הפרדת הזוגיים מהאי זוגיים בסיפור המקראי על בריאת העולם

[בראשית א, ט-י] וַיֹּאמֶר אֱלֹהִים: יִקָּווּ הַמַּיִם מִתַּחַת הַשָּׁמַיִם אֶל מָקוֹם אֶחָד וְתֵרָאֶה הַיַּבָּשָׁה... וַיְהִי-כֵן. וַיִּקְרָא אֱלֹהִים לַיַּבָּשָׁה אֶרֶץ...

בסיפור המקראי על בריאת העולם נברא האור  ביום הראשון. האור הוא האחד גם לפי השיטה של הפיתגוראים. ביום השלישי מפריד האל בין הזוגיים [לכן שמים מופיע כמילה בעלת סיומת זוגית] לבין האי זוגיים [הארץ]. הפירוש הזה מתייחס לזה שבטור המספרים הטבעיים יש תוהו ובוהו, ותופעות מספריות רבות מופיעות שם בלי הפרדה ובלי סדר.

כל אחד יכול לראות אינסוף

כאשר האל אומר לאברם אבינו

הַבֶּט נָא הַשָּׁמַיְמָה וּסְפֹר הַכּוֹכָבִים אִם תּוּכַל לִסְפֹּר אֹתָם (בראשית טו, ה)הוא מראה לו את האינסוף.

האינסוף הוא כל מה שניתן לספור ועוד לא נספר.

כל אחד יכול לראות את האינסוף הזה בלילה בלי ענן [1].

יוצרי הסרט "האיש שידע אינסוף" (The Man Who Knew Infinity) שמספר על המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן, הניחו שרק מעטים מסוגלים לראות אינסוף, אבל כל אחד יכול לראות אינסוף כקו או כמעגל. אם מחלקים מעגל לעשר נקודות שמרוחקות זו מזו באותו מרחק, וסופרים מאחד עד עשר, ושוב מאחד (אלא שקוראים לו 11) עד עשר (אלא שקוראים לו 20) וכן הלאה. אותו מראה נגלה לעין אם מחלקים קו לעשרה מקטעים שווים,  וסופרים לסירוגין פעם מימין לשמאל ופעם משמאל לימין. תמיד רואים בעין את הנקודות שעוד לא נספרו. ההבדל בין התצוגה המעגלית לתצוגה הקווית הוא שבתצוגה המעגלית כל הנקודות מרוחקות מן המרכז באותו מרחק, ואילו בתצוגה הקווית כל נקודה הולכת ומתרחקת מנקודת ההתחלה.   

 [1] עדכון:

כיום האסטרונום יכול לספור לא רק את הכוכבים הנראים אלא גם חלק מן הכוכבים שלא ניתן לראותם בלי טלסקופ.

הולדת הטטרקטיס

הטטרקטיס נחשב לאימא של המספרים. רואים באמצעותו כיצד ארבעת המספרים הראשונים מולידים את העשר כסיכום שלהם, ואחרי עשרת המספרים הראשונים שבטטרקטיס כל המספרים הבאים אחריהם אינם אלא העתקים שלהם. אבל איך נולד הטטרקטיס עצמו?

הטטרקטיס הוא המספר המשולש של ארבע. מבחינה גיאומטרית הוא בנוי כמשולש שווה שוקיים שעל צלעותיו מפוזרות תשע נקודות ובחללו הפנימי יש נקודה אחת. הנקודה האחת הופכת לשלש נקודות במספר המשולש של חמש, שאותו מקבלים על ידי ציור חמש הנקודות שמתחת לבסיס של הטטרקטיס. שלש הנקודות הופכות לשש במספר המשולש של שש, והן הופכות לעשר (הטטרקטיס) במספר המשולש של שבע, שכולל 28 נקודות.

שבע הוא מספר אי זוגי שבנוי במתכונת של (2x+1), כלומר יש בו שני אגפים שווים וביניהם אחד, שהוא המספר המרכזי בשבע. כל אגף בשבע הוא 3, והמספר המרכזי הוא 4. וכך גם במספרים המשולשים: המספר המשולש של ארבע הוא במרכזו של המספר המשולש של שבע.

התופעה הנ"ל עמדה ככל הנראה לנגד עיני הפיתגוראים כשהעניקו לטטרקטיס, בין היתר, את הכינוי "אימא", כי בתוך חללו הפנימי, שהוא כביכול רחמה של האם, כבר יש את ההתחלה של הטטרקטיס הבא.

התופעה הנ"ל מזכירה גם את הסיפור המקראי על בריאת העצים:

וַיֹּאמֶר אֱלֹהִים:... עֵץ פְּרִי עֹשֶׂה פְּרִי לְמִינוֹ אֲשֶׁר זַרְעוֹ בוֹ (בראשית א, יא)   

והיא מזכירה גם את הביטוי המשנאי צְבָת בִּצְבָת עֲשׂוּיָה [אָבוֹת, פֶּרֶק חֲמִישִׁי, מִשְׁנָה ה, ח]*.

*הערה:
גם הסדרה ההנדסית של השניים: 2, 4, 8, 16...
שבה כל מספר הוא או ריבוע שהוא חצי מלבן או מלבן שהוא חצי ריבוע מזכירה את הביטוי המשנאי צְבָת בִּצְבָת עֲשׂוּיָה 

ארבע בפיוט

יָחִיד בְּאַרְבַּע            נָשׂוּי עַל אַרְבַּע

סָבִיב בְּאַרְבַּע            דִּגְלֵי חֲיָלוֹ

הֵן פִּנּוֹת אַרְבַּע            בָּם הוֹצִיא נִטְבָּע

וּתְקוּפוֹת אַרְבַּע            מָשׁ עֵת חָרָה לוֹ

וּבְזָכְרוֹ רֹבַע            אוֹתִיּוֹת אַרְבַּע

אָז פַּרְעֹה נִטְבַּע            הוּא וְכָל חֵילוֹ

דְּגָלִים אַרְבַּע            הֶעֱמִיד נִקְבַּע

וּבְכוֹסוֹת אַרְבַּע            צִוָּה לְהַלְּלוֹ

הַלְּלוּ שֵׁם יָהּ            נִקְרָאִים בְּיָהּ

וּבְתוֹךְ עֲדַת יָהּ            שְׁמוֹ גַּדְּלוּ

ידידי יהודה הסביר לי את הפיוט הזה:

"השיר הזה מהרפרטואר המרוקאי מושר בפסח

לא ידוע מי חיברו מעבר לכך ששמו יהודה יתכן ומדובר בריה"ל.

יחיד בארבע = ארבע רוחות העולם מזרח מערב צפון דרום

סביב בארבע דגלי חיילו = כתות מלאכים מיכאל, גבריאל, אוריאל, רפאל

פנות ארבע = ארבע יסודות אש,רוח מים ועפר

תקופות ארבע = אביב קיץ סתיו וחורף

עת חרה לו = מבול

דגלים ארבע = דגלי 12 שבטים שחולקו לארבע מחנות עם דגלים ראובן,יהודה,אפרים דן

כוסות ארבע = ליל פסח 

נקראים בי-ה = משפחות ישראל נכתבו בה' ו-י': החנוכי, הפלואי, החצרוני וכו'

(מתוך ספר הפיוטים: "אעירה שחר " לר' חיים רפאל שושנה ז"ל)".

ראוי להוסיף כי נָשׂוּי עַל אַרְבַּע 

מתייחס ככל הנראה לארבע חיות המרכבה

האחד כ"לא שניים"

האחד הוא אחד מ"תארי השלילה" של האל, שמהם ניתן ללמוד על מהותו של האחד. ריכוז של תארים שכאלה מופיע בפיוט "אדון עולם". בתמצית ניתן לומר שהאחד מאופיין שם כ"לא שניים":

א. וְהוּא אֶחָד וְאֵין שֵׁנִי / לְהַמְשִׁילוֹ לְהַחְבִּירָה

ב. המאפיין העיקרי של השניים הוא הניגודיות. ראשון ואחרון הם ניגודים. האל הוא שלמות שכוללת את הניגודים האלה באופן שאין הבדל ביניהם. הוא גם זה וגם זה, והוא לא זה ולא זה.   

וְהוּא רִאשׁוֹן וְהוּא אַחֲרוֹן / לְכָל חֹמֶר וּלְכָל צוּרָה

בְּלִי רֵאשִׁית בְּלִי תַכְלִית / וְלוֹ הָעֹז וְהַמִּשְׂרָה

ג. השוואה היא פעולה שנעשית בין שני גורמים. אי אפשר לומר שמשהו דומה למשהו בלי שיהיו שני משהו. אי אפשר למדוד או להעריך מי גדול יותר ומי קטן יותר בלי שיהיו שני משהו. אי אפשר לדעת שמשהו השתנה בלי להשוות אותו למה שהיה קודם: 

בְּלִי עֵרֶךְ בְּלִי דִּמְיוֹן / בְּלִי שִׁנּוּי וּתְמוּרָה.

ד. האחד הוא שלם ואין לו חלקים שמהם הוא מחובר. לעומת זאת השניים מורכב משני אחדים מפורדים שחברו להם יחד:

בְּלִי חִבּוּר בְּלִי פֵרוּד / גְּדוֹל כּוֹחַ וּגְבוּרָה.

שמן של סדרות המספרים הזוגיים והאי זוגיים (הפרדיים) מעיד על מקורם מהשניים, שהרי זוג מורכב משני אחדים, ומתחלק לשניים בעוד שהפרדי הוא זה שאינו מתחלק לשניים.

ה. האחד הוא לבד (בפיוט: "לְבַדּוֹ יִמְלֹךְ נוֹרָא"), כלומר איננו ריבוי. הריבוי מתחיל משניים. הרעיון הזה מופיע פעמים רבות בתנ"ך, למשל: בשמות כ, ג: "לֹא יִהְיֶה לְךָ אֱלֹהִים אֲחֵרִים עַל-פָּנָי".

ו. האחד הוא מעל לזמן, שהרי עבר ועתיד בהיותם ניגודים הם מאפיינים של השניים, בעוד שהאחד הוא "לא שניים":

וְהוּא הָיָה וְהוּא הוֹוֶה / וְהוּא יִהְיֶה בְּתִפְאָרָה

חושן

הפיתגוראים הצטיינו בשילוב של גאומטריה עם אריתמטיקה, ונהגו להמחיש את תגליותיהם במספרים באמצעות אבנים קטנות, שנקראו פסיפוי, ומהן יש לנו את המילה פסיפס. שילוב שכזה, של  גאומטריה עם אריתמטיקה ועם אבנים קטנות מופיע גם אצל היהודים בחושן המקראי שמשלב צורה גאומטרית (ריבוע שצלעו בגודל זרת) עם מספר (שנים עשר השבטים שמיוצגים באמצעות ארבע שורות של שלש אבנים), ומזכיר ריבוע קסם (אלא שאם היה ריבוע קסם היה עליו להכיל ארבע שורות של ארבע אבנים).

כמו שהחושן שימש ככלי לתקשורת של העם עם האל באמצעות הכהן כך גם ריבועי הקסם שימשו בתרבויות שונות כקמיעות, או ככלי לתקשורת עם העל טבעי.

החושן מופיע בתנ"ך בכתיב חסר -חשן. חשן בשיכול אותיות זה נחש, שהוא השורש של הניחוש. ניחוש וקסם הם שני סוגים של ידיעה, ולעתים הם גם מופיעים כמלים נרדפות, כמו בפסוק: כִּי לֹא נַחַשׁ בְּיַעֲקֹב וְלֹא קֶסֶם בְּיִשְׂרָאֵל (במדבר כג, כג).

דברים אלה מעוררים את השאלה אם החושן המקראי השפיע על השימוש של הפיתגוראים באבנים כאמצעי עזר להבנת 

המספרים, ואם החושן המקראי השפיע על ריבועי הקסם בתרבויות השונות.

-

תמונה: בול אבני החושן משנת 2012 בעיצוב של דוד בן הדור. שימו לב שהחושן שעל הבול הוא בצורת מלבן ולא בצורת ריבוע.

שברים עשרוניים

בשברים רגילים כמו: 1/2 ו 3/4 אפס לא יופיע, לא כמכנה ולא כמונה, אבל בשברים עשרוניים יש לו מקום של כבוד כ-0.1, 0.2, 0.3 ... או כ- 1.00, 2.05, 3.70 ...
די מדהים לחשוב ששברים מוזכרים בתנ"ך פעמים רבות, אך שברים עשרוניים אינם מוזכרים אף פעם:

מלכים א, ז, לה           
וּבְרֹאשׁ הַמְּכוֹנָה חֲצִי הָאַמָּה קוֹמָה עָגֹל סָבִיב

יחזקאל, ח, יב           
שְׁלִשִׁתֵיךְ בַּדֶּבֶר יָמוּתוּ וּבָרָעָב יִכְלוּ בְתוֹכֵךְ , וְהַשְּׁלִשִׁית בַּחֶרֶב יִפְּלוּ סְבִיבוֹתָיִךְ , וְהַשְּׁלִישִׁית לְכָל רוּחַ אֱזָרֶה, וְחֶרֶב אָרִיק אַחֲרֵיהֶם

במדבר טו, ה           
וְיַיִן לַנֶּסֶךְ רְבִיעִית הַהִין...

בראשית מז, כד           
וְהָיָה בַּתְּבוּאֹת וּנְתַתֶּם חֲמִישִׁית לְפַרְעֹה וְאַרְבַּע הַיָּדֹת יִהְיֶה לָכֶם...

יחזקאל ד, יא           
וּמַיִם בִּמְשׂוּרָה תִשְׁתֶּה שִׁשִּׁית הַהִין

בראשית יד, כ           
וּבָרוּךְ אֵל עֶלְיוֹן אֲשֶׁר-מִגֵּן צָרֶיךָ בְּיָדֶךָ וַיִּתֶּן לוֹ מַעֲשֵׂר מִכֹּל

שמות כט מ       
וְעִשָּׂרֹן סֹלֶת בָּלוּל בְּשֶׁמֶן כָּתִית

ויקרא כג, יג           
וּמִנְחָתוֹ שְׁנֵי עֶשְׂרֹנִים סֹלֶת בְּלוּלָה בַשֶּׁמֶן

במדבר יח, כו           
... וַהֲרֵמֹתֶם מִמֶּנּוּ תְּרוּמַת ה' מַעֲשֵׂר מִן-הַמַּעֲשֵׂר

קהלת ז, כח             
אָדָם אֶחָד מֵאֶלֶף מָצָאתִי וְאִשָּׁה בְכָל אֵלֶּה לֹא מָצָאתִי

שופטים ו טו           
... הִנֵּה אַלְפִּי הַדַּל בִּמְנַשֶּׁה...

סוד השבע

לדעת מוריץ קנטור ופרשנים אחרים השנה הבבלית מנתה תחילה 360 ימים בשנה, ומכאן באה חלוקת המעגל ל 360 מעלות, והוא מוסיף שאולי ידעו הבבלים שרדיוס המעגל קטן פי שש מהיקפו*.

360 המעלות של המעגל מתחלקות למספר שלם בכל אחד מתשעת המספרים הראשונים מלבד בשבע.

מעניין אם תופעה זו הייתה ידועה למחבר הסיפור המקראי על שמשון, שהמילה שמש הכלולה בשמו רומזת על שנת השמש, ועל גלגל השמש (שצורתה צורת עיגול), וסוד כוחו נקשר למספר שבע:

שופטים פרק טז:

ז וַיֹּאמֶר אֵלֶיהָ, שִׁמְשׁוֹן, אִם-יַאַסְרֻנִי בְּשִׁבְעָה יְתָרִים לַחִים, אֲשֶׁר לֹא-חֹרָבוּ, וְחָלִיתִי וְהָיִיתִי כְּאַחַד הָאָדָם
שמשון אהב לחוד חידות, וכאשר אמר "שבעה יתרים לחים" - כיוון לשבע מחלפות שערו שהיו סוד כוחו)

יג ... וַיֹּאמֶר אֵלֶיהָ אִם תַּאַרְגִי אֶת שֶׁבַע מַחְלְפוֹת רֹאשִׁי עִם-הַמַּסָּכֶת...

יט ... וַתְּיַשְּׁנֵהוּ, עַל בִּרְכֶּיהָ, וַתִּקְרָא לָאִישׁ, וַתְּגַלַּח אֶת שֶׁבַע מַחְלְפוֹת רֹאשׁוֹ

מתוך:*
A History of Elementary Mathematics by Florian Cajori , 1898

שמסתמך על

*Vorlesungen über Geschichte der Mathematik by Moritz Cantor (1894), Vol. I, pp. 91-93

***
לאחר שפרסמתי כתבה זו עם תמונה אחרת מצאתי את עצמי ברחוב שמשון וכשהגעתי למספר 7- צילמתי.  

שייכות

כמו הראשון בשבוע שהוא אחד משבע, כמו השעה בשעון שהיא אחת משתים עשרה, כמו כל יחידה מעשרת המספרים הראשונים שהיא אחת מעשר, כמו כל אחוז שהוא אחד ממאה - כל שבר של אחד הוא אחד מאחד. לדוגמה, כאשר מחלקים את האחד למאה מקבלים מאה חלקים, שכל אחד מהם הוא אמנם אחד ממאה, אבל בגלל שכל המאה הם חלקים של האחד יוצא שכל מאית שכזאת היא חלק אחד מתוך האחד.

כולנו מכירים את הביטוי המקראי אֶחָד מִנִּי רַבִּים [שמקורו בפסוק: אִם יֵשׁ עָלָיו מַלְאָךְ מֵלִיץ, אֶחָד מִנִּי אָלֶף, לְהַגִּיד לְאָדָם יָשְׁרוֹ (איוב לג, כג), אבל במקרה של השברים-של-האחד ניתן להפוך את צרוף המלים ולומר שמדובר ביחס של רַבִּים מִנִּי אֶחָד. 

תמצית חשבון

בחצי השנה שעברה פרסמתי בבלוג זה כשלוש מאות כתבות שעוסקות בהתבוננות במספרים.

התחלתי מהתבוננות בשמות המספרים. אחר כך ניסיתי להיזכר בתורת המספרים שלמדתי אצל יוסף ספרא בסוף שנות השבעים. חקרתי את מקורותיה. התחלתי מספר יצירה, שממנו נהג יוסף ספרא לצטט כמה משפטים. משם התפשט העניין שלי לתורת המספרים אצל היהודים, ובעיקר בתנ"ך ואצל רבי אברהם אבן עזרא. גיליתי שחלקים ניכרים מתורת המספרים שלמדתי אצל יוסף מופיעים אצל הפיתגוראים. בעקבות זאת, התפשט העניין שלי אל תורת המספרים של הפיתגוראים, וגיליתי את הקשר ההדוק שלה לגיאומטריה. לכל אורך הדרך הקפדתי לא להיסחף לנוסטלגיה או להיסטוריה, ולהתמקד בהתבוננות עצמאית במספרים, שהיא בעיניי עיקר הבלוג וההצדקה לקיומו. בדרך אגב אספתי יצירות אמנות ובולים שבהם מופיעים מספרים, מתוך תקווה שאמנים יצליחו להאיר את המספרים מזווית אחרת. לאורך כל הדרך ניסיתי להמחיש את הדברים המופשטים שכתבתי באמצעות צילומים שצילמתי, ובאמצעות איורים שעיבדתי במחשב.     

משמעויות של השניים בספר יצירה

שניים מופיע בספר יצירה בכמה וכמה משמעויות:

א. כמספר שמבטא ניגודים כמו הניגוד בין זכר לנקבה (בדומה למשמעותו אצל הפיתגוראים). עשר הספירות מסודרות בחמישה זוגות של ניגודים: עומק ראשית ועומק אחרית וכו'.

ב. בין הניגודים האלה יש יחסים של מלחמה או של השלמה. ההשלמה היא באמצעות

1. זוג:

בשנים עשרה יש ששה זוגות: "שנים לועסים, שנים לועזים, שנים עליצים, שנים עליזים, שנים נועצים, שנים טורפים, שנים ציידים. עשאן כמין מריבה, עשאן כמין מלחמה, גם את זה לעומת זה" (פרק ו משנה ד).

2. ברית: "כרת לו ברית בין עשר אצבעות רגליו והוא ברית מילה, כרת לו ברית בין עשר אצבעות ידיו והוא ברית לשון". (פרק ו משנה ח)], הברית היא בין חמש אצבעות ימין לבין ניגודן: חמש אצבעות שמאל.

אותו מבנה של חמישה זוגות של ניגודים שמופיע בחלוקה של האצבעות ליד ימין ויד שמאל מופיע גם בחלוקת עשר הספירות, וגם בחלוקה (המסורתית, כי חלוקת המצוות לחמש חמש בכל לוח אינה מתוארת במקרא) של עשר הדברות לשני לוחות הברית, כאשר הברית אחת, הלוחות שניים, ועל כל לוח כתובות חמש מצוות.

כמו על מנת להזכיר לנו את הדמיון בין לוחות הברית לבין אצבעות הידיים מופיעה בפרשת הלוחות אצבע אלוהים: וַיִּתֵּן אֶל מֹשֶׁה, כְּכַלּתוֹ לְדַבֵּר אִתּוֹ בְּהַר סִינַי, שְׁנֵי לֻחֹת הָעֵדֻת, לֻחֹת אֶבֶן כְּתֻבִים בְּאֶצְבַּע אֱלֹהִים (שמות לא, יח).

ג. כמספר סודר - יום שני, וכן :"שאדון יחיד הוא ואין שני לו" (פרק א, משנה ו).

ד. כהכפלה (דגש באותיות בגד כפרת):

"ומתנהגות בשתי לשונות ב"ב ג"ג ד"ד כ"כ פ"פ ר"ר ת"ת, רך וקשה, גבור וחלש, כפולות שהן תמורות..." (פרק ד משנה ב).

בריאת מספר מהמספר שלפניו

מקור התמונה בויקיפדיה ערך סקסטוס אמפיריקוס

בדרך כלל מדמים את בריאת מספר מהמספר שלפניו כתוספת של אחד, מה שמסביר את העובדה שככל שמספר גדול יותר הוא מכיל יותר אחדים, אבל אצל הפילוסוף היווני סקסטוס אמפיריקוס, בן המאה השנייה לספירה (בפסקאות 92 עד 109 בספרו נגד הלוגיקנים) מופיע אותו רעיון בניסוח שונה במקצת, שמבוסס על השברים:

2 בנוי מאחד ועוד אחד חלקי 1

3 בנוי מאחד ועוד חצי מ 2

4 בנוי מאחד ועוד שליש מ 3

5 בנוי מאחד ועוד רבע מ 4

6 בנוי מאחד ועוד חמישית מ 5

וכן הלאה

כלומר לא האחד הראשון מוסיף עצמו מחדש לכל מספר חדש אלא מספר כלשהו מחלק עצמו בעצמו, ותורם לזה שאחריו את אחד מחלקיו/אחדיו. ניסוח מיתולוגי לגרסה של סקסטוס אמפיריקוס: לא אדם הראשון מוליד כל אחד מאתנו אלא כל דור נולד מהדור שלפניו. 

מספר חמישים בציור של אהובה קליין

תקיעת שופר בשנת היובל

ציירה: אהובה קליין © [שמן על בד]

הציור מבוסס על הפסוקים:

"והעברת שופר תרועה בחודש השביעי בעשור לחודש ביום הכיפורים תעבירו שופר בכל ארצכם:

וקידשתם את שנת החמישים שנה וקראתם דרור בארץ..."[ויקרא ,כ"ה, ט-י]

המספר חמישים- שמהותו שנת היובל- הוא כנגד חמישים ימי הספירה מיום שני של חג הפסח [הבאת קורבן העומר לכוהן]-עד חג מתן תורה, כפי שנאמר:

"וספרתם לכם ממחרת השבת מיום הביאכם את- עומר התנופה שבע שבתות תמימות תהיינה: עד ממחרת השבת השביעית תספרו חמישים יום.." [ויקרא  כ"ג ט"ו-ט"ז]

ימים אלה הם הכנה ליום הקדוש של מעמד הר סיני- בו התאחדו כל עם ישראל-כאיש אחד בלב אחד- ואמרו: "נעשה ונשמע"!

האם הייתה למחברי התנ"ך תורת מספרים?

בבלוג הזה הנושאים צצים כמו מאליהם, בלי סדר ובלי תכנון מראש, אבל כשמתבוננים על נושא מסוים, כמו מעל פסגת הר לכיוון  הדרך שעברנו עד כה, רואים שהעיון במספרים שבתנ"ך מבצבץ שוב ושוב, והולכת ומתבהרת השאלה האם או באיזו מידה, הייתה למחברי ספרי המקרא תורת מספרים. הנחת היסוד היא שהעברים, כמו הפיתגוראים, הכירו את תורת המספרים של המצרים, שהרעיונות של הפיתגוראים לא נעצרו בגבולות יוון, ושהידע האריתמטי-גאומטרי היה משותף לכל העמים בני אותה תקופה. אז ראינו בתחילת הבלוג שבריאת העולם היא בדרך אגב גם בריאת שבעת המספרים הסודרים הראשונים. שהיום השביעי, כמו השבע, מגבש את ששת המספרים המפורדים שלפניו לקבוצה, לשבוע, כמו שהעשר מגבש לקבוצה את תשע היחידות שלפניו. השביעי הוא כמו הנקודה הגיאומטרית שממנה מתפשטים, כבקוביה, ששת הכיוונים שמרכיבים את שלושת הממדים: ימין ושמאל שמרכיבים את האורך, קדימה ואחורה שמרכיבים את הרוחב, מעלה מטה שמרכיבים את הגובה.

ראינו שבריאת אדם יש מאין ובריאת חווה מצלעו מקבילים אולי לתיאור של הפיתגוראים על בריאת האחד יש מאין ועל בריאת השניים מהאחד, כאשר בשתי התרבויות האחד הוא זכר והשניים נקבה. 

ראינו שהסיפור על נהרות גן עדן, אחד שמתפצל לארבעה, מזכיר את הטטרקטיס של הפיתגוראים, שהוא משולש עשוי מעשר נקודות כאשר ראשו באחד ובסיסו בארבע, ושהטטרקטיס מזכיר את הפירמידה המצרית.

ראינו שמדידת נחלות בחבל, שהיא היסוד למשפט פיתגורס ולגיאומטריה (שמורכבת מן המלים גיאו- אדמה, מטריה - מדידה) נזכרת כמה וכמה פעמים בתנ"ך.
ראינו שחלום יוסף על אלומות אחיו שמשתחוות לאלומתו רומז אולי למעמדו המיוחד של האחד שממנו כל המספרים מורכבים ובלעדיו אין להם חיים.
ניתן להבין את משפט שלמה המלך (– מלכים א' ג', טז-כח) כתשובה לשאלה מהו האחד: האחד אינו ניתן לחלוקה, אם יחולק ימות. באחדותו- חיותו.

כעת אני רוצה להתייחס לעניין חדש - התנחלות השבטים בארץ. מתוך 12 השבטים התנחלו בתוך הארץ תשעה וחצי, ואילו שנים וחצי שבטים (ראובן גד וחצי המנשה) התנחלו בעבר הירדן. האם יתכן שיש בסיפור זה רמז למעבר מבסיס 12 לשיטה  העשרונית? כאשר המספר עשר הוא עם חצי רגל ביחידות וחצי רגל בעשרות?
***

הערה של ידידי עמנואל:

לגבי  מספרים חיוביים ושליליים כבר  נאמר בקהלת י, ב: לֵב חָכָם לִימִינוֹ (מספר חיובי)וְלֵב כְּסִיל לִשְׂמֹאלוֹ (מספר שלילי) כאשר שניהם מתחילים מאפס .

                                            

שם צורה

בתורת הדקדוק יש פרק שלם שמוקדש לשם של מספר, אבל למרות שיש התאמה מופלאה בין מספרים לבין צורות  גיאומטריות, לא מצאתי בתורת הדקדוק אפילו סעיף אחד שעוסק בשם של צורה. אז הנה כמה שמות של צורות: נקודה, קו, עיגול, רדיוס, קוטר, משולש [1], מרובע, ריבוע, מלבן, מקבילית, טרפז, מחומש, פנטגרמה, משושה, מגן דוד, משובע, מתומן, תשיעון, עשירון, מצולע, דלתון, מעוין, חסר צורה (אמורפי).

בתנ"ך מופיעה המילה צורה ביחזקאל מג, יא: "וְאִם נִכְלְמוּ מִכֹּל אֲשֶׁר עָשׂוּ צוּרַת הַבַּיִת וּתְכוּנָתוֹ וּמוֹצָאָיו וּמוֹבָאָיו... הוֹדַ֣ע אוֹתָ֔ם וּכְתֹ֖ב לְעֵֽינֵיהֶ֑ם וְיִשְׁמְר֞וּ אֶת כָּל צוּרָת֛וֹ וְאֶת כָּל חֻקֹּתָ֖יו וְעָשׂ֥וּ אוֹתָֽם". שורש המילה צורה הוא צור שמשמעו סלע, ובהשאלה הגנה, מחסה ומכאן הכינוי לאלוהים, צור ישראל, שמופיע במגילת העצמאות. אפילו יש בתנ"ך שם של מקצוע של זה שעושה צורות (בחימר או בחומר) - יוצר.

הערות:

[1] הסבר לגבי המילה משולש בתנ"ך שמופיע אצל רבי אברהם אבן עזרא בפירושו לבראשית טו, ט:

עז משולשת - יש אומרים: ג' עזים. והישר בעיני: בת שלוש שנים.

מספרים של אחדות לעומת מספרים של פירוד

המהר"ל מפראג ( 1609-1520) הבחין בין מספרים של אחדות לבין מספרים של פירוד:

שניים הוא מספר של פירוד אבל המספר הבא אחריו, שלוש, מאחד בין השניים.

ארבע הוא מספר של פירוד (לארבע רוחות השמיים) אבל המספר הבא אחריו, חמש, מאחד בין הארבעה. שש הוא מספר של פירוד (לששה כיוונים: ימין שמאל, קדימה ואחורה, מעלה ומטה) אבל המספר הבא אחריו, שבע, מאחד בין הששה.

תשע הוא מספר של  פירוד אבל המספר הבא אחריו, עשר, מאחד את התשעה לקבוצה אחת.

גם אצל הפיתגוראים יש הבחנה בין מספרים של אחדות לבין מספרים של פירוד: האי זוגיים הם מספרים של אחדות, לעומת הזוגיים שהם מספרים של פירוד. אבל ההבחנה של  הפיתגוראים גורפת, ואילו אצל המהר"ל האחדות איננה פועל יוצא של תכונת ההתחלקות של המספר, אלא כל מספר נבחן לגופו, לפי המכנה המשותף למשמעויותיו בספרות התורנית בכלל ובספר יצירה בפרט, ולפיכך העשר, לשיטתו, מאחד למרות שהוא מספר זוגי.

 

להלן ניסוחיו המקוריים של המהר"ל:

..."השנים נקרא שנים מפני השניות, וכל שניות אין בו אחדות, אבל בג' אין בו שניות בעבור השלישי הנוסף המקשר את השנים" (מהר"ל, גבורות ה' פרק ט).

..."ד' רוחות הם מחולקים ומפורדים, ולכן החמישי שהוא בין הארבע הוא מחבר ומקשר מספר ארבע, שהוא מספר מחולק ומפורד, כי כל אמצעי בשביל שהוא אמצעי מקשר ומחבר הכל, ולכך נקראו חמשה אגודה, וקרא דכתיב ואגודתו על ארץ יסדה, מדבר בחמשה, שהחמשה הוא האגוד המקשר והמחבר הארבעה המחולקים, ומפני זה השכינה עם חמשה ביותר, כי מאחר שמספר חמשה הוא מספר מחובר ומקושר, ואינו דומה אל הארבעה שהם מחולקים, והוא יתברך כולל הכל, והאגודה היא כוללת הכל ומקשרת הכל"... (דרך חיים פרק ג ו)

הז' הם התפשטות הקצוות הששה עם השביעי, כי השביעי הוא לפי דעתי הכולל את הז', והוא שביעי להם. (אגדות שבת, ראש השנה, כא ב).

..."שכל זמן שאין המספר יותר מט' נקראים חלקים שכל אחד ואחד מחולק לעצמו, שהרי יש לכל אחד ואחד צד בפני עצמו ולכך הם חלקים, אבל כאשר יש עוד אחד ששוב לא תוכל לחלקם שיהיה כל אחד ואחד בפני עצמו, אז הם כלל אחד ואינם חלקים לעצמם, ולכך ט' מספר החלקים, אבל כאשר הם עשרה יחזרו להיות כלל אחד"... (גבורות ה' פרק ח)

השלוש עשרה מאחד את השנים עשרה:

"השורש אחד ומן האחד שהוא יעקב יצאו י"ב שבטים, ונקראו שבטים כי השבט הוא ענף וחלק האילן, כן אלו י"ב כל אחד חלק הכלל. והיה מספר שלהם י"ב, מפני שכל דבר אחד נעשים ממנו י"ב גבולים מחולקים כל אחד בפני עצמו, ואלו הן: גבול מזרחית רומית [עליונה, מלשון רום, גובה] גבול מזרחית תחתית, גבול צפונית רומית, גבול צפונית תחתית, גבול דרומית רומית, גבול דרומית תחתית, גבול מערבית רומית, גבול מערבית תחתית, גבול מזרחית צפונית, גבול צפונית מערבית, גבול מערבית דרומית גבול דרומית מזרחית. (מהר"ל, גבורות השם, פרק יג).

התבוננות של רבי אברהם אבן עזרא בסיומות המספרים

"והנה יהיו האמצעיים במספר עשרה הם שנים. והם חמישה והם ששה. ואלה ארבעתם אהו"י הם הנכבדים וכל מספר מרובע ששם אחד נוסף על המרובע ככה יש בשרשו וככה בדומה לו. וכן במרובע חמישה חמשה ובמרובע שישה ששה אלה הד' מספרים לעולם שומרים עצמם במרובעה וזהו מעלתם על כל המספרים המרובעים"... והנה אלה הארבעה המספרים הם היקרים, ומספרם שנים ועשרים כמספר כל האותיות.(מתוך פירושו של הראב"ע לשמות ג, טו).

אהו"י - זרתות ובוהנים

בשפה של זמננו: בין האחד לעשר ניצבים באמצע המספרים חמש ושש. אחד הוא האות אל"ף, עשר האות יו"ד, חמש האות ה"א, שש - האות ו"ו. ראשי תיבות: אהו"י. המספרים האלה נבדלים משאר המספרים בכך שכאשר מכפילים אותם הספרה האחרונה שלהם איננה משתנה:

1.1=1

1.11=11

1.1111=1111

5.5=25

5.25=125

6.6=36

6.36=216

10.10=100

10.100-1000

שבועה ושבע שבוע ומעגל

בכמה מילונים מפרשים את המילה שבועה כנגזרת מן השורש של המספר שבע, שממנו גם נגזרת המילה שבוע, כאשר כל שבוע, בדימוי גאומטרי, כמו סוגר מעגל של שבעה ימים. 

מחזק פירוש זה הסיפור המקראי על השבועה שנשבעו אברהם אבינו ואבימלך. במעמד זה נכחו שבע כבשים, והישוב באר שבע נקרא על שמו (בראשית כא, ל- לב). צורת הבאר היא צורת עיגול, כמו פה, ולכן הפתח של הבאר נקרא פי-הבאר. עליו נהגו להניח אבן כבדה ועגולה שאותה ניתן היה לגלול. 

שבע מופיע פעמים רבות בפרשת כיבוש יריחו, ומהמילה "סבתם" משתמע שהקיפו את יריחו במעגל:"וסבתם את העיר, כל אנשי המלחמה, הקיף את העיר פעם אחת. כה תעשה ששת ימים. ושבעה כהנים ישאו שבעה שופרות היובלים לפני הארון, וביום השביעי תסבו את העיר שבע פעמים. והכהנים יתקעו בשופרות. והיה במשוך בקרן היובל, כשמעכם את קול השופר, יריעו כל העם תרועה גדולה, ונפלה חומת העיר תחתיה, ועלו העם איש נגדו." (יהושע ו',ג-ה)

ראוי לזכור בהקשר זה כי שבע הוא המספר היחיד בין עשרת המספרים הראשונים שהכפלה שלו בפאי נותנת מספר שלם, כאשר פאי מופיע בקירוב בתור שלש ושביעית. כלומר קוטר של מעגל שאורכו שבע הוא ביחס של פאי להיקפו של אותו מעגל.[מקורו של רעיון זה מצאתי בספר "באר מים חיים" לחיים די בושאל, שלוניקי, ש"ן עמוד רו. מעניין לציין בהקשר זה שכל צורה הנדסית משוכללת ניתן לחסום בעיגול. מכאן שעיגול מוסיף לשבועה הקשר של דיוק שלמות ושכלול, ומעניק רצינות לכוונת הנשבע לקיים את שבועתו. 

על הקשר בין מעגל לשבועה ניתן ללמוד גם מן האגדה התלמודית על חוני המעגל: "מעשה שאמרו לו לחוני המעגל: התפלל שירדו גשמים...  התפלל, ולא ירדו גשמים. מה עשה? עג עוגה, ועמד בתוכה, ואמר לפניו: רבונו של עולם, בניך שמו פניהם עלי, שאני כבן בית לפניך, נשבע אני בשמך הגדול, שאיני זז מכאן עד שתרחם על בניך". באגדה אחרת על אותו חוני המעגל (תענית כא ע"א) מסופר שישן שבעים שנה. 

גם בסיפור על המלכת שלמה מופיעים שבע (בת שבע) ושבועה בסמיכות. נתן הנביא שולח את בת שבע להזכיר לדוד המלך שנשבע לה ששלמה ימלוך תחתיו. (מלכים א, א, יא ואילך). רוביק רוזנטל מצטט במאמר על שמות המספרים את האטימולוג קליין שלפיו הנשבע "קושר עצמו באמצעות שבעה נדרים, או שבע שבועות".

מעניינת הקרבה בצליל בין השבע שלנו ל SEVEN באנגלית, ומדהים שאפילו במיתולוגיה היוונית, בסיפור על שבועת שבעת המנהיגים שנלחמו נגד תביי, יש קשר בין שבועה לשבע (ראו איור).

=

במילון סנסקריט-אנגלית מצאתי שהמילה שבע נקראת בסנסקריט zapta ומשמעותה של מילה זו היא גם שבועה וגם קללה.

מעניין לציין שהפיתגוראים היו נשבעים בעשר [1] ולא בשבע, אך חשוב לשים לב לכך שאת העשר של הפיתגוראים סימלה צורת הטטרקטיס שמורכבת משבעה אלמנטים: שלשה קדקודים וארבע שורות:

*

*  *

*  *  *

*  *  *  *

 מסתבר שבאלף הראשון לפני הספירה הייתה למספרים מסוימים משמעות דתית עמוקה בתרבויות שונות ברחבי העולם (בהודו, בישראל וביוון),  וקשה לקבוע באיזו תרבות התפתח הקשר הזה לראשונה.  

=

מקור האיור:

Stories from the Greek Tragedians by Alfred Church, 1879
[1]

הציטוט המוקדם ביותר של השבועה הפיתגוראית מופיע בפסקה שלSEXTUS  , שאותה העתיק מ POSIDONIUS

מקור:

BURKERT 1972: 54-6

השבע והשבת

ציורי תנ"ך/ שבת המלכה/ 

ציירה: אהובה קליין © 

שכתבה לי את הדברים הבאים:

 הציור מבוסס על הפסוק:

"את שבתותיי תשמרו ומקדשי תיראו אני ה'"[ויקרא י"ט, ל].

כאשר ציירתי את הציור, עמדה  נגד עיניי השבת בדמות מלכה- היות והשבת -מולכת על כל השבוע.

היא מקור הברכה, מסמלת גם את היום השביעי שבו ה' שבת מכל מלאכתו.

לכן ציירתי לה בידה שרביט בדמוי המספר שבע – המשמש גם כפמוט לנרות שבת.

רעיון זה הוא בהשראת  המשפט הידוע:

"אם אתם משמרים נרות של שבת אני מראה לכם נרות של ציון". 

ברקע  ניתן לראות את נרות ציון ואת בית המקדש.

חבל כאמצעי מדידה

מודדים מצרים מודדים שדה באמצעות חבל ארוך שמגולגל על כתפיהם - איור של Charles K. Wilkinson משנת 1930 על פי ציור קיר מן השנים 1567-1320 לפנה"ס, מקבר מנה (Tomb of Menna) שליד לוקסור. מנה היה, להערכת יודעי דבר, פקיד ממונה על רישום קרקעות. האיור מוצג כיום במוזיאון המטרופוליטן בניו יורק.

לפני ימים אחדים כתבתי על חשיבות חלוקת האדמה לחלקות בעולם העתיק, והזכרתי  שאצל היוונים המונח גיאומטריה משמעו מדידת הארץ או האדמה, ושהיסטוריונים מייחסים את המצאת הגאומטריה בכלל, ואת משפט פיתגורס בפרט, למודדי הקרקע המצרים הקדומים שלמדו ליצור זווית ישרה באמצעות קשרים בחבל. אבל היוונים יכלו ללמוד גאומטריה גם מהעברים בני תקופתם, כי בתנ"ך נזכרת מדידה בחבל פעמים רבות. בספר יהושע (יז יד) בהקשר לחלוקת האדמה לחלקות: וַיְדַבְּרוּ בְּנֵי יוֹסֵף אֶת יְהוֹשֻׁעַ לֵאמֹר מַדּוּעַ נָתַתָּה לִּי נַחֲלָה גּוֹרָל אֶחָד וְחֶבֶל אֶחָד. וכן (בפרק יז ה): וַיִּפְּלוּ חַבְלֵי מְנַשֶּׁה עֲשָׂרָה לְבַד מֵאֶרֶץ הַגִּלְעָד וְהַבָּשָׁן אֲשֶׁר מֵעֵבֶר לַיַּרְדֵּן. פירוש "מצודת ציון" לפסוק זה מסביר מדוע מחוז נקרא בשם חבל: "כי בחבל יחולק נחלה", ומתבסס על ספר עמוס (ז, יז) וְאַדְמָתְךָ, בַּחֶבֶל תְּחֻלָּק.

בספר שמואל ב (ח, ב) נזכר חבל בהקשר למדידה באופן כללי: וַיַּךְ אֶת-מוֹאָב וַיְמַדְּדֵם בַּחֶבֶל הַשְׁכֵּב אוֹתָם אַרְצָה וַיְמַדֵּד שְׁנֵי-חֲבָלִים לְהָמִית וּמְלֹא הַחֶבֶל לְהַחֲיוֹת.

בספר זכריה (ב, ה-ו) נזכר חבל ככלי מדידה: וָאֶשָּׁא עֵינַי וָאֵרֶא וְהִנֵּה-אִישׁ וּבְיָדוֹ חֶבֶל מִדָּה, וָאֹמַר, אָנָה אַתָּה הֹלֵךְ; וַיֹּאמֶר אֵלַי, לָמֹד אֶת-יְרוּשָׁלִַם, לִרְאוֹת כַּמָּה-רָחְבָּהּ, וְכַמָּה אָרְכָּהּ.
המילה הנרדפת ל"חבל" היא "יתר", שמשמשת כיום כשמה של הצלע הארוכה במשולש ישר זווית:

וַיֹּאמֶר אֵלֶיהָ שִׁמְשׁוֹן אִם-יַאַסְרֻנִי בְּשִׁבְעָה יְתָרִים לַחִים אֲשֶׁר לֹא-חֹרָבוּ וְחָלִיתִי וְהָיִיתִי כְּאַחַד הָאָדָם [שופטים טז, ז]

מדידה בחבל הייתה נהוגה גם בתקופת התלמוד: אֵין מוֹדְדִין אֶלָּא בְחֶבֶל שֶׁל חֲמִישִּׁים אַמָּה... (מסכת עירובין, ה, ד:).

במילון למילים המקראיות מאת גזניוס בערך "קו" מסתבר שהמשמעות המקורית של מילה זו היא חבל או חוט ובעיקר חבל מדידה. וכך גם במילון האטימולוגי למילים באנגלית LINE משמעותה, בין היתר, חבל או כבל, ומקורה במילה הלטינית LINEA שמשמעותה, בין היתר, חוט.

למרות שלא ברור אם יש איזה קשר בין מדידה בחבל באזורנו ובין תרבות האינקה ראוי להזכיר שאצלם היה נהוג חישוב מבוסס על קשרים בחבל שנקרא קִיפּו

המקצועות חובל ורב חובל נקראים כך בגלל שתפקידים אלה היו כרוכים בשימוש רב בחבלים. על פי מילון גזניוס למילות התנ"ך גם המילה תחבולה מקורה בחבל, ולדעתי הסיבה לכך היא ששיטות קשירה חדשות מצריכות חוש להמצאות. האגדה על הקשר הגורדי שאלכסנדר הגדול פתר באבחת חרב, מזכירה בעיה מתמטית בלתי פתירה, ונדמה כי למי שהמציא את הקשר הגורדי היה כשרון מתמטי לא מבוטל. 

המילה האנגלית CABLE  מקורה אמנם במילה הלטינית לחבל capulum  , אבל היא כל כך דומה לחבל שנדמה לי שמקורה בעברית.

על חשיבות החבל בתרבות המצרית מעיד גם ההירוגליף שמציין את המספר מאה: 

 שמקורו ככל הנראה בסליל של חבל שמגולגל בצורת ספירלה.