לוח הכפל כמכולה של כל המספרים שאינם ראשוניים

כל המספרים הם או ראשוניים או לא-ראשוניים.

בשורות הראשונות, האופקית והאנכית, של לוח הכפל, הראשוניים מעורבבים עם הלא-ראשוניים, והם איברים בסדרת המספרים הטבעיים, שהיא הסדרה של הכפולות של אחד.

אבל מן השורה השנייה ואילך אנחנו מקבלים את כל המספרים הלא-ראשוניים מרוכזים באזור אחד.

האיור לעיל הנו רק קטע מלוח כפל ענק ואינסופי, אבל אנחנו יכולים להתאים את גודלו לצרכים שלנו.

מבנה הכפילויות של המספרים האי זוגיים

הסדרה של המספרים הטבעיים היא למעשה הסדרה של הכפילויות של 1:

1X1=1

2X1=2

3X1=3 ...

סדרה זו מתחילה עם מספר אי זוגי [1] וכאשר אתה מוסיף אי זוגי [1] לאי זוגי [1] אתה מקבל מספר זוגי [2].

וכאשר ממשיכים ומחברים

 2 + 1

שזה למעשה חיבור של זוגי לאי זוגי... התוצאה היא מספר אי זוגי [3].

וככה זה עובד עבור הכפילויות של

 3, 7,5, 9

וכל מספר אי זוגי אחר.

כך שזה לא רק זה שמחצית מהמספרים הטבעיים הם זוגיים, אלא גם מחצית מהכפילויות של המספרים האי זוגיים הן גם מספרים זוגיים. אבל הם לא זוגיים חדשים ... הם אותם הזוגיים שמופיעים בעמודה של המספר 2.

תבנית בכיוון אחד

 במספרים הזוגיים בלבד ישנה תבנית שלפיה:

כל מספר שמתחלק ב-6 מתחלק ב-3 אבל לא כל מספר שמתחלק ב3 מתחלק ב-6, למשל 9 או 15

כל מספר שמתחלק ב-4 מתחלק ב-2, אבל לא כל מספר שמתחלק ב2 מתחלק ב-4 למשל 6 או 10

כל מספר שמתחלק ב-8 מתחלק בארבע אבל לא כל מספר שמתחלק ב-4 מתחלק ב-8 למשל 12 או 20 

כל מספר שמתחלק ב-10 מתחלק ב-5  אבל לא כל מספר שמתחלק ב 5 מתחלק ב -10 למשל 25

ריבוע העיגול

יש צירוף מילים "לרבע את העיגול" שמשמעותו היא לנסות לפתור בעיה שאיננה ניתנת לפתרון. לכן, אולי, חשבתי שאי אפשר לרבע את העיגול. אבל אחרי שבדקתי התברר לי שצירוף המילים הזה משמיט חלק חשוב מהגדרת הבעיה כי מדובר בבניית ריבוע (ששטחו שווה לשטח של עיגול) באמצעות סרגל ומחוגה. את זה הצליחו המתמטיקאים להוכיח שאי אפשר לבנות.

אבל זה לא אומר שאין עיגול ששטחו 25 סמ"ר (בדקתי במחשבון והרדיוס של עיגול כזה הוא  2.8209479177388ס"מ] ולכן יש ריבוע (שצלעו חמישה ס"מ) ששטחו שווה לו.

המסקנה מהתרגיל הזה מוזרה, ואפילו מצחיקה, כי ניתן להעלות עיגול בריבוע (שימו לב עיגול הוא שטח, מעגל הוא הקו המקיף את העיגול) וניתן להוציא שורש של עיגול.

ועוד תופעה מוזרה, ואולי מצחיקה: הנוסחה של שטח עיגול היא פאי כפול הריבוע של הרדיוס. כלומר, כבר יש ריבוע בתוך העיגול, והפאי הוא זה שהופך אותו לעיגול, כביכול.

בעיית ריבוע העיגול היא עוד דוגמה ליחס הבעייתי בין מעגל לבין קו (בין המעגל לקוטרו), בין המעגל שנקודותיו חוזרות על עצמן לאין סוף לבין הקו שנקודותיו חד פעמיות.

ריבועי 369 ומלבניהם

בסדרת ריבועי 369 (9, 36, 81, 144, 225...) כל ריבוע מתחלק לשלשה חלקים שווים שהיחס ביניהם הוא שליש לעומת שני שליש. וכך, השלש הוא מלבן של אחד-על-שלש; השש הוא מלבן של שנים-על-שלש, ושניהם יחד ממלאים ריבוע של שלש-על-שלש:

להלן האיברים הראשונים בסדרה זו:

3+6=9

12+24=36

27+54=81

48+96=144

75+150=225 

שלש ושש

המספר 666, שלש פעמים שש, הוא בעל חשיבות מיוחדת לנוצרים בגלל שהוא מייצג אצלם את הסיטרא אחרא, את השטן, את המתנגד לישו, את הANTI CHRIST. וראוי לזכור ברקע שמקורו של השש בשלוש, שמוסיף את עצמו לעצמו, והמספר שלוש בנצרות מייצג את ישו, שהוא השלישי בשילוש הקדוש.
אבל אצל הנוצרים הרעיון של הקשר שבין השש לשלוש הוא כבר יד שנייה, שכן הוא מופיע ביהדות כמה וכמה פעמים:

"וַיְהִי מִשְׁקַל הַזָּהָב אֲשֶׁר בָּא לִשְׁלמה בְּשָׁנָה אֶחָת שֵׁשׁ מֵאוֹת שִׁשִּׁים וָשֵׁשׁ כִּכַּר זָהָב" (מלכים א, יד, י).

123 מופיעים בפסוק (קהלת ד, ט- יב) : טוֹבִים הַשְּׁנַיִם מִן הָאֶחָד... וְהַחוּט הַמְשֻׁלָּשׁ לֹא בִמְהֵרָה יִנָּתֵק, שהרי:

1+2+3=6

1.2.3=6

במשנה (מסכת אבות, פרק א משנה ב) מעמידים את העולם על שלשה דברים ("על התורה, ועל העבודה, ועל גמילות החסדים", ולרעיון הזה יש הצדקה גאומטרית כי העולם מורכב משלושה ממדים ומששה כיוונים (ימין שמאל, פנימה והחוצה, מעלה ומטה). 

בתלמוד (מסכת סנהדרין, צז, ב) מעמידים את העולם על ל"ו צדיקים שבזכותם מתקיים העולם. בגימטרייה למ"ד ערכה 30 ובצמצום ,3 ואילו ו"ו ערכה 6. גם למספר 18 יש חשיבות מיוחדת ביהדות בגלל שבגימטריה

18= חי = שלש כפול שש.

האותיות שש מופיעות כשני שלישים מן המילה שלש, שמורכבת משלש אותיות שערך כל אחת מהן הוא שלש וביחד ערכן תשע, כך שהקשר ההדוק בין אברי הזרם של ה 369 בא לידי ביטוי בגימטריה של המילה שלש.

הערה של חיליק:
666 הוא מילוי של 36
36 הוא מילוי של 8 וריבוע של 6
קומבינציה מיוחדת שבאותו מספר נפגשים גם ריבוע וגם מילוי
 666 הוא פלינדרום שהמילוי שלו מורכב משני פלינדרומים: 222 111

הכריכה הקדמית לספרי המקוון על התבוננות במספרים

https://www.flickr.com/photos/zeevveez/sets/72157639101823826

הספר (בהתהוות) כתוב באנגלית 

והוא כולל, נכון לרגע זה, מעל מאה צילומים ואיורים 

מלווים בטקסטים שמבוססים על בלוג זה

אבל בהבדל מן האקראיות והספונטניות של הכתבות בבלוג 

הספר מתומצת, והוא מסודר ומחולק לפרקים:

מבוא

מספרים

יחסים בין מספרים

פעולות חשבון

על הקשר שבין גאומטריה לאריתמטיקה

מספרים שמופיעים בציורים

צילומי מספרים

  

יחסים בין מספרים

יחס של שייכות

בלימודי המתמטיקה מוגבלת המילה יחס (פרופורציה) לחילוק של שני מספרים זה בזה. אומרים שבין אחד לשנים יש אותו יחס כמו בין שניים לארבע, ארבע לשמונה וכן הלאה.

בטבלת עשרת הניגודים של הפיתגוראים, שמופיעה בכתבי אריסטו (ב"מטפיסיקה" 986 א) מופיעים יחסים נוספים:

המוגבל ושאינו מוגבל (שאותו פירשו הפיתגוראים, בין היתר, כהבדל שבין מספר זוגי לאי זוגי, אבל ניתן לפרש ניגוד זה גם כיחס של יש לאין, שהוא היחס שבין האחד לאפס), 

אחדות וריבוי (שאותו פירשו כיחס שבין האחד לבין שאר המספרים, אבל ניתן לפרשו גם כיחס של שייכות, שהוא היחס שבין השלם לחלקיו- הם שייכים לו והוא שייך להם)

ימין ושמאל (שאותו ניתן לפרש כיום כיחס שבין מספרים שליליים וחיוביים)...

ריבוע ומלבן.

אם נתבונן בשלשת המספרים הראשונים: נראה שהאחד ראשון, השנים אמצעי, והשלוש אחרון. ראשון ואחרון הם יחסים של ניגוד. גם אמצע הוא יחס בין שני דברים.

שנים בא אחרי אחד ולפני שלוש. אחרי ולפני הם יחסים מנוגדים שבאמצעותם אנחנו משווים מקומות וזמנים. אם נוסעים מירושלים לחיפה, חיפה נמצאת אחרי ת"א, ות"א נמצאת לפני חיפה.

גם השוואה היא יחס בין שני דברים, והיא יחס הדדי: לא רק הראשון שווה לשני אלא גם השני לראשון.

אחד קטן משניים ושלוש גדול ממנו. קטן וגדול הם יחסים של גודל, שמאפיינים את הגיאומטריה. לעומת זאת בשניים יש שני אחדים ובשלוש יש שלושה אחדים, וכאן כבר מדובר ביחסים כמותיים שמאפיינים יותר את האריתמטיקה.

במשוואה יש בדרך כלל בצד שמאל פעולה בין פעיל לסביל: כופל ונכפל, מחלק ומחולק, מחבר ומחובר, מחסר ומחוסר. פעיל וסביל הם ניגודים והם מתאחדים בתוצאה. יוצאת מן הכלל היא המשוואה של איינשטיין E=mc2  שבה התוצאה מימין, אבל השוני הזה נועד אולי להבליט שאנחנו מחפשים תשובה לשאלה מהי אנרגיה, ולאו דווקא להכניס ערכים במקום המשתנים ולראות מה התוצאה.  

בין שם של מספר לבין המספר עצמו יש יחס של זהות, שהוא התאמה ייחודית. רק השם המסוים הזה מתאים למספר המסוים הזה, ורק המספר המסוים הזה מתאים לשם המסוים הזה. שם שונה לא יתאים. שווה ושונה הם יחסים מנוגדים. כל מספר שווה לעצמו ושונה מכל מספר אחר. כאשר אנחנו מחלקים מספר בעצמו אנחנו חושפים לא רק את יחידותיו, אלא גם את ההתאמה בין מספרן לבין שמו של המספר. בשלוש יש שלוש יחידות, ולכן הוא נקרא בשם שלוש.

בסדרת המספרים הטבעיים לא רק שכל מספר בא אחרי המספר שלפניו אלא שכל מספר גם מכיל את המספרים שלפניו. הסדר של המספרים הטבעיים הוא זה אחר זה וזה בתוך זה, ו"זה אחר זה וזה בתוך זה" הם יחסים.   

יחס הזהב היה מוכר למצרים כאלפיים שנה לפני אוקלידס

אלכסי סטחוב (Alekseĭ Petrovich Stakhov) מצטט בספרו

Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer

 את הארכיטקט איגור שמלב (Igor Shmelev) שחקר את התבליטים שעל הפנלים מקברו של הרופא  המצרי היסייר  (Hesire Panels). לדבריו היחס בין המוטות שדמותו של היסייר מחזיקה בידיה הוא יחס הזהב. משתמע מממצא זה שיחס הזהב היה מוכר למצרים במאה ה27 לפנה"ס, כלומר למעלה מאלפיים שנה לפני אוקלידס. 

מקור הצילום: ויקיפדיה ערך Hesy-Ra

השפעת חתך הזהב על לה קורבוזיה

הארכיטקט השוויצרי המפורסם לה קורבוזיה (1887-1965) חקר את חתך הזהב ביחס לגוף האדם. הוא פיתח מודל בשם מודולור, שאותו יישם בכמה מעבודותיו. בתמונה נראה הדגם של המודולור על גבי מטבע שהונפק בשוויצריה לזכרו של לה קורבוזיה.  
מקור התמונה בערך לה קורבוזיה בויקיפדיה.

גם לצייר האמריקני בן זמננו 
thomas bucci
יש יצירה בשם מחקר על חתך הזהב

התבוננות בהתאמה שבין גיאומטריה לבין תורת המספרים

יש התאמה מופלאה בין גיאומטריה לבין תורת המספרים, שלפיה קובייה היא מכפלה של שלושה מספרים, ריבוע הוא  מכפלה של שני מספרים, קו הוא חיבור של מספרים, ונקודה היא מספר בודד. במלים אחרות: נקודה היא מה שאין לו אורך, קו הוא מה שאין לו רוחב, שטח הוא מה שאין לו גובה (או עומק), אבל נפח הוא תלת ממד שלם ולא חסר לו דבר.

כאשר אנחנו מודדים קו, או שטח, או נפח, אנחנו מתאימים בין גיאומטריה לבין תורת המספרים. אנחנו מתרגמים את אורך הקו משפת הגיאומטריה (חלוקתו באמצעות נקודות למקטעים) לשפת המספרים.   

אנחנו מחשבים שטחים באמצעות סנטימטר מרובע, שנכתב, לשם הקיצור, בראשי תיבות ס"מ. אנחנו לא מודדים שטחים באמצעות ס"מ משולש ולא באמצעות ס"מ עגול. כלומר, גם את השטח של המשולש ושל העיגול אנחנו מודדים בסנטימטר של מרובע, או ליתר דיוק בסנטימטר רבוע של מלבן, שמתקבל כתוצאה מהכפלת אורכו ברוחבו.

למשולש יש רוחב (בסיס) אבל אין לו אורך. כדי לחשב את שטחו אנחנו צריכים להתאים אותו למלבן, וזאת אנחנו עושים באמצעות הגובה של המשולש שהוא שקול לאורך של מלבן, שמורכב מן המשולש שלנו ומעוד משולש זהה לו שמונח לצדו כשבסיסו מקביל לבסיס של המשולש שלנו. לכן הנוסחה לשטח של משולש היא הבסיס של המשולש כפול הגובה שלו לחלק לשניים. "הבסיס כפול הגובה" נותן את המלבן, וה"לחלק לשניים" נותן לנו שני המשולשים, שאחד מהם הוא זה שאת שטחו רצינו לחשב.

גם לעיגול יש רוחב (קוטר) אבל אין לו אורך.

הנוסחה לשטח של עיגול היא רדיוס בריבוע כפול פאי. הריבוע של הרדיוס הוא סוג של מלבן שבו האורך והרוחב שווים. כדי לקבל את שטח העיגול בס"מ צריך להתאים את היקף המעגל לאורך כלשהו, וזה התפקיד של פאי. מעניין שבתוספות (במסכת סוכה ח, א) מבליטים את הצורך להתאים את המעגל למלבן כהסבר לחישוב שטחו (להלן ציטוט מויקיפדיה בעברית ערך מעגל): "בתוך המעגל יוצרים בחוטים סדרה של מעגלים קונצנטריים, ממרכז העיגול ועד שפתו. את סדרת המעגלים חותכים ברדיוס שלו. יווצרו לנו חוטים רבים, כאשר הראשון הוא הכי ארוך, וכל אחד ואחד פוחת אורכו מעט מקודמו. לאחר יישור החוטים נוצר משולש שווה-שוקיים. את המשולש חותכים מהקודקוד לבסיס, ואת שני המשולשים שנוצרים הופכים ויוצרים מהם מלבן. שטח המלבן (אורך כפול רוחב) הוא שטח העיגול. למעשה הנוסחה לחישוב השטח המוצגת כאן היא היקף כפול רדיוס חלקי שתיים".

מקור האיור: ויקיפדיה בעברית ערך מעגל

כל המספרים כלולים בשלוש

כל המספרים כלולים בארבע, שהוא עשר, שממנו והלאה כל המספרים חוזרים על עצמם, אם נאמין לסיפור של לוסיאן מסמוסטה (מאה שניה לספירה) ("סוחר שאל את פיתגורס: מה אתה יכול למד אותי? פיתגורס : לספור. סוחר: לספור אני כבר יודע. פיתגורס: איך אתה סופר? סוחר: אחד, שתיים, שלוש, ארבע... פיתגורס: עצור! מה שאתה מחשיב כארבע הוא עשר, משולש מושלם, והסמל שבו אנו נשבעים").  אבל אם מתבוננים היטב רואים שכל  המספרים כלולים כבר בשלוש כי:  

1 הוא ה-X, אחד משני האגפים השווים שלצדי האחד שבמרכז הבית של 3

2 הוא ה-M, המרכז, של הבית של 3

3 הוא השורש של הריבוע של שלוש

4 הוא ה-X של הריבוע של שלוש

5 הוא ה-M של הריבוע של שלוש

6 הוא המספר הזוגי ששלוש הוא ה-X שלו

7 הוא הבית ששלוש הוא ה-X שלו

8 הוא הסכום של המרכז של 5 ועוד הבית של 5 (כאשר חמש הוא חיבור של השלוש שבמרכזו עם השנים שבאגפו). 

9 הוא הריבוע של שלוש

10 הוא כבר ה-1 שחוזר על עצמו, שבו האפס מלמד על כך שיש לפניו תשע יחידות. וכדי להתאים את סיפורנו על השלוש לסיפור על פיתגורס והארבע נסיים ונאמר שהאפס שבעשר, לגבי מי שבא אל ה-10 מהכיוון של העשרים, הוא כמו שלט אזהרה: עצור, גבול לפניך!
וניתן להמשיך ולטעון שכל המספרים כלולים בשניים כאשר משתמשים בבסיס הבינארי, ושכל המספרים כלולים באחד, כי האחד גדול מחלקיו, גדולים ככל שיהיו.  

התחלה חדשה

אמנם ניתן לחלק את האחד לשניים ויותר חלקים ובכך לשבור אותו לשברים, אבל כשמחלקים אותו באחד, או בעצמו, הוא נשאר שלם. לעומתו כל מספר שלם אחר שמחלקים למספרים אחרים נשאר בשלמותו רק כשהוא מתחלק באחד, ונדמה שהאחד הוא זה שממנו הוא יונק את שלמותו.

כשמספר גדול מאחד מתחלק לעצמו נחשפות היחידות שמהן הוא מורכב: המספר שניים מורכב משני אחדים, המספר שלש משלושה וכן הלאה. בחשבון רגיל אנחנו מתעלמים מן התהליך ומתמקדים בתוצאה: אומרים שחמש לחלק לחמש שווה אחד, אבל כאשר מחלקים קו שאורכו חמישה ס"מ לחמישה חלקים שווים רואים בבירור שחמש לחלק לחמש שווה חמש, שכל אחד מהם הוא אחד.

*   *   *   *   *

כאשר מעלים חמש בריבוע רואים שנוצר ריבוע, שהוא טבלה שמורכבת מחמש שורות וחמש עמודות, ובמרכז כל תא כלוא לו האחד. בשורה הראשונה יש חמישה אחדים, והיא מה שאנחנו קוראים לו חמש, וכדי לרבע את עצמו הוא מוסיף לעצמו את עצמו עוד ארבע פעמים, כלומר הוא מוסיף עוד ארבע שורות של אחדים.

*   *   *   *   *

*   *   *   *   *

*   *   *   *   *

*   *   *   *   *

*   *   *   *   *

1   1   1   1   1

1   1   1   1   1

1   1   1   1   1

1   1   1   1   1

1   1   1   1   1

כדי להעלות את החמש בחזקה שלישית מוסיפים מתחת לחמש בריבוע עוד ארבעה ריבועים שכמותו, ומקבלים קובייה שמורכבת מ- 125 אחדים.

חמש הוא מספר אי זוגי, אבל די קשה לראות במבט אחד ש-101 הוא מספר אי זוגי. זו הסיבה לכך שבדרך כלל איננו מתבוננים במספרים בתצוגה הבסיסית שלהם כשורה של אחדים על קו, שהיא תולדה של חלוקת המספר בעצמו, ובמקומה אנחנו משתמשים ב-X שהוא אחד משני חלקים שווים של מספר זוגי, או אחד משלושה חלקים, שאחד מהם הוא אחד, והשניים האחרים שווים, אם הוא מספר אי זוגי, שהרי אחד הוא כל מה שמבדיל בינו לבין מספר זוגי.

וכך חמש פחות אחד לחלק לשניים שווה שניים, ושניים הוא גם ה-X של חמש וגם ה-X של ארבע. מעתה נקרא לכל מספר זוגי בשם 2X ולכל מספר אי זוגי בשם 2X+1 או בית.

           ..  *  ..

5=      X+ 1+  X 

X=2

        ..  ..  

X + X       =4

X=2

ניתן לראות ש-X הוא הגורם המשותף לזוגי ולאי זוגי גם בדרך נוספת. כל מספר אי זוגי ניתן לחלק לשני חלקים לא שווים שאחד מהם גדול באחד ממחצית המספר הזוגי שקודם למספר שאליו אנו מתייחסים. וכך חמש מתחלק לחצי גדול, 3, ולחצי קטן, 2 שהוא גם החצי של 4- המספר שלפני 5.

התכונה של זה בתוך זה משותפת למספרים ולצורות אבל לא לאותיות. כמו שהעשרות נכנסות במאות והמאות באלפים הנקודות נכנסות בקווים, הקווים בשטחים, השטחים בנפחים. זו, ככל הנראה, אחת הסיבות העיקריות להתאמה המופלאה שבין אריתמטיקה לגיאומטריה. מה שקצת פחות בולט לעין הוא שלפני שהעשרות נכנסות לתוך המאות האחד הוא חצי משניים, והשניים שני שליש משלש... והשמונה שמונה תשיעיות מהתשע. בזכות הקומפקטיות המושלמת של המספרים אנחנו יכולים לחשב בקלות יחסים בין מספרים גדולים. במקום לרשום אחד עשרים פעמים

1111111111

1111111111

כפול שנים (11)

שווה

1111111111

1111111111

1111111111

1111111111

 אנחנו כותבים

20.2=40

וחוסכים המון פעולות מיותרות. 

התבוננות של ימבליכוס במספר חמש

ימבליכוס, הפילוסוף הניאו אפלטוני בן המאה הרביעית לספירה, כתב בספרו על התאולוגיה של האריתמטיקה פרק שלם על המספר חמש. בין היתר הוא מציין שהחמש הוא המספר האמצעי בין כל זוג של מספרים שמרכיב את העשר

1+9

2+8

3+7

4+6

מתרגם הספר לאנגלית, רובין ווטרפילד, מביא בהערה איור שדומה לצילום לעיל, שממחיש את הימצאותו של החמש בין כל זוג של מספרים שמרכיב את העשר.

היחס שבין החמש לעשר, ממשיך ימליכוס, הוא אותו יחס כמו היחס שבין האחד לשניים, והיחס שבין העשר לחמש הוא אותו יחס שבין השנים לאחד. שנים הוא האמצעי בין אחד לשלש, כמו שחמש הוא האמצעי בין אחד לעשר. מכפלת האמצעים (שנים וחמש) שווה למכפלת הקצוות (אחד ועשר).

הערה שלי:

על פי הדמיון בין הצורה הגרפית של ה-2  לבין הצורה הגרפית של ה-5 נדמה שמי שהמציאו את צורת המספרים ידעו שלשני מספרים אמצעיים אלה יש תפקיד דומה. 

חיבור לעומת ריבוע

החל מהמספר שלוש היחס בין תוצאת חיבור מספר לעצמו לבין כפל המספר בעצמו (המספר בריבוע) הוא שניים חלקי המספר:

חיבור אחד  עם עצמו נותן שניים שהם גדולים מאחד בריבוע שהוא אחד - כאן החיבור גדול מן הכפל

חיבור 2 עם עצמו נותן ארבע וכך גם שניים בריבוע- - כאן החיבור שווה לכפל

חיבור 3 עם עצמו נותן 6 שהוא קטן משלוש בריבוע שנותן 9.

חיבור 4 עם עצמו נותן 8 שהוא קטן בחצי מארבע בריבוע שנותן 16

4+4<4.4 [8:16=2/4]

5+5<5.5 [10:25=2/5]

6+6<6.6 [12:36=2/6]

7+7<7.7 [14:49=2/7]

מקור: "ספר האחד" לרבי אברהם אבן עזרא

הגדול הקטן והאמצעי

בכל שלושה מספרים טבעיים האמצעי גדול באחד משכנו האחד, וקטן באחד משכנו האחר. מכאן הבינו שהאמצעי ערכו מחצית ממחברת השכנים. פחות שמו לב לכך שאם ניקח חמישיית מספרים טבעיים סמוכים

45678

האמצעי ערכו מחצית מחיבור השכנים

5+7=12

אבל גם מחצית מחיבור הרחוקים

4+8=12

ואם ניקח שביעיית מספרים טבעיים סמוכים כלשהי

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

מחברת השכנים:

13+15=28; 28= 2.14

אבל גם

12+16=28; 28= 2.14

וגם

11+17=28; 28= 2.14

ואם ניקח תשיעיית מספרים טבעיים סמוכים כלשהי ... וכן הלאה

=

שלושת המספרים הראשונים שמהם ניתן ללמוד על היחס שבין האמצעי לבין הגדול ממנו והקטן ממנו הם שלושת המספרים הראשונים, אבל הרחבה של החוק ניתן לראות בתשעת המספרים הראשונים (שעליהם מבוססים כל המספרים האחרים), כאשר האחד הוא הקטן ביותר, תשע הגדול ביותר והחמש אמצעי

123456789

ספר יצירה מחלק את בריאת העולם לשלושה חלקים: "...בשלשה ספרים בספר ספר וספור".

על בסיס הכתוב לעיל ניתן לפרש גם שהאחד והתשע הם הגבול, אזורי הסְפָר

כל התשעה הם כמו דפים שכרוכים בספר

והספור הוא המסע מן הקטן אל הגדול, ומן הגדול אל הקטן, המרוץ מן האחד אל התשע, והשיבה מן התשע אל האחד (בשפת ספר יצירה: "רצוא ושוב").

בדרך כלל אנחנו רגילים לראות את המספרים כמעין עולם מתפשט, שנע מן האחד אל האין סוף, מן הקטן אל הגדול, אבל במספרים ראוי תמיד להסתכל על כל תופעה לפחות משני צדדים, שהרי מול החיבור נברא החיסור, ומול הכפל החילוק, ואחרי שהאנושות הבינה היטב את ארבע הפעולות היסודיות האלה, ונתקלה בפעולת ההעלאה בריבוע, לא רחק היום עד שאיזה רופא שיניים:) גילה את הוצאת השורש. 

ספירה לעומת מדידה

מומחים לתורת המספרים אומרים לנו שכל העניין עם המספרים התחיל, ככל הנראה, מספירה באמצעות אצבעות. הרועה היה נותן לכבשה להיכנס לדיר ומכופף אצבע, ואחר כך היה נותן לעוד כבשה להיכנס ומכופף עוד אצבע. הכבשה הייתה ממשית והאצבע הייתה ממשית. זה היה בתקופה שלפני ההפשטה, שלפני היות המספר, והשיטה הזאת הייתה מצוינת לעדרים של עד עשרה כבשים. לעדרים גדולים יותר ניתן היה להשתמש בחלוקי נחל.

אבל באותה מידה תורת המספרים הייתה יכולה להתחיל לא מספירה אלא ממדידה. האדם הקדמון יכול היה למדוד מרחק באמצעות צעדים. אפילו בימינו מודדים אורכים באופן גס באמצעות "שיבר", שהוא המרחק המרבי בין קצה האצבע הקטנה לבין הבוהן כשהאצבעות פרושות, וגודלו כגודל מרצפת ("בלטה"), כעשרים ס"מ.

מילה נרדפת לרגל או לצעד היא המילה פעם, ואנחנו משתמשים בה בצורה מופשטת כאשר אנחנו מנסים לענות על השאלה כמה פעמים חוזרת יחידת המידה שבחרנו. כאשר אנחנו מודדים קיר אנחנו סופרים כמה בלטות יש לאורכו. ההפשטה היא פעולה שהמחשבה מסוגלת לעשות באמצעות חיסור ממדים: היא יכולה לקלף מן הקיר את החומר, או את הנפח, או את השטח, ולהתייחס רק אל הקו שבין הקיר לתקרה, או רק אל הנקודה שבה נפגשים הקווים של שני קירות סמוכים.

גם מספרים הם מושג מופשט כל עוד לא עושים מהם פסל. כאשר כותבים מספר על דף יש לו ייצוג חומרי, אבל כאשר עושים פעולת כפל במחשבה אין למספרים צבע, או אורך או רוחב או גובה.

אם אורך הקיר הוא בדיוק 15 בלטות (שלושה מטר) המדידה היא באמצעות מספר שלם. אם אורך הקיר הוא לא בדיוק 15 בלטות אנחנו נאלצים להכניס לפעולה את השברים.
מילה נרדפת למילה מדידה היא הנדסה, מילה שמקורה כנראה פרסי, והיא מופיעה לראשונה בתלמוד (מסכת בבא בתרא, דף פט, עמוד ב). התרגום המקובל למילה גאומטריה הוא הנדסה. 

יחס הזהב בבולי העולם

בול חתך הזהב, שווייץ, 1987

יחס הזהב ביצירה של האמן האיטלקי פיירו דה לה פרנצסקה (1412-1492), סן מרינו, 1992

יחס הזהב בבול של מקאו-סין, 2007

יחס הזהב בבול של ליכטנשטיין, 2013

בול משפט פיתגורס

בול יווני זה, שיצא לאור בשנת 1955, ממחיש יפה את משפט פיתגורס [1], כי אם סופרים את מספרי הריבועים רואים שיש ארבע שורות של ארבעה ריבועים (סך הכל ששה עשר, שהם ארבע בריבוע) בריבוע אחד, שלש שורות של שלושה ריבועים (סך הכל תשעה, שהם שלוש בריבוע), וחמש שורות של חמישה ריבועים (סך הכל עשרים וחמישה, שהם חמש בריבוע), וכל זה על מנת להראות שסכום הריבועים שעל הצלעות של המשולש הלבן שבין הריבועים שווה לסכום הריבועים שעל היתר.

משפט פיתגורס מדגים בצורה יוצאת מן הכלל עד כמה ערבבו חסידי האסכולה הפיתגוראית את ההתבוננות במספרים עם גאומטריה. העובדה שיש שני מספרים בריבוע שחיבורם יוצר מספר שלישי בריבוע מעוררת השתאות כשלעצמה, וה"התלבשות" המדויקת של המראה הזה על תופעה בגאומטריה מכפילה את ההשתאות. אותי מפליא לא פחות שהעשר מורכב מן הריבוע של אחד עם הריבוע של השלוש, אבל אני לא הולך להוציא על זה פטנט.
=

כולנו מכירים את החשיבות של משפט פיתגורס  בגאומטריה, אבל יש לו חשיבות גם בתורת המספרים[2]

3²+4²=5²

מראה שהחמש נוצר מהשלוש (האי זוגי) ומהארבע (הזוגי) שלפניו, כמו שהשלוש נוצר מחיבור של אחד (אי זוגי) עם שניים (זוגי) שלפניו. כדאי רק לשים לב שבשביל "לברוא" את החמש לא צריך את משפט פיתגורס
 שהרי

1²+2²=5
=
הערות:

[1] האזכור המוקדם ביותר של משפט פיתגורס מופיע אצל פלוטרכוס

מקור:

T.L. Heath, a History of Greek Mathematics, Vol. 1, Oxford 1921

[2] מקור:

Pythagoras and the Pythagoreans: A Brief History  By Charles H. Kahn p.33

מקורו של מספר

אחת ההמחשות המובהקות לפלאיות של המספרים היא התופעה שסכום הספרות של מספר כלשהו מלמד על מקורו, כלומר על המספר מאחד עד תשע שממנו התגלגל, שהרי האחד עד תשע הם החלוצים שכל שאר המספרים נובעים מהם. זה מזכיר לי בעל חיים גזעי שיש לבעליו תעודות שמעידות על שושלתו.

לדוגמא המספר 2013 סכום ספרותיו 6 [2+0+1+3]

והוא השארית של 2013 חלקי תשע

או הגלגול ה 223 של 6

או

(2013-6):9=223

עם זאת, ראוי לקחת בחשבון את דבריו של דיויד יום בספרו "דיאלוגים על הדת הטבעית" (סעיף 147) בדיוק על תופעה זו, שהמתבונן השטחי בה מתמלא בהערצה, ונדמה לו שהיא תוצאה של מקרה או של כוונת מכוון, אבל מתמטיקאי מוכשר יסיק מיד שזו תופעה שנובעת בהכרח מטבעם של המספרים שחוללו אותה.   
לסוג כזה של פלאים שייכת גם המשוואות הבאות:
א. מאה שווה לסכום של החזקות השלישיות של ארבעת המספרים הראשונים: 

1+8+27+64=100

ב. מספר ימות השנה שווה לסכום הריבועים העוקבים של עשר, אחד עשרה ושנים עשרה: 

100+121+144=365

ג. מספר ימות השנה שווה לסכום הריבועים של 13 ושל 14

169+196=365