ריבוע בתוך ריבוע בתוך ריבוע

ציור ממוחשב של רעיון ששלח לי חיליק ואו פתוח

 שלפיו לריבוע אי זוגי יש מרכז

כך שה1 מוקף ב 9 שמוקף ב 25 שמוקף ב 49 שמוקף ב 81

גם לכל הריבועים הזוגיים יש מרכז שאותו הם מקיפים, בזה אחר זה, ללא יוצא מן הכלל, אלא שמרכז זה מורכב מן הריבוע של שניים, כלומר, באיור שלנו, מארבעה ריבועים, או מנקודת מבט דרמטית - המרכז הוא האפס שבין ארבעת הריבועים האלה, וכל הריבועים נזרקים מתוכו כמו היקום מן המפץ הגדול:

סכומי הספרות של התכנים לפי זרם

בעקבות הערה של חיליק ואו פתוח לגבי סכום הספרות הסופי של התכנים של המספרים ששייכים לזרם של 147, שהוא תמיד אחד, בדקתי את סכומי הספרות הסופיים של התכנים של המספרים ששייכים לזרמים האחרים והתברר לי שהם או 3 או 6 או 9. בזרם של 369 התוצאה הזאת נראית סבירה, כי שש ותשע הם סוגים של שלש (שש מכיל שתי שלשות ותשע שלש). אבל לגמרי לא מובן מאליו מדוע סכום התכנים של 258 חייב להסתיים ב 3 או 6 או 9. (אפילו סכום הספרות של 258 הוא 15 שמצטמצם ל-6)

סכום התכנים של 147

1=1

4=10=1

7=28=1

10=55=1

13=91=1

16=136=1

19=190=1

22=253=1

סכום התכנים של 3 6 9

3=6

6=21=3

9= 45=9

12=78=15=6

15=120=3

18=171=9

21=231=6

24=300=3

27=378=18=9

30=465=15=6

33=561=12=3

36=666=18=9

סכום התכנים של 258

2=3

5=15=6

8=36=9

11=66=12=3

14=105=6

17=153=9

20=210=3

23=276=15=6

26=351=9

29=435=12

32=528=15=6

35=630=9

38=741=12=3

41=861=15=6

44=990=18=9

על היחס בין היקף של מעגל לבין היקפים של מעגלים אחרים

משולש שווה צלעות ניתן להקיף בשלושה משולשים שזהים לו. זה מחזק את הקשר שבין המספר שלוש לבין צורת המשולש.

ריבוע ניתן להקיף בארבעה ריבועים שזהים לו. זה מחזק את הקשר שבין המספר ארבע לבין צורת הריבוע.

משושה ניתן להקיף בששה משושים שזהים לו. זה מחזק את הקשר שבין המספר שש לבין צורת המשושה.

מעגל ניתן להקיף בששה מעגלים שזהים לו. זה מחזק את הקשר שבין המספר שש לבין צורת המעגל, וגם אומר משהו על הדמיון שבין משושה למעגל. לאור זאת נדמה שלא לגמרי במקרה בחרו לחלק את המעגל  ל-360 מעלות שהן עשר פעמים הריבוע של שש.

זה גם אומר משהו על היחס בין היקף של מעגל לבין היקפים של מעגלים אחרים. כשחיפשו את היחס בין מעגל לבין קוטרו נתקלו בפאי, שהוא מספר קבוע, אבל אינו מספר שלם. נדמה שערבו מין (ישר) בשאינו מינו (עגול). אבל כשמקיפים מעגל בששה מעגלים, לא בחמישה ולא בשבעה, מקבלים תוצאה עגולה.

מדוע דווקא ששה מעגלים מקיפים מעגל אחד? - כי 360 לחלק ל 6 זה 60.

שובל של מספרים- פרק ב

שמח ומבדח עם רעשן שמעשן ונושף מספרים.
הפתעה:

   התגלה שזו בעיה פתוחה בתורת המספרים, על שם קולץ

מאת חיליק ואו פתוח

יש לפתע הפתעה מרתקת בעולם שנפתח לנו, עולם "הרעשן שמעשן מספרים".

סיפרתי עליו לידידי המתמטיקאי (לא הפרופסור) והוא צחק ואמר "חיליק , עלית על בעיה פתוחה וידועה במתמטיקה, או יותר נכון בתורת המספרים, שנקראת הבעיה הפתוחה של קולץ" .
[ראו: ויקיפדיה ערך השערת קולץ]

בעיה פתוחה זו מילה מכובדת ביותר. זה אומר שזו בעיה שעבדו ועבדו ועבדו עליה, ועדיין לא מצאו את פתרונה.

יש צרור של בעיות כאלו, וחלקן העסיקו את מיטב המוחות המתמטיים בכל הדורות...

קולץ, בשנות השלושים של המאה הקודמת, גם שיחק כמוני עם "הרעשן שמעשן ונושף מספרים" ומסתבר שהוא לא מצא, ואף אחד עד היום לא מצא, שובל שלא, אחרי כל התהליך שלמדנו אותו, מסתיים ב-1. זה הביא אותו להכריז על הבעיה הזו כבעיה פתוחה.

הבעיה הפתוחה של קולץ בשפה שלנו: האם יש שובל שנוצר ע"י רעשן מעשן שלא מסתיים בספרה 1

שלב ב:  לרעשן שמעשן ונושף מספרים

השובל של 27

בחיפושי מצאתי גרף מעניין שמתאר את ה'רעשן המעשן' שמייצר את השובל הארוך ,שרמזתי עליו ושעכשיו אפשר לגלות לכם, של   27 .

 שובל זה אורכו 111   והוא 'מטפס' ומגיע  , ל'גובה' של 9232

הנה השובל עצמו – עשן המספרים של ה 27:  

 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

התבוננות:

א  השיא של השובל של 27 הוא  9232

ב. השיא השני  7288

ג . שאלה: יש עוד שיאים?

נסתכל על הגרף הבא שמתאר את השיאים השונים של השובל של 27

בציר האופקי מופיעים המספרים ה 1 עד 111 והציר האנכי המספרים שהרעשן יצר:

ממש מרתק הגרף הזה.  ניתן תאור ראשוני שלו:

1. בסביבות ה 80 על הציר האופקי מתנשאת פסגה שאנו יודעים כבר שהיא  ה 9232

2. בין 60 ל 70 מתנשאת הפסגה השנייה , השיא השני,  7288. וכן שיא שלישי צנוע בסביבות 40

3. סביב שתי הפסגות הנבדלות האלו מתגלים (אנו במסע, מסע של גילויי הארץ הזאת שהתגלתה לנו) למעלה מ 30  פסגות. כל הפסגות ה'מרוחקות' זו מזו שוות. בערך 'מרחק' של יחידה. תמונה של תנודות

ד.  מעניין להתבונן בגרף ואח'כ בעשן המספרים של ה27. אלו שתי הצגות שונות של אותו שובל:

     שאלה: איזה הבדל אתה רואה, חש, קולט הן בראיה ישירה והן באופן הגיוני (ראייה לא ישירה)

בין שתי ההצגות האלו?

קל לראות ששתי ההצגות האלו  מאד שונות זו מזו.

ההצגה המספרית מבליטה את 'העשן', לא נראה כל סדר.

ההצגה הגרפית מגלה  סדר. מבנה עם 3 פסגות עטופות בפסגות משנה ותנודתיות, יש קליטה ברורה יותר של התחלקות המספרים .

אגב המספר  111  בגימטריה הוא פלא

נחמד

כל השיאים של השובל של 27 , בצמצום שלהם, הם, לא ברור לי למה, מהזרם של 1 4 7 - יותר שביעיות ופחות רביעיות, וללא אחד:

שיא         צמצום

124              7

142               7

214               7

322               7

484               7

364               4

274               4

412               7

310               4

466               7

700               7

526               4

790               7

1186             7

1780             7

1336             4

502               7

754               7

1132             7

850               4

1276             7

958               4

1438             7

2158             7

3238             7

4858             7

7288          7

2734             7

4102             7

 6154            7

9232         7

1732             4

1300             4

976             4

184             4

70               7

106             7

160             7

16               7

סה"כ:

24 שביעיות

9 רביעיות                                    
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

שובל של מספרים

שמח ומבדח עם רעשן שמעשן ונושף מספרים 

שעשוע לפורים

מאת חיליק ואו פתוח

יש רש רש רעשן, רעשן שמעשן מספרים. הוא פועל רק על מספרים שלמים (1 2 3 4 15 19 22 ...)  על פי שני כללים שמיד נציג אותם.

כשפעולתו מסתיימת יש שקט, והוא מותיר אחריו שובל עשן של מספרים (גם הם שלמים).

כשהמצאתי את הרעשן הבוקר לא עזבתי אותו, הייתי ממש סקרן לדעת מה יהיה אורך השובל - מאיזה מספר ייצא השובל הארוך ביותר.

לא תאמינו אך אחד המספרים (בדקתי עד חמישים) נתן לי שובל ארוך ממאה. איזה רעש נחמד.

אז לא אחזיק אתכם במתח הנה 2 הכללים:

שני הכללים

1. אם המספר זוגי  הרעשן מחלק  אותו לשנים.

2.. אם המספר אי זוגי הרעשן מכפיל  אותו ב 3 ומוסיף 1.  למשל אם המספר 5 הרעשן הופך אותו  ל  16  (5 כפול 3 זה 15 ועוד 1 זה 16).

דוגמאות ליצירת שובל למספר מסוים

א. שובל של  1

    1 אי זוגי, מכפילים ב 3 ומוסיפים 1 - מקבלים את התא הראשון בשובל שהוא 4

    4 הוא מספר זוגי, מחלקים אותו ב 2 ומקבלים את התא השני בשובל שהוא 2

    2 הוא מספר זוגי, מחלקים אותו ל 2 ומקבלים את התא השלישי בשובל שהוא 1.

והשובל של 1 הוא לכן  בכתיבה משמאל לימין שלושה מספרים שלמים

1 -   4  2  1

אורך השובל של 1 הוא מספר התאים:  3

ב. שובל של   6

    6 זוגי. מחלקים ב 2. תא ראשון = 3

    3 אי זוגי, מכפילים ב-3 ומוסיפים 1 תא שני  = 10

    10 זוגי, מחלקים ב 2 תא שלישי = 5

    5 אי זוגי, מכפילים ב 3 ומוסיפים 1 תא רביעי= 16

   16 זוגי מחלקים ב 2  תא חמישי = 8

    8 זוגי מחלקים ב 2 . תא שישי ואחרון = 4

 את השובל של 4  יש לנו כבר בשובל של 1, לכן לא צריך לחשב שוב , והוא 4  2  1

  אז השובל של 6 יהיה:

6 – 3  10  5  16  8  4  2  1     

אורך השובל של 6: מספר הספרות בשובל - 8

ג. גילויי  עולם רשרש 

 שובלים של מספרים ואורכם

נעשה, באופן דומה, רעשן למספרים הראשונים:

התבוננות ועבודה עצמית

1.   השובל הקצר ביותר הוא של ה-1 והארוך ביותר מכל ה 11 הוא של ה-9

2.  השובלים הארוכים ( 7 , 9, 11) מסתיימים  תמיד בשובל של 3  (10 5 16 8 4 2 1).. האם זה ככה תמיד? השובלים הקצרים יותר הם תמיד חלק מהשובל של 3. זה נעצר כאן (ראה השובל של ה 6). האם זה חוק או מקרה?

זה מופיע לכל הספרות עד 10 לכן אם השובל יסתיים (זה לא ברור ראה 3. ) הוא תמיד יסתיים בזנב של 3 או קטע ממנו.

3. האם ייתכן מצב ששובל לא יסתיים?

4. יש לפניך הזדמנות לחקור עולם חדש שרק קצת ממנו גלויי, למשל גילויי המספר עם השובל הארוך ביותר עד 50. הוספת תכונות שדי קל לראותן. מקטעי שובל ועוד הפתעות.

בסיס 10 לעומת בסיס 12

משערים שהספירה בשיטת בסיס 10 מקורה בשיטה קדומה למניית חפצים באמצעות עשר אצבעות כפות הידיים, ואילו הספירה בשיטת בסיס 12 (שנקרא גם דואודצימלי או בסיס תריסר) מקורה בשיטה קדומה למניית חפצים באמצעות פרקי האצבעות (למעט האגודל, ששימש להצביע עליהן), או לחילופין שמקורה במספר חודשי השנה. בתנ"ך מובא הסיפור ההזוי הבא, שחסידי השיטה העשרונית אולי ישתמשו בו להצדקת היתרון שבשימוש בשיטתם לעומת שיטות אחרות:

וַתְּהִי עוֹד מִלְחָמָה בְּגַת, וַיְהִי אִישׁ מָדוֹן, וְאֶצְבְּעֹת יָדָיו וְאֶצְבְּעֹת רַגְלָיו שֵׁשׁ וָשֵׁשׁ -

עֶשְׂרִים וְאַרְבַּע מִסְפָּר, וְגַם הוּא יֻלַּד לְהָרָפָה (שמואל ב, כא, כ).
פסוק זה נועד אולי ללמד אותנו שיש הבדל בין ספירת אצבעות לבין ספירה באמצעות האצבעות. 
***

תגובה מאת עמנואל טרבלסי:

נכון, ישנם דברים שסופרים  בפרקי האצבעות כמו סממני הקטורת, י"ג מידות (התפילה) ועוד ועוד.

היום חוגגים את יום הפיי

הצילום באדיבות JTony מפליקר 

הסיפור הבא הוא מאת חיליק ואו פתוח:

לפני כחודש הגיע אלי לביקור ידידי הפרופסור  למתמטיקה ואומר לי לא פחות ולא יותר: 'חיליק, בא לי חזון. אני מוכרח לגלות את  פיי'

ואני אומר לו 'כבר גילו את פיי, לא?'

'לא' הוא עונה לי 'לא את הפיי האלוהי, לא את הפיי, הפיי האמיתי. כל המופעים הרגילים והארציים הם רק ה"צל" שלו'. והוא מוסיף ואומר: 'זה אובייקט שמתחמק מלהראות את עצמו במלוא החיות האלוהית שלו... כמו אישה שמגלה טפח ומכסה טפחיים...וכל מופע רגיל שלו בעצם מספר על האלוהי שבו'

'תמחיש לי' אני אומר.

'גדולתו ואין סופיותו מתבטאת בהופעתו כשבר אין סופי, שלכאורה אין בו סדר. במבט הרגיל זה שבר עשרוני אינסופי ללא כל סדר'. 

'אז למה זה רק "צל" שלו?' אני שואל.

'כי תמיד תמיד האדם יראה רק חלק  מהכוליות, ובו זמנית כל סידרה סופית של מספרים כנראה תופיע בו אחרי מיקום מסוים, שזו גם תכונה של ה"צל" שמספרת על הפיי האמיתי.

-'אני לא מבין'

 והפרופסור עונה לי בהתלהבות: 'קח למשל את 8 הספרות הראשונות של פיי עצמו:31415926,הן תופענה בחלק העשרוני החל מהספרה ה 50,366,472 

 30143197297159417005 31415926 09521470412250941070

כך נוכל למצוא לכל שרשרת מספרים מהיכן היא תתחיל להופיע בהצגה העשרונית של פיי'

'אני לא מבין' אני אומר. 'זה המון אז למה זה מראה על "צל"?'

-'כי בכל מקרה הראיות חלקיות. ה"צל" הוא לא פיי'

'חוץ מזה' הוא מוסיף 'תראה, כל דבר סופי נמצא בסדרה האין סופית הזו, גם התנ"ך, וזה רק ה"צל" אז תתאר לעצמך שפיי האמיתי מכיל כל דבר שידוע ושלא ידוע ושלא נצליח לדעת אותו'

'סיבכת אותי', אמרתי.

השתרר שקט ארוך. כל אחד מאיתנו הפליג אל הרהוריו בפיי, ואז חברי אומר לפתע:'הפיי הארצי הוא  יפהפה, הוא כה הרמוני, כה בהיר. תתאר לך איזה יופי יש לפיי שאני מחפש'.

-'מה פיי כל כך יפה והרמוני? תסתכל על הטור העשרוני המשעמם הזה...'

 ואז הוא פשוט כותב לי טור, מסתכל אליי בחיוך ממזרי ואומר: 'ליבניץ'. ומיד רושם עוד   ביטוי. 'תראה ידידי את היופי והסדר של ביטויים אלו,לא יפים? אתה יכול לכתוב אותם עד איזה מקום שתרצה  אך הם לא שלמים, הם רק נותנים את פיי בערך אז תתאר לך איזה יופי יש לפיי האלוהי'

 והוא מיד מוסיף 'ואל תשכח שבתוך ריבויי הפנים שלו כ"צל" יש את הפשטות שלו, שמופיעה אפילו בעובדה שכל ילד יודע עליו בדרכו. ואתה מבין, רק 
התחלנו'.

***

הערה של זאב:

פאי (π) הוא הדבר הקרוב ביותר ל perpetuum mobile שאני יכול לחשוב עליו. נדמה שלו ניתן היה לחבר  פרופלור לתוכנה שמייצרת את המספרים של π - הפרופלור היה מסתובב "לנצח", כל עוד המחשב היה מחובר לחשמל. 
***
מעניין אם מישהו יצליח לתרגם לעברית את מילות השיר המופלא של קייט בוש על פאי.

תנועת הריבועים הזוגיים כעיגול

במרכז 16 נקודות הריבוע של הארבע, מתחבאות 4 הנקודות של הריבוע של 2. ואם נְדמה שכל אחד מן הריבועים האלה חסום בעיגול ניתן יהיה לראות את התנועה של הריבועים  הזוגיים כתנועה של אדוות שנוצרת במים לאחר פגיעה של אבן.

*  *  *  *  *  *

*  *  * *  *   *

*  *  *  *  *  *

*  *  *  *  *  *

*  *  *  *  *  *

*  *  *  *  *  *

תודה לדבורית בן שאול שהסבה את תשומת לבי לתופעה זו

התנועה הכפולה

כפי שראינו בכתבות קודמות הבית, 2X+1)), שהוא מספר אי זוגי, מורכב משלושה חלקים, כאשר שניים מהם שווים (2X) והשלישי הוא תמיד המספר אחד (+1). במלים אחרות: המספר האי זוגי הנדון פחות אחד חלקי שניים נותן לנו את הבית.

7-1:2=3

3=X

הבית מתאר תנועה שלימה: יציאה, הגעה, חזרה וסיום, או, במינוח מקראי, "רצוא ושוב".

וְהַחַיּוֹת רָצוֹא וָשׁוֹב כְּמַרְאֵה הַבָּזָק (יחזקאל א, יד)

לדוגמה:

בבית של שבע הX הוא שלוש

2X+1=2.3+1=7

המילוי של השלוש, שהוא סכום המספרים מאחד ועד אליו, הוא שש, שהוא 2X

1+2+3=6=2X

כלומר שבע הוא גם פעמיים המילוי של הX ועוד אחד.

השבע הוא גם X ועוד המרכז (M)

3=X

4=M

3+4=7

השלוש הוא בעצם ביטוי מצומצם למילוי של שלוש. לפיכך השבע מופיע בצורה מלאה יותר כאשר הוא מורכב מפעמיים המילוי של השלוש ועוד המרכז, M, שהוא ארבע.

באיור הבא נוכל לראות איך המבנה של השבע, שכולל יציאה לפעולה (1, מימין למטה) הגעה ליעד (4) וחזרה מצד שמאל כלפי מטה לכיוון האחד

4

3 3

2     2

1        1

אם נחבר את כל המרכיבים שמנינו לעיל (באיור) של המבנה המלא הזה נקבל את הריבוע של המרכז

4+(3+2+1)+ (3+2+1)=16

הריבוע של המרכז מכיל בתוכו את הריבוע של הX (3.3=9) ועוד הבית

2X+1=7

7+(3.3)=16

באיור הבא נראה את הביטוי המלא יותר של התנועה הכפולה

.

.    .

 .    .    .

.    .    .    .

.    .    .

.    .

.

    

כאשר היציאה לפעולה היא הנקודה התחתונה, עולים מימין אל היעד שהוא הנקודה העליונה, וחוזרים מצד שמאל אל האחד, שהוא סיום התנועה.  

גבולו של מספר

תודה לגדעון על ששלח לי בול זה

תודה לחיליק ואו פתוח ששלח לי כתבה זו

האחד אינו יכול להגביל את עצמו כי אין לו ריבוע.

המחשה להגבלה היא המעוין הראשון, שמתאר את הגבולות של 2

.

.    .

.

השנים הוא

2x

בשורות הראשונה והאחרונה רואים את המספר אחד שהוא גם המילוי של אחד וגם ה X של 2

ובין השורות רואים את הנקודות של המספר 2

הריבוע של 2 (4) מורכב לא רק מכפל של השנים בעצמו, כמו בכל ריבוע, אלא גם מפעמיים המילוי של אחד ועוד עצמו.

המעוין של הארבע מורכב משש עשרה נקודות

.

.    .

.    .    .

.    .    .    .

.    .    .

.    .

.

וניתן לראות שהוא מורכב, בעצם, משני משולשים שביניהם יש קו

הנה כך:

.

.    .

.    .    .

___________

.    .    .

.    .

.

כל משולש הוא המילוי של שלש, שהוא שש.

כך שמה שמגביל את הקו של ארבע הנקודות הוא המילוי של שלוש שמעליו, והמילוי של שלוש שמתחתיו או

16=6+6+4

או

16=2(1+2+3)+4

כל מספר אי זוגי מורכב מ

2X+1

לדוגמה:

3=(2.1)+1

5=(2.2+1)

7=(3.3)+1

כאשר הוא מוצג בצורת אחדים

111

11111

1111111

יש לו מרכז שהוא אחד :

1M1

11M11

111M111

המרכז מוגבל על ידי המילוי משני צדדיו.