טטרקטיס של השיטה העשרונית

בקדקוד היחידות

תחתיהן העשרות

תחתיהן המאות

ובסיס - האלפים

האחד כ"לא שניים"

האחד הוא אחד מ"תארי השלילה" של האל, שמהם ניתן ללמוד על מהותו של האחד. ריכוז של תארים שכאלה מופיע בפיוט "אדון עולם". בתמצית ניתן לומר שהאחד מאופיין שם כ"לא שניים":

א. וְהוּא אֶחָד וְאֵין שֵׁנִי / לְהַמְשִׁילוֹ לְהַחְבִּירָה

ב. המאפיין העיקרי של השניים הוא הניגודיות. ראשון ואחרון הם ניגודים. האל הוא שלמות שכוללת את הניגודים האלה באופן שאין הבדל ביניהם. הוא גם זה וגם זה, והוא לא זה ולא זה.   

וְהוּא רִאשׁוֹן וְהוּא אַחֲרוֹן / לְכָל חֹמֶר וּלְכָל צוּרָה

בְּלִי רֵאשִׁית בְּלִי תַכְלִית / וְלוֹ הָעֹז וְהַמִּשְׂרָה

ג. השוואה היא פעולה שנעשית בין שני גורמים. אי אפשר לומר שמשהו דומה למשהו בלי שיהיו שני משהו. אי אפשר למדוד או להעריך מי גדול יותר ומי קטן יותר בלי שיהיו שני משהו. אי אפשר לדעת שמשהו השתנה בלי להשוות אותו למה שהיה קודם: 

בְּלִי עֵרֶךְ בְּלִי דִּמְיוֹן / בְּלִי שִׁנּוּי וּתְמוּרָה.

ד. האחד הוא שלם ואין לו חלקים שמהם הוא מחובר. לעומת זאת השניים מורכב משני אחדים מפורדים שחברו להם יחד:

בְּלִי חִבּוּר בְּלִי פֵרוּד / גְּדוֹל כּוֹחַ וּגְבוּרָה.

שמן של סדרות המספרים הזוגיים והאי זוגיים (הפרדיים) מעיד על מקורם מהשניים, שהרי זוג מורכב משני אחדים, ומתחלק לשניים בעוד שהפרדי הוא זה שאינו מתחלק לשניים.

ה. האחד הוא לבד (בפיוט: "לְבַדּוֹ יִמְלֹךְ נוֹרָא"), כלומר איננו ריבוי. הריבוי מתחיל משניים. הרעיון הזה מופיע פעמים רבות בתנ"ך, למשל: בשמות כ, ג: "לֹא יִהְיֶה לְךָ אֱלֹהִים אֲחֵרִים עַל-פָּנָי".

ו. האחד הוא מעל לזמן, שהרי עבר ועתיד בהיותם ניגודים הם מאפיינים של השניים, בעוד שהאחד הוא "לא שניים":

וְהוּא הָיָה וְהוּא הוֹוֶה / וְהוּא יִהְיֶה בְּתִפְאָרָה

כל מספר הוא אחד

כאשר מתבוננים בשורה של עשר נקודות (..........) כל נקודה היא אחת.

מבחינה זו אין הבדל בין הנקודה הראשונה לשנייה ובין הראשונה לאחרונה, לא בגודל, לא במין, ולא בסדר, כי אם נסדר את עשר הנקודות האלה על מעגל  - כל אחת מהן יכולה להיות ראשונה או שנייה או אחרונה לפי בחירתנו.

וכך גם כאשר מתבוננים בעשר היחידות שמרכיבות את העשר (1111111111), שהרי אילו אחת היחידות הייתה שווה יותר מאחד - העשר לא היה עשר, אלא מספר גדול יותר.

אפילו האפס הוא אחד, ואין עוד אפס מלבדו.

מנקודת מבט זו חברת המספרים היא דמוקרטיה שבה לכל אזרח יש קול אחד.

ההבדל מתרחש כאשר מייחסים ליחידות ערך: כאשר קובעים שהראשון ערכו 1 והשני ערכו 2,  ומסיקים ש

2-1=1

בתמונה: בדגל ארה"ב כל מדינה מיוצגת על ידי כוכב אחד, ומבחינה זו אין הבדל בין מדינה למדינה אפילו אם זו קטנה וזו גדולה, זו עשירה וזו ענייה, זו בצפון וזו בדרום וכן הלאה.  

מספר משוער

כמה פקקים יש בתמונה, לא בדיוק אבל בערך?

מספרים עוזרים לנו לענות על שאלות של כמה ומתי, אבל לעתים אין לנו צורך במספרים מדויקים, מספיק לנו לדעת בערך, בקירוב, באומדן גס, בניחוש מושכל, פחות או יותר, על איזה סדר גודל אנחנו מדברים, אם הרבה או מעט, אם המון או קצת. וזה מתקשר להבדל שבין הרציף לבין הבדיד, להבדל שבין גאומטריה לבין אריתמטיקה, כשהאחרונה עוסקת בדרך כלל במספרים מדויקים (אף כי לעתים היא מעגלת אותם), והשנייה די לה בהבדל שבין זוויות חדות לזוויות קהות, או ישרות, ואצלה כל קו יכול להיות באיזה גודל שירצה, כמו גם כל צורה. 

משנה מקום משנה צורה

בדגם של שורות נמצאים בשורה הראשונה תשעת המספרים הראשונים, בשורה השניה, בִּמקום ה-1 מופיע ה-10, שסכום הספרות שלו 1, בִּמקום ה-2 מופיע ה-11 שסכום הספרות שלו 2 וכן הלאה. לתופעה זו קראנו בכתבות קודמות בשם "גלגולים", וניתן לראות אותה גם בדגם של מעגל, כאשר בגלגול הראשון מופיעים תשעת המספרים הראשונים, ובגלגול השני בִּמקום ה-1 מופיע ה-10, שסכום הספרות שלו 1, בִּמקום ה-2 מופיע 11 שסכום הספרות שלו 2 וכן הלאה.  בדגם של שורות כל מספר מה 1-9 שומר על ערכו ועל מקומו בשורה, או במעגל, כאשר מוסיפים לו תשע. אבל כאשר מוסיפים לו עשר (או כאשר בכל שורה מופיעים 1-10) הערך משתנה, וכל מספר יכול להופיע בצורת כל מספר אחר:

11+10=11=2

11+10=21=3

21+10=31=4

31+10=41=5

41+10=51=6

51+10=61=7

61+10=71=8

71+10=81=9

81+10=91=1

תופעה דומה נמצא בגאומטריה. כאשר מציבים תשע נקודות בשורה הן יוצרות קו, אבל כאשר משנים את מיקומן ואת סדרן אותן נקודות יכולות ליצור כל צורה גאומטרית שנעלה על הדעת. קו ניתן לקפל עד שהוא סוגר שטח: משולש, מרובע, מחומש... מעגל. והתהליך הזה עובד גם לכיוון השני- ניתן לפרוש כל צורה שכזו עד שהיא מתיישרת לקו.

נדמה שהמתמטיקה והגאומטריה מושתתות על הגמישות של אבני היסוד שלהן, שהן בעצם אותן אבני יסוד, כפי שלמדנו מן הפיתגוראים. בגאומטריה אנחנו רגילים לדמות את הקו לסרגל, אבל לאור הגמישות שראינו לעיל עדיף לדמות את הקו לחבל. ואכן הולדת הגאומטריה מיוחסת לפקידי משרד המקרקעין של הפרעונים, שהיו מודדים את גבולות הנחלות בחבל. להערכתי גם צורת המגן דוד שבה שני משולשים משתלבים זה בזה מקורה במגן דוד שהיה עשוי מחבל. 

אפס כשנים עשרה

בשעון רגיל במקום אפס מופיעה לפני השעה אחת השעה 12 שמתפקדת כמו אפס, שאינו משנה את ערכו של המספר אליו מוסיפים אותו. למשל אם מוסיפים 12 לשמונה (בבוקר) הוא הופך לשמונה (אחה"צ), ואם מוסיפים 12 לשבע (אחה"צ) הוא הופך לשבע (בבוקר).

השעה אחת רחוקה מה-12 במקום אחד, ממש כמו שבסרגל שבנוי לפי השיטה העשרונית האחד רחוק מהאפס סנטימטר אחד. השעה חמש רחוקה מה-12 בחמישה מקומות, ממש כמו שבסרגל החמש רחוק מהאפס בחמישה סנטימטר. מה שמלמד אותנו שהאפס יכול להיות כל מספר כי אם נחליט לבנות שעון שיש בו 11 מקומות האפס יהיה 11, ואם נחליט לבנות שעון שיש בו עשרה מקומות האפס יהיה 10, וכן הלאה.

בשעון דיגיטאלי 12 מופיע כארבעה אפסים. האפס הראשון משמאל מודיע לקורא שאין עשרות שעות, השני - שאין שעות בודדות, השלישי - שאין עשרות דקות, הרביעי - שאין דקות בודדות. כלומר הוא לא מתפקד כמספר אלא כסימן נרדף למילה לא, או למילה אין.

גימטריה - כוונת מכוון או צירוף מקרים?

נדמה כאילו ההתאמה בין אות לבין ערכה המספרי בגימטריה היא תוצאה של מיקומה בטור האלפבית

אל"ף = 1
בי"ת = 2
... יו"ד = 10
... קו"ף = 100

אבל יש כמה אותיות שיוצאות מן הכלל הזה:

אל"ף בגימטריה 111

א=1

ל=30

פ=80

סה"כ 111
ובארמית אלפא = 1111 כי אל"ף סופית ערכה 1000.

ו"ו בגימטריה שש ועוד שש.

דרך אגב, גם ו"ו וגם שש הן פלינדרומים - מילים שנקראות באותו אופן מימין לשמאל ומשמאל לימין.

יו"ד בגימטריה עשרים (עשר ועוד עשר).

מ"ם בגימטריה ארבעים ועוד ארבעים.

נו"ן בגימטריה חמישים ועוד חמישים (אם לא ממירים את הו"ו למספר אלא מתייחסים אליה כו"ו החיבור).

האם ההתאמה בין שם האות לבין ערכה בגימטריה היא התאמה מקרית או שמא טבועה בה כוונת מכוון?

ואם תאמר כוונת מכוון - מדוע אין התאמה שכזאת באותיות האחרות?

בשלוש האותיות האחרונות נדמה שיש התאמה בין מספר קוויהן לבין הערך המספרי שלהן:

 האות רי"ש מורכבת משני קווים שכל אחד מהם מסמן 100.

האות שי"ן מורכבת משלושה קווים שכל אחד מהם מסמן 100.

האות תי"ו מורכבת מארבעה קווים שכל אחד מהם מסמן 100.

אבל ההתאמה הזאת מתאימה רק לאותיות האלה.
***

במאה החמישית לפני הספירה עברו היוונים לשיטת מספרים דומה לשיטה העברית, שנקבעו בה אותיות  מיוחדות לעשרות ולמאות. האות העשירית שלהם, איוטה, שמקבילה ליו"ד, מייצגת עשר, כמו אצלנו. אלא שביוונית אין ליו"ד מובן, היא מילה שאולה מפיניקית, ואילו בעברית, שקרובה לפיניקית, ניתן להבין שמשמעותה יד. וביד יש כידוע עשר אצבעות, שמהספירה באמצעותן החלה אולי להתפתח השיטה העשרונית.

האותיות העבריות מקורן באלפבית הפיניקי ומשמעותן שם:

אל"ף - שור

בי"ת - בית

גימ"ל - גמל

דל"ת- דלת של בית

ה"א - חלון

ו"ו- וו

זי"ן- נשק

חי"ת- קיר או חצר

טי"ת - גלגל (לא פלא שהוספת 9 למספר כלשהו נקראת "גלגול", אבל מעניין אם הייתה לפיניקים תורת מספרים שכללה את פעולת הגלגול הזאת).

יו"ד- יד

כ"ף= כף יד

למ"ד- מלמד הבקר

מ"ם- מים

נו"ן- נחש ומאוחר יותר לוויתן

סמ"ך - דג

עי"ן- עין

צד"י- ציִיד

קוף- קוף של מחט

רי"ש- ראש

שי"ן- שן

ת"ו - תו (סימן)

המילה גימטרייה מקורה ביוונית ומשמעותה גימ"ל (גמה) היא שלוש (טריה) אחרים אומרים שמקורה בגיאומטריה.  

תרגום יונתן לפסוק "וַיִּתֵּן יוֹאָב אֶת מִסְפַּר מִפְקַד הָעָם..." (שמואל ב כד ט) ויהב יואב חשבן מנין עמא. הרב שמעון בולג בספרו ברכות בחשבון, ירושלים, תשע”ז, עמוד פט, מפנה בהערה לפסוק לעיל לספר הכלבו סימן קכ"ב שלפיו "פירוש גימטריא חשבון, שכן תרגומו המתרגמו את מפקד העם ית גמטור".