מה ההבדל בין חיבור לבין כפל?

בדרך כלל מגדירים את הכפל כקיצור של חיבור, או כחיבור שחוזרים עליו שוב ושוב. הגדרה זו מניחה שמדובר בעצם בפעולה חשבונאית אחת שיש לה שתי גרסאות, אחת לקשי תפיסה ואחת שהיא ממש יעילה. ואמנם 8 הוא תוצאה של חיבור של ארבעה זוגות, וניתן לפרק אותו ל:

2+2+2+2

 אבל שמונה הוא גם חיבור של 3 עם 5, שאותו לא ניתן לפרק באופן דומה. כלומר לא כל חיבור הוא סוג של כפל, ולא כל כפל הוא סוג של חיבור. מדובר בשתי פעולות עצמאיות, שלעתים אחת מהן מגיעה לאותה תוצאה מהר יותר.

כפל של שני מספרים שונים ניתן תמיד להצגה בשני ממדים, כשטח, שבו אחד המספרים משמש כאורך והשני כרוחב. כפל של שלושה מספרים ניתן להציג בשלושה ממדים, כנפח, כאשר אחד המספרים משמש כאורך, השני כרוחב, והשלישי כגובה. לעומת זאת חיבור של שנים או של שלושה מספרים מתרחש בממד אחד בלבד, שהוא לינארי, כלומר, שהוא בצורת קו. חיבור של 3 עם 5 לא ניתן להציג כמלבן, אבל ניתן להציג כמלבן כפל של 2 ו4, שנותן את אותה תוצאה. 

כאשר מכפילים שברים אנחנו מכפילים את המכנים המשותפים. אבל לא כל כך ברור לי מה בדיוק אנחנו מחברים, ומדוע אנו עושים זאת. לעומת זאת קל לראות ולהבין שלוח השחמט הוא לא רק המחשה של מכפלת שמונה בשמונה אלא גם של שמינית בשמינית, ושטח כל אחד מן הריבועים שבלוח (בלי הבדל של צבע) הוא אחד חלקי 64 משטחו.