שברים הם העיקרון של הסדרות ההנדסיות

1/2

1 הוא החצי של 2

2 הוא החצי של 4

4 הוא החצי של 8

וכן הלאה

1/3

1 הוא השליש של 3

3 הוא השליש של 9

9 הוא השליש של 27

וכן הלאה

1/4

1 הוא הרבע של 4

2 הוא הרבע של 8

8 הוא הרבע של 32

וכן הלאה

המחשת השברים

יין יאנג עשוי מארבעה רבעים

עיגול הוא שטח שמוקף בקו אחד, בהבדל ממשולש שהוא שטח שמוקף בשלשה קווים, וממרובע שהוא שטח שמוקף בארבעה קווים. הפיתגוראים קראו לעיגול מונאדה, והוא ייצג אצלם את המספר אחד.

כאשר אנחנו מחלקים את העיגול לשניים אנחנו מקבלים שני חצאים שהם

1/2+1/2=2/2=1

כאשר אנחנו מחלקים את העיגול לשלושה חלקים אנחנו מקבלים שלושה שלישים שהם

1/3+1/3+1/3=3/3=1

כאשר אנחנו מחלקים את העיגול לארבעה חלקים אנחנו מקבלים ארבעה רבעים שהם

1/4+1/4+1/4+1/4+=4/4=1

וכן הלאה...

שברים עשרוניים

בשברים רגילים כמו: 1/2 ו 3/4 אפס לא יופיע, לא כמכנה ולא כמונה, אבל בשברים עשרוניים יש לו מקום של כבוד כ-0.1, 0.2, 0.3 ... או כ- 1.00, 2.05, 3.70 ...
די מדהים לחשוב ששברים מוזכרים בתנ"ך פעמים רבות, אך שברים עשרוניים אינם מוזכרים אף פעם:

מלכים א, ז, לה           
וּבְרֹאשׁ הַמְּכוֹנָה חֲצִי הָאַמָּה קוֹמָה עָגֹל סָבִיב

יחזקאל, ח, יב           
שְׁלִשִׁתֵיךְ בַּדֶּבֶר יָמוּתוּ וּבָרָעָב יִכְלוּ בְתוֹכֵךְ , וְהַשְּׁלִשִׁית בַּחֶרֶב יִפְּלוּ סְבִיבוֹתָיִךְ , וְהַשְּׁלִישִׁית לְכָל רוּחַ אֱזָרֶה, וְחֶרֶב אָרִיק אַחֲרֵיהֶם

במדבר טו, ה           
וְיַיִן לַנֶּסֶךְ רְבִיעִית הַהִין...

בראשית מז, כד           
וְהָיָה בַּתְּבוּאֹת וּנְתַתֶּם חֲמִישִׁית לְפַרְעֹה וְאַרְבַּע הַיָּדֹת יִהְיֶה לָכֶם...

יחזקאל ד, יא           
וּמַיִם בִּמְשׂוּרָה תִשְׁתֶּה שִׁשִּׁית הַהִין

בראשית יד, כ           
וּבָרוּךְ אֵל עֶלְיוֹן אֲשֶׁר-מִגֵּן צָרֶיךָ בְּיָדֶךָ וַיִּתֶּן לוֹ מַעֲשֵׂר מִכֹּל

שמות כט מ       
וְעִשָּׂרֹן סֹלֶת בָּלוּל בְּשֶׁמֶן כָּתִית

ויקרא כג, יג           
וּמִנְחָתוֹ שְׁנֵי עֶשְׂרֹנִים סֹלֶת בְּלוּלָה בַשֶּׁמֶן

במדבר יח, כו           
... וַהֲרֵמֹתֶם מִמֶּנּוּ תְּרוּמַת ה' מַעֲשֵׂר מִן-הַמַּעֲשֵׂר

קהלת ז, כח             
אָדָם אֶחָד מֵאֶלֶף מָצָאתִי וְאִשָּׁה בְכָל אֵלֶּה לֹא מָצָאתִי

שופטים ו טו           
... הִנֵּה אַלְפִּי הַדַּל בִּמְנַשֶּׁה...

שייכות

כמו הראשון בשבוע שהוא אחד משבע, כמו השעה בשעון שהיא אחת משתים עשרה, כמו כל יחידה מעשרת המספרים הראשונים שהיא אחת מעשר, כמו כל אחוז שהוא אחד ממאה - כל שבר של אחד הוא אחד מאחד. לדוגמה, כאשר מחלקים את האחד למאה מקבלים מאה חלקים, שכל אחד מהם הוא אמנם אחד ממאה, אבל בגלל שכל המאה הם חלקים של האחד יוצא שכל מאית שכזאת היא חלק אחד מתוך האחד.

כולנו מכירים את הביטוי המקראי אֶחָד מִנִּי רַבִּים [שמקורו בפסוק: אִם יֵשׁ עָלָיו מַלְאָךְ מֵלִיץ, אֶחָד מִנִּי אָלֶף, לְהַגִּיד לְאָדָם יָשְׁרוֹ (איוב לג, כג), אבל במקרה של השברים-של-האחד ניתן להפוך את צרוף המלים ולומר שמדובר ביחס של רַבִּים מִנִּי אֶחָד. 

בריאת מספר מהמספר שלפניו

מקור התמונה בויקיפדיה ערך סקסטוס אמפיריקוס

בדרך כלל מדמים את בריאת מספר מהמספר שלפניו כתוספת של אחד, מה שמסביר את העובדה שככל שמספר גדול יותר הוא מכיל יותר אחדים, אבל אצל הפילוסוף היווני סקסטוס אמפיריקוס, בן המאה השנייה לספירה (בפסקאות 92 עד 109 בספרו נגד הלוגיקנים) מופיע אותו רעיון בניסוח שונה במקצת, שמבוסס על השברים:

2 בנוי מאחד ועוד אחד חלקי 1

3 בנוי מאחד ועוד חצי מ 2

4 בנוי מאחד ועוד שליש מ 3

5 בנוי מאחד ועוד רבע מ 4

6 בנוי מאחד ועוד חמישית מ 5

וכן הלאה

כלומר לא האחד הראשון מוסיף עצמו מחדש לכל מספר חדש אלא מספר כלשהו מחלק עצמו בעצמו, ותורם לזה שאחריו את אחד מחלקיו/אחדיו. ניסוח מיתולוגי לגרסה של סקסטוס אמפיריקוס: לא אדם הראשון מוליד כל אחד מאתנו אלא כל דור נולד מהדור שלפניו. 

פעולות החשבון כבסיס לסווג המספרים

פעולת החילוק משמשת כבסיס לחלוקת המספרים לזוגיים (מתחלקים למספרים שלמים) ולאי זוגיים (שאינם מתחלקים למספרים שלמים), לראשוניים (שמתחלקים באחד ובעצמם) ולמורכבים (שמתחלקים גם במספרים אחרים). המילה מורכבים  היא מילה נרדפת למילה מחוברים, שכרוכה בפעולת חיבור. היא פחות מוצלחת ממנה מפני שהיא מסתירה את הקשר שבין הסיבה לבין התוצאה. פעולת החילוק היא גם הסיבה לקיומם של השורשים והשברים.

בזכות פעולת החיבור יש לנו מספרים משולשים, שהם סכומי המספרים מאחד ועד אליהם.

בזכות פעולת החיבור של תשע לכל אחת מהיחידות יש לנו גלגולים, בזכות פעולת החיבור של שלש לכל אחד משלשת המספרים הראשונים יש לנו זרמים (147, 258, 369). 

בזכות פעולת החיבור יש לנו את סכומי הספרות של מספר, שבזכותם אנו נזכרים בכל פעם מחדש שלא חשוב מה גודלו של מספר הוא תמיד יהיה העתק חיוור של אחת מעשר היחידות הראשונות.   

סדרה חשבונית בנויה על חיבור וסדרה הנדסית בנויה על כפל. 

בזכות פעולת החיסור יש לנו מספרים שליליים.

פעולת הכפל משמשת כבסיס למספרים בריבוע, למעוקבים, לחזקות ולמספרים מלבניים (מכפלות של מספרים זוגיים).

בזכות פעולת ההשוואה יש לנו משוואות, שבהן כל נעלם הוא מעין מנעול שממתין למפתח שמתאים לו.

בזכות פעולת ההשוואה יש לנו גימטריות שבהן מספר שווה לאות ואות למספר. 

השלם וחלקיו במבט חדש

האלסטיות של המספרים באה לידי ביטוי, בין היתר, בכך שהם נראים אחרת כשמתבוננים עליהם מכיוונים מנוגדים. אולי בגלל תופעת השברים אנחנו רגילים להתייחס אל האחד כאל שלם ואל שאר המספרים כאל חלקיו, אבל  אם מסתכלים על האחד כנקודה, על השנים כעל קו, על השלוש כעל שטח (משולש) ועל הארבע כעל נפח (פירמידה משולשת, שבה שלושת קדקודי הבסיס תלויים על האחד שבראשה), נראה כאילו השלם הוא הארבע וקודמיו הם חלקיו (פאותיו, צלעותיו,קדקודיו). הפירוש הגיאומטרי הזה של הטטרקטיס הפיתגוראי מופיע בספר נגד הלוגיקנים מאת הפילוסוף היווני סקסטוס אמפיריקוס, שחי בערך בשנים - 210- 160 לספירה, אלא שהוא הסתכל על התנועה מהכיוון הרגיל שלפיו הנקודה נמתחת ויוצרת קו, והקו מתרחב לשטח, והשטח מתעבה לנפח.  

מבט חדש על השברים

בדרך כלל אנחנו מבינים שברים כחלקים של שלם, אבל אנחנו יכולים גם להתייחס אליהם כמציינים את העובדה שכל מספר עטוף במספר שמעליו כמו גלד בבצל, שכן 1/2 מציג את 1 ככלול ב-2 כחציו, ו -2/3 מראה כיצד 2 תופס 2 מקומות ב-3, ו3/4 הוא למעשה 3 מתוך 4, ו-4/5 מייצגים את 4 היחידות שעליהם בנוי ה-5 וכן הלאה. מעניין לציין שמנקודת מבט זו האפס אינו נמצא באחד אף פעם. 

מספר-חלקי-עצמו מנקודת מבט גאומטרית

כידוע כל מספר חלקי עצמו שווה אחד. לדוגמה

5/5=1

ניתן לדמות זאת לשורה של חמש נקודות שכל אחת מהן היא חמישית מהשורה

*  *  *  *  *

או לריבוע שאורכו 5 ורוחבו 5:

*  *  *  *  *

*  *  *  *  *

*  *  *  *  *

*  *  *  *  *

 *  *  *  *  * 

ובו כל שורה או עמודה היא חמישית ממנו. שתי חמישיות הן שתי שורות או שתי עמודות בריבוע הזה, וכן הלאה.

בשביל לחבר שליש ועוד חמישית צריך למצוא להם מכנה משותף, שהוא הריבוע של 15, שאורכו 15 ורוחבו 15, ומתוכו שליש הן 5 שורות, וחמישית הן 3 שורות, וביחד מקבלים 8 שורות. 

1/3+1/5=5/15+3/15=8/15

בדרך כלל כאשר אנחנו מחלקים אחד לשלושה חלקים אנחנו כותבים 1/3 בלי לראות באופן מוחשי איך האחד מתחלק לשלושה חלקים. אבל אם האחד הוא 3/3, שהוא ריבוע של 3 על 3, רואים היטב ששליש הוא שורה מתוכו. 

סימני השברים בתקופת הפרעונים

Alan Gardiner מספר בעמוד 197 בספרו (משנת 1927) Egyptian Grammar  שסמלים של מידות של תבואה הולבשו על סיפור שמספרת המיתולוגיה המצרית על העין של האל רע, שהיה אל שמש, או של האל הורוס, שהיה אף הוא אל שמש, וראשו ראש של בז) כך שכל חלק של העין מסמל שבר אחר: חצי מזוהה עם הצד הימני של גלגל העין, רבע עם האישון, שמינית עם הגבה, 1/16 עם הצד השמאלי של גלגל העין, 1/32 עם הספירלה, 1/64 עם הדמעה.

מרקו רודין נשען על סיפור זה כשהוא מצמצם את הספרות של מספרי סדרת המספרים ההנדסית של השברים לספרה אחת:

1/2=2

1/4=4

1/8=8

1/16=1+6=7

1/32=3+2=5

1/64=6+4=10=1

1/128=1+2+8=11=2

1/256=2+5+6=13=4

וכן הלאה

ומשתמע מדבריו שהמצרים הכירו את המספר המחזורי 248751 שעליו (ועל העדר הזרם של 369 ממנו) הוא מבסס את משנתו.

Jim Ritter  טען במאמר משנת 2002 שאמנם סימוני השברים האלה היו בשימוש של המצרים בתקופת הפרעונים, אבל לא היה להם אז שום הקשר דתי.

חילוק כחיסור או האשליה של השבר העשרוני

שבר ניתן להציג בשני אופנים:

א. כשבר רגיל: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 וכן הלאה

ב. כשבר עשרוני: 0.5, 0.25, 0.125, וכן הלאה

כאשר אנחנו מסכמים את סכומי הספרות של הסדרה ההנדסית היורדת שמוצגת בצורת שבר עשרוני אנחנו מקבלים את סדרת המספרים הבאה:

0.5=5

0.25=7 (0+2+5=7)

0.125= 8 (0+1+2+5=8)

וכן הלאה

אבל אם מסכמים את סכומי הספרות של הסדרה ההנדסית היורדת שמוצגת בצורת שבר רגיל (חצי רבע שמינית וחבריהם) מקבלים את הסדרה ההנדסית הרגילה:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64...

או בתצוגה המצומצמת של סכומי הספרות

1, 2, 4, 8, 7, 5

וחוזר חלילה

כאשר אנחנו מחלקים מספר לשנים אנחנו מקבלים שני חלקים, אבל לצורך חישוב הסדרה ההנדסית היורדת אנחנו מחסרים חלק אחד, מתעלמים ממנו, ומחלקים רק את החלק השני. אנחנו אומרים אחד חלקי שנים שווה חצי (ולא שני חצאים) וחצי חלקי חצי הוא רבע (ולא ארבעה רבעים). לעומת זאת בסדרה ההנדסית העולה אנחנו לא מתעלמים ולא מחסרים כלום: אחד כפול שניים הם שניים, ושניים כפול שניים הם ארבע.

סכומי הספרות של הסדרה ההנדסית העולה זהים לסכומי הספרות של היורדת, כל עוד היא מוצגת בשברים רגילים, אבל כאשר היא מוצגת בצורת שבר עשרוני אנחנו מקבלים סדרה שונה, שבה סדר הספרות הפוך מזה של הסדרה ההנדסית העולה

5, 7, 8, 4, 2, 1

וחוזר חלילה

מי שמציגים את הסדרה ההנדסית העולה ביחס לסדרה-ההנדסית-היורדת-כשהיא-בתצוגה-של-השבר-העשרוני - מציגים חצי מן התמונה המלאה, ואם הם מסיקים מזה מסקנות לגבי מהותם של המספרים, ההסתברות של התוקף של כל מסקנה שכזו היא של חמישים אחוז, או של 0.5 או של  1/2 או של חצי, יש לנו מחסן שלם של מלים נרדפות שיכולות להוליך אותנו שולל.  

המחשה למספרים מחזוריים

מרקו רודין ((Marco Rodin גילה שהסדרה ההנדסית (שמורכבת מכפולות של כפולות של אחד) יוצרת תבנית מחזורית אינסופית של המספרים 124875

1=1

2=2

4=4

8=8

16= 7 (1+6=7)

32=5 (3+2=5)

64=1 (6+4=10, 1+0=1)

128=2 (1+2+8=11, 1+1=2)

256=4 (2+5+6=13, 1+3=4)

512=8 (5+1+2=8)

1024=7 (1+0+2+4=7)

2048=5 (2+0=4+8=14, 1+4=5)

גם כאשר מחלקים את אחד שוב ושוב נוצרת אותה תבנית מחזורית אלא שהתנועה היא לכיוון השני

1-5-7-8-4-2 ובחזרה ל 1

מרקו רודין המחיש את תגליתו באמצעות מעגל שעליו מסומנים תשעת המספרים הראשונים כאשר קווים מחברים בין המספרים הרלוונטיים.

עוד תגלית שלו היא שהמספרים 369 אינם מופיעים בסדרה זו.

על בסיס שתי תגליות אלה בנה מרקו רודין תורת מספרים שלמה שאותה הוא מציג ב 44 סרטוני וידאו ביוטיוב, ועל מנת שתוכלו להגיע אליהם עליכם להקליד בתיבת חיפוש של יוטיוב את המלים

Marko Rodin's vortex-based mathematics part 1 of 44

ולאחר שצפיתם בסרטון אחד תוכלו לשנות את המספר לפי הצורך.

בעקבות המחשותיו של מרקו רודין חשבתי שבעצם ניתן להמחיש כך כל מספר מחזורי, אפילו אם הוא ארוך יותר. לדוגמה המחשתי את המספר המחזורי שמתקבל מחלוקה של אחד בשבע: 142857, שמורכב, אגב, מאותן ספרות של הסדרה ההנדסית, רק בסדר אחר.

בויקיפדיה, בערך סדרה הנדסית, מצאתי המחשה אחרת לאותם מספרים:

מה ההבדל בין חיבור לבין כפל?

בדרך כלל מגדירים את הכפל כקיצור של חיבור, או כחיבור שחוזרים עליו שוב ושוב. הגדרה זו מניחה שמדובר בעצם בפעולה חשבונאית אחת שיש לה שתי גרסאות, אחת לקשי תפיסה ואחת שהיא ממש יעילה. ואמנם 8 הוא תוצאה של חיבור של ארבעה זוגות, וניתן לפרק אותו ל:

2+2+2+2

 אבל שמונה הוא גם חיבור של 3 עם 5, שאותו לא ניתן לפרק באופן דומה. כלומר לא כל חיבור הוא סוג של כפל, ולא כל כפל הוא סוג של חיבור. מדובר בשתי פעולות עצמאיות, שלעתים אחת מהן מגיעה לאותה תוצאה מהר יותר.

כפל של שני מספרים שונים ניתן תמיד להצגה בשני ממדים, כשטח, שבו אחד המספרים משמש כאורך והשני כרוחב. כפל של שלושה מספרים ניתן להציג בשלושה ממדים, כנפח, כאשר אחד המספרים משמש כאורך, השני כרוחב, והשלישי כגובה. לעומת זאת חיבור של שנים או של שלושה מספרים מתרחש בממד אחד בלבד, שהוא לינארי, כלומר, שהוא בצורת קו. חיבור של 3 עם 5 לא ניתן להציג כמלבן, אבל ניתן להציג כמלבן כפל של 2 ו4, שנותן את אותה תוצאה. 

כאשר מכפילים שברים אנחנו מכפילים את המכנים המשותפים. אבל לא כל כך ברור לי מה בדיוק אנחנו מחברים, ומדוע אנו עושים זאת. לעומת זאת קל לראות ולהבין שלוח השחמט הוא לא רק המחשה של מכפלת שמונה בשמונה אלא גם של שמינית בשמינית, ושטח כל אחד מן הריבועים שבלוח (בלי הבדל של צבע) הוא אחד חלקי 64 משטחו.  

על הצורות שקודמות למספרים

אנחנו מניחים כמובן מאליו שגיאומטריה ממחישה את המספרים ולא להפך, אבל מושגי הגיאומטריה מופשטים לא פחות ממושגי המתמטיקה, ולראייה ההגדרה השניה של אוקלידס: "קו הוא אורך שאין לו רוחב", שהרי בעולם המוחשי אין קו שאין לו רוחב.

בנוסף, אצל אוקלידס תורת המספרים מופיעה אחרי הנדסת המישור, היא מתחילה בספר השביעי של "היסודות" ומסתיימת בתשיעי, אבל אילו הייתה לה עדיפות הייתה צריכה לבוא לפניה, כי הנוהג הספרותי הוא ששמים את הדברים החשובים בהתחלה.

אוקלידס חי במאה השלישית לפני הספירה, אבל ספריו מסכמים את הידע המספרי-גיאומטרי העצום שנאסף בשלוש מאות השנים שקדמו לו, ואשר כולל את התגליות החשובות של הפיתגוראים. אלה נהגו להתבונן במספרים כשהם מסודרים בצורות גיאומטריות מאבנים קטנות, או מנקודות על דף. מנוהג זה נותר לנו, בין היתר, הביטוי "ריבוע", אבל גם ה"ליניאריות" של המספרים  מקורה במילה האנגלית לקו, שהוא צורה גיאומטרית.

אנחנו רגילים להסתכל על המספרים, או על המחשתם כנקודות, כאילו יש ביניהם רווחים, ואילו אל הקו המחולק אנחנו מתייחסים כאילו אין רווחים בין חלקיו, והם מופיעים עליו כנקודות מודגשות, או כמעין פסיקים. זה הבדל מהותי, כי במבט המספרי המספרים נראים כאיים בודדים שמנותקים זה מזה, ואילו מנקודת המבט של הגיאומטריה רואים בפועל, באופן כמו מוחשי, איך המספרים נכנסים אחד לתוך השני כגלדים בבצל: האחד כלול בשנים כחציו, ושניהם בשלוש כשני שלישים ממנו, ושלושתם בארבע כשלושה רבעים ממנו, וארבעתם בחמש כארבע חמישיות ממנו, וכן הלאה. תובנה זו יכולה לסייע לנו להכיר בקשר ההדדי שבין התופעות של העולם, שהן לכאורה נפרדות, כי פעימת הדופק מעידה על זרימת הדם, שמעידה על הנשימה, שמעידה על החמצן, שמעיד על העצים, שמעידים על המים על השמש ועל האדמה.

פאי

פאי על בול איטלקי שיצא לאור בשנה שעברה

שהוכרזה כשנת ארכימדס

פאי הוא שם של מספר שמתקבל לאחר שמחלקים את היקף המעגל בקוטרו. מדובר במספר אי רציונלי שמתחיל בספרות 3.1415926535897 , אבל לצרכים מעשיים מקובל להשתמש רק בשלשת המספרים הראשונים.

האות היוונית פאי נבחרה לשמש כסמלו של מספר זה במתמטיקה בגלל שהיא האות הראשונה במילה היוונית פריפריה שמציינת את היקף המעגל. 

רשמתי לעצמי לחקור בעתיד אם זה שיש במעגל 360 מעלות שמתחלקות למספרים שלמים בכל היחידות מלבד בשבע קשור לזה שצורת השבר הפשוטה ביותר המקרבת את פאי היא 22 חלקי 7, שהרי:

360:2=180

360:3=120

360:4=90

360:5=72

360:6=60

360:8=45

360:9=40

גם רשמתי לעצמי לחקור בעתיד אם יש קשר בין ה 22 חלקי 7 לבין העובדה שיש בעברית 22 אותיות.

יש לי איזה זיכרון עמום שיוסף ספרא דיבר על החשיבות של  22 חלקי 7 בלי קשר לפאי. זה היה קשור יותר למושג "אוקטבה" שבתורת המספרים של יוסף ספרא היא מושג נרדף למספר 22. באוקטבה, לדבריו, ניתן לראות את כל החוקים של המספרים, 

למרות שאת חכמת המספרים ניתן למצוא כבר בעשר.

לדוגמה, החוק של

 3x+1

מתגלה בעובדה שכל הזרמים מופיעים ב 22 שבע פעמים, והזרם המקורי של האפס, הזרם של ה 1-4-7 מופיע פעם נוספת, כלומר שמונה פעמים, ואוקטבה היא  שמונה בלטינית.

הנה כך:

1-4-7-10-13-16-19-22

2-5-8-11-14-17-20

3-6-9-12-15-18-21

שמות השברים

כל מספר יכול לחלק כל מספר, וכמובן מאליו: כל מספר יכול לחלק את האחד. לחלקים של האחד יש לנו שמות מיוחדים, שאין לנו לגבי חלקי המספרים האחרים, אבל השמות האלה הוענקו רק למחלקים הראשונים של האחד:

חצי

שליש

רבע 

חמישית

ששית

שביעית

שמינית

תשיעית

עשירית

אחרי עשר מתחילים שמות כמו אחד-חלקי-אחד-עשרה, אחד-חלקי-שנים-עשרה, שהם ארוכים ומגושמים יותר, כמו גם חמש-חלקי-תשעים-ואחד ודומיהם. 
=
סוד השברים
=
אנחנו רגילים להבין את השברים כפעולה של חילוק.
1/2 משמעו, בדרך כלל, אחד חלקי שניים. אבל  
השברים מלמדים אותנו על הזה בתוך זה  של המספרים: האחד (המונה) מופיע בשנים (המכנה) כחצי ממנו, יש שני אחדים במספר שניים, וכל אחד מהם הוא חצי ממנו. ה- 1/3 מספר לנו שהאחד מופיע בשלוש כשליש ממנו. ה-1/4 מספר לנו שהאחד מופיע בארבע כרבע ממנו.
האחד בעשר הוא אחד מני עשר. וכך גם העשר במאה, המאה באלף, האלף ברבבה.

הוכחה שאפס אינו מספר

הנחה א. כל מספר ניתן לחלק באמצעות מספר אחר, כולל האחד, שאמנם אינו נשבר למספרים שלמים אבל נשבר יפה מאד לשברים על ידי כל המספרים האפשריים.

הנחה ב. רק את האפס לא ניתן לחלק בשום אופן.

מסקנה: האפס אינו מספר.

מ.ש.ל. (מה שהיה להוכיח).

המחשה לאינסופיות של המספר שניים אצל הפיתגוראים

מערכת המספרים בנויה על ניגודים: אחדות וריבוי, חיובי ושלילי, שלם ושבר (חלק), קרוב ורחוק (מהאפס), אמת (של האחד) ואשליה (של היתר), גדול וקטן, חיבור וחיסור, זוגי ואי זוגי , מקור והעתק , חדש וישן , הכרח או מקרה , יש ואין, וכן הלאה. צמד ניגודים נוסף ויסודי אצל הפיתגוראים הוא המוגבל והאינסופי.

האחד מוגבל ולעומתו השניים אינסופי. להלן המחשה לרעיון הזה: אם מחלקים אחד לשני חצאים ואת אחד החצאים מחלקים שוב ושוב עד אינסוף (חצי, שליש רבע וכן הלאה)... האחד נעשה קטן עד אינסוף, אבל במקביל מספר החלקים גדל לאינסוף.

מקור: Pythagoras and the Pythagoreans: A Brief History  By Charles H. Kahn p.60
***

שנים הוא המספר של הניגודים, והניגודים מאפיינים את המספר שניים:

בלוח השנה הלועזי חודש ינואר הוא החודש היחיד שיכול "להביט" אל השנה שעברה ואל השנה שתבוא, ולא פלא ששמו בא לו מיאנוס, האל הרומי בעל שני הפנים. 2 הוא כמו דלת, או שער, שדרכו ניתן גם להיכנס וגם לצאת.

ביהדות ראש השנה הוא זמן ל"חשבון" נפש, לדיווח על ההוצאות (עבירות) וההכנסות (מצוות) של השנה שחלפה כהכנה לשנה החדשה.

בתנ"ך המספר 2 בא לידי ביטוי בולט בתאומים- קין והבל, יעקב ועשו, פרץ וזרח (על פי המדרש רחל ולאה היו תאומות), אבל גם באחים כמו: אברהם ולוט, משה ואהרן. 

ספירה לעומת מדידה

מומחים לתורת המספרים אומרים לנו שכל העניין עם המספרים התחיל, ככל הנראה, מספירה באמצעות אצבעות. הרועה היה נותן לכבשה להיכנס לדיר ומכופף אצבע, ואחר כך היה נותן לעוד כבשה להיכנס ומכופף עוד אצבע. הכבשה הייתה ממשית והאצבע הייתה ממשית. זה היה בתקופה שלפני ההפשטה, שלפני היות המספר, והשיטה הזאת הייתה מצוינת לעדרים של עד עשרה כבשים. לעדרים גדולים יותר ניתן היה להשתמש בחלוקי נחל.

אבל באותה מידה תורת המספרים הייתה יכולה להתחיל לא מספירה אלא ממדידה. האדם הקדמון יכול היה למדוד מרחק באמצעות צעדים. אפילו בימינו מודדים אורכים באופן גס באמצעות "שיבר", שהוא המרחק המרבי בין קצה האצבע הקטנה לבין הבוהן כשהאצבעות פרושות, וגודלו כגודל מרצפת ("בלטה"), כעשרים ס"מ.

מילה נרדפת לרגל או לצעד היא המילה פעם, ואנחנו משתמשים בה בצורה מופשטת כאשר אנחנו מנסים לענות על השאלה כמה פעמים חוזרת יחידת המידה שבחרנו. כאשר אנחנו מודדים קיר אנחנו סופרים כמה בלטות יש לאורכו. ההפשטה היא פעולה שהמחשבה מסוגלת לעשות באמצעות חיסור ממדים: היא יכולה לקלף מן הקיר את החומר, או את הנפח, או את השטח, ולהתייחס רק אל הקו שבין הקיר לתקרה, או רק אל הנקודה שבה נפגשים הקווים של שני קירות סמוכים.

גם מספרים הם מושג מופשט כל עוד לא עושים מהם פסל. כאשר כותבים מספר על דף יש לו ייצוג חומרי, אבל כאשר עושים פעולת כפל במחשבה אין למספרים צבע, או אורך או רוחב או גובה.

אם אורך הקיר הוא בדיוק 15 בלטות (שלושה מטר) המדידה היא באמצעות מספר שלם. אם אורך הקיר הוא לא בדיוק 15 בלטות אנחנו נאלצים להכניס לפעולה את השברים.
מילה נרדפת למילה מדידה היא הנדסה, מילה שמקורה כנראה פרסי, והיא מופיעה לראשונה בתלמוד (מסכת בבא בתרא, דף פט, עמוד ב). התרגום המקובל למילה גאומטריה הוא הנדסה. 

על ההבדל בין מורים לחשבון לבין מורים למחשבה

כשמספר מתחלק בעצמו הוא נותן תמיד אחד בגלל שעצמו מורכב מאחדים. שמו של המספר מעיד על כמות האחדים שמהווים את עצמו. לדוגמה, 15 מורכב מ 15 אחדים ואם מחלקים אותו ל-15:

15:15=1

כל מספר מתחלק בעצמו ומתחלק באחד. כשהוא מתחלק בעצמו הוא נותן אחד, וכשהוא מתחלק באחד הוא נותן את עצמו. מבחינה זו אלה שתי פעולות מנוגדות. אלא ש'מתחלק באחד' הוא צירוף מילים מכשיל. אי אפשר לחלק משהו לפחות משני חלקים. זה מזכיר שבר מדומה. בכל אופן, המורים לחשבון מלמדים את תלמידיהם על הפעולה הזאת של חלוקת עצמו באחד בלי לתהות עליה, וזה ההבדל בין מורים לחשבון לבין מורים למחשבה. 
***

בשיעורי חשבון מלמדים אותנו שמספר אי זוגי איננו מתחלק למספרים שלמים מלבד כשהוא מתחלק באחד או כשהוא מתחלק בעצמו, אבל חמש מתחלק  יפה מאד לשניים ולשלוש או לארבע ולאחד. זה מדגים יפה את ההבדל בין תורת המספרים של יוסף ספרא לבין אותה חשיבה מורגלת ומתורגלת שעליה מדבר הנביא ישעיהו: וַתְּהִי יִרְאָתָם אֹתִי מִצְוַת אֲנָשִׁים מְלֻמָּדָה (ישעיהו כט יג). שיעורי החשבון בבית הספר נועדו לתכלית מעשית, לאפשר ללומד לבדוק אם בפלט המחשב של חשבון הבנק שלו יש מספרים שליליים וכיוצא באלה, ואילו תורת המספרים נועדה לאפשר למוחו של הלומד להתעמל.