איור לעצרת

בצד שמאל אנו רואים נקודה אחת אדומה ואחת כחולה. כאשר אנו כופלים 2 על ידי 3 אנו מקבלים 3 נקודות אדומות ו- 3 נקודות כחולות.

באיור שאמצע - כל נקודה אדומה של 2x3 הופכת ל-4 נקודות אדומות ב 2x3x4, וכך גם לגבי הכחולות.

באיור שבצד ימין - כל נקודה אדומה של 2x3x4 הופכת ל- 5 נקודות אדומות ב 2x3x4x5, וכך גם לגבי הכחולות.

הכבוד האבוד של הפיתגוראים

כאשר אריסטו ביקר את טענת הפיתגוראים שהכל מספר [1], הוא התעלם מהחלק הגיאומטרי של שיטתם  והציג אותה כשיטה מספרית. המספרים של משפט פיתגורס (3, 4, 5) ידידותיים פחות לחוש הראייה מן התצוגה הגיאומטרית של המשולש שעל כל צלע שלו בנוי ריבוע. הצגה לא גיאומטרית של טענת הפיתגוראים שהכל מספר היא הצגה מעוותת. בגלל שאריסטו היה בעל השפעה מכרעת על הפילוסופים שבאו אחריו זלזלו אף הם בטענת הפיתגוראים שהכל מספר.

בגיאומטריה של אוקלידס, שמסכמת מאות שנים של מחקרי הפיתגוראים, הקו אינו נמדד בסנטימטרים. ניתן לצייר את משפט פיתגורס על הדף, בכל גודל שנרצה, או לבנות אותו מאבנים בגודל של קילומטרים על פני מדבר סהרה כדי שיראו אותו החייזרים, והוא יהיה נכון בלי כל קשר לגודלו, אם הפרופורציות בין חלקיו נכונות.

הבעיה של האי רציונליות של שורש שניים היא בעיה מספרית ולא בעיה גיאומטרית. ניתן לבנות יתר למשולש שאורך ניצביו הוא אחד. לא ניתן לחשב את אורכו במספרים שלמים. גילוי המספרים האי-רציונלים מיוחס לפילוסוף היווני היפאסוס, בן האסכולה הפיתגוראית, שחי במאה החמישית לפנה"ס. האגדה מספרת שנענש בטביעה, אבל לדעתי מי שהמציא את האגדה הזאת התייחס לאריסטו ולדומיו, שלא הקפידו על ההצגה הגיאומטרית של השיטה הפיתגוראית. חשוב גם לזכור שהפיתגוראים נדרו נדר של שתיקה ביחס לסודותיהם, נדר מוצדק אחרי שנוכחים לדעת איך אפשר לעוות את גילוייהם.

ההפרדה בין הגיאומטריה לבין המספרים התרחשה אחרי הפיתגוראים. הפיתגוראים חקרו את המספרים ואת הגיאומטריה כמקשה אחת. הם היו מסדרים חלוקי אבן קטנים בצורות גיאומטריות בחול ואלה היו המספרים. המספר עשר, שבו נשבעו הפיתגוראים היה עשר אבנים שכאלה, מסודרות בארבע שורות.

*

*    *

*    *    *

*    *    *    *

בראשונה הייתה אבן אחת, בשנייה שתיים, בשלישית שלוש, ברביעית ארבע. האבן האחת ייצגה את הנקודה ואת המספר אחד. שתי האבנים ייצגו את הקו ואת המספר שנים. שלש האבנים ייצגו את השטח ואת המספר שלוש. ארבע האבנים ייצגו את הנפח ואת המספר ארבע.

מבחינה גיאומטרית העולם אכן בנוי ממספרים:  מדובר  במרחב תלת ממדי. כל גוף בו הוא תלת ממדי. אין במרחב יותר משלושה ממדים. כאשר מפשיטים מגוף שכזה את משקלו מגלים שהוא מורכב משטחים שמגובבים זה על זה. כאשר מפשיטים ממנו את הנפח מגלים שהשטח מורכב מקווים שמגובבים זה על זה. כאשר מפשיטים ממנו את השטח מגלים שהוא מורכב מנקודות שמגובבות זו על גבי זו.

ניתן לתאר את מבנה העולם גם מהכיוון ההפוך: הנקודות יוצרות קווים, הקווים יוצרים שטחים, השטחים יוצרים נפחים, והנפחים בעלי המשקל יוצרים גופים. השורה התחתונה היא שהעולם עשוי מנקודות. הנקודה היא אחת, ולא ניתן לחלק אותה לחלקים. בשפה היוונית מה שלא ניתן לחלוקה נקרא אטום. כאשר הפילוסוף היווני דמוקריטוס ( 460- 370 לפנה"ס) טען שהעולם מורכב מאטומים הוא ניסח בעצם את התפיסה הפיתגוראית במילים אחרות. כיום אנחנו יודעים שהעולם מורכב מאטומים, ושלא רק שהפיתגוראים צדקו אלא שהם גם ראו זאת לפני למעלה מאלפיים שנים.  

הערה:

[1] אריסטו, "מטפיסיקה" 986 א

http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0052%3Abook%3D1%3Asection%3D986a

קשיי הראייה של האדם המודרני

הפיתגוראים ראו את האחדות של המתמטי עם הגיאומטרי. לנו, שהתחנכנו על ההפרדה שבין מספר לבין צורתו, כבר אין יכולת לראות שמדובר בעצם באותו הדבר עצמו, ואנחנו מתרגמים כל תגלית שיש לנו במספרים לשפת הצורות, ולהפך, והתרגום, ככל תרגום, מועד לשיבושים. וכך, בשפת המספרים אנחנו רגילים לחשוב שארבע לחלק לארבע שווה אחד, אבל ריבוע לחלק לארבע שווה לארבעה ריבועים, כך שבשפת הגיאומטריה ארבע לחלק לארבע שווה גם ארבע ולא רק אחד. וכך גם לגבי הנוסחה המתמטית ארבע כפול ארבע שווה שש עשרה, כי בשפת הצורות ריבוע כפול ארבע הוא ריבוע אחד, שאמנם גדול מקודמו פי ארבע, אבל מה שחשוב זה שהוא אחד, כך שבשפה הגיאומטרית ארבע כפול ארבע שווה גם אחד, וזה משהו שרואים ממש בעין, או על הדף, ולא רק בעיניים של המחשבה.

*

אחד ועוד שניים הם לא רק שלושה. בשפת הצורות האחד, שהוא נקודה, ועוד השניים, שהם קו - יוצרים בהתחברם משולש.

הנה כך:

*

*     *

בריבוע יש שני משולשים שהיתר שלהם משותף (או, בניסוח אחר: כל משולש ישר זווית שווה שוקיים הוא חצי ריבוע). במשושה יש מגן דוד שבנוי משני משולשים שאין להם אף צלע משותפת, ואלה ממחישים את הנוסחה המתמטית שניים כפול שלוש שווה שש, או שש לחלק לשניים שווה משולש.

לוח הכפל המצומצם

אנחנו רגילים ללוח הכפל בצורת הריבוע של תשע, אבל ניתן לראות את עקרונות הכפל (והחילוק), את הצטלבות השורות והעמודות, כבר בריבוע של השלש.  

שברים עשרוניים

בשברים רגילים כמו: 1/2 ו 3/4 אפס לא יופיע, לא כמכנה ולא כמונה, אבל בשברים עשרוניים יש לו מקום של כבוד כ-0.1, 0.2, 0.3 ... או כ- 1.00, 2.05, 3.70 ...
די מדהים לחשוב ששברים מוזכרים בתנ"ך פעמים רבות, אך שברים עשרוניים אינם מוזכרים אף פעם:

מלכים א, ז, לה           
וּבְרֹאשׁ הַמְּכוֹנָה חֲצִי הָאַמָּה קוֹמָה עָגֹל סָבִיב

יחזקאל, ח, יב           
שְׁלִשִׁתֵיךְ בַּדֶּבֶר יָמוּתוּ וּבָרָעָב יִכְלוּ בְתוֹכֵךְ , וְהַשְּׁלִשִׁית בַּחֶרֶב יִפְּלוּ סְבִיבוֹתָיִךְ , וְהַשְּׁלִישִׁית לְכָל רוּחַ אֱזָרֶה, וְחֶרֶב אָרִיק אַחֲרֵיהֶם

במדבר טו, ה           
וְיַיִן לַנֶּסֶךְ רְבִיעִית הַהִין...

בראשית מז, כד           
וְהָיָה בַּתְּבוּאֹת וּנְתַתֶּם חֲמִישִׁית לְפַרְעֹה וְאַרְבַּע הַיָּדֹת יִהְיֶה לָכֶם...

יחזקאל ד, יא           
וּמַיִם בִּמְשׂוּרָה תִשְׁתֶּה שִׁשִּׁית הַהִין

בראשית יד, כ           
וּבָרוּךְ אֵל עֶלְיוֹן אֲשֶׁר-מִגֵּן צָרֶיךָ בְּיָדֶךָ וַיִּתֶּן לוֹ מַעֲשֵׂר מִכֹּל

שמות כט מ       
וְעִשָּׂרֹן סֹלֶת בָּלוּל בְּשֶׁמֶן כָּתִית

ויקרא כג, יג           
וּמִנְחָתוֹ שְׁנֵי עֶשְׂרֹנִים סֹלֶת בְּלוּלָה בַשֶּׁמֶן

במדבר יח, כו           
... וַהֲרֵמֹתֶם מִמֶּנּוּ תְּרוּמַת ה' מַעֲשֵׂר מִן-הַמַּעֲשֵׂר

קהלת ז, כח             
אָדָם אֶחָד מֵאֶלֶף מָצָאתִי וְאִשָּׁה בְכָל אֵלֶּה לֹא מָצָאתִי

שופטים ו טו           
... הִנֵּה אַלְפִּי הַדַּל בִּמְנַשֶּׁה...

שיטת הכפלה הודית קדומה

כאשר לומדים איך לעשות משהו בשיטה מסוימת קשה להאמין שניתן לעשות זאת אחרת. בעיקר כשמדובר במשהו בסיסי כמו הכפלה, שנלמד בגיל צעיר, ועם השנים נחרט בתודעה כהרגל. 
איור מתוך ספרו של פלוריאן קאג'ורי:

A History of Elementary Mathematics by Florian Cajori, 1898, p.91

מחשב כמילה אנכרוניסטית

כיום המחשב משמש גם כמעבד מילים, גם כמעבד נתונים, גם כמעבד תמונות, גם כמעבד קולות, ומה לא ... אבל בשעת לידתו הוא נועד לתכלית אחת בלבד- לעזור בחישוב מספרים, לשכלל  את החשבונייה המגושמת בביצוע פעולות החשבון היסודיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק.

כיום המילה מחשב איננה הולמת כלל את מגוון הפעולות של המכשיר שנקרא בשמה, אבל נדמה שכבר מאוחר מדיי לשנות את ההרגל להשתמש בה.

עוד מילים מסוג זה שאסף מני שי תחת הכותרת הטכנולוגיה עברה - המילה נשארה: כסף, שקל, לחייג, סרט, פח אשפה, מנורה.
***
הערה של מני שי:
במקרה זה, הטכנולוגיה, לפי דעתי, לא עברה שינוי מהותי, רק היישומים של הטכנולוגיה השתנו. כמו כן, מקובל המינוח "מכונת חישוב" למכשיר שהיישום היחיד שלו הוא עזרה בחישובים.

מספר-חלקי-עצמו מנקודת מבט גאומטרית

כידוע כל מספר חלקי עצמו שווה אחד. לדוגמה

5/5=1

ניתן לדמות זאת לשורה של חמש נקודות שכל אחת מהן היא חמישית מהשורה

*  *  *  *  *

או לריבוע שאורכו 5 ורוחבו 5:

*  *  *  *  *

*  *  *  *  *

*  *  *  *  *

*  *  *  *  *

 *  *  *  *  * 

ובו כל שורה או עמודה היא חמישית ממנו. שתי חמישיות הן שתי שורות או שתי עמודות בריבוע הזה, וכן הלאה.

בשביל לחבר שליש ועוד חמישית צריך למצוא להם מכנה משותף, שהוא הריבוע של 15, שאורכו 15 ורוחבו 15, ומתוכו שליש הן 5 שורות, וחמישית הן 3 שורות, וביחד מקבלים 8 שורות. 

1/3+1/5=5/15+3/15=8/15

בדרך כלל כאשר אנחנו מחלקים אחד לשלושה חלקים אנחנו כותבים 1/3 בלי לראות באופן מוחשי איך האחד מתחלק לשלושה חלקים. אבל אם האחד הוא 3/3, שהוא ריבוע של 3 על 3, רואים היטב ששליש הוא שורה מתוכו. 

חילוק כחיסור או האשליה של השבר העשרוני

שבר ניתן להציג בשני אופנים:

א. כשבר רגיל: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 וכן הלאה

ב. כשבר עשרוני: 0.5, 0.25, 0.125, וכן הלאה

כאשר אנחנו מסכמים את סכומי הספרות של הסדרה ההנדסית היורדת שמוצגת בצורת שבר עשרוני אנחנו מקבלים את סדרת המספרים הבאה:

0.5=5

0.25=7 (0+2+5=7)

0.125= 8 (0+1+2+5=8)

וכן הלאה

אבל אם מסכמים את סכומי הספרות של הסדרה ההנדסית היורדת שמוצגת בצורת שבר רגיל (חצי רבע שמינית וחבריהם) מקבלים את הסדרה ההנדסית הרגילה:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64...

או בתצוגה המצומצמת של סכומי הספרות

1, 2, 4, 8, 7, 5

וחוזר חלילה

כאשר אנחנו מחלקים מספר לשנים אנחנו מקבלים שני חלקים, אבל לצורך חישוב הסדרה ההנדסית היורדת אנחנו מחסרים חלק אחד, מתעלמים ממנו, ומחלקים רק את החלק השני. אנחנו אומרים אחד חלקי שנים שווה חצי (ולא שני חצאים) וחצי חלקי חצי הוא רבע (ולא ארבעה רבעים). לעומת זאת בסדרה ההנדסית העולה אנחנו לא מתעלמים ולא מחסרים כלום: אחד כפול שניים הם שניים, ושניים כפול שניים הם ארבע.

סכומי הספרות של הסדרה ההנדסית העולה זהים לסכומי הספרות של היורדת, כל עוד היא מוצגת בשברים רגילים, אבל כאשר היא מוצגת בצורת שבר עשרוני אנחנו מקבלים סדרה שונה, שבה סדר הספרות הפוך מזה של הסדרה ההנדסית העולה

5, 7, 8, 4, 2, 1

וחוזר חלילה

מי שמציגים את הסדרה ההנדסית העולה ביחס לסדרה-ההנדסית-היורדת-כשהיא-בתצוגה-של-השבר-העשרוני - מציגים חצי מן התמונה המלאה, ואם הם מסיקים מזה מסקנות לגבי מהותם של המספרים, ההסתברות של התוקף של כל מסקנה שכזו היא של חמישים אחוז, או של 0.5 או של  1/2 או של חצי, יש לנו מחסן שלם של מלים נרדפות שיכולות להוליך אותנו שולל.  

חבל כאמצעי מדידה

מודדים מצרים מודדים שדה באמצעות חבל ארוך שמגולגל על כתפיהם - איור של Charles K. Wilkinson משנת 1930 על פי ציור קיר מן השנים 1567-1320 לפנה"ס, מקבר מנה (Tomb of Menna) שליד לוקסור. מנה היה, להערכת יודעי דבר, פקיד ממונה על רישום קרקעות. האיור מוצג כיום במוזיאון המטרופוליטן בניו יורק.

לפני ימים אחדים כתבתי על חשיבות חלוקת האדמה לחלקות בעולם העתיק, והזכרתי  שאצל היוונים המונח גיאומטריה משמעו מדידת הארץ או האדמה, ושהיסטוריונים מייחסים את המצאת הגאומטריה בכלל, ואת משפט פיתגורס בפרט, למודדי הקרקע המצרים הקדומים שלמדו ליצור זווית ישרה באמצעות קשרים בחבל. אבל היוונים יכלו ללמוד גאומטריה גם מהעברים בני תקופתם, כי בתנ"ך נזכרת מדידה בחבל פעמים רבות. בספר יהושע (יז יד) בהקשר לחלוקת האדמה לחלקות: וַיְדַבְּרוּ בְּנֵי יוֹסֵף אֶת יְהוֹשֻׁעַ לֵאמֹר מַדּוּעַ נָתַתָּה לִּי נַחֲלָה גּוֹרָל אֶחָד וְחֶבֶל אֶחָד. וכן (בפרק יז ה): וַיִּפְּלוּ חַבְלֵי מְנַשֶּׁה עֲשָׂרָה לְבַד מֵאֶרֶץ הַגִּלְעָד וְהַבָּשָׁן אֲשֶׁר מֵעֵבֶר לַיַּרְדֵּן. פירוש "מצודת ציון" לפסוק זה מסביר מדוע מחוז נקרא בשם חבל: "כי בחבל יחולק נחלה", ומתבסס על ספר עמוס (ז, יז) וְאַדְמָתְךָ, בַּחֶבֶל תְּחֻלָּק.

בספר שמואל ב (ח, ב) נזכר חבל בהקשר למדידה באופן כללי: וַיַּךְ אֶת-מוֹאָב וַיְמַדְּדֵם בַּחֶבֶל הַשְׁכֵּב אוֹתָם אַרְצָה וַיְמַדֵּד שְׁנֵי-חֲבָלִים לְהָמִית וּמְלֹא הַחֶבֶל לְהַחֲיוֹת.

בספר זכריה (ב, ה-ו) נזכר חבל ככלי מדידה: וָאֶשָּׁא עֵינַי וָאֵרֶא וְהִנֵּה-אִישׁ וּבְיָדוֹ חֶבֶל מִדָּה, וָאֹמַר, אָנָה אַתָּה הֹלֵךְ; וַיֹּאמֶר אֵלַי, לָמֹד אֶת-יְרוּשָׁלִַם, לִרְאוֹת כַּמָּה-רָחְבָּהּ, וְכַמָּה אָרְכָּהּ.
המילה הנרדפת ל"חבל" היא "יתר", שמשמשת כיום כשמה של הצלע הארוכה במשולש ישר זווית:

וַיֹּאמֶר אֵלֶיהָ שִׁמְשׁוֹן אִם-יַאַסְרֻנִי בְּשִׁבְעָה יְתָרִים לַחִים אֲשֶׁר לֹא-חֹרָבוּ וְחָלִיתִי וְהָיִיתִי כְּאַחַד הָאָדָם [שופטים טז, ז]

מדידה בחבל הייתה נהוגה גם בתקופת התלמוד: אֵין מוֹדְדִין אֶלָּא בְחֶבֶל שֶׁל חֲמִישִּׁים אַמָּה... (מסכת עירובין, ה, ד:).

במילון למילים המקראיות מאת גזניוס בערך "קו" מסתבר שהמשמעות המקורית של מילה זו היא חבל או חוט ובעיקר חבל מדידה. וכך גם במילון האטימולוגי למילים באנגלית LINE משמעותה, בין היתר, חבל או כבל, ומקורה במילה הלטינית LINEA שמשמעותה, בין היתר, חוט.

למרות שלא ברור אם יש איזה קשר בין מדידה בחבל באזורנו ובין תרבות האינקה ראוי להזכיר שאצלם היה נהוג חישוב מבוסס על קשרים בחבל שנקרא קִיפּו

המקצועות חובל ורב חובל נקראים כך בגלל שתפקידים אלה היו כרוכים בשימוש רב בחבלים. על פי מילון גזניוס למילות התנ"ך גם המילה תחבולה מקורה בחבל, ולדעתי הסיבה לכך היא ששיטות קשירה חדשות מצריכות חוש להמצאות. האגדה על הקשר הגורדי שאלכסנדר הגדול פתר באבחת חרב, מזכירה בעיה מתמטית בלתי פתירה, ונדמה כי למי שהמציא את הקשר הגורדי היה כשרון מתמטי לא מבוטל. 

המילה האנגלית CABLE  מקורה אמנם במילה הלטינית לחבל capulum  , אבל היא כל כך דומה לחבל שנדמה לי שמקורה בעברית.

על חשיבות החבל בתרבות המצרית מעיד גם ההירוגליף שמציין את המספר מאה: 

 שמקורו ככל הנראה בסליל של חבל שמגולגל בצורת ספירלה.

על היחס בין היקף של מעגל לבין היקפים של מעגלים אחרים

משולש שווה צלעות ניתן להקיף בשלושה משולשים שזהים לו. זה מחזק את הקשר שבין המספר שלוש לבין צורת המשולש.

ריבוע ניתן להקיף בארבעה ריבועים שזהים לו. זה מחזק את הקשר שבין המספר ארבע לבין צורת הריבוע.

משושה ניתן להקיף בששה משושים שזהים לו. זה מחזק את הקשר שבין המספר שש לבין צורת המשושה.

מעגל ניתן להקיף בששה מעגלים שזהים לו. זה מחזק את הקשר שבין המספר שש לבין צורת המעגל, וגם אומר משהו על הדמיון שבין משושה למעגל. לאור זאת נדמה שלא לגמרי במקרה בחרו לחלק את המעגל  ל-360 מעלות שהן עשר פעמים הריבוע של שש.

זה גם אומר משהו על היחס בין היקף של מעגל לבין היקפים של מעגלים אחרים. כשחיפשו את היחס בין מעגל לבין קוטרו נתקלו בפאי, שהוא מספר קבוע, אבל אינו מספר שלם. נדמה שערבו מין (ישר) בשאינו מינו (עגול). אבל כשמקיפים מעגל בששה מעגלים, לא בחמישה ולא בשבעה, מקבלים תוצאה עגולה.

מדוע דווקא ששה מעגלים מקיפים מעגל אחד? - כי 360 לחלק ל 6 זה 60.

ריבוע העיגול והקשר שבין פיי לשורש הריבועי של שניים

הגרפיקאי שו ריינר (Shoo Rayner) מראה בסרטון ביוטיוב איך ניתן להפוך עיגול לריבוע באמצעות חוט ונעצים. נדמה ששטחו של עיגול שכזה זהה לשטחו של הריבוע שנוצר ממנו, ושההיקף של שניהם זהה. מכאן נובע שאורכו של רבע עיגול זהה לאורכה של צלע של ריבוע. הריבוע הזה גדול מריבוע (אחר) החסום בעיגול, וקטן מריבוע (אחר) החוסם עיגול, אבל הרדיוס של הריבוע הזהה בהיקפו לעיגול הוא חצי האלכסון שלו. היחס של כל האלכסון לכל צלע הוא השורש הריבועי של 2 (לפי משפט פיתגורס) שהוא המספר האי רציונלי הידוע הראשון. זאת הסיבה לכך שפיי - שהוא היחס שבין קוטר העיגול (אלכסון הריבוע) לבין היקפו - הוא מספר אי רציונלי.  פיי והשורש הריבועי של שניים הכניסו את השד של אי הוודאות לתוך המתמטיקה, שמתיימרת להיות לא רק המדע הוודאי ביותר מבין המדעים אלא גם הבסיס לכל המדעים. הפיתגוראים האמינו שהכל מספר. על פי האגדה הם נידו את זה שגילה את השורש הריבועי של 2. לפי דעתי הם היו צריכים לצל"ש אותו, כי הוא הוכיח שאכן הכל תלוי במספר, לא רק ההיגיון והוודאות, אלא גם חוסר ההיגיון וחוסר הוודאות.

הפלינדרום הנרקיסיסטי

כאשר מספר מוסיף את עצמו לעצמו שוב ושוב סכום הספרות שלו הוא שם המספר כפול מספר ספרותיו (אורכו, מספר המקומות העשרוניים שהוא תופס) וכך:

1=1

11=1.2=2

111=1.3=3

555=3.5=15

9999=4.9=36

וכן הלאה

מבט מעניין על מבנה השיטה העשרונית:

1111111111=1.10=10

2222222222=2.10=20

3333333333=3.10=30

וכן הלאה
=
100+10+1=111
200+20+2=222
300+30+3=333
400+40+4=444
וכן הלאה

מספר הוא הסכום של היחידות שמרכיבות אותו

מספר הוא לא רק הסכום של היחידות שמרכיבות אותו- הוא גם האחד שסוגר את הרשימה, האחרון.

15=1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

למעשה הוא סופר את מספר הפעמים שה-1 מופיע בו, ומודד את המרחק שה-1 עבר מרגע שיצא מן הרחם שנקרא אפס. המרחק של מספר מהאפס הוא בעצם המספר פחות אפס,

15-0=15

ומזווית זו פעולת החיסור היא בעצם פעולת מדידה. 

מלבד האפס והאחד שאינם ניתנים לחלוקה לאחדים בגלל שאינם מורכבים, ניתן לקרוא לכל שאר המספרים בכינוי הקבלי "מעשה מרכבה".

לוח הכפל

כשלמדתי בעל פה בבית הספר העממי את לוח הכפל לא הבנתי מדוע חמש כפול חמש שווה עשרים וחמש, אבל עכשיו ברור לי שעד הנקודה שבה מצטלבת העמודה של החמש עם השורה של החמש הצטברו עשרים וחמש נקודות, חמש בכל שורה. בלוח הכפל יש מספרים במקום הנקודות שציירתי כאן,  והם מסתירים את הצורות הגאומטריות שמגלות הנקודות.

וכך  2.2=4 בגלל שעד העמודה של השתים נאספו שתי נקודות בשורה של האחד ושתי נקודות בשורה של השנים. בתצוגה של הנקודות גם רואים שזה ריבוע, ולא צריך לסמוך על ה"בריבוע" של השינון העיוור.
=
נדמה לי שלא מלמדים בבית הספר שלוח הכפל הוא גם לוח החילוק (35 נמצא על השורה של 7 ועל העמודה של 5, כך ש-35 לחלק ל-7 שווה 5, ו-35 לחלק ל-5 שווה 7). זה כמו שהמעלית נקראת כך בגלל שהיא עולה אבל שמה מעלים את זה שהיא יכולה גם לרדת. 
=

בתורת המספרים שלמדתי מיוסף ספרא דובר על מילוי או תוכן של מספר. זה מתחיל בזה שאחד ועוד שניים הוא המילוי של שניים. לאחרונה נודע לי שהרעיון הזה הופיע במספרים המשולשים של הפיתגוראים. אתמול כשהתבוננתי בלוח הכפל (שגם אותו יש מי שמייחסים לפיתגורס) ראיתי שהמתכונת של "אחד ועוד שניים הוא המילוי של שניים" חוזרת לכל אורכו. וכך:

1+2=3

2+4=6

3+6=9

4+8=12

5+10=15

6+12=18

7+14=21

8+16=24

9+18=27

10+20=30

ואם מתבוננים בתוצאות בלבד רואים שהמעבר משורה לשורה נעשה באמצעות הוספת שלוש יחידות.

התופעה הזאת חוזרת גם כאשר מחברים את שלושת האברים הראשונים של כל שורה, אלא שהפעם ההפרש בין התוצאות הוא שש:

1+2+3=6

2+4+6=12

3+6+9=18

4+8+12=24

5+10+15=30

6+12+18=36

7+14+21=42

8+16+24=48

9+18+27=54

10+20+30=60

ואם מחברים את ארבעת האיברים הראשונים של כל שורה בלוח הכפל ההפרש בין התוצאות הוא עשר:

1+2+3+4=10

2+4+6+8=20

3+6+9+12=30

4+8+12+16=40

וכן הלאה    

    

שלוש חלקי שלוש שווה שלוש

סדרת המספרים הטבעיים היא סיכום של האחדים שמרכיבים כל מספר. מצד שני ניתן לראות את האחדים שמרכיבים כל מספר כשמחלקים את המספר בעצמו.

1=1

2=1+1

3=1+1+1

4=1+1+1+1

5=1+1+1+1+1

6=1+1+1+1+1+1

7=1+1+1+1+1+1+1

8=1+1+1+1+1+1+1+1

9=1+1+1+1+1+1+1+1+1

10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

אנחנו אומרים: שלוש חלקי שלוש שווה אחד, אבל מה שקורה בפועל הוא שהשלוש במצבו כאחדות חוזר למצבו המקורי כריבוי, כך ששלוש חלקי שלוש שווה בעצם שלוש.

ברחבי העולם העתיק עשו חשבון והמחישו את המספרים באמצעות הזזת אבנים קטנות על גבי לוח שהיה מיועד לכך, או על גבי האדמה או החול. כאשר אנחנו מחשבים כמה זה שלוש ועוד ארבע כל מספר מופיע באחדותו, כשאבריו מכונסים לקבוצה אחת, בלי מחיצה בין אחדיו, אבל פעולת החיבור עצמה היא איחוד של האחדים הפרושים בשתי קבוצות לקבוצה אחת, וספירה מחדש של אבריה

וכך

(1+1+1)+ (1+1+1+1)=7

ואולי לכך התכוון החכם מכל אדם כשכתב: עֵת לְהַשְׁלִיךְ אֲבָנִים וְעֵת כְּנוֹס אֲבָנִים (קהלת ג, ה)

פירמידה כמעין טטרקטיס תלת ממדי

חיליק ואו פתוח שלח לי את הכתבה הבאה אודות הנוסחה שמחברת בין סכום האחדים עד למספר מסוים לבין סכום הריבועים עד לאותו מספר:
 
הנוסחה לסכום הריבועים עד מספר מסוים היא שליש מן המכפלה של המילוי של אותו מספר עם הבית שלו

לדוגמה: סכום הריבועים מאחד עד ארבע

1

22

333

4444

או כמו שאנחנו מכירים מאריתמטיקה:

1, 4, 9, 16, 25

המילוי

1, 3, 6, 10,

הבית

2X+1

כאשר

X=4

המילוי = 10

2X+1=9

10.9:3=30

  

.

.  .

.  .  .

.  .  .  .

כאשר מתבוננים בטטרקטיס בצורתו המלאה, כאשר בכל שורה מוצג המספר בריבוע

1

22

333

4444

מה שאנחנו רואים הוא מעין טטרקטיס תלת ממדי בצורת פירמידה רבועה

שקדקודה אחד (בריבוע)

מתחתיה חתך דו ממדי בצורת ריבוע של השנים

מתחתיו חתך דו ממדי בצורת ריבוע של השלש

ובבסיס ארבע בריבוע

הנוסחה לסכום הריבועים עד מספר מסוים מזכירה את הנוסחה למציאת נפח של פירמידה: בסיס כפול גובה חלקי שלש. ה"חלקי שלש" רומז לנו על ההתאמה בין העולם הרגיל לבין תורת המספרים.

===

מבט מחדש על הפירמידה והטטרקטיס מיום 29/4/2021
============

אפשר לבנות פירמידה מריבועי ארבעת המספרים הראשונים משלושים אלמנטים זהים כגון קוביות או כדורים [1X1+2X2+3X3+4X4=30]. נדמה שכמו שהטטרקטיס של היוונים המחיש באופן ויזואלי שסכום ארבעת המספרים הראשונים נראה כמו משולש שווה צלעות שבנוי מעשרה אלמנטים, כך גם הפירמידה של המצרים המחישה באופן ויזואלי שסכום ריבועיהם נראה כמו פירמידה שבנויה משלושים אלמנטים. כלומר, ששתי התרבויות החשובות האלה ייחסו חשיבות מיוחדת לארבעת המספרים הראשונים, ובמבט לאחור שאפו לשתף בתובנה הזאת את הדורות הבאים.

המראה המקורי של משפט פיתגורס

בתקופת פיתגורס נהגו לייצג מספרים באמצעות אבנים, שנקראו ביוונית בשם פספוי, ומהן יש לנו היום בעברית את המילה פסיפס. התמונה לעיל ממחישה, במידת מה, את המראה המקורי שיכול היה להיות לפיתגורס כשהגה את המשפט שלו, שהפך, ברבות השנים, למשפט הידוע ביותר בתורת הגאומטריה. 
מקור:

Aristotle Metaphysics  1092b12

"Nor is it in any way defined in which sense numbers are the causes of substances and of Being; whether as bounds, e.g. as points are the bounds of spatial magnitudes, and as Eurytus determined which number belongs to which thing—e.g. this number to man, and this to horse—by using pebbles to copy the shape of natural objects, like those who arrange numbers in the form of geometrical figures, the triangle and the square".

ניבוי

ימות השבוע ארוזים בחפיסות של שבע, כך שניתן לדעת באיזה יום בשבוע ייפול היום העשרת אלפים מהיום: מחלקים עשרת אלפים בשבע ומוסיפים את השארית ליום שבו נערך החישוב, כך שאם היום יום שלישי, והשארית היא ארבע, היום העשרת אלפים מהיום ייפול בשבת. ואותו כנ"ל לגבי היום המיליון מהיום.  

שמות השברים

כל מספר יכול לחלק כל מספר, וכמובן מאליו: כל מספר יכול לחלק את האחד. לחלקים של האחד יש לנו שמות מיוחדים, שאין לנו לגבי חלקי המספרים האחרים, אבל השמות האלה הוענקו רק למחלקים הראשונים של האחד:

חצי

שליש

רבע 

חמישית

ששית

שביעית

שמינית

תשיעית

עשירית

אחרי עשר מתחילים שמות כמו אחד-חלקי-אחד-עשרה, אחד-חלקי-שנים-עשרה, שהם ארוכים ומגושמים יותר, כמו גם חמש-חלקי-תשעים-ואחד ודומיהם. 
=
סוד השברים
=
אנחנו רגילים להבין את השברים כפעולה של חילוק.
1/2 משמעו, בדרך כלל, אחד חלקי שניים. אבל  
השברים מלמדים אותנו על הזה בתוך זה  של המספרים: האחד (המונה) מופיע בשנים (המכנה) כחצי ממנו, יש שני אחדים במספר שניים, וכל אחד מהם הוא חצי ממנו. ה- 1/3 מספר לנו שהאחד מופיע בשלוש כשליש ממנו. ה-1/4 מספר לנו שהאחד מופיע בארבע כרבע ממנו.
האחד בעשר הוא אחד מני עשר. וכך גם העשר במאה, המאה באלף, האלף ברבבה.