המוחשי המופשט או המופשט המוחשי

לכאורה צורות גיאומטריות הן המחשות של מספרים, שהם מופשטים. אבל כאשר אוקלידס מגדיר את הנקודה כמה שאין לו אורך הנקודה איננה המחשה למספר אחד כי היא לא פחות מופשטת ממנו. מדובר בעצם בשתי שפות מופשטות שמבטאות רעיון אחד. אחד הוא קודם כל מילה, או מושג, ורק אחר כך הוא מקבל ביטוי מספרי או גיאומטרי. באופן דומה יש לעתים לעיונים פילוסופיים המחשה ביצירות ספרות.  

מה סופרים המספרים?

בעולם החומרי המספרים סופרים דברים, אבל בעולם של המספרים הטהורים הם סופרים את עצמם: היחידות סופרות תחילה את האחדים [למשל, בחמש יש חמש פעמים את המספר אחד], אחר כך את העשרות [למשל שלושים משמעותו שהשלוש סופר את העשרות], ואחר כך את המאות, האלפים וכן הלאה. מה שפיוטי בתובנה הזאת הוא שהעשרות המאות האלפים וכן הלאה הם יותר נספרים מאשר מספרים. 

תורת מספרים טהורה

תורת מספרים טהורה צריכה להשתחרר מן המינוחים הגאומטריים שיש כיום באריתמטיקה: במקום המונח "מספר משולש" עליה למצוא מונח שיסמן את הצטברות המספרים מאחד ועד המספר המבוקש. 
אין במספרים מרחק שווה בין מספר למספר, כמו בגיאומטריה, ולכן מושגי המרחק אינם רלוונטיים בהם. 
ריבוע של מספר הוא חזקה. זה לא רלוונטי לאריתמטיקה שניתן לסדר נקודות בצורת ריבוע כך שמספרן הוא מספרו של המספר בחזקה שנייה. 
וכך גם לגבי מספרים מעוקבים לא רלוונטי לאריתמטיקה טהורה שהם בצורת קובייה. הם בחזקה שלישית ותו לא.
משפט פיתגורס הוא משפט גיאומטרי טהור שקובע יחס בין שטחי ריבועי הניצבים במשולש ישר זווית לבין שטח הריבוע שעל היתר שלו. מספרים שכרוכים בו [כמו 3,4 5] לא שייכים לגאומטריה. 
גם פאי הוא עניין של גאומטריה. הוא היחס שבין היקף העיגול לקוטרו. כל העניין המספרי העצום שהמספר הזה עורר אינו שייך לגאומטריה. הפיתגוראים המשיכו לפתח את הגיאומטריה אך עצרו את פיתוח האריתמטיקה, אחרי שגילו [באופן גיאומטרי] שהמספרים הלא שלמים מסבכים להם את החיים. באריתמטיקה נתנו כבוד ללא שלמים שבהם זלזלו הפיתגוראים. פאי הוא מספר לא שלם שנולד בגיאומטריה ואומץ באריתמטיקה. הוא בן כלאיים. איזו הצדקה יש לו באריתמטיקה? הוא לא מספר לא שלם מהסוג של יחס הזהב שהוא יחס גיאומטרי בין קווים.  
טשטוש התחומים בין גאומטריה למתמטיקה בולט במשפט לינדמן שהוא הוכחה מתמטית שממנה נובע שאי אפשר לבנות באמצעות סרגל ומחוגה עיגול ששטחו שווה לשטח של ריבוע. 

גאומטריה ואריתמטיקה הן כמו מילים ומוזיקה

גאומטריה ואריתמטיקה

הן כמו מילים ומוזיקה

יתכן שיש מנגינות רבות עבור אותן מילים

וייתכן שיש מילים רבות

למנגינה אחת

להלן צורות גאומטריות שונות לאותן מספר:

קווים מקבילים הם צורה גאומטרית אחת

שכל המספרים ממחישים אותה

על קו אחד מונחים הזוגיים ועל השני...

האי זוגיים

איך המספרים הראשונים מתבטאים בדקדוק

להלן שחזור ופיתוח של מה ששמעתי פעם ממורי, יוסף ספרא:

==

אני האחד.

אתה השני.

אני ואתה מהווים את הקבוצה הראשונה, שהיא ההתחלה של אנחנו, וגם ההתחלה של הריבוי.

אם האני זכר הוא אינו יכול להתרבות בלי את. אם הוא נקבה היא אינה יכולה להתרבות בלי אתה.

אני ואת מאפשרים את אנחנו אבל לא את הם. אם רק אנחנו בעולם אנחנו לא זקוקים למילה הוא.

הוא הוא השלישי.

אני ואתה, אנחנו, יכולים לדבר על הוא, עליו, אבל לא על הם.

הוא יכול לדבר עלי ועליך כעל אתם אבל לא כעל הם.

הם הוא הארבע. הארבע מאפשר את הריבוי של הקבוצות. אנחנו והם.

אני יכול להגיד לך הוא על השלישי והם על השלישי והרביעי.   

על הלימוד של המספרים כחוויה

בלוח השחמט ניתן לראות שאם הזוגיים בלבן האי זוגיים בשחור, ואם הזוגיים בשחור האי זוגיים בלבן. יש במראה הזה יופי שאין בידיעה המופשטת שאם תוסיף 2 שוב ושוב ל 1 תקבל את טור המספרים האי זוגיים, ואם תוסיף 2 שוב ושוב ל 2 תקבל את טור המספרים הזוגיים.

כך גם בטטרקיס של הפיתגוראים שמתאר באופן מושלם את ההתאמה שבין צורת המשולש לבין עשר הנקודות שמרכיבות את 1+2+3+4, שהן הסכום של ארבע, או תוכנו. אם פורשים את אותן עשר נקודות לאורך קו אין הבדל מרשים בינן לבין תשע נקודות או בינן לבין אחת עשרה נקודות.

אריסטו הסביר שלטטרקטיס היה מעמד מיוחד אצל הפיתגוראים בגלל שמאה הוא הסכום של ארבעת המספרים הראשונים בחזקה שלישית, אבל מאה הוא ריבוע שעל כל צלע שלו יש עשר נקודות, ואי אפשר להכניס לתוכו את הגופים התלת ממדיים שיוצרים השניים השלש והארבע כשהם בחזקה שלישית, בלי לפרקם. לדעתי אריסטו החמיץ בהסבר הזה את המעמד המיוחד שהיה אצל הפיתגוראים ללימוד החוויתי שנובע מתוך ראייה פשוטה של העובדות. לימוד שכזה עדיין ניתן לחוות בגאומטריה.

כמי שלמד את המספרים בבית הספר באופן מופשט, ושנן את נוסחאותיהם בלי לחוות את מה שהוא משנן, אני משתדל בבלוג הזה לברור מתוך שפע התופעות של תורת החשבון את אלה שמחזירות אותנו לאותם ימים נפלאים שבהם אנשים למדו את משפט פיתגורס באמצעות פסיפסים בחול.    

תמצית חשבון

בחצי השנה שעברה פרסמתי בבלוג זה כשלוש מאות כתבות שעוסקות בהתבוננות במספרים.

התחלתי מהתבוננות בשמות המספרים. אחר כך ניסיתי להיזכר בתורת המספרים שלמדתי אצל יוסף ספרא בסוף שנות השבעים. חקרתי את מקורותיה. התחלתי מספר יצירה, שממנו נהג יוסף ספרא לצטט כמה משפטים. משם התפשט העניין שלי לתורת המספרים אצל היהודים, ובעיקר בתנ"ך ואצל רבי אברהם אבן עזרא. גיליתי שחלקים ניכרים מתורת המספרים שלמדתי אצל יוסף מופיעים אצל הפיתגוראים. בעקבות זאת, התפשט העניין שלי אל תורת המספרים של הפיתגוראים, וגיליתי את הקשר ההדוק שלה לגיאומטריה. לכל אורך הדרך הקפדתי לא להיסחף לנוסטלגיה או להיסטוריה, ולהתמקד בהתבוננות עצמאית במספרים, שהיא בעיניי עיקר הבלוג וההצדקה לקיומו. בדרך אגב אספתי יצירות אמנות ובולים שבהם מופיעים מספרים, מתוך תקווה שאמנים יצליחו להאיר את המספרים מזווית אחרת. לאורך כל הדרך ניסיתי להמחיש את הדברים המופשטים שכתבתי באמצעות צילומים שצילמתי, ובאמצעות איורים שעיבדתי במחשב.     

טבלת הגלגולים

טבלת הגלגולים מציגה את המעבר מתשעת המספרים הראשונים, בעלי הספרה האחת אל גלגוליהם, שהם המספרים בעלי יותר מספרה אחת.

עוברים משורה לשורה באמצעות הוספת המספר 9.

כל עמודה מוצגת בצבע שונה.

סכום הספרות בכל תא מצטמצם למספר שהוא מקור הגלגול וכך

5=14=77

טבלה זו ממחישה שבעצם  אנחנו סופרים בכל שורה מחדש את תשעת המספרים הראשונים, אבל כדי שלא נתבלבל אנחנו נותנים להם שמות חדשים. וכך: עשר הוא שמו החדש של אחד, הוא הגלגול הראשון של אחד, ותשע עשרה אף הוא שמו החדש של האחד, אבל הוא הגלגול השני שלו, וכן הלאה.
***

הסיבה לכך שסכום הספרות של מספר שיש בו יותר מספרה אחת מצטמצם לספרה אחת היא שאנחנו מסירים ממנו את התשיעיות. באריתמטיקה התהליך הזה נקרא בשם 

Casting out nines

וכך:

16-9=7 (1+6=7)

29-27=2 (2+9=11=2)

בלטינית התהליך הזה נקרא

Abjectio novenaria

הבישוף היפוליטוס בן המאה ה-3 דן בשיטה זו בפרק ה-14 בספרו נגד הכופרים,

Refutations of all heresies

והוא מכנה בשם שורש את המספר האחד שנשאר לאחר חיבור הספרות, ויהא המספר ארוך ככל שיהיה. אם המספר מתחלק בתשע בשלמות ללא שארית שורשו תשע. אבל היו כאלה, ממשיך היפוליטוס, שלא חילקו בתשע אלא בשבע. הנוהג שנגדו יוצא היפוליטוס הוא המרת שמות מצביאים יריבים למספרים, צמצומם של מספרים אלה לשורשיהם, והשוואתם לפי קריטריונים שונים לצורך ידיעה מראש מי ינצח בקרב.   

***

גלגל הגילגולים
מקור: דיון בפורום בנושא הפלא שראה ניקולה טסלה במספרים 369

   

התחלה חדשה

אמנם ניתן לחלק את האחד לשניים ויותר חלקים ובכך לשבור אותו לשברים, אבל כשמחלקים אותו באחד, או בעצמו, הוא נשאר שלם. לעומתו כל מספר שלם אחר שמחלקים למספרים אחרים נשאר בשלמותו רק כשהוא מתחלק באחד, ונדמה שהאחד הוא זה שממנו הוא יונק את שלמותו.

כשמספר גדול מאחד מתחלק לעצמו נחשפות היחידות שמהן הוא מורכב: המספר שניים מורכב משני אחדים, המספר שלש משלושה וכן הלאה. בחשבון רגיל אנחנו מתעלמים מן התהליך ומתמקדים בתוצאה: אומרים שחמש לחלק לחמש שווה אחד, אבל כאשר מחלקים קו שאורכו חמישה ס"מ לחמישה חלקים שווים רואים בבירור שחמש לחלק לחמש שווה חמש, שכל אחד מהם הוא אחד.

*   *   *   *   *

כאשר מעלים חמש בריבוע רואים שנוצר ריבוע, שהוא טבלה שמורכבת מחמש שורות וחמש עמודות, ובמרכז כל תא כלוא לו האחד. בשורה הראשונה יש חמישה אחדים, והיא מה שאנחנו קוראים לו חמש, וכדי לרבע את עצמו הוא מוסיף לעצמו את עצמו עוד ארבע פעמים, כלומר הוא מוסיף עוד ארבע שורות של אחדים.

*   *   *   *   *

*   *   *   *   *

*   *   *   *   *

*   *   *   *   *

*   *   *   *   *

1   1   1   1   1

1   1   1   1   1

1   1   1   1   1

1   1   1   1   1

1   1   1   1   1

כדי להעלות את החמש בחזקה שלישית מוסיפים מתחת לחמש בריבוע עוד ארבעה ריבועים שכמותו, ומקבלים קובייה שמורכבת מ- 125 אחדים.

חמש הוא מספר אי זוגי, אבל די קשה לראות במבט אחד ש-101 הוא מספר אי זוגי. זו הסיבה לכך שבדרך כלל איננו מתבוננים במספרים בתצוגה הבסיסית שלהם כשורה של אחדים על קו, שהיא תולדה של חלוקת המספר בעצמו, ובמקומה אנחנו משתמשים ב-X שהוא אחד משני חלקים שווים של מספר זוגי, או אחד משלושה חלקים, שאחד מהם הוא אחד, והשניים האחרים שווים, אם הוא מספר אי זוגי, שהרי אחד הוא כל מה שמבדיל בינו לבין מספר זוגי.

וכך חמש פחות אחד לחלק לשניים שווה שניים, ושניים הוא גם ה-X של חמש וגם ה-X של ארבע. מעתה נקרא לכל מספר זוגי בשם 2X ולכל מספר אי זוגי בשם 2X+1 או בית.

           ..  *  ..

5=      X+ 1+  X 

X=2

        ..  ..  

X + X       =4

X=2

ניתן לראות ש-X הוא הגורם המשותף לזוגי ולאי זוגי גם בדרך נוספת. כל מספר אי זוגי ניתן לחלק לשני חלקים לא שווים שאחד מהם גדול באחד ממחצית המספר הזוגי שקודם למספר שאליו אנו מתייחסים. וכך חמש מתחלק לחצי גדול, 3, ולחצי קטן, 2 שהוא גם החצי של 4- המספר שלפני 5.

התכונה של זה בתוך זה משותפת למספרים ולצורות אבל לא לאותיות. כמו שהעשרות נכנסות במאות והמאות באלפים הנקודות נכנסות בקווים, הקווים בשטחים, השטחים בנפחים. זו, ככל הנראה, אחת הסיבות העיקריות להתאמה המופלאה שבין אריתמטיקה לגיאומטריה. מה שקצת פחות בולט לעין הוא שלפני שהעשרות נכנסות לתוך המאות האחד הוא חצי משניים, והשניים שני שליש משלש... והשמונה שמונה תשיעיות מהתשע. בזכות הקומפקטיות המושלמת של המספרים אנחנו יכולים לחשב בקלות יחסים בין מספרים גדולים. במקום לרשום אחד עשרים פעמים

1111111111

1111111111

כפול שנים (11)

שווה

1111111111

1111111111

1111111111

1111111111

 אנחנו כותבים

20.2=40

וחוסכים המון פעולות מיותרות.