איך המספרים הראשונים מתבטאים בדקדוק

להלן שחזור ופיתוח של מה ששמעתי פעם ממורי, יוסף ספרא:

==

אני האחד.

אתה השני.

אני ואתה מהווים את הקבוצה הראשונה, שהיא ההתחלה של אנחנו, וגם ההתחלה של הריבוי.

אם האני זכר הוא אינו יכול להתרבות בלי את. אם הוא נקבה היא אינה יכולה להתרבות בלי אתה.

אני ואת מאפשרים את אנחנו אבל לא את הם. אם רק אנחנו בעולם אנחנו לא זקוקים למילה הוא.

הוא הוא השלישי.

אני ואתה, אנחנו, יכולים לדבר על הוא, עליו, אבל לא על הם.

הוא יכול לדבר עלי ועליך כעל אתם אבל לא כעל הם.

הם הוא הארבע. הארבע מאפשר את הריבוי של הקבוצות. אנחנו והם.

אני יכול להגיד לך הוא על השלישי והם על השלישי והרביעי.   

הנקודה הקו ומכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים אותם עצמים מגלים תכונות של חלקיק ושל גל, שהן לכאורה תכונות שסותרות זו את זה, שהרי החלקיק הוא בדיד, ואילו הגל הוא רציף. החלקיק מופיע לבד, ואילו הגל, כמו הקבוצה, מופיע ביחד.

בגיאומטריה הנקודה היא תופעה  בדידה, כמו החלקיק, ואילו הקו הוא תופעה רציפה כמו הגל. אך בגיאומטריה, מלבד הניגודיות שבין אחדות לריבוי, יש גם ניגוד בין סופיות הנקודה לבין האינסופיות של הקו. עם זאת, למרות שהקו הוא אינסופי הוא אחד.

במספרים האחד הוא תופעה  בדידה, כמו החלקיק וכמו הנקודה, ואילו סדרות המספרים למיניהן, כולל טור המספרים הטבעיים, הן בבחינת תופעה רציפה כמו הגל וכמו הקו.

כל מספר מתגלה בבדידותו כאשר הוא מתחלק בעצמו.

כל אחד מתשעת המספרים הראשונים הוא תופעה  בדידה, אך העשר הופך אותם לקבוצה, שהיא קו, או אם תרצו, בשפה של מכניקת הקוונטים... גל. 

בניסוח אחר:

אצל הפיתגוראים האחד הוא קדקוד המשולש של עשר הנקודות שנקרא בפיהם טטרקטיס, וממנו, לטענתם, ניתן ללמוד את כל עקרונות המספרים.

אצל אוקלידס האחד הוא קטע הקו שמוגבל בשתי נקודות קצה, שבו משתמשים כקנה מידה למדידת אורכי קוים אחרים. הקו הזה, לטענת אוקלידס, אינו ניתן לחלוקה, ממש כמו שהנקודה שבקדקוד הטטקרטיס איננה ניתנת לחלוקה.

בין שתי ההגדרות האלה פעורה תהום. הנקודה אינה נמדדת ואינה מודדת. אבל כאשר היא במרכזו של מעגל היא בוראת אותו. היא קשורה לעולם היצירה, לעולם הדתי, לניסיונות להבין מנין באנו ולאן פנינו מועדות.

הקו של אוקלידס מופיע בעצם בשורה השנייה של הטטרקטיס כשתי נקודות שביניהן ניתן למתוח קו. בשורה השלישית ישנן שלש נקודות, ובבסיס יש ארבע נקודות, אבל כאשר קוראים את הטטרקטיס לא כנקודות שמרכיבות שורות שמונחות זו מתחת לזו, אלא כנקודות על אחת מצלעות המשולש, מגלים שבעצם כל המספרים מונחים על אותו הקו. את הקו הזה ניתן להאריך עד אינסוף, כמו את טור המספרים הטבעיים.  

כך שבעצם אנחנו מתבוננים כאן בדבר אחד, המספר אחד, שמופיע כמו האלקטרון בתורת הקוונטים, בשתי צורות: האחת בדידה, כמו חלקיק, השנייה רציפה כמו הגל, אבל משום מה כשקוראים מאמר באנציקלופדיה על הערך "קוונטים", מופיעה תופעת  דואליות גל-חלקיק כתגלית חדשה, ולא מוזכר שקדמה לה הולדת הגיאומטריה.

הערה:
החלקיק היסודי של האינפורמציה הוא ה BIT, האחד או האפס של השיטה הבינרית.

האחד כ"לא שניים"

האחד הוא אחד מ"תארי השלילה" של האל, שמהם ניתן ללמוד על מהותו של האחד. ריכוז של תארים שכאלה מופיע בפיוט "אדון עולם". בתמצית ניתן לומר שהאחד מאופיין שם כ"לא שניים":

א. וְהוּא אֶחָד וְאֵין שֵׁנִי / לְהַמְשִׁילוֹ לְהַחְבִּירָה

ב. המאפיין העיקרי של השניים הוא הניגודיות. ראשון ואחרון הם ניגודים. האל הוא שלמות שכוללת את הניגודים האלה באופן שאין הבדל ביניהם. הוא גם זה וגם זה, והוא לא זה ולא זה.   

וְהוּא רִאשׁוֹן וְהוּא אַחֲרוֹן / לְכָל חֹמֶר וּלְכָל צוּרָה

בְּלִי רֵאשִׁית בְּלִי תַכְלִית / וְלוֹ הָעֹז וְהַמִּשְׂרָה

ג. השוואה היא פעולה שנעשית בין שני גורמים. אי אפשר לומר שמשהו דומה למשהו בלי שיהיו שני משהו. אי אפשר למדוד או להעריך מי גדול יותר ומי קטן יותר בלי שיהיו שני משהו. אי אפשר לדעת שמשהו השתנה בלי להשוות אותו למה שהיה קודם: 

בְּלִי עֵרֶךְ בְּלִי דִּמְיוֹן / בְּלִי שִׁנּוּי וּתְמוּרָה.

ד. האחד הוא שלם ואין לו חלקים שמהם הוא מחובר. לעומת זאת השניים מורכב משני אחדים מפורדים שחברו להם יחד:

בְּלִי חִבּוּר בְּלִי פֵרוּד / גְּדוֹל כּוֹחַ וּגְבוּרָה.

שמן של סדרות המספרים הזוגיים והאי זוגיים (הפרדיים) מעיד על מקורם מהשניים, שהרי זוג מורכב משני אחדים, ומתחלק לשניים בעוד שהפרדי הוא זה שאינו מתחלק לשניים.

ה. האחד הוא לבד (בפיוט: "לְבַדּוֹ יִמְלֹךְ נוֹרָא"), כלומר איננו ריבוי. הריבוי מתחיל משניים. הרעיון הזה מופיע פעמים רבות בתנ"ך, למשל: בשמות כ, ג: "לֹא יִהְיֶה לְךָ אֱלֹהִים אֲחֵרִים עַל-פָּנָי".

ו. האחד הוא מעל לזמן, שהרי עבר ועתיד בהיותם ניגודים הם מאפיינים של השניים, בעוד שהאחד הוא "לא שניים":

וְהוּא הָיָה וְהוּא הוֹוֶה / וְהוּא יִהְיֶה בְּתִפְאָרָה

כל מספר מורכב משניים

כידוע, כל מספר מורכב מאחד ועוד אחד ועוד אחד, אבל פחות ידוע שכל מספר מורכב גם משניים, מלבד האחד, שאינו מספר מורכב, אלא אם נחליט שניתן להרכיב אותו משני חצאים.

השנים (II) מורכב משני זוגות של ניגודים, האחד הימני עם האחד השמאלי, והאחד השמאלי עם האחד הימני, וניתן לראות זאת גם בתצוגה של מעלה ומטה:

1

+

1

2

אבל בעצם מדובר בזוג אחד שנספר פעמיים.

שלש (III) מורכב משלושה זוגות של ניגודים: אחד והשניים שמימינו, אחד והשניים שמשמאלו, אחד שבמרכז עם השניים שבאגפים.

אבל בעצם מדובר בשני זוגות שנספרים פעמיים.

ארבע (IIII)  מורכב מארבעה זוגות של ניגודים:

I+III

III+I

II+II

II+II

אבל בעצם מדובר בשני זוגות שנספרים פעמיים.

חמש (IIIII) מורכב מארבעה זוגות של ניגודים:

1234

4321

5555

אבל בעצם מדובר בשני זוגות שנספרים פעמיים.

שש (IIIIII) מורכב מששה זוגות של ניגודים, שהם בעצם שלשה זוגות שנספרים פעמיים.

וכן הלאה. 

יחסים בין מספרים

יחס של שייכות

בלימודי המתמטיקה מוגבלת המילה יחס (פרופורציה) לחילוק של שני מספרים זה בזה. אומרים שבין אחד לשנים יש אותו יחס כמו בין שניים לארבע, ארבע לשמונה וכן הלאה.

בטבלת עשרת הניגודים של הפיתגוראים, שמופיעה בכתבי אריסטו (ב"מטפיסיקה" 986 א) מופיעים יחסים נוספים:

המוגבל ושאינו מוגבל (שאותו פירשו הפיתגוראים, בין היתר, כהבדל שבין מספר זוגי לאי זוגי, אבל ניתן לפרש ניגוד זה גם כיחס של יש לאין, שהוא היחס שבין האחד לאפס), 

אחדות וריבוי (שאותו פירשו כיחס שבין האחד לבין שאר המספרים, אבל ניתן לפרשו גם כיחס של שייכות, שהוא היחס שבין השלם לחלקיו- הם שייכים לו והוא שייך להם)

ימין ושמאל (שאותו ניתן לפרש כיום כיחס שבין מספרים שליליים וחיוביים)...

ריבוע ומלבן.

אם נתבונן בשלשת המספרים הראשונים: נראה שהאחד ראשון, השנים אמצעי, והשלוש אחרון. ראשון ואחרון הם יחסים של ניגוד. גם אמצע הוא יחס בין שני דברים.

שנים בא אחרי אחד ולפני שלוש. אחרי ולפני הם יחסים מנוגדים שבאמצעותם אנחנו משווים מקומות וזמנים. אם נוסעים מירושלים לחיפה, חיפה נמצאת אחרי ת"א, ות"א נמצאת לפני חיפה.

גם השוואה היא יחס בין שני דברים, והיא יחס הדדי: לא רק הראשון שווה לשני אלא גם השני לראשון.

אחד קטן משניים ושלוש גדול ממנו. קטן וגדול הם יחסים של גודל, שמאפיינים את הגיאומטריה. לעומת זאת בשניים יש שני אחדים ובשלוש יש שלושה אחדים, וכאן כבר מדובר ביחסים כמותיים שמאפיינים יותר את האריתמטיקה.

במשוואה יש בדרך כלל בצד שמאל פעולה בין פעיל לסביל: כופל ונכפל, מחלק ומחולק, מחבר ומחובר, מחסר ומחוסר. פעיל וסביל הם ניגודים והם מתאחדים בתוצאה. יוצאת מן הכלל היא המשוואה של איינשטיין E=mc2  שבה התוצאה מימין, אבל השוני הזה נועד אולי להבליט שאנחנו מחפשים תשובה לשאלה מהי אנרגיה, ולאו דווקא להכניס ערכים במקום המשתנים ולראות מה התוצאה.  

בין שם של מספר לבין המספר עצמו יש יחס של זהות, שהוא התאמה ייחודית. רק השם המסוים הזה מתאים למספר המסוים הזה, ורק המספר המסוים הזה מתאים לשם המסוים הזה. שם שונה לא יתאים. שווה ושונה הם יחסים מנוגדים. כל מספר שווה לעצמו ושונה מכל מספר אחר. כאשר אנחנו מחלקים מספר בעצמו אנחנו חושפים לא רק את יחידותיו, אלא גם את ההתאמה בין מספרן לבין שמו של המספר. בשלוש יש שלוש יחידות, ולכן הוא נקרא בשם שלוש.

בסדרת המספרים הטבעיים לא רק שכל מספר בא אחרי המספר שלפניו אלא שכל מספר גם מכיל את המספרים שלפניו. הסדר של המספרים הטבעיים הוא זה אחר זה וזה בתוך זה, ו"זה אחר זה וזה בתוך זה" הם יחסים.   

המספר האחרון

המספר האחרון, כמו אחרית הימים, הוא מספר שאינו ידוע, אבל בהבדל מאחרית הימים, שיש סיכוי שתתרחש אי פעם, המספר האחרון גם אינו יכול להיות ידוע. ולא רק הוא אינו יכול להיות ידוע אלא גם המספר שלפניו, ועוד הרבה מספרים שלפניהם. כל המספרים שאנחנו מכירים הם חלק לא ידוע מן המספר האחרון. ניתן לומר שהמספרים בנויים כך שיש להם התחלה אבל אין להם סוף, ולא יכול להיות להם סוף. די קשה למחשבה להתמודד עם זה, כי אם פאי הוא מספר אינסופי, והמספר של חתך הזהב הוא מספר אינסופי ששונה ממנו, איך נדע מי מהם יותר גדול? ולא יעזור אם נקרא למספר האחרון "פאי ועוד אחד",  כי תמיד יבוא עוד אחד אחרי "פאי ועוד אחד",  ועוד אחד אחריו, כמו שכתוב בקהלת (ה,ז): אַל תִּתְמַהּ עַל הַחֵפֶץ כִּי גָבֹהַּ מֵעַל גָּבֹהַּ שֹׁמֵר וּגְבֹהִים עֲלֵיהֶם. המספר האחרון הוא לא רק שיא גינס, אלא גם הדבר הכי גדול שהמחשבה האנושית המציאה אי פעם. וזה המשפט הראשון שצריך מורה לחשבון להגיד לתלמידיו אם הוא רוצה לקרב אותם לתורת המספרים. וכל מה שאמרנו עד כה על המספר האחרון החיובי נכון גם לגבי המספר האחרון השלילי, כך שיש לנו שניים כאלה, אחד בכל כיוון, והם כנראה באותו גודל, ולמרות שאין לנו מושג מה הם יש לנו עבורם שם: המספר האחרון.  

משמעויות של השניים בספר יצירה

שניים מופיע בספר יצירה בכמה וכמה משמעויות:

א. כמספר שמבטא ניגודים כמו הניגוד בין זכר לנקבה (בדומה למשמעותו אצל הפיתגוראים). עשר הספירות מסודרות בחמישה זוגות של ניגודים: עומק ראשית ועומק אחרית וכו'.

ב. בין הניגודים האלה יש יחסים של מלחמה או של השלמה. ההשלמה היא באמצעות

1. זוג:

בשנים עשרה יש ששה זוגות: "שנים לועסים, שנים לועזים, שנים עליצים, שנים עליזים, שנים נועצים, שנים טורפים, שנים ציידים. עשאן כמין מריבה, עשאן כמין מלחמה, גם את זה לעומת זה" (פרק ו משנה ד).

2. ברית: "כרת לו ברית בין עשר אצבעות רגליו והוא ברית מילה, כרת לו ברית בין עשר אצבעות ידיו והוא ברית לשון". (פרק ו משנה ח)], הברית היא בין חמש אצבעות ימין לבין ניגודן: חמש אצבעות שמאל.

אותו מבנה של חמישה זוגות של ניגודים שמופיע בחלוקה של האצבעות ליד ימין ויד שמאל מופיע גם בחלוקת עשר הספירות, וגם בחלוקה (המסורתית, כי חלוקת המצוות לחמש חמש בכל לוח אינה מתוארת במקרא) של עשר הדברות לשני לוחות הברית, כאשר הברית אחת, הלוחות שניים, ועל כל לוח כתובות חמש מצוות.

כמו על מנת להזכיר לנו את הדמיון בין לוחות הברית לבין אצבעות הידיים מופיעה בפרשת הלוחות אצבע אלוהים: וַיִּתֵּן אֶל מֹשֶׁה, כְּכַלּתוֹ לְדַבֵּר אִתּוֹ בְּהַר סִינַי, שְׁנֵי לֻחֹת הָעֵדֻת, לֻחֹת אֶבֶן כְּתֻבִים בְּאֶצְבַּע אֱלֹהִים (שמות לא, יח).

ג. כמספר סודר - יום שני, וכן :"שאדון יחיד הוא ואין שני לו" (פרק א, משנה ו).

ד. כהכפלה (דגש באותיות בגד כפרת):

"ומתנהגות בשתי לשונות ב"ב ג"ג ד"ד כ"כ פ"פ ר"ר ת"ת, רך וקשה, גבור וחלש, כפולות שהן תמורות..." (פרק ד משנה ב).

משמעויות של האחד בספר יצירה

אחד מופיע בספר יצירה כמספר שמבטא אחדות, מקוריות, ייחודיות, שלמות. 

המשנה האחרונה בספר יצירה מייחסת את חיבורו לאברהם אבינו, שהוא העברי הראשון, העברי מספר אחד, שממנו נבראו כל העברים האחרים, כמו שכל המספרים נבראים מן האחד.

בפרק א משנה ו נכתב: "עשר ספירות בלימה מדתן עשר שאין להם סוף, נעוץ סופן בתחילתן ותחילתן בסופן כשלהבת קשורה בגחלת. שאדון יחיד הוא ואין שני לו. ולפני אחד מה אתה סופר" וההסבר לכך שנעוץ סופן בתחילתן ותחילתן בסופן הוא שהן מהות אחת, מהות של האחד, שנתפסת בהכרה האנושית כריבוי. מדובר בשלם שאין לו חלקים ואין בו ניגודים. אלה מתחילים במספר שנים. כיוון שכך אין לאחד, ואין באחד, התחלה וסוף. להכרה האנושית בלתי אפשרי לדמות מצב כזה של שלמות, ולכן אומרים שלכאורה יש באחד סוף והתחלה חבויים, עובריים, בלתי נפרדים, שנעוצים זה בזה, וכאשר האחד בורא מתוכו את השניים ניתן לראות כל אחד מהם בנפרד. שהרי אם מותחים נקודה,שהיא אחת, עד שנעשה ממנה קו, "היא" מקבלת שני קצוות. וכך גם במעגל - אין התחלה ואין סוף. לכן דימו הפיתגוראים את האחד לעיגול, שנקרא בפיהם בשם מונאדה. מכאן גם אורבורוס, הדימוי של האלכימאים לנחש שבולע את זנבו, שמצויר תמיד בצורת מעגל.

בפרק ו משנה ז נכתב: "אחד על גבי שלש, ושלש על גבי שבעה, ושבעה על גבי שנים עשר, וכולן אדוקים זה בזה". כאן מופיע האחד כמהות שאיננה ניתנת לספירה, שהרי אילו היה נספר היו לנו 23 אותיות, כי:

1+3+7+12=23

גם 22 האותיות, טוען מחבר ספר יצירה, הן מהות אחת שההכרה האנושית איננה בנויה לקלוט אותה כאחת:

"צופה וממר ועושה את כל היצור ואת כל הדבור שם אחד, וסימן לדבר כ"ב חפצים וגוף אחד". (פרק ב, משנה טו).

מספרים בספר יצירה

במקביל לאחד (האחד) שאינו נספר יש אחד שנספר, והוא אל"ף באותיות, והוא יום ראשון בשבוע, והוא היחידה שמרכיבה כל מספר. המספר שלוש מורכב משלוש יחידות, שבנויות כמעין מאזניים. הראשונה והשלישית שואפות להטות את כף המאזניים כל אחת לכיוון שלה, והאמצעית, לשון המאזנים, אם היא מצטרפת לאחד הצדדים, היא מטה את הכף לטובתו, כי היא יוצרת שתי קבוצות שבאחת יש שתי יחידות  ובשנייה נותרת יחידה אחת:  "שלש אמות אמ"ש, יסודן כף זכות וכף חובה, ולשון חק מכריע בנתיים" (פרק א משנה ד).

אותו מבנה חוזר על עצמו במספר שבע: אלא שהפעם במקום יחידות יש לפנינו שלוש קבוצות. בשתיים מהן יש בכל אחת שלש יחידות, ובשלישית יש יחידה אחת, שאם היא מצטרפת לאחת הקבוצות היא מכריעה את כף המאזנים לטובתה, כי 1+3=4 ו 4 גדול מ-3.

אותו מבנה חוזר על עצמו ב-12 שמורכב מארבע קבוצות שבכל אחת מהן יש שלש יחידות, וכל שתים מהן מנוגדות זו לזו, וכולן כפופות לאחד שאינו נספר: "שלשה - אחד אחד לבדו עומד. שבעה - חלוקים: שלש מול שלש, ואחד מכריע ביניהם. י"ב - עומדים במלחמה: שלשה אוהבים שלשה שונאים, שלשה מחיים, שלשה ממתים, ואל מלך נאמן מושל בכולן ממעון קדשו" (פרק ו משנה ו). 

השלם וחלקיו במבט חדש

האלסטיות של המספרים באה לידי ביטוי, בין היתר, בכך שהם נראים אחרת כשמתבוננים עליהם מכיוונים מנוגדים. אולי בגלל תופעת השברים אנחנו רגילים להתייחס אל האחד כאל שלם ואל שאר המספרים כאל חלקיו, אבל  אם מסתכלים על האחד כנקודה, על השנים כעל קו, על השלוש כעל שטח (משולש) ועל הארבע כעל נפח (פירמידה משולשת, שבה שלושת קדקודי הבסיס תלויים על האחד שבראשה), נראה כאילו השלם הוא הארבע וקודמיו הם חלקיו (פאותיו, צלעותיו,קדקודיו). הפירוש הגיאומטרי הזה של הטטרקטיס הפיתגוראי מופיע בספר נגד הלוגיקנים מאת הפילוסוף היווני סקסטוס אמפיריקוס, שחי בערך בשנים - 210- 160 לספירה, אלא שהוא הסתכל על התנועה מהכיוון הרגיל שלפיו הנקודה נמתחת ויוצרת קו, והקו מתרחב לשטח, והשטח מתעבה לנפח.  

משחק השחמט והפיתגוראים

אריסטו ב"מטפיסיקה" 986 א מביא רשימה של עשרה צמדי עקרונות של פיתגוראים:

1. המוגבל ושאינו מוגבל
2. זוגי ואי-זוגי
3. אחדות וריבוי
4. ימין ושמאל
5. זכר ונקבה
6. מנוחה ותנועה
7. ישר ועקום
8. אור וחושך
9. טוב ורע
10. ריבוע ומלבן
    בהסברים לעקרונות אלה טענו הפיתגוראים:
    שהמוגבל הוא הזכר והאי זוגי, ושאינו מוגבל הנקבה והזוגי, שהרי שאינו זוגי אינו ניתן לחלוקה לשני מספרים שלמים, ואילו הזוגי נחלק שוב ושוב.
    שהמוגבל אחד ושאינו מוגבל - ריבוי.
    שהמוגבל ימין ושאינו מוגבל - שמאל.
    שהמוגבל נח ושאינו מוגבל - נע.
    שהמוגבל ישר ושאינו מוגבל - עקום.
    שהמוגבל טוב ושאינו מוגבל - רע.
    שהמוגבל ריבוע ושאינו מוגבל - מלבן.
    
    נדמה שעקרונות אלה, לפחות בחלקם, היו משותפים לתרבויות עתיקות נוספות, אלא שבכל אחת מהן באו לידי ביטוי באופן כל כך טבעי שקשה, ואולי מיותר, להחליט מי העתיק ממי. וכך מופיע לו העיקרון הראשון, המוגבל ושאינו מוגבל, גם בתחילת ספר יצירה, בביטוי  "בשלשה ספרים: בסֵפר סְפר וספור", כאשר סְפר היא מילה נרדפת לגבול. ונדמה לי שעקרון זה מופיע גם במשחק השחמט, כי המלך יכול לצעוד צעד אחד בכל כיוון בכל מהלך, בעוד המלכה יכולה לרוץ עד סוף הלוח לכל כיוון. כשהייתי נער הרביתי לשחק שחמט. לא הבנתי מדוע יש למלך, לכאורה, פחות כוח ואפשרויות מאשר למלכה. אבל אם הם ממחישים רעיון פילוסופי נדמה שקל יותר לענות על שאלה זו. 
    המלך מייצג, כמובן, את האי זוגי והמלכה את הזוגי.
    בנוסף יש במשחק השחמט גרסה מעניינת של סדרות הגלגולים: חייל שמגיע לשורה האחרונה יכול להפוך למלכה, או לכל כלי אחר, כמו שהאחד בהגיעו לסוף היחידות הופך לעשר, השנים לאחת עשרה, וכן הלאה, כאשר סכום הספרות של עשר הוא אחד ושל אחת עשרה שנים, וכן הלאה.  

אחדות הניגודים

ביחידות אחד ראשון תשע אחרון, אחד קטן תשע גדול. ראשון ואחרון הם ניגודים. קטן וגדול הם ניגודים. אחדות הניגודים היא כאשר האחד והתשע מתחברים בעשר.

החל מהשלוש כל מספר הוא אחדות הניגודים של חציו הקטן עם חציו הגדול:

1+2=3

1+3=4

1+4=5

1+5=6

1+6=7

1+7=8

1+8=9

1+9=10

וכן הלאה
=

בין האחדים שבשניים יש ניגודיות חזקה: אחד בימין אחד בשמאל, אחד בצד אחד, ואחד בצד האחר (סיטרא אחרא). אחד מסמל אחדות, אחד מסמל ריבוי, אחד מסמל זכר, אחד מסמל נקבה; והשלישי, שבאמצעם, מפרידם, מרחיקם זה מזה, מפשר ומגשר ביניהם.

אורבורוס

התבוננות בתרגילי החשבון הפשוטים ביותר (אחד ועוד אחד שווה איקס; ארבע לחלק לשניים שווה איקס) מביאה אותנו במגע עם הלא ידוע שמסומן על ידי המתמטיקאים באות X.

כשלמדתי את תורת המספרים אצל יוסף ספרא הוא הבחין בין הלא-ידוע-הניתן-לידיעה לבין הלא-ידוע-שאינו-ניתן-לידיעה. כשבן סירא מציע לך: "במופלא ממך אל תדרוש ובמכוסה ממך אל תחקור. במה שהורשית התבונן, אין לך עסק בנסתרות" (בבלי, חגיגה, יג, א) -הכוונה היא ככל הנראה ללא-ידוע-שאינו-ניתן-לידיעה.
כשמחפשים את המספר האחרון או את המספר הגדול ביותר נדמה שמדובר על  הלא-ידוע-שאינו-ניתן-לידיעה, כי לכל תוצאה שלא תביא ניתן להוסיף אחד שיהיה אחרון (שם זמני) או הגדול ביותר (שם זמני). אבל אם סופרים לאחור, מן המספר הגדול ביותר לכיוון המספר הקטן ביותר - המספר האחרון יהיה אחד. ואם נתבונן בשברים המספר הגדול ביותר, האחרון המוחלט... יהיה אחד. 

על עיגול, כמו על כל קו,  יש אינסוף נקודות, כי, כידוע, בין כל שתי נקודות ניתן למצוא עוד נקודה אחת. אם נוציא נקודה אחת מן העיגול, נוכל לקרוא למקום הריק שבו היא הייתה בשם אפס. מימינו יש 1, משמאלו- 1 וביניהן אינסוף נקודות. ולא משנה אם נתבונן בהן עם כיוון השעון, או אם נתבונן בהן נגד כיוון השעון - סופן 1. האחד שהוצאנו מהעיגול ברא את השניים שלצדו בגלל שהוציא את עצמו מהספירה. לפני שזה קרה כל אחד משני האחדים שמרכיבים את השניים יכול היה להיות כל מספר. 

הפועל לברוא שורשו ב.ר.א. לברא משמעותו במקרא לפנות שטח מן הצמחייה שעליו, להפוך אותו לאפס, על מנת שניתן יהיה להתחיל משהו מחדש, כגון: לבנות על השטח בית. כך גם מאפסים את שעון המטבח כדי שניתן יהיה למדוד את זמן הבישול של המנה הבאה. מנקודת מבט זו הפסוק הראשון בתנ"ך מדבר על איפוס השמים והארץ, כדי שניתן יהיה ליצור את העולם. 

על עיגול כל נקודה יכולה להיות אחרונה, הסוף של האינסוף. אם נוציא את הנקודות שמרכיבות את הטבעת, אחת אחרי השנייה, הטבעת תלך ותיעלם כמו אורבורוס.  

העיגול הוא קו שסופו נעוץ בתחילתו, כמו שזנבו של האורבורוס נעוץ בפיו. אבל תופעה זו אינה מיוחדת לו - היא מאפיינת גם את כל המצולעים. 

***
הצילום צולם בבית הקברות פייר לשז בפריז בידי 
(cc) 
Leo Reynolds
http://www.flickr.com/photos/lwr/3065398817/

ניצחון המופשט על המוחשי

חיתוך עץ מתוך האנציקלופדיה מרגריטה פילוסופיקה מאת גרגור רייך שיצאה לאור בשנת 1503 מציג את אלת האריתמטיקה כמעין מאזניים שמוכרעות לכיוון שבו יושב מי שנחשב לממציא הספרות, בואתיוס (בן המאה השישית לספירה, יליד רומא), שעוסק במספרים המופשטים ומחייך, בעוד פיתגורס, העצוב והמובס, מחשב באופן מוחשי באמצעות אבנים כמה זה 1241 ועוד 82

מקור:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gregor_Reisch,_Margarita_Philosophica,_1508_(1230x1615).png

באנגלית המילה שמציינת חישוב, Calculate, מקורה במילה הלטינית שמציינת חלוק אבן קטן, או חצץ, וזאת מכיוון שבמאות הראשונות לפני הספירה היה נהוג לחשב באמצעות הזזת אבנים על גבי לוחות ספירה מכוסים באבק, שקדמו לחשבוניות, שנקראות עד היום בלועזית בשם abacus , שמקורו במילה העברית אבק. בנוסף, ידוע שהפיתגוראים נהגו להתבונן במספרים כשהם מיוצגים באמצעות אבנים שהונחו על גבי האדמה.

עוד זכר לחישוב באמצעות אבנים ניתן למצוא בברית החדשה בפסוק: 
"ויבוא ישוע אל מקדש האלהים ויגרש משם את כל המוכרים והקונים במקדש ויהפוך את שולחנות השולחנים ואת מושבות מוכרי היונים" (מתי כא: יב). בדרך כלל מתרגמים את המילה שולחנים שבפסוק זה בביטוי חלפני כספים, אבל התרגום הזה מחמיץ לדעתי את המנהג שנהג באותה תקופה לפיו חישבו מספרים על גבי שולחן מיוחד, שהיו עליו עמודות, שעליהן הניעו אבנים קטנות שייצגו מספרים. השולחן הזה נקרא באנגלית counter כלומר: שולחן לחישוב חשבונות, לספירה.

מרבים לצטט מתוך ספר יצירה, הטקסט הקבלי הקדום ביותר אחרי חזון המרכבה של הנביא יחזקאל, את הקטע שעוסק במספרי עצרת: "שתי אבנים בונות שני בתים"... והמפרשים מסבירים שאבנים הן אותיות, אבל מדוע דווקא אבנים הם לא מסבירים. לדעתי מדובר באבנים שייצגו מספרים, ולכל אחת מן האותיות העבריות יש כידוע גם ערך מספרי. 

עשר היחידות מאפס עד תשע על בול אנגלי לזכר 

צ'ארלס בבג'

 1791-1871 

ממציא מכונות החישוב 

שבישרו את המחשבים

עיצב את הבול: פטר טיל

המחשה לאינסופיות של המספר שניים אצל הפיתגוראים

מערכת המספרים בנויה על ניגודים: אחדות וריבוי, חיובי ושלילי, שלם ושבר (חלק), קרוב ורחוק (מהאפס), אמת (של האחד) ואשליה (של היתר), גדול וקטן, חיבור וחיסור, זוגי ואי זוגי , מקור והעתק , חדש וישן , הכרח או מקרה , יש ואין, וכן הלאה. צמד ניגודים נוסף ויסודי אצל הפיתגוראים הוא המוגבל והאינסופי.

האחד מוגבל ולעומתו השניים אינסופי. להלן המחשה לרעיון הזה: אם מחלקים אחד לשני חצאים ואת אחד החצאים מחלקים שוב ושוב עד אינסוף (חצי, שליש רבע וכן הלאה)... האחד נעשה קטן עד אינסוף, אבל במקביל מספר החלקים גדל לאינסוף.

מקור: Pythagoras and the Pythagoreans: A Brief History  By Charles H. Kahn p.60
***

שנים הוא המספר של הניגודים, והניגודים מאפיינים את המספר שניים:

בלוח השנה הלועזי חודש ינואר הוא החודש היחיד שיכול "להביט" אל השנה שעברה ואל השנה שתבוא, ולא פלא ששמו בא לו מיאנוס, האל הרומי בעל שני הפנים. 2 הוא כמו דלת, או שער, שדרכו ניתן גם להיכנס וגם לצאת.

ביהדות ראש השנה הוא זמן ל"חשבון" נפש, לדיווח על ההוצאות (עבירות) וההכנסות (מצוות) של השנה שחלפה כהכנה לשנה החדשה.

בתנ"ך המספר 2 בא לידי ביטוי בולט בתאומים- קין והבל, יעקב ועשו, פרץ וזרח (על פי המדרש רחל ולאה היו תאומות), אבל גם באחים כמו: אברהם ולוט, משה ואהרן. 

ספירה לעומת מדידה

מומחים לתורת המספרים אומרים לנו שכל העניין עם המספרים התחיל, ככל הנראה, מספירה באמצעות אצבעות. הרועה היה נותן לכבשה להיכנס לדיר ומכופף אצבע, ואחר כך היה נותן לעוד כבשה להיכנס ומכופף עוד אצבע. הכבשה הייתה ממשית והאצבע הייתה ממשית. זה היה בתקופה שלפני ההפשטה, שלפני היות המספר, והשיטה הזאת הייתה מצוינת לעדרים של עד עשרה כבשים. לעדרים גדולים יותר ניתן היה להשתמש בחלוקי נחל.

אבל באותה מידה תורת המספרים הייתה יכולה להתחיל לא מספירה אלא ממדידה. האדם הקדמון יכול היה למדוד מרחק באמצעות צעדים. אפילו בימינו מודדים אורכים באופן גס באמצעות "שיבר", שהוא המרחק המרבי בין קצה האצבע הקטנה לבין הבוהן כשהאצבעות פרושות, וגודלו כגודל מרצפת ("בלטה"), כעשרים ס"מ.

מילה נרדפת לרגל או לצעד היא המילה פעם, ואנחנו משתמשים בה בצורה מופשטת כאשר אנחנו מנסים לענות על השאלה כמה פעמים חוזרת יחידת המידה שבחרנו. כאשר אנחנו מודדים קיר אנחנו סופרים כמה בלטות יש לאורכו. ההפשטה היא פעולה שהמחשבה מסוגלת לעשות באמצעות חיסור ממדים: היא יכולה לקלף מן הקיר את החומר, או את הנפח, או את השטח, ולהתייחס רק אל הקו שבין הקיר לתקרה, או רק אל הנקודה שבה נפגשים הקווים של שני קירות סמוכים.

גם מספרים הם מושג מופשט כל עוד לא עושים מהם פסל. כאשר כותבים מספר על דף יש לו ייצוג חומרי, אבל כאשר עושים פעולת כפל במחשבה אין למספרים צבע, או אורך או רוחב או גובה.

אם אורך הקיר הוא בדיוק 15 בלטות (שלושה מטר) המדידה היא באמצעות מספר שלם. אם אורך הקיר הוא לא בדיוק 15 בלטות אנחנו נאלצים להכניס לפעולה את השברים.
מילה נרדפת למילה מדידה היא הנדסה, מילה שמקורה כנראה פרסי, והיא מופיעה לראשונה בתלמוד (מסכת בבא בתרא, דף פט, עמוד ב). התרגום המקובל למילה גאומטריה הוא הנדסה. 

על ההבדל בין מורים לחשבון לבין מורים למחשבה

כשמספר מתחלק בעצמו הוא נותן תמיד אחד בגלל שעצמו מורכב מאחדים. שמו של המספר מעיד על כמות האחדים שמהווים את עצמו. לדוגמה, 15 מורכב מ 15 אחדים ואם מחלקים אותו ל-15:

15:15=1

כל מספר מתחלק בעצמו ומתחלק באחד. כשהוא מתחלק בעצמו הוא נותן אחד, וכשהוא מתחלק באחד הוא נותן את עצמו. מבחינה זו אלה שתי פעולות מנוגדות. אלא ש'מתחלק באחד' הוא צירוף מילים מכשיל. אי אפשר לחלק משהו לפחות משני חלקים. זה מזכיר שבר מדומה. בכל אופן, המורים לחשבון מלמדים את תלמידיהם על הפעולה הזאת של חלוקת עצמו באחד בלי לתהות עליה, וזה ההבדל בין מורים לחשבון לבין מורים למחשבה. 
***

בשיעורי חשבון מלמדים אותנו שמספר אי זוגי איננו מתחלק למספרים שלמים מלבד כשהוא מתחלק באחד או כשהוא מתחלק בעצמו, אבל חמש מתחלק  יפה מאד לשניים ולשלוש או לארבע ולאחד. זה מדגים יפה את ההבדל בין תורת המספרים של יוסף ספרא לבין אותה חשיבה מורגלת ומתורגלת שעליה מדבר הנביא ישעיהו: וַתְּהִי יִרְאָתָם אֹתִי מִצְוַת אֲנָשִׁים מְלֻמָּדָה (ישעיהו כט יג). שיעורי החשבון בבית הספר נועדו לתכלית מעשית, לאפשר ללומד לבדוק אם בפלט המחשב של חשבון הבנק שלו יש מספרים שליליים וכיוצא באלה, ואילו תורת המספרים נועדה לאפשר למוחו של הלומד להתעמל.  

התחלה אמצע וסוף

תשע הוא האחרון ביחידות,

תשעים ותשע האחרון בעשרות,

תשע מאות תשעים ותשע האחרון במאות

וכן הלאה.

אחד הוא הראשון ביחידות,

אחד עשרה הראשון בעשרות,

מאה ואחד הראשון במאות וכן הלאה.

חמש הוא האמצע. יש ארבע יחידות לצדו האחד וארבע לצדו השני. הוא גם האמצע שבין ארבע לשש (שחיבורן נותן עשר), שבין שלש לשבע (שחיבורן נותן עשר), שבין שתים לשמונה (שחיבורן נותן עשר),  שבין אחד לתשע (שחיבורן נותן עשר).

החמש אמצעי בין האחת לתשע, בין הספרה הראשונה לאחרונה, הוא התולדה של החיבור שבין ההתחלה לבין הסוף, היורש של  מחצית הגנים של ההתחלה ושל מחצית הגנים של הסוף, ולפיכך הוא סוף ההתחלה והוא התחלת הסוף.  

היחידות, שכל שאר המספרים נשענים עליהן, מחולקות בעצם לשלש שלשות:

123

456

789

שבכל אחת מהן יש ראשון, יש אמצעי ויש אחרון.

הארבע פותח את השלשה השנייה, כמו שהאחד פותח את השלשה הראשונה, והשבע פותח את השלשה השלישית כמותם.

השנים אמצעי בשלשה הראשונה כמו שהחמש אמצעי בשלשה השנייה, כמו שהשמונה אמצעי בשלשה השלישית.

השלוש סוגר את השלשה הראשונה כמו שהתשע סוגר את היחידות, וכמו שהשש סוגר את השלשה השנייה.

כשקוראים את השלשות במאונך מקבלים את הזרמים:

1   2   3

4   5   6

7   8   9

שממשיכים כלפי מטה ככל שנרצה:

10 11 12

13 14 15

16 17 18

סכום הספרות של השלשה הרביעית מחזיר אותנו אל השלשה הראשונה:

10=1

11=2

12=3

סכום הספרות של השלשה החמישית מחזיר אותנו אל השלשה השנייה:

13=4

14=5

15=6

וכן הלאה
**

האחד והשלוש מנוגדים: זה מתחיל וזה גומר, זה פותח וזה סוגר. גם האחד והשניים מנוגדים: זה שלם ומאחד וזה בנוי מחלקים ומפלג.

כל אחת משלש השלשות שבעשר מסתיימת בסוג של שלש

(369), שמשמש כמעין חרוז בשיר, שמעניק לשלשה מראית של סדר, דיוק, ולמי שיצר אותה איזה נופך של וירטואוזיות.

האמת על הזוגיים

מפליא אותי שמערבבים מספרים עם גאומטריה, כמו שעשו חסידי פיתגורס, או עם דת כמו שעשו המקובלים, או עם פסיכולוגיה כמו שעושים בנומרולוגיה, אבל מדוע נלין עליהם אם הערבוב עם מיניות בנוי בתוך תורת המספרים עצמה באבחנה בין זוגיים לאי זוגיים?

בדרך כלל אנחנו רגילים לייחס למילה זוג שבביטוי "טור המספרים הזוגיים" משמעות של זכר ונקבה, אבל האמת היא שמקורו בחיבור כל מספר שעל טור המספרים הטבעיים עם עצמו

וכך:

1+1=2

2+2=4

3+3=6

4+4=8

5+5=10

6+6=12

7+7=14

8+8=16

9+9=18

וכן הלאה עד שמתעייפים.

כלומר, "טור המספרים הזוגיים" נברא לסירוגין מזוגות חד מיניים, זכרים בלבד, או נשים בלבד, ולעולם לא מזכר ונקבה ביחד.

לעומת זאת בסיפור המקראי על יצירת האדם מומחש רעיון בריאת האחד מאפס (במקביל לבריאת העולם) בשיטת יש מאין: חווה נבראה מצלעו של הריבוע שנוצר באמצעות הכפלת אדם הראשון את עצמו בעצמו. וכל בני האדם נולדו מזוג הטרוסקסואלי ראשון זה כמו שכל המספרים נולדים מן האחד. 

אפלטון בדיאלוג "המשתה" מספר שאדם הראשון היה אנדרוגינוס בעל ארבעה זוגות גפיים וזאוס הפריד אותם לשנים,ומאז הזכר והנקבה מחפשים את השלמתם זה בזה. גרסה דומה לזו מופיעה במקורותינו: "בשעה שברא הקב"ה את אדם הראשון - אנדרוגינוס בראו ... אמר ר' שמואל בר נחמן: בשעה שברא הקב"ה את אדם הראשון דיו פרצופים בראו, ונסרו ועשאו גבים - גב לכאן וגב לכאן".(בראשית רבה פרשה ח , סימן א).

ההבחנה המטפורית בין זוגיים לאי זוגיים מקורה ככל הנראה אצל חסידי פיתגורס, שייחסו יכולת הולדה למספרים שנים (הנקבי הראשון) ושלוש (האי זוגי, או הזכרי הראשון). המספר שש נולד מהכפלה (עיבור) של שנים בשלוש, ולכן השש קיבל משמעות של סמל לנישואין, כמו גם המספר חמש שהוא חיבור של שנים ושלוש.

עניין זה מתואר בהרחבה אצל פילון האלכסנדרוני, בספר בריאת העולם, סעיף 99 בתרגום יצחק מן, ירושלים, תרצ"א:

"הנה כל-כך גדולה היא הקדושה הטבועה במספר שבע, שיש לו עמדה מיוחדת ביחס לכל המספרים שבעשר. משום שביניהם יש שמולידים ואינם נולדים ויש שנולדים ואינם מולידים, ויש ששתי התכונות להם: גם מולידים וגם נולדים. ברם המספר שבע לבדו איננו נראה בשום קבוצה משלוש אלה. ואת המשפט הזה עלי לחזק בהוכחה: היחידה, אמנם מולידה כל המספרים בזה אחר זה, ואינה נולדת מן שום מספר כל-עיקר. ברם המספר שמונה נולד מארבע פעם שתים ואינו מוליד שום מספר מאלה שבתוך העשר. אולם המספר ארבע שוב שייך לשורה של שניהם: גם של האבות וגם של התולדות. כי הוא מוליד אמנם את המספר שמנה בהתהוותו פעמים אבל נולד משתים פעם שתים. ויחיד הוא המספר שבע כפי שאמרתי שבטבעו לא להוליד ולא להולד". 

ראו:

זכר ונקבה

מנחם נאדל

Beit Mikra: Journal for the Study of the Bible and Its World /

  בית מקרא: כתב-עת לחקר

המקרא ועולמו 

כרך כג‎, חוברת א (עב‎) (תשרי-כסלו תשל"ח), 

pp. 80-85

Published by: Bialik Institute, Jerusalem /מוסד ביאליק, ירושלים 

התבוננות בעשר

עשר מורכב מעשר יחידות.

ניתן להמחיש אותן כקווים:

I I I I I I I I I I

כאחדים:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

כנקודות:

. . . . . . . . . .

כשמחברים בין היחידה הקרובה ביותר לאפס לבין היחידה הרחוקה ממנו ביותר מקבלים עשר, והחיבור הזה מתרחש עשר פעמים:

1. הראשונה עם התשיעית
2. התשיעית עם הראשונה
3. הראשונה עם השמינית
4. השמינית עם הראשונה
5. הראשונה עם השביעית
6. השביעית עם הראשונה
7. הראשונה עם השישית
8. השישית עם הראשונה
9. החמישית הימנית עם החמישית השמאלית
10. החמישית השמאלית עם החמישית הימנית

1+9=10

2+8=10

3+7=10

4+6=10

5+5=10

5+5=10

6+4=10

7+3=10

8+2=10

9+1=10

כשמחברים את עשרת החיבורים האלה מקבלים מאה, כלומר: המאה כלול בעשר.

אם נתעלם מסימן הפלוס שבין הזוגות נקבל את הגלגול של האחד:

1, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 100...

מבין הזוגות לעיל הזוג היחיד שהוא זוג סימטרי הוא ה-55. למספר זה יש חשיבות מיוחדת מכיוון שהוא  סכום הספרות מאחד עד עשר.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

באיור רואים בצורת מעגלים את החיבורים שבין המספרים שמרכיבים את העשר, בתוספת של עיגול שמחבר בין העשר לאפס. יתר העיגולים כלולים בתוכו.

באיור רואים גם שהחמש הוא בעצם המרכז שממנו צוירו במחוגה כל העיגולים.
*

העשר נמצא בין תשע היחידות שלפניו לבין תשע היחידות שאחריו (13, 12, 11 וכן הלאה).

ביחד הם 19.

ושוב:

1+19=20

2+18=20

3+17=20

וכן הלאה
*

בגימטריה עשר הוא הכל

ה"א= 5

כ"ף= 2

למ"ד= 3

או בספירה המלאה 55

ה"א= 5

כ"ף= 20

למ"ד= 30

ו 55- הוא התוכן של עשר

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10