יום שני, 17 בפברואר 2014

גנומון



 קומפוזיציה מתימטית I מאת תיאו ואן דוסנבורג(1883-1931) 
מקור התמונה בויקיפדיה


גנומון כתבליט (בארבע פינות המסגרת)
צולם ברחוב שלומציון המלכה בירושלים


מושג הבית, שנקרא גם בשם 2x+1, הוא מרכזי בתורת המספרים שלמדתי מיוסף ספרא, שהרי כל המספרים האי זוגיים הם בתים. רק לאחרונה גיליתי שמקורו במושג הגנומון, שהיה פופולרי בתורת המספרים של הפיתגוראים, ואשר מופיע במובן הגאומטרי אצל אוקלידס (מאה שלישית לפנה"ס) ובמובן המתמטי אצל תיאון מסמירנה (מאה ראשונה לספירה). מדובר במספר שמוסיפים למספר מצולע כדי לקבל את המצולע הבא מאותו סוג. דוגמה בולטת היא המעבר מריבוע לריבוע. מהריבוע של אחד עוברים לריבוע של שניים באמצעות הוספת 3:
2x+1=2+1=3
ומהריבוע של 2 (שהוא 4) עוברים לריבוע של 3 (שהוא 9) באמצעות הוספת 5:
2x+1=4+1=5
וכן הלאה.
=

בהבדל מתורת המספרים שלמדתי מיוסף ספרא אצל הפיתגוראים גם המספרים הזוגיים הם גנומונים, כלומר, כל המספרים הם גנומונים. ואם האי זוגיים מוצגים אצל היוונים הקדמונים בריבוע, הזוגיים מוצגים במלבן. הנה כך:


מה שמדהים אותי בתופעה של הגנומון הוא שכאשר מתבוננים בריבועים האלה שגדלים לאין סוף, מן הסוף להתחלה, הם כולם נראים ריבועים, מלבד האחד, שנראה כנקודה, אבל בגלל שהוא שייך לסדרת הריבועים ומציית לחוקיה ברור שהוא ריבוע, כלומר ארבע. ואם מתבוננים באותו אופן בסדרת המעוקבים, שהם קוביות, האחד הוא גם קוביה, למרות שהוא היחיד בסדרת המעוקבים שלא נראה כמו קובייה. 

אין תגובות:

הוסף רשומת תגובה