יש
התאמה מופלאה בין גיאומטריה לבין תורת המספרים, שלפיה קובייה היא מכפלה של שלושה
מספרים, ריבוע הוא מכפלה של שני מספרים,
קו הוא חיבור של מספרים, ונקודה היא מספר בודד. במלים אחרות: נקודה היא מה שאין לו
אורך, קו הוא מה שאין לו רוחב, שטח הוא מה שאין לו גובה (או עומק), אבל נפח הוא
תלת ממד שלם ולא חסר לו דבר.
כאשר
אנחנו מודדים קו, או שטח, או נפח, אנחנו מתאימים בין גיאומטריה לבין תורת המספרים.
אנחנו מתרגמים את אורך הקו משפת הגיאומטריה (חלוקתו באמצעות נקודות למקטעים) לשפת
המספרים.
אנחנו
מחשבים שטחים באמצעות סנטימטר מרובע, שנכתב, לשם הקיצור, בראשי תיבות ס"מ.
אנחנו לא מודדים שטחים באמצעות ס"מ משולש ולא באמצעות ס"מ עגול. כלומר,
גם את השטח של המשולש ושל העיגול אנחנו מודדים בסנטימטר של מרובע, או ליתר דיוק
בסנטימטר רבוע של מלבן, שמתקבל כתוצאה מהכפלת אורכו ברוחבו.
למשולש
יש רוחב (בסיס) אבל אין לו אורך. כדי לחשב את שטחו אנחנו צריכים להתאים אותו
למלבן, וזאת אנחנו עושים באמצעות הגובה של המשולש שהוא שקול לאורך של מלבן, שמורכב
מן המשולש שלנו ומעוד משולש זהה לו שמונח לצדו כשבסיסו מקביל לבסיס של המשולש שלנו.
לכן הנוסחה לשטח של משולש היא הבסיס של המשולש כפול הגובה שלו לחלק לשניים. "הבסיס
כפול הגובה" נותן את המלבן, וה"לחלק לשניים" נותן לנו שני המשולשים,
שאחד מהם הוא זה שאת שטחו רצינו לחשב.
גם
לעיגול יש רוחב (קוטר) אבל אין לו אורך.
הנוסחה
לשטח של עיגול היא רדיוס בריבוע כפול פאי. הריבוע של הרדיוס הוא סוג של מלבן שבו
האורך והרוחב שווים. כדי לקבל את שטח העיגול בס"מ צריך להתאים את היקף המעגל
לאורך כלשהו, וזה התפקיד של פאי. מעניין שבתוספות (במסכת סוכה ח, א) מבליטים את
הצורך להתאים את המעגל למלבן כהסבר לחישוב שטחו (להלן ציטוט מויקיפדיה בעברית ערך
מעגל): "בתוך המעגל יוצרים בחוטים סדרה של מעגלים קונצנטריים, ממרכז העיגול
ועד שפתו. את סדרת המעגלים חותכים ברדיוס שלו. יווצרו לנו חוטים רבים, כאשר הראשון
הוא הכי ארוך, וכל אחד ואחד פוחת אורכו מעט מקודמו. לאחר יישור
החוטים נוצר משולש שווה-שוקיים. את המשולש חותכים מהקודקוד לבסיס, ואת שני
המשולשים שנוצרים הופכים ויוצרים מהם מלבן. שטח המלבן (אורך כפול רוחב) הוא שטח
העיגול. למעשה הנוסחה לחישוב השטח המוצגת כאן היא היקף כפול רדיוס חלקי שתיים".
מקור האיור: ויקיפדיה בעברית ערך מעגל
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה