התחלה חדשה

אמנם ניתן לחלק את האחד לשניים ויותר חלקים ובכך לשבור אותו לשברים, אבל כשמחלקים אותו באחד, או בעצמו, הוא נשאר שלם. לעומתו כל מספר שלם אחר שמחלקים למספרים אחרים נשאר בשלמותו רק כשהוא מתחלק באחד, ונדמה שהאחד הוא זה שממנו הוא יונק את שלמותו.

כשמספר גדול מאחד מתחלק לעצמו נחשפות היחידות שמהן הוא מורכב: המספר שניים מורכב משני אחדים, המספר שלש משלושה וכן הלאה. בחשבון רגיל אנחנו מתעלמים מן התהליך ומתמקדים בתוצאה: אומרים שחמש לחלק לחמש שווה אחד, אבל כאשר מחלקים קו שאורכו חמישה ס"מ לחמישה חלקים שווים רואים בבירור שחמש לחלק לחמש שווה חמש, שכל אחד מהם הוא אחד.

*   *   *   *   *

כאשר מעלים חמש בריבוע רואים שנוצר ריבוע, שהוא טבלה שמורכבת מחמש שורות וחמש עמודות, ובמרכז כל תא כלוא לו האחד. בשורה הראשונה יש חמישה אחדים, והיא מה שאנחנו קוראים לו חמש, וכדי לרבע את עצמו הוא מוסיף לעצמו את עצמו עוד ארבע פעמים, כלומר הוא מוסיף עוד ארבע שורות של אחדים.

*   *   *   *   *

*   *   *   *   *

*   *   *   *   *

*   *   *   *   *

*   *   *   *   *

1   1   1   1   1

1   1   1   1   1

1   1   1   1   1

1   1   1   1   1

1   1   1   1   1

כדי להעלות את החמש בחזקה שלישית מוסיפים מתחת לחמש בריבוע עוד ארבעה ריבועים שכמותו, ומקבלים קובייה שמורכבת מ- 125 אחדים.

חמש הוא מספר אי זוגי, אבל די קשה לראות במבט אחד ש-101 הוא מספר אי זוגי. זו הסיבה לכך שבדרך כלל איננו מתבוננים במספרים בתצוגה הבסיסית שלהם כשורה של אחדים על קו, שהיא תולדה של חלוקת המספר בעצמו, ובמקומה אנחנו משתמשים ב-X שהוא אחד משני חלקים שווים של מספר זוגי, או אחד משלושה חלקים, שאחד מהם הוא אחד, והשניים האחרים שווים, אם הוא מספר אי זוגי, שהרי אחד הוא כל מה שמבדיל בינו לבין מספר זוגי.

וכך חמש פחות אחד לחלק לשניים שווה שניים, ושניים הוא גם ה-X של חמש וגם ה-X של ארבע. מעתה נקרא לכל מספר זוגי בשם 2X ולכל מספר אי זוגי בשם 2X+1 או בית.

           ..  *  ..

5=      X+ 1+  X 

X=2

        ..  ..  

X + X       =4

X=2

ניתן לראות ש-X הוא הגורם המשותף לזוגי ולאי זוגי גם בדרך נוספת. כל מספר אי זוגי ניתן לחלק לשני חלקים לא שווים שאחד מהם גדול באחד ממחצית המספר הזוגי שקודם למספר שאליו אנו מתייחסים. וכך חמש מתחלק לחצי גדול, 3, ולחצי קטן, 2 שהוא גם החצי של 4- המספר שלפני 5.

התכונה של זה בתוך זה משותפת למספרים ולצורות אבל לא לאותיות. כמו שהעשרות נכנסות במאות והמאות באלפים הנקודות נכנסות בקווים, הקווים בשטחים, השטחים בנפחים. זו, ככל הנראה, אחת הסיבות העיקריות להתאמה המופלאה שבין אריתמטיקה לגיאומטריה. מה שקצת פחות בולט לעין הוא שלפני שהעשרות נכנסות לתוך המאות האחד הוא חצי משניים, והשניים שני שליש משלש... והשמונה שמונה תשיעיות מהתשע. בזכות הקומפקטיות המושלמת של המספרים אנחנו יכולים לחשב בקלות יחסים בין מספרים גדולים. במקום לרשום אחד עשרים פעמים

1111111111

1111111111

כפול שנים (11)

שווה

1111111111

1111111111

1111111111

1111111111

 אנחנו כותבים

20.2=40

וחוסכים המון פעולות מיותרות.