבנה החלופי שלה: 3 + 9 + 15 = 27

המחשה של החזקות של עשר

הדגמה נוספת של המעבר מריבוע לריבוע

הריבוע של 2 מורכב מ 2 ועוד קו אחד זהה 
הריבוע של 3 מורכב מ 3 ועוד שני קווים זהים
הריבוע של 4 מורכב מ 4 ועוד שלושה קווים זהים
וכן הלאה

באשר לקוביות
הקובייה של 2 מורכבת מן הריבוע של 2 ועוד ריבוע אחד זהה [4 + 4 = 8]
הקובייה של 3 מורכבת מהריבוע של 3 בתוספת שני ריבועים זהים [9 + 9 + 9 = 27]
הקובייה של 4 מורכבת מהריבוע של 4 ועוד שלושה ריבועים זהים [16 + 16 + 16 + 16 = 64]
וכן הלאה

המחשת המעוקבים

מספר מעוקב הוא מיקום של קובייה בתוך קובייה

באיור אנחנו רואים קובייה שמורכבת מעשרים ושבע קוביות

שנמצאות בשלוש קומות

כמו חדרים בבניין

אם אנחנו רוצים לאתר את הדייר בקומה שמתחת לחמש 

עלינו להוסיף לו תשע

19 10 1

20 11 2

21 12 3

22 13 4

23 14 5

24 15 6

25 16 7

26 17 8

27 18 9

טטרקטיס בממד השלישי

בטטרקטיס המקורי אנחנו מדברים על
 1 + 2 + 3 + 4 = 10
בממד השלישי אנו רואים תופעה חדשה:
1 הוא 1 וסכום השורה שלו הוא 1 שהוא 1 בריבוע
2 הוא 8 וסכום השורה שלו הוא 16 שהוא 4 בריבוע
3 הוא 27 וסכום השורה שלו הוא 81 שהוא 9 בריבוע
4 הוא 64 וסכום השורה שלו הוא 256 שהוא 16 בריבוע
ואנחנו יכולים להמשיך את הסדרה עד שנתעייף

המבנה של הקוביות

שיטת המעבר מקובייה לקובייה

הצד השמאלי של הטבלה מציג את הגנומונים, המספרים שאנו מוסיפים לריבוע כדי לבנות את הריבוע הבא. הם תמיד במבנה של 2x + 1. [מ 4 ל 9 אנו מוסיפים 5 אשר עשוי משניים שניים ועוד אחד]. הגנומונים, כאשר הם מסודרים כסדרה מהווים את הסדרה של האי זוגיים.

בצד ימין של הטבלה אני מנסה להתמודד עם הגנומונים בתלת ממד.

מספרים משולשים בממד השלישי

קובייה בונים מקוביות

לימדו אותי שקובייה בונים מקווים: מאורך מרוחב ומגובה, אבל לא 

קניתי את ההסבר הזה, כי לקו לא רק שאין משקל ונפח, אפילו שטח אין לו.

פעם הכיתה שלי ביקרה במפעל לשוקולד וראיתי שם חפיסות רבועות שבכל אחת 

היו תשע קוביות. ערמתי כמה חפיסות זו על זו וקבלתי קובייה אחת גדולה.

כשחתכתי ממנה פרוסה מלמעלה למטה ראיתי 

שהגודל שלה זהה לגודל של החפיסות שמהן בניתי אותה. 

והקובייה הזאת כל כך מצאה חן בעיניי שקניתי אותה, כמו שהיא, בלי הנייר שאורז 

כל חפיסה וחפיסה. 

השיטה העשרונית כקובייה

10 הוא הנקודה שמתחילה את הקו הראשון
לפניו יש תשע נקודות נפרדות שהן תשעה מספרים בדידים

100 - הוא שטח

1000 הוא נפח

מספרים מעוקבים שאינם מספרים מעוקבים

משולש מגן דוד וקוביות כהמחשה לביטוי וו קצוות 

בדרך כלל אנחנו מייחסים למספר מעוקב משמעות של ריבוע בריבוע. באריתמטיקה ש"מתורגמת" לגיאומטריה מספר כפול עצמו, או מספר כפול מספר אחר, יוצרים שטח, ושלושה מספרים שנכפלים זה בזה יוצרים נפח. תפיסה זו מבוססת על שלושת הממדים: אורך רוחב וגיבה כאשר לכל אחד מהם יש שני כיוונים: ימין שמאל, קדימה אחורה, מעלה מטה.
באריתמטיקה בין תשעת המספרים הראשונים רק האחד והשמונה הם מעוקבים. אבל בספר יצירה מופיעים השש והשבע כבעלי נפח:

"שבע כפולות בג"ד כפר"ת מעלה ומטה מזרח ומערב צפון ודרום והיכל הקודש מכוון באמצע והוא נושא את כולם" (פרק ד, משנה ד'). כלומר, השש מתואר כמעין קוביה שיש לה גג ורצפה וארבעה קירות כנגד ארבע רוחות השמים. והשבע הוא אותה קוביה כשבמרכזה יש אחד שמאחד אותה, כמו שהשלישי מאחד את שני הניגודים שלפניו. כמו שהעשירי מאחד את תשעת המספרים לקבוצה אחת, שהיא הבסיס לשיטה העשרונית.

ששת הקצוות (הכיוונים) של השש הן שש מתוך עשר ספירות שמתוארות בספר יצירה. הן נקראות וו קצוות בגלל שהאות וו ערכה המספרי שש. נוספות אליהן שתי ספירות שעוסקות בזמן, ושתי ספירות שעוסקות במוסר:

1. עומק ראשית
2. ועומק אחרית
3. עומק טוב
4. ועומק רע
5. עומק רום
6. ועומק תחת
7. עומק מזרח
8. ועומק מערב
9. עומק צפון
10. ועומק דרום (פרק א משנה ה)
    
    

בדרך כלל מידות נחשבות למונח מקצועי מתחום הגיאומטריה, מילה יוונית שתרגומה לעברית הוא מדידת הארץ, אבל המידות בקבלה הן שש הספירות: חסד, גבורה, תפארת, נצח, הוד ויסוד. ובשפת היום יום הביטוי בעלי מידות טובות הוא ביטוי נרדף לביטוי אנשים מוסריים, ותורת המידות היא שם נרדף לתורת המוסר.

בקבלה הפירוש לפסוק שׁוֹקָיו עַמּוּדֵי שֵׁשׁ מְיֻסָּדִים עַל אַדְנֵי פָז (שיר השירים ה, טו) הוא שהעולם מושתת (עומד) על ששת הספירות. (הרבי מלובביץ, אור התורה, עמוד 278). ובמדרש: "שוקיו עמודי שש. שוקיו - זה העולם. עמודי שש - שהוא מיוסד על [ששת] ימי בראשית" (ויקרא רבה, פרשת קדושים, כה). 

מעניין לגלות שהרעיון המיוחד הזה של מעוקבים שאינם מעוקבים מופיע גם אצל היוונים הקדמונים, לדוגמה, בספר "נגד הלוגיקנים" מאת הפילוסוף היווני סקסטוס אמפיריקוס, שחי בערך בשנים 160 - 210 לספירה, הוא מפרש את הארבע שבטטרקטיס הפיתגוראי כפירמידה: "ומתאים לגוף המוצק המספר ארבע, כי אם מעל לשלוש נקודות נתלה נקודה רביעית, יצרנו פירמידה, שהיא בעצם הצורה הראשונה של גוף מוצק".