המבנה של המספרים המשולשים של הזרמים

כאשר מסדרים את המספרים הטבעיים בשלש עמודות מקבלים בעמודה הראשונה את סדרת המספרים שנקראת הזרם של 147.

כמו לכל מספר יש גם למספרי הזרם הזה מספרים משולשים שהם המספר כולל כל קודמיו. לפיכך מספרו המשולש של 4 הוא 10 כי הוא כולל את 1,2,3,ו-4; ומספרו המשולש של 7 הוא 28 כי הוא כולל את המספרים מאחד עד שבע כולל השבע.

בין המספר המשולש של האיבר הראשון בזרם זה,1, לבין השני, יש הפרש של 9.

בין האיבר השלישי לשני יש הפרש של שתי תשיעיות

בין האיבר הרביעי לשלישי יש הפרש של שלש תשיעיות וכן הלאה.

סכום הספרות של כל המספרים המשולשים של 147 הוא 1.

1+9=10 … 1+0=1

2+8=10 … 1+0=1

הסיבה לכך היא שתשע הוא מספר ששומר על סכום הספרות של המספר המקורי.

בזרם של 147 המעבר מאיבר לאיבר הוא באמצעות הוספת תשיעיות ולכן נשמר סכום הספרות של המספר הראשון בסדרה שהוא 1.
===

המבנה של המספרים המשולשים של 258

המספרים המשולשים הראשונים של 258 הם:

3, 15, 36, 66, 105, 153

להלן המעבר ממספר למספר

3+(1.9) +3=15

15+(2.9) +3=36

36+(3.9) +3=66

66+(4.9) +3=105

105+(5.9) +3=153

בגלל שהמעבר ממספר למספר כרוך בהכפלה ב9 (שמשמרת את סכום הספרות המקורי) אבל גם בתוספת של 3, סכום הספרות נשאר במסגרת הזרם של 369 ואינו חוזר רק על השלש שהתחיל את הסדרה
==

המבנה של המספרים המשולשים של 369

המספרים המשולשים הראשונים של 369 הם:

6, 21, 45, 78, 120

להלן המעבר ממספר למספר

6+(1.9)+6=21

21+(2.9)+6=45

45+(3.9)+6=78

78+(4.9)+6=120

בגלל שהמעבר ממספר למספר כרוך בהכפלה ב9 (שמשמרת את סכום הספרות המקורי) אבל גם בתוספת של 6, סכום הספרות נשאר במסגרת הזרם של 369 ואינו חוזר רק על השש שהתחיל את הסדרה

סכום הספרות של לוח הכפל

סכום הספרות של כל מספר כפול 9 הופך ל 9, כמו המלך מידאס אשר על פי המיתולוגיה היוונית הפך כל דבר שהוא נגע בו לזהב.
כמו כן, סכום הספרות של כל מספר כפול מספר אחר שסכום ספרותיו הוא 9 הופך ל 9, כמו כאשר כופלים 345 ב -27 ומקבלים 9315, מכיוון שסך הספרות של 9315 הוא 9 + 3 + 1 + 5 = 18 והסכום של 18 הוא 9.

צילום רנטגן של ריבוע

הוספת 9 לכל מספר מגלה את אבני הבניין שלו כמו צילום רנטגן, ומתברר שאבני הבניין האלה יוצרות ריבוע, ושכל קו 

אופקי הוא למעשה סכום הספרות של אחד המספרים הבונים את הריבוע. [אדום מסמן עשרות, כחול מסמן יחידות].
כאן אנו רואים כיצד שני מספרים משולשים רצופים כמו שש [מסומן בכחול] ו -10 [מסומן באדום] יוצרים ריבוע. הדרך האחרת לבנות ריבוע היא להוסיף גנומון לריבוע הקטן יותר, כמו הוספת הגנומון 7 לריבוע של 3 כדי לקבל את הריבוע של 4 [9 + 7 = 16].

מבנה זה מסביר מדוע ההפרש בין 21 ל12 הוא 9, ובין 31 ל13 פעמיים תשע וכן הלאה

3=12>21>30

4=13>22>31>40

5=14>23>32>41>50

6=15>24>33>42>51>60

ראו
https://shem-mispar.blogspot.com/2016/08/blog-post.html

אפס כחלק ממספר

הוספת 9 לכל מספר מגלה, כמו בצילום רנטגן, את אבני הבניין מהן הוא מורכב:

3 עשוי מ

 1 + 2; 2 + 1; 3 + 0

או עשר אחד ועוד שתי יחידות ; שתי עשרות ועוד יחידה אחת, 3 עשרות ואפס יחידות

2 עשוי מ

 1 + 1; 2 + 0

או עשר אחד ועוד יחידה אחת, 2 עשרות ואפס יחידות

1 עשוי

מ 1 + 0

או מעשר אחד ואפס יחידות

=
אנו נוטים לראות את השיטה העשרונית בממד הראשון בתור נקודות על שורה:
10 מגיע אחרי 9 ולפני 11, 20 מגיע אחרי 19 ולפני 21.
האיור לעיל מראה את השיטה העשרונית בממד השני, כשטח, כאשר
10 הוא הבסיס של ריבוע של 1, עשוי מנקודה אחת בתוספת אפס.
20 הוא הבסיס של הריבוע של 2, עשוי מ2 נקודות בתוספת 0.

30 הוא הבסיס של הריבוע של 3, עשוי מ3 נקודות בתוספת 0 ...

המספרים המשולשים של הזרם של 1-4-7

הטבלה הראשונה מציגה את סדרת המספרים הטבעיים מסודרת ב 9 עמודות. בסידור זה סכום הספרות בכל עמודה זהה למספר הראשון.

1 = 10 = 1 + 0 = 1
19 = 1 + 9 = 10 = 1 + 0 = 1

כאשר תוסיף 9 למספר כלשהו, ספרות המספר החדש יסוכמו באותו מספר כמו המספר המקורי

1234 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 1

1234 + 9 = 1243 = 1 + 2 + 4 + 3 = 10 = 1

הטבלה השנייה מציגה את המספרים המשולשים מסודרים ב 9 עמודות. בסידור זה סכום הספרות מתחת למספרים 1, 4 ו -7 מסתכם  באחד.

55 = 5 + 5 = 1
190 = 1 + 9 + 0 = 10 = 1

הסיבה כנראה היא כי המספרים בכל עמודה כזו רחוקים 9 מקומות אחד מהשני ... כמו בטבלה הראשונה.

מעין הוכחה לכך שאפס הוא מספר

כאשר אני מסדר את סדרת המספרים הטבעיים בתשע עמודות אני מקבל בכל עמודה את רשימת המספרים שיש להם את אותו סכום של ספרות כמו למספר הראשון שבראש כל עמודה. לדוגמה:

 2= 11 [1+1] 

 20=[2+0} 

 29= [2+9=11=1+1=2] 

הטור הראשון הוא יוצא דופן אך קשה להבחין בכך, כי אנחנו ממהרים לסכם 10 כמו 1 

 1+0=1

19=1+9=10=1

  

אבל אם נסתכל יותר מקרוב נראה כי עמודה זו נשלטת למעשה על ידי עשרות והמספר היחיד שאינו עשר הוא האחד שבראש העמודה.

כאשר אני מסדר את סדרת המספרים הטבעיים בעשר שורות, אני מקבל בשורה העשירית את מכפילי העשר: 10, 20, 30 ... [באנגלית אפילו שמותיהם מתחרזים] וברור לגמרי ש 0 הוא מספר כמו כל תשעה אחרים, שכן הוא יכול להיות הסיומת של מספר. ישנן עשר אפשרויות לסיים מספר ו 0 היא אחת מהן.

בטבלה בת תשעה הטורים היה קשה לראות את התופעה הזאת, וזה היה אפילו קשה יותר להסביר מאיפה הגיע ה0 למספרים 10, 20 וכו'.

בדרך כלל אנו אומרים כי O הוא מספר שלא נספר, כי 10 משמעותו קבוצה אחת של עשרה מספרים שאיננה כוללת את היחידות המקוריות 1-9, אבל כאן, כשרואים את הסיומות באופן כל כך ברור, ה 0 מתפקד כמו כל המספרים האחרים  המקוריים 1-9.

סכום הספרות על האלכסונים של הריבוע של 9

בפינה העליונה משמאל:

 1 

ולאחר מכן 

11 = 1 + 1 = 2 

עד

 81 = 8 + 1 = 9

משמאל למטה:

 73 = 7 + 3 = 10 = 1 

עד

 17 = 1 + 7 = 8 

ולאחר מכן 

9

 האלכסונים נפגשים במספר 41 

שהוא

 4 + 1 = 5

:שהרי חמש הוא באמצע התשע 

111151111

סכום העמודות האנכיות הוא תמיד המספר הראשון של העמודה:

העמודה הראשונה מתחילה ב- 1 ומסתיימת ב- 

73 = 7 + 3 = 10 = 1 + 0 = 1

העמודה השנייה מתחילה ב 2 ומסתיימת ב

 74 = 7 + 4 = 11 = 2

וכן הלאה

החמש שבתשע בתלת ממד

בממד הראשון שהוא קו החמש הוא המספר האמצעי:

מימינו יש ארבעה מספרים ומשמאלו יש ארבעה מספרים

הנה כך:

 * *  * * 5 * * * *

או:

1 2 3 4  5  6 7 8 9

בממד השני שהוא ריבוע החמש הוא המספר האמצעי:

  1  2  3

 4  5  6

7  8  9

בממד השלישי שהוא קובייה החמש הוא המספר האמצעי

הקובייה בנויה בעצם משלושה ריבועים שנמצאים זה מעל לזה

הראשון הוא הריבוע שראינו זה עתה:

  1  2  3

 4  5  6

7  8  9

הריבוע השני נוצר כשממשיכים את הספירה על טור המספרים הטבעיים:

10  11  12

13  14  15

16  17  18

המספר החמישי הוא ה 14 וסכום הספרות של 14 הוא חמש.

הריבוע השלישי נוצר כשממשיכים את הספירה על טור המספרים הטבעיים:

19  20  21

24  23  22

25  26  27

המספר החמישי הוא ה 23 וסכום הספרות של 23 הוא חמש.

אם ממשיכים את הסדרה הזאת הלאה מקבלים כמרכז את ה:

32 ב 36

41 ב 45

50 ב 54

59 ב 63

68 ב 72

77 ב 81

86 ב 90

וכן הלאה

ותמיד סכום הספרות של המרכז יהיה חמש

ושל המספר האחרון בריבוע תשע
===
3 בחזקה הראשונה הוא שלש קוביות

בחזקה השנייה הוא ריבוע שמורכב מתשע קוביות

בשלישית הוא קובייה שמורכבת מ27 קוביות

ברביעית הוא שלש קוביות [של 27 שהן 81 קוביות]

בחמישית הוא שלש קוביות של 81 שהן 243

ובשישית הוא קובייה שצלעה 9 והיא מכילה 729 קוביות

ספרות רומיות מנקודת מבט חדשה

אחרי הארבע, שיש לו זיקה עמוקה לריבוע, בא החמש, כך שדי טבעי שנצייר אותו במרכזו של הריבוע של ארבע. אם, בנוסף לכך, נצייר את הריבוע של ארבע במרכזו של הריבוע של שמונה, נקבל ייצוג של תשע היחידות בצורת תשע נקודות, שהמרכזית שבהן מייצגת את החמש. כעת, אם נתמקד רק באלכסונים של הריבועים נראה את הספרה הרומית X, שמייצגת את המספר עשר, ואם נתמקד רק במחציתו של X נקבל את V שמייצג בספירת הרומית את החמש. מעניין אם הרומאים הכירו את התצוגה הזאת כאשר החליטו על צורת המספרים שלהם. 

סוד השבע

לדעת מוריץ קנטור ופרשנים אחרים השנה הבבלית מנתה תחילה 360 ימים בשנה, ומכאן באה חלוקת המעגל ל 360 מעלות, והוא מוסיף שאולי ידעו הבבלים שרדיוס המעגל קטן פי שש מהיקפו*.

360 המעלות של המעגל מתחלקות למספר שלם בכל אחד מתשעת המספרים הראשונים מלבד בשבע.

מעניין אם תופעה זו הייתה ידועה למחבר הסיפור המקראי על שמשון, שהמילה שמש הכלולה בשמו רומזת על שנת השמש, ועל גלגל השמש (שצורתה צורת עיגול), וסוד כוחו נקשר למספר שבע:

שופטים פרק טז:

ז וַיֹּאמֶר אֵלֶיהָ, שִׁמְשׁוֹן, אִם-יַאַסְרֻנִי בְּשִׁבְעָה יְתָרִים לַחִים, אֲשֶׁר לֹא-חֹרָבוּ, וְחָלִיתִי וְהָיִיתִי כְּאַחַד הָאָדָם
שמשון אהב לחוד חידות, וכאשר אמר "שבעה יתרים לחים" - כיוון לשבע מחלפות שערו שהיו סוד כוחו)

יג ... וַיֹּאמֶר אֵלֶיהָ אִם תַּאַרְגִי אֶת שֶׁבַע מַחְלְפוֹת רֹאשִׁי עִם-הַמַּסָּכֶת...

יט ... וַתְּיַשְּׁנֵהוּ, עַל בִּרְכֶּיהָ, וַתִּקְרָא לָאִישׁ, וַתְּגַלַּח אֶת שֶׁבַע מַחְלְפוֹת רֹאשׁוֹ

מתוך:*
A History of Elementary Mathematics by Florian Cajori , 1898

שמסתמך על

*Vorlesungen über Geschichte der Mathematik by Moritz Cantor (1894), Vol. I, pp. 91-93

***
לאחר שפרסמתי כתבה זו עם תמונה אחרת מצאתי את עצמי ברחוב שמשון וכשהגעתי למספר 7- צילמתי.  

הריבוע כמעוין

אנחנו רגילים לראות ריבוע של מספר בצורת ריבוע, אבל רק בשביל לשחרר את המוח ממחלת הקיבעון הריבוע הזה יכול להיראות גם כמעוין. לדוגמה הנה הריבוע של שניים כמעוין:

*

*      *

*

הנה הריבוע של שלש:

*

*      *

*     *     *

*     *

*

בצילום רואים את הריבוע של שמונה כמעוין שבנוי על העיקרון

12345678987654321

המשבר שלא קרה לקבלה

לפי האגדה הפיתגוראים חוו משבר נוראי כשגילו שהעולם אינו רציונלי, כי לא ניתן לבטא את השורש של המספר שנים כשבר. למשבר שלהם היו השלכות עצומות: לפני המשבר היה איחוד בין אריתמטיקה לגאומטריה, אבל לאחריו, וכתוצאה ממנו, האריתמטיקה איבדה מחשיבותה, והאנרגיה היצירתית של הפיתגוראים הופנתה לגאומטריה. לכן יש לנו היום גאומטריה למופת, שהמדעים האחרים מנסים ללא הצלחה לחקות את המבנה שלה, ואריתמטיקה צולעת, שבה אין הסכמה אפילו על משמעות המילה מספר.

אותו משבר יכול היה לקרות לקבלה, ולא קרה. כי הקבלה מבוססת על עשר ספירות כנגד עשר אצבעות, ועשר הספירות האלה באות לידי ביטוי גם במספרים אחד עד עשר. אבל אחרי שפיתחו את הקבלה גילה העולם את האפס, שאם הוא מספר, כמו שרובנו חושבים, אז הוא כמו האצבע האחת עשרה.

אמנם ניתן לספור עשרה מספרים מאפס עד תשע, ולא לספור את העשר מפני שהוא הופעה שניה של האחד, כמו שהאחד עשרה הוא הופעה שנייה של השנים, אבל העשר בורא את העשרות, כמו שתשעת המספרים שלפניו בונים את כל המספרים, ולכן הוא חייב להיכלל בעשירייה הפותחת. בנוסף, כשמסתכלים על המילה עשר (ולא על המספר 10 שמורכב מאחד ומאפס) רואים שאפילו מבחינה לשונית העשר שונה מהאחד עשרה עד התשע עשרה, כי הוא מורכב ממילה אחת, וניצב כישות עצמאית, ואילו אלה שאחריו נסמכים עליו, כמו שנסמכים עליו העשרים עד התשעים.

על כל פנים במסורת היהודית ברור שעשר הספירות זה אחד עד עשר, ולא אפס עד תשע, ובספר יצירה (פרק א משנה ה) אפילו מפרטים שאחד הוא עומק ראשית, ושנים עומק אחרית וכן הלאה, אבל אם מוסיפים את האפס צריך היה להוסיף לרשימה זו עוד עומק; אך ומאחר והעומקים נגמרו באותה רשימה ואין מאיפה להמציא עומק נוסף אין לקבלה ברירה, לכאורה, אלא להיכנס למשבר.

אחת הסיבות לכך שהקבלה לא נכנסה למשבר היא שלא התייחסה אל האפס כאל מספר*. האפס מופיע בספר יצירה, אבל לא כספירה בפרק ב, משנה ט: "יצר ממש מתוהו, ועשה את שאינו ישנו. וחצב עמודים גדולים מאויר שאינו נתפס".

רבי אברהם אבן עזרא כתב בספר המספר שלו בפירוש:"וזה הגלגל O וטעמו כגלגל, כקש לפני רוח, ואינו אלא לשמור המעלות" [ שהן החזקות של עשר]. סיבה אחרת היא שאת משמעות האפס ייחסו למושג הצמצום שהוא מושג מרכזי בקבלה.**  

הערות:

*וראו עוד בעניין זה במאמרו של יעקב עציון על האפס

** וכך לדוגמה כתב הרב יצחק גינצבורג מכפר חב"ד במאמר

Excerpt from Kabbalah and Meditation for the Nations Chapter 2: Monotheism

The final limit of any diminishing process is a reduction to zero, or total disappearance. This is what is implied in Kabbalah by the term tzimtzum in relation to God’s initial contraction of His infinite light in order to create room for worlds to exist.

התבוננות של הראב"ע בשמות המספרים

רבי אברהם אבן עזרא (- 1164 1089) הקדיש ספר מיוחד (יסוד מספר) לבירור שמות המספרים. הספר הודפס עם פירוש של שמחה פינסקר באודסה בשנת תרכ"ג. הספר עוסק ברובו בניקוד של שמות המספרים, בהטיותיהם, במשמעות של מלים קשות במקרא, אבל פה ושם יש בו הבהרות לגבי המספרים עצמם:

אחד:

יש בתנ"ך אחד שחסרה בו האל"ף בפסוק: וְדִבֶּר חַד אֶת אַחַד אִישׁ אֶת אָחִיו לֵאמֹר" (יחזקאל לג, ל).

אחד ברבים: "ימים אחדים" (בראשית כז, מד), הראב"ע מפרש אחדים - פחות מעשר. ושמחה פינסקר מפרש שם: כמו שהאחדים הם המספרים [היחידות] שהם לכל היותר תשעה.

יחיד- מלה שנגזרת מהמלה אחד. יַחֵד לְבָבִי (תהלים פו, יא) משמעו חבר את לבבי ללב אחד.

שנים:

המילה שנים מלמדת על שינוי, כי היא שונה מן האחד בזה שהיא מתחלקת (לשני אחדים) והוא אינו מתחלק, היא מספר (המספר הראשון) והוא אינו מספר אלא סיבת המספרים. פינסקר מעיר שם שבספרים אחרים שלו מציין הראב"ע ששניים שונה מאחד גם בזה ש"כל מספר יקדימנו מספר קטן ממנו" מלבד האחד. [הערה של זאב ברקן: אמנם הראב"ע הכיר את האפס, והיה האירופאי הראשון שהזכירו בכתב, לפני פיבונצ'י, אבל ככל הנראה לא החשיבו כמספר במשמעות זהה לזו של תשעת המספרים שאחריו].  שנים מופיע בסיומות הזוגיות של מלים כמו שמים, עיניים. כאן מבחין הראב"ע בין מלים שלא יתכן שייפרדו (כמו רחיים, שמים), לבין מלים שמורכבות משני אחדים (כמו עיניים). משניים נגזרה המילה משנה למלך. "המלך דומה לאחד, על כן היה השליש פחות מהמשנה במעלה" [בחשיבות]. "ויש אומרים כי שנה מגזרת שניים, בעבור שוב השמש פעם שנית אל הנקודה הראשונה שהייתה כנגדה בשנה שעברה".

שלש:

ממנה נגזרו המילים שלשום, שליש, וכלי הנגינה המקראיים הנקראים שלישים "ויתכן שהכלי יש לו שלושה יתרים". את הביטוי "החוט המשולש" מפרש הראב"ע: "שהם שלושה חוטים".

ארבע:

האלף נוספה לשורש כמו במילה אתמול.

חמש:

וַיַּכֵּהוּ אַבְנֵר בְּאַחֲרֵי הַחֲנִית אֶל-הַחֹמֶשׁ (שמואל ב ב כג) - אולי הכוונה שהכהו באזור צלעו החמישית.

הראב"ע מציג את ההתמקחות של אברהם אבינו עם האל (בראשית יח, כח- לב) לגבי מספר הצדיקים בסדום כתרגיל בשברים:

אברהם מחסיר חצי מעשר שהיא החמישית של חמישים: אוּלַי יַחְסְרוּן חֲמִשִּׁים הַצַּדִּיקִם חֲמִשָּׁה - הֲתַשְׁחִית בַּחֲמִשָּׁה אֶת כָּל הָעִיר? וַיֹּאמֶר לֹא אַשְׁחִית אִם אֶמְצָא שָׁם אַרְבָּעִים וַחֲמִשָּׁה.

אברהם מחסיר את החמישית שנשארה: וַיֹּסֶף עוֹד לְדַבֵּר אֵלָיו וַיֹּאמַר אוּלַי יִמָּצְאוּן שָׁם אַרְבָּעִים?

וַיֹּאמֶר לֹא אֶעֱשֶׂה בַּעֲבוּר הָאַרְבָּעִים.

אברהם מחסיר רבע מהארבעים: וַיֹּאמֶר אַל נָא יִחַר לַאדֹנָי וַאֲדַבֵּרָה: אוּלַי יִמָּצְאוּן שָׁם שְׁלֹשִׁים?

וַיֹּאמֶר לֹא אֶעֱשֶׂה אִם אֶמְצָא שָׁם שְׁלֹשִׁים.

אברהם מחסיר שליש משלושים: וַיֹּאמֶר הִנֵּה נָא הוֹאַלְתִּי לְדַבֵּר אֶל אֲדֹנָי: אוּלַי יִמָּצְאוּן שָׁם עֶשְׂרִים?

וַיֹּאמֶר לֹא אַשְׁחִית בַּעֲבוּר הָעֶשְׂרִים.

אברהם מחסיר חצי מהעשרים:  וַיֹּאמֶר אַל נָא יִחַר לַאדֹנָי וַאֲדַבְּרָה אַךְ הַפַּעַם: אוּלַי יִמָּצְאוּן שָׁם עֲשָׂרָה? וַיֹּאמֶר לֹא אַשְׁחִית בַּעֲבוּר הָעֲשָׂרָה.

נאמר על יוסף: וְחִמֵּשׁ אֶת-אֶרֶץ מִצְרַיִם בְּשֶׁבַע שְׁנֵי הַשָּׂבָע. והראב"ע מסביר שיוסף רכש את חמישית היבול. [בשפה של ימינו היינו אומרים שיוסף הכין תחמושת, או התחיל את מרוץ החימוש]. 

שבע:

את שבעתים שבפסוק וְאוֹר הַחַמָּה יִהְיֶה שִׁבְעָתַיִם כְּאוֹר שִׁבְעַת הַיָּמִים (ישעיהו ל, כו) מפרש ראב"ע ככפול מאור שבעת הימים, אבל הוא מוסיף דעה אחרת, שחוזק האור יהיה שבע בשלישית. לחזקה השלישית קורא הראב"ע בשם "גוף השווה" והכוונה, לפי פירושו של פינסקר שם, לקובייה, שכל שש צלעותיה שוות.

השבע הוא לדעת הראב"ע "חשבון שלם". פיסקר מפרש שם, על פי מה שכתב הראב"ע בעניין זה בספריו האחרים, שהכוונה לכך שהמספר שבע כולל בתוכו את המספרים הזוגיים שניים וארבע ואת האי זוגיים שלש וחמש; ואם תחבר שנים וחמש תקבל שבע ואם תחבר ארבע ושלש תקבל שבע [1]. 

שמונה:

שמונה הוא המעוקב של שנים, ולכן הוא כעין גרסה שמנה שלו: "יתכן להיות מגזרת מֵאָשֵׁר שְׁמֵנָה לַחְמוֹ (בראשית מט, כ) והטעם כי קו לעולם משתי נקודות במחשבת מחשב, והנה השטח מארבע נקודות, והנה הגוף, שעיקרו הגובה, משמונה נקודות".

עשר:

עשר הוא במעלה השניה, והטעם לכך הוא שהעשירי הוא תחילת מספר העשרות וסוף המספרים [המקוריים, כי כל שאר המספרים חוזרים על התשעה הראשונים]  "כאשר מפורש בספר יצירה, כי ככה מספר האצבעות". פינסקר מוסיף בהערה: "בפירושו לתורה בפרשת שמות... כתב: ומדרך אחרת הם (המספרים) עשר ספירות בלימה, כי לא תוכל להחל אם לא יהיו עשרה". משתמע מפרוש זה הסבר חדש למילה בלימה, כי התשע הוא אחרון המספרים, והוא עוצר אותם. כל מה שאחרי התשע הוא צל, או חיקוי, של מספר, ואין מספרים במלוא מובן המילה אחרי העשר כמו שאין לאדם יותר מעשר אצבעות.   

את הביטוי נבל עשור מפרש הראב"ע כשני כלי נגינה, והייתה צריכה להיות ו"ו החיבור ביניהם. וראייה לכך בפסוק שבו הם אכן מופיעים כנפרדים: "עֲ‍לֵי עָשׂוֹר וַעֲלֵי נָבֶל" (תהלים צב ד).

הסיומת עשרות כמו הסיומת מאות אינה חלה על היחידות ופינסקר משלים בהסברו שאי אפשר לומר שלושות.

עשתי עשרה אין מקורו במלים "על שתי עשרה", אלא עשתי מקורה במילה עשת שמשמעותה מחשבה ובלשונו של הראב"ע "חישבון".

"ומילת עשרים  הייתה ראוי הרי"ש להיות פתוח [עשריים] בעבור שהיא שם שתי עשרות" אבל התאימו אותה לשמות העשרות שאחריה: שלושים עד תשעים. 

הערה:
[1] 

בפירושו לפסוק לָכֵן כָּל-הֹרֵג קַיִן שִׁבְעָתַיִם יֻקָּם (בראשית ד, טו) מפרש אבן עזרא:

"שבעתים - עד שבעת דורות, כי אין זאת המלה ארבעה עשר ולא שלוש מאות ומ"ג והעד: ואור החמה יהיה שבעתים ואחר כן ביאר הנביא דבריו ואמר: כאור שבעת הימים".

הסבר: אבן עזרא דוחה את האפשרות שבגלל הצורה הזוגית של המילה שבעתים מדובר בשבע כפול שנים שהם ארבע עשרה. הוא גם דוחה את האפשרות שמדובר בשבע בחזקה שלישית (שלוש מאות ומ"ג= 343 ). 

שלש ומשולש

יש קשר עמוק ומפתיע בין הכפולות של שלוש (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, וכן הלאה) ובין הזרם של ה 369 לבין צורת המשולש. רק תזכרו שסכום הספרות של 12 הוא 3, 15 = 6, 18 = 9 וזהו דפוס אינסופי שחוזר ונשנה. הקו מתחיל בשלוש ממשיך בשש ומגיע לתשע. משם הוא חוזר לשלש שהוא מעתה 12, ממנו לשש שהוא מעתה 15, ממנו לתשע שהוא מעתה 18 וכן הלאה וכן הלאה, וכל התנועה הזאת כלואה לנצח בתוך המשולש.  

עשר ולא תשע - חידה ופתרונה

כמו בספירלה

בכל פעם שמגיעים לעשר מתחילים לספור שוב מאחד

כאשר למדנו בסוף שנות השבעים את תורת המספרים מיוסף ספרא היינו דנים שוב ושוב במשך שעות בכל מיני משניות מתוך ספר יצירה, ובעיקר במשפט שמופיע שם כמעין חידה, ללא הסבר או נימוק: "עשר ספירות בלימה - עשר ולא תשע, עשר ולא אחת עשרה" (א, ד). כיום איני זוכר דבר ממה שאמרנו, אבל נותרה בי יראת כבוד למשפט החשוב הזה.

אתמול קראתי שוב את ספר יצירה, ונדמה היה לי שפתרתי את החידה. בפרק ד משנה ה מופיע אותו ניסוח מקורי וייחודי לגבי המספר שבע: "שבע כפולות בג"ד כפר"ת - שבע ולא שש, שבע ולא שמונה". אלא שהפעם הוא מנומק: " שבע כפולות: בג"ד כפר"ת: מעלה ומטה, מזרח ומערב, צפון ודרום, והיכל הקודש מכוון באמצע והוא נושא את כולם (שם, משנה ד). ולא רק שהוא מנומק, גם רואים באופן מוחשי, שהאותיות בגד כפר"ת מספרן שבע. אבל מה הן עשר הספירות? ובכן, פירוט שלהן מופיע היישר במשנה הבאה כחמישה זוגות של ניגודים, במקביל לפירוט שראינו זה עתה לגבי השבע, שמורכב משלושה זוגות של ניגודים, שבעצם כלולים בחמשת זוגות הניגודים של העשר:

1.  עומק ראשית
2. ועומק אחרית
3. עומק טוב
4. ועומק רע
5. עומק רום
6. ועומק תחת
7. עומק מזרח
8. ועומק מערב
9. עומק צפון
10. ועומק דרום (פרק א משנה ה)
    
    

והתקבולת בין שני הטפסים האלה שמפרטים את תוכנם של העשר ושל השבע נמשכת, כי האחד שמאחד את השבע והאחד שמאחד את העשר הוא אותו אחד. לגבי השבע מסיימת המשנה בהסבירה: "והיכל הקודש מכוון באמצע והוא נושא את כולם", ולגבי העשר מסיימת המשנה בהסבירה: "אדון יחיד אל מלך נאמן מושל בכולם ממעון קדשו עד עדי עד".

ריבוע קסם סיני בצורה גאומטרית

עיבוד במחשב של איור שמופיע בעמוד 278 בספר בשם Travels in China מאת John Barrow שיצא לאור בלונדון בשנת 1804. החוליות הריקות מייצגות מספרים אי זוגיים ואילו החוליות המלאות מייצגות מספרים זוגיים. 

מדובר בריבוע הקסם שנחשב לקדום ביותר, וסכום כל שורה לאורך, לרוחב ובאלכסון הוא 15. 

הגלגול שלפני הגלגול

כל המספרים מקורם בתשעת המספרים הראשונים (10 הוא הגלגול הראשון של 1 וסכום הספרות שלו 1; 11 הוא הגלגול השני של 2, וסכום הספרות שלו 2 וכן הלאה).

יש שלושה זרמים של מספרים: 147, 258, 369.

147 הוא זרם מקורי.

258 הוא זרם מעורב:

2=1+3:2

5=4+6:2

8=7+9:2

369 אינו זרם מקורי. הוא זרם שחוזר על עצמו. הוא בעצם הצל של 123 כאשר

1.3=3

2.3=6

3.3=9

כמו שכל המספרים מקורם בתשעת המספרים הראשונים, הזרם של ה-369 מקורו בשלושת המספרים הראשונים.

וכמו שכל מספר מתשעת המספרים הראשונים שמוסיפים לו 9 מתגלגל בצורה  חדשה, אבל נשאר עצמו כך גם כל מספר בזרם של ה -369 שמוסיפים לו 3  נשאר בתוך הזרם של ה 369, והתבנית של הסדרה האינסופית כולה, כשמחברים את סכומי הספרות של המספרים שאחרי התשע, היא תבנית חוזרת של 369:

3 הוא גלגול שני של 1 או, במלים אחרות: האחד מופיע בפעם השנייה בשלוש.

6 הוא גלגול שני של  2   

9  הוא גלגול שני של 3    

12 הוא גלגול שלישי של 1 וסכום הספרות שלו הוא 3

15 הוא גלגול שלישי של 2 וסכום הספרות שלו הוא 6

18 הוא גלגול שלישי של 3 וסכום הספרות שלו הוא 9

21 הוא גלגול רביעי של 1 וסכום הספרות שלו הוא 3

24 הוא גלגול רביעי של 2 וסכום הספרות שלו הוא 6

27 הוא גלגול רביעי של 3 וסכום הספרות שלו הוא 9

30 הוא גלגול חמישי של 1 וסכום הספרות שלו הוא 3

33 הוא גלגול חמישי של 2 וסכום הספרות שלו הוא 6

36 הוא גלגול חמישי של 3 וסכום הספרות שלו הוא 9

39 הוא גלגול שישי של 1 וסכום הספרות שלו הוא 3

42 הוא גלגול שישי של 2 וסכום הספרות שלו הוא 6

45 הוא גלגול שישי של 3 וסכום הספרות שלו הוא 9