ועוד עצמו

בבית הספר התיכון למדתי חשבון במגמה עיונית, כך שההשכלה שלי בתחום זה מצומצמת, אבל גם עם ההשכלה המצומצמת הזאת נדמה לי שלא אטעה אם אומר שכמעט כל תשומת הלב במערכת החינוך הממוסדת מוקדשת להתבוננות במספר כפול עצמו, כלומר, בסדרת המספרים בריבוע. אבל מה עם המספר פחות עצמו? המספר חלקי עצמו? המספר ועוד עצמו? נדמה לי שהשאלה האחרונה בכלל לא נשאלת.
תורת המספרים שלמדתי בסוף שנות השבעים מיוסף ספרא לא נשענה כלל על לימודי החשבון הממוסדים, ושאלת המספר ועוד עצמו הייתה במרכז תשומת הלב. מספר אי זוגי נקרא בית או 2x+1, כלומר מספר ועוד עצמו ועוד אחד. סדרת המספרים הזוגיים נקראה 2x, כלומר המספר ועוד עצמו. וחשוב לשים לב שכל מספר אי זוגי כשהוא מוסיף את עצמו לעצמו הופך למספר זוגי, ומיותר לומר שמספר זוגי שמוסיף את עצמו לעצמו אף הוא זוגי.

כאשר משחזרים את בריאת המספרים מתחילים תמיד מאחד שנברא יש מאין (מאפס), ושכפל את עצמו, כמו בסיפור המקראי על בריאת האדם (וַיֹּאמֶר אֱלֹהִים נַעֲשֶׂה אָדָם בְּצַלְמֵנוּ כִּדְמוּתֵנוּ -בראשית א, כו) שלפיו אדם לא נולד מאב ואם, אלא יש מאין, וחווה אף היא איננה בת לאב ולאם, אלא נבראה מצלעו של אדם, כמו שהשנים נברא מן הצלע של הריבוע של אחד. ומן השנים הראשונים נבראו שאר המספרים כי שנים ועוד אחד הם שלש, ושנים ועוד שנים הם ארבע, וארבע הם כבר עשר, כמו שלימדו אותנו הפיתגוראים (4+3+2+1=10)... וכל המספרים האחרים הם תולדות של העשרה הראשונים.

מה שמיוחד וחד פעמי בחיבור של 1+1 הוא שהתוצאה שלו כפולה מזו של הכפלת 1 ב1, כלומר כפולה מן הריבוע של אחד, שהוא ריבוע סמוי.

2+2 הוא הריבוע הגלוי הראשון

* *

* *

ואף הוא יחיד במינו כי החיבור של 2 עם עצמו והכפל שלו בעצמו שווים.

2+2=4=2.2

3+3 הוא החיבור הראשון שתוצאתו קטנה מזו של הכפל של 3 בעצמו, ומכאן ואילך זה יהיה נכון לגבי כל מספר שגדול משלוש. אבל היחס בין החיבור של מספר לעצמו לבין הכפל של מספר בעצמו הוא יחס קבוע:

פעמיים הריבוע של מספר חלקי עצמו נותן את המספר ועוד עצמו וכך:

3+3=2.(3.3):3=(2.9):3=6

4+4=2.(4.4):4=(2.16):4=8

5+5=2.(5.5):5=(2.25):5=10

6+6=2.(6.6):6=(2.36):6=12

7.7=2.(7.7):7=(2.49):7=14

וכן הלאה

אם ניקח לדוגמה את הריבוע של 3

* * *

* * *

* * *

הוא בנוי משלש שורות שבכל אחת מהן יש שלושה אחדים. בשורה הראשונה מוצג המספר עצמו. בשנייה החיבור שלו עם עצמו. בשלישית: שלוש פעמים עצמו, שזה עצמו בריבוע.

בריבוע של ארבע בשורה הראשונה מוצג המספר עצמו. בשנייה החיבור שלו עם עצמו. ואז הוא מוסיף את עצמו לעצמו עוד פעמיים ומגיע ל-4 פעמים ארבע שזה עצמו בריבוע.

* * ** 

* * ** 

* * ** 

 * * * * 

וכן הלאה, תמיד החיבור של מספר עם עצמו הוא חלק מהכפלתו בעצמו, הכפלה שהיא בעצם קיצור של חיבור המספר לעצמו שוב ושוב. וזה מה שקרה לי בלימודי החשבון הממוסדים, שמרוב שהדגשתי את ההעלאה בריבוע הפרדתי אותה ממקורה. 
=

אומרים על 10 שהוא מספר זוגי, והכוונה היא שהוא מתחלק ב-2, אבל כדי להיווכח בזוגיות שלו צריך לחלק אותו בפועל. או אז מגלים שהוא 5 ועוד עצמו, ומאחר ו-5 הוא אי זוגי - 10 הוא זוג של אי זוגיים, או מה שנקרא היום זוג חד מיני. לעומתו ה-12 מתחלק לשש ועוד עצמו, ואף הוא זוג חד מיני, אלא שהפעם הוא זוג של זוגיים.

כאשר מספר מוסיף את עצמו לעצמו הוא הופך לפלינדרום, מספר שניתן לקרוא אותו באותה מידה דיוק אם קוראים אותו מימין לשמאל או אם קוראים אותו משמאל לימין, והוא יכול להוסיף את עצמו עוד ועוד פעמים בלי לשנות תכונה זו. ריבוע של שמונה הוא פלינדרום של שמונה שמיניות: 88888888

ריבוע של שמונה מורכב בעצם משמונה יחידות שכל אחת מהן קוראת לעצמה שמונה. אם נתבונן בשמונה

המקורי נראה את השורה הבאה:

1    1    1    1    1    1    1    1

שמונה הוא הסכום של השורה הזאת והאחרון שבה. הריבוע של שמונה הוא שכפול של השורה האחת לשמונה שורות, או הוספת השמונה לעצמו שמונה פעמים.

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1

1    1    1    1    1    1    1    1