כל מספר הוא אחד

כאשר מתבוננים בשורה של עשר נקודות (..........) כל נקודה היא אחת.

מבחינה זו אין הבדל בין הנקודה הראשונה לשנייה ובין הראשונה לאחרונה, לא בגודל, לא במין, ולא בסדר, כי אם נסדר את עשר הנקודות האלה על מעגל  - כל אחת מהן יכולה להיות ראשונה או שנייה או אחרונה לפי בחירתנו.

וכך גם כאשר מתבוננים בעשר היחידות שמרכיבות את העשר (1111111111), שהרי אילו אחת היחידות הייתה שווה יותר מאחד - העשר לא היה עשר, אלא מספר גדול יותר.

אפילו האפס הוא אחד, ואין עוד אפס מלבדו.

מנקודת מבט זו חברת המספרים היא דמוקרטיה שבה לכל אזרח יש קול אחד.

ההבדל מתרחש כאשר מייחסים ליחידות ערך: כאשר קובעים שהראשון ערכו 1 והשני ערכו 2,  ומסיקים ש

2-1=1

בתמונה: בדגל ארה"ב כל מדינה מיוצגת על ידי כוכב אחד, ומבחינה זו אין הבדל בין מדינה למדינה אפילו אם זו קטנה וזו גדולה, זו עשירה וזו ענייה, זו בצפון וזו בדרום וכן הלאה.  

מספרים שליליים

בדגם לינארי מספרים חיוביים ממוקמים מימין לאפס, וככל שהם גדלים הם מתרחקים ממנו. המספרים  השליליים ממוקמים משמאל לאפס, וככל שהם גדלים הם מתרחקים ממנו. בדגם מעגלי נוכל לסדר את החיוביים עם כיוון השעון ואת השליליים נגד כיוון השעון, כאשר הספירה מתחילה מחדש לאחר כל  עשרה מספרים, כלומר בסיבוב השני יהיו 11 או מינוס 11,  בסיבוב השלישי יהיו 21 או מינוס 21 וכן הלאה. ניתן ללמוד משתי אפשרויות הסידור האלה שמספר הוא תלוי מקום ותלוי כיוון. האחד יהיה תמיד לפני השניים, בין אם הוא חיובי או שלילי, אבל השניים יהיה פעם לימינו (בחיוביים) ופעם לשמאלו (בשליליים). כך או כך שמו של המספר נגזר ממיקומו ביחס לאפס- אחד הוא הראשון, הכי קרוב לאפס, שניים השני מהאפס וכן הלאה. 

משנה מקום משנה צורה

בדגם של שורות נמצאים בשורה הראשונה תשעת המספרים הראשונים, בשורה השניה, בִּמקום ה-1 מופיע ה-10, שסכום הספרות שלו 1, בִּמקום ה-2 מופיע ה-11 שסכום הספרות שלו 2 וכן הלאה. לתופעה זו קראנו בכתבות קודמות בשם "גלגולים", וניתן לראות אותה גם בדגם של מעגל, כאשר בגלגול הראשון מופיעים תשעת המספרים הראשונים, ובגלגול השני בִּמקום ה-1 מופיע ה-10, שסכום הספרות שלו 1, בִּמקום ה-2 מופיע 11 שסכום הספרות שלו 2 וכן הלאה.  בדגם של שורות כל מספר מה 1-9 שומר על ערכו ועל מקומו בשורה, או במעגל, כאשר מוסיפים לו תשע. אבל כאשר מוסיפים לו עשר (או כאשר בכל שורה מופיעים 1-10) הערך משתנה, וכל מספר יכול להופיע בצורת כל מספר אחר:

11+10=11=2

11+10=21=3

21+10=31=4

31+10=41=5

41+10=51=6

51+10=61=7

61+10=71=8

71+10=81=9

81+10=91=1

תופעה דומה נמצא בגאומטריה. כאשר מציבים תשע נקודות בשורה הן יוצרות קו, אבל כאשר משנים את מיקומן ואת סדרן אותן נקודות יכולות ליצור כל צורה גאומטרית שנעלה על הדעת. קו ניתן לקפל עד שהוא סוגר שטח: משולש, מרובע, מחומש... מעגל. והתהליך הזה עובד גם לכיוון השני- ניתן לפרוש כל צורה שכזו עד שהיא מתיישרת לקו.

נדמה שהמתמטיקה והגאומטריה מושתתות על הגמישות של אבני היסוד שלהן, שהן בעצם אותן אבני יסוד, כפי שלמדנו מן הפיתגוראים. בגאומטריה אנחנו רגילים לדמות את הקו לסרגל, אבל לאור הגמישות שראינו לעיל עדיף לדמות את הקו לחבל. ואכן הולדת הגאומטריה מיוחסת לפקידי משרד המקרקעין של הפרעונים, שהיו מודדים את גבולות הנחלות בחבל. להערכתי גם צורת המגן דוד שבה שני משולשים משתלבים זה בזה מקורה במגן דוד שהיה עשוי מחבל. 

מבט חדש על הגלגולים

אם מסדרים תשע חוליות בעיגול וסופרים אותן פעם נוספת: במקום התשע בא ה-18.

1    2    3    4    5     6    7    8    9 

10   11   12   13   14    15   16   17  18

ואם סופרים פעם נוספת: במקום ה 9 וה 18 בא ה 27,

ואם סופרים פעם נוספת: ה 36,

ואם סופרים פעם נוספת: ה 45 וכן הלאה

אם מסדרים שמונה חוליות בעיגול וסופרים אותן פעם נוספת: במקום השמונה  בא ה-16.

1    2    3    4    5     6    7    8

9   10    11   12  13    14    15  16   

ואם סופרים פעם נוספת: ה 24

ואם סופרים פעם נוספת: ה 32

אם מסדרים שמונה חוליות בעיגול וסופרים אותן פעם נוספת...

כידוע, בשעון בן 24 שעות

1=13:00

2=14:00

3=15:00

...12=24:00

וזאת משום שעל השעון יש 12 מספרים שנספרים פעמיים. אבל אם הם נספרים פעם שלישית

אחד שווה 25

ואם הם נספרים פעם רביעית אחד שווה 37 וכן הלאה.

מסקנה: כל מספר יכול להיות כל מספר, תלוי איך סופרים.

=

דרך אגב בצורת כתיבת השעה 13:00 הנקודתיים אינם סימן לחילוק אלא סימן להפסקה, וזה בדיוק היה תפקידו של האפס בראשית דרכו ההיסטורית, כשעוד אף אחד לא ראה עד כמה זה הקטן גדול יהיה. 

אחרון באופן יחסי

אומרים שלא ניתן למצוא את המספר האחרון, כי תמיד ניתן להוסיף לו עוד אחד, אבל יש מספרים שהם אחרונים באופן יחסי:

תשע אחרון ביחידות

תשעים ותשע אחרון בעשרות

תשע מאות תשעים ותשע אחרון במאות, וכן הלאה.

אפילו אם נתבונן בשלושת המספרים הראשונים - השלישי הוא האחרון שבהם... באופן יחסי.

רצוא ושוב

הביטוי רָצוֹא וָשׁוֹב מקורו בחזון המרכבה של הנביא יחזקאל:

 "וְהַחַיּוֹת רָצוֹא וָשׁוֹב כְּמַרְאֵה הַבָּזָק" (יחזקאל א, יד)

פירוש מצודת דוד: "לא עמדו במקום אחד, כי אם היו רצים ממקום למקום, וחזרו למקומם במהירות רב, כברק הזה המבריק ומתכנס מהר, ומעט תשיגנו הראות".

ומיחזקאל התגלגל הביטוי "רצוא ושוב" לספר יצירה (משנה ו): "עשר ספירות בלי מה צפייתן כמראה הבזק ותכליתן אין להם קץ ודברו בהן ברצוא ושוב..."

ורס"ג מסביר בפירושו לספר יצירה ב"כוזרי" (מאמר רביעי סעיף כה):

חוֹזֵר הַגַּלְגַּל פָּנִים וְאָחוֹר, אֵין בְּטוֹבָה לְמַעְלָה מֵעֹנֶג וְאֵין בְּרָעָה לְמַטָּה מִנֶּגַע, רְצוֹנוֹ לוֹמַר שֶׁאוֹתִיּוֹת אֶמֶשׁ וְאָשָׁם, וְעֹנֶג וָנֶגַע אַחַת הֵן, וְאֵין בֵּינֵיהֶם אֶלָּא הַהַקְדָּמָה וְהָאִחוּר, כְּמוֹ שֶׁהַזְּרִיחָה וְהַשְּׁקִיעָה לַגַּלְגַּל אֶחָד בְּחֻקּוֹ, וּבְחֻקֵּנוּ אֲנַחְנוּ – רָצוֹא וָשׁוֹב.

ומכל אלה ניתן להבין ש"דברים שנראים מכאן (מה'רצוא') לא נראים משם" (מה'ושוב') וכך: 

אם מתבוננים בעשרת המספרים הראשונים כשהם פרושים בצורת עשר נקודות

.  .  .   .  .  .  .  .  .  .

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

10  9  8  7  6  5  4  3  2  1

אם 1 מימין 10 משמאל,  ולהפך: אם 10 מימין 1 משמאל. כלומר: הנקודה הראשונה היא גם האחרונה, והאחרונה היא גם ראשונה. קל יותר לראות את המראה הזה בנקודות ולא במספרים, כי לגבי מספרים יש לנו הרגל שלפיו אנו סופרים רק בכיוון אחד, משמאל לימין.

אם מתבוננים בתשעת המספרים הראשונים בצורת תשע נקודות

. . . . . . . . .

אם 1 מימין 9 משמאל,  ולהפך: אם 9 מימין 1 משמאל. כלומר: אחד הוא תשע ותשע הוא אחד.

אם מתבוננים בשמונת המספרים הראשונים בצורת שמונה נקודות

.........

אם 1 מימין 8 משמאל,  ולהפך אם 8 מימין 1 משמאל. כלומר: אחד הוא שמונה ושמונה הוא אחד.

וכן הלאה. מסקנה: כל מספר יכול להיות כל מספר, תלוי איך סופרים. 

אורבורוס

התבוננות בתרגילי החשבון הפשוטים ביותר (אחד ועוד אחד שווה איקס; ארבע לחלק לשניים שווה איקס) מביאה אותנו במגע עם הלא ידוע שמסומן על ידי המתמטיקאים באות X.

כשלמדתי את תורת המספרים אצל יוסף ספרא הוא הבחין בין הלא-ידוע-הניתן-לידיעה לבין הלא-ידוע-שאינו-ניתן-לידיעה. כשבן סירא מציע לך: "במופלא ממך אל תדרוש ובמכוסה ממך אל תחקור. במה שהורשית התבונן, אין לך עסק בנסתרות" (בבלי, חגיגה, יג, א) -הכוונה היא ככל הנראה ללא-ידוע-שאינו-ניתן-לידיעה.
כשמחפשים את המספר האחרון או את המספר הגדול ביותר נדמה שמדובר על  הלא-ידוע-שאינו-ניתן-לידיעה, כי לכל תוצאה שלא תביא ניתן להוסיף אחד שיהיה אחרון (שם זמני) או הגדול ביותר (שם זמני). אבל אם סופרים לאחור, מן המספר הגדול ביותר לכיוון המספר הקטן ביותר - המספר האחרון יהיה אחד. ואם נתבונן בשברים המספר הגדול ביותר, האחרון המוחלט... יהיה אחד. 

על עיגול, כמו על כל קו,  יש אינסוף נקודות, כי, כידוע, בין כל שתי נקודות ניתן למצוא עוד נקודה אחת. אם נוציא נקודה אחת מן העיגול, נוכל לקרוא למקום הריק שבו היא הייתה בשם אפס. מימינו יש 1, משמאלו- 1 וביניהן אינסוף נקודות. ולא משנה אם נתבונן בהן עם כיוון השעון, או אם נתבונן בהן נגד כיוון השעון - סופן 1. האחד שהוצאנו מהעיגול ברא את השניים שלצדו בגלל שהוציא את עצמו מהספירה. לפני שזה קרה כל אחד משני האחדים שמרכיבים את השניים יכול היה להיות כל מספר. 

הפועל לברוא שורשו ב.ר.א. לברא משמעותו במקרא לפנות שטח מן הצמחייה שעליו, להפוך אותו לאפס, על מנת שניתן יהיה להתחיל משהו מחדש, כגון: לבנות על השטח בית. כך גם מאפסים את שעון המטבח כדי שניתן יהיה למדוד את זמן הבישול של המנה הבאה. מנקודת מבט זו הפסוק הראשון בתנ"ך מדבר על איפוס השמים והארץ, כדי שניתן יהיה ליצור את העולם. 

על עיגול כל נקודה יכולה להיות אחרונה, הסוף של האינסוף. אם נוציא את הנקודות שמרכיבות את הטבעת, אחת אחרי השנייה, הטבעת תלך ותיעלם כמו אורבורוס.  

העיגול הוא קו שסופו נעוץ בתחילתו, כמו שזנבו של האורבורוס נעוץ בפיו. אבל תופעה זו אינה מיוחדת לו - היא מאפיינת גם את כל המצולעים. 

***
הצילום צולם בבית הקברות פייר לשז בפריז בידי 
(cc) 
Leo Reynolds
http://www.flickr.com/photos/lwr/3065398817/

אפס כשנים עשרה

בשעון רגיל במקום אפס מופיעה לפני השעה אחת השעה 12 שמתפקדת כמו אפס, שאינו משנה את ערכו של המספר אליו מוסיפים אותו. למשל אם מוסיפים 12 לשמונה (בבוקר) הוא הופך לשמונה (אחה"צ), ואם מוסיפים 12 לשבע (אחה"צ) הוא הופך לשבע (בבוקר).

השעה אחת רחוקה מה-12 במקום אחד, ממש כמו שבסרגל שבנוי לפי השיטה העשרונית האחד רחוק מהאפס סנטימטר אחד. השעה חמש רחוקה מה-12 בחמישה מקומות, ממש כמו שבסרגל החמש רחוק מהאפס בחמישה סנטימטר. מה שמלמד אותנו שהאפס יכול להיות כל מספר כי אם נחליט לבנות שעון שיש בו 11 מקומות האפס יהיה 11, ואם נחליט לבנות שעון שיש בו עשרה מקומות האפס יהיה 10, וכן הלאה.

בשעון דיגיטאלי 12 מופיע כארבעה אפסים. האפס הראשון משמאל מודיע לקורא שאין עשרות שעות, השני - שאין שעות בודדות, השלישי - שאין עשרות דקות, הרביעי - שאין דקות בודדות. כלומר הוא לא מתפקד כמספר אלא כסימן נרדף למילה לא, או למילה אין.

חזרה

כל ספרה מופיעה פעם אחת ביחידות, עשר פעמים בעשרות, מאה פעמים במאות וכן הלאה, אבל  במספר 111111, מופיעה אותה ספרה בכל המקומות, כאותו רעף שמופיע שוב ושוב בכל הגגות.

כמה הערות לגבי מיקומו של האפס

בחוגות הטלפון ובמקלדת המחשב הרגילה האפס מופיע אחרי התשע ולא לפני האחד.

במקלדת המחשב שמיועדת רק למספרים האפס מופיע לפני האחד.

במקלדות הראשונות לא היה אפס כי ניתן היה להשתמש במקומו באות  הלטינית O

מספרים סודרים מתחילים מאחד ולא מאפס: לא סופרים אפסון, ראשון, שני...

מספר כטבלה

כל מספר ניתן להציג כטבלה שעמודותיה: יחידות, עשרות, מאות, אלפים וכו'.  וכך גם לגבי כל תאריך - ניתן להציגו כטבלה שעמודותיה: יום, חודש, שנה.

בלי ששמים לכך לב התצוגה של מספר בטבלה היא בעצם תצוגה גיאומטרית, צורנית, מלבנית, ולא אריתמטית-מספרית טהורה. אפילו כשמציגים מספרים בשורה התצוגה היא קווית, גיאומטרית, צורנית. 

מספר כשם פרטי

שֶׁבַע בֶּן בִּכְרִי מרד בדוד המלך. דוד שלח את מצביאיו לצור על עירו של שֶׁבַע בֶּן בִּכְרִי, אבל-בית-מעכה. המצור הוסר לאחר שתושבי העיר הרגו את שבע. (שמואל-ב, פרק כ).

מספר מופיע גם בשמה של בת שבע (אשת דוד המלך ואמו של שלמה המלך), אבל בדברי-הימים-א, ג, ה, מופיע שמה כְבַת-שׁוּעַ בת עמיאל אמם של שמעא, שובב, נתן ושלמה. אם נזכור שהתנ"ך נוקד רק במאה התשיעית לספירה, ייתכן שמדובר בטעות של סופר-  שקרא שֶׁבָע במקום שֶׁוָע, ולפיכך ניתן לשקול גם את הכללת בַּת-שׁוּעַ הַכְּנַעֲנִית אשת יהודה, אמם של עֵר וְאוֹנָן וְשֵׁלָה, בקטגוריה זו של מספר כשם.

מספרים מופיעים במקרא גם כשמות של מקומות: קריית ארבע, באר שבע.

גם בימינו מספרים מופיעים כשמות של מקומות. לדוגמה: מעלה החמישה, קריית שמונה.

מערת המכפלה איננה נקראת על שם פעולת הכפל אלא על שם האזור שבו נמצאה (לפי רשב"ם לבראשית כג, ט: "כל הבקעה קרויה מכפלה, כמו ככר הירדן, וכן מוכיח לפנינו 'שדה עפרון אשר במכפלה' (בראשית כג, יז)". 

כל מספר הוא מרכז של מספר אחר

כל מספר הוא מרכז של מספר אחר שגדול ממנו פי שניים פחות אחד. לדוגמה שבע הוא המרכז של שלוש עשרה

7.2=14

14-1=13

בעץ המספרים רואים באופן בברור את השבע במרכז כאשר לימינו ששה מספרים, ולשמאלו ששה מספרים, וביחד אתו יש בשורה השביעית מתחילת העץ, מן האחד, שלושה עשר איברים, או שלושה עשר מקומות תפוסים, הנה כך:

1234567654321

אם נתבונן באותו אופן בשלוש נראה שהוא משמש כמרכזו של החמש

3.2=6; 6-1=5

אם נתבונן באותו אופן בשניים נראה שהוא משמש כמרכזו של השלוש

2.2=4; 4-1=3

והכי מעניין לראות שהאחד הוא מרכזו של השניים

1.2=2; 2-1=1

זה כאילו שבספרה הרומית II יש במרכז, בין I ל I משהו בלתי נראה, עוברי, שהוא אחד.
***

שְׂפַת אֵלִים חֲרִישִׁית יֵשׁ, לְשׁוֹן חֲשָׁאִים,

לֹא-קוֹל וְלֹא הֲבָרָה לָהּ אַךְ גַּוְנֵי גְוָנִים;

וּקְסָמִים לָהּ וּתְמוּנוֹת הוֹד וּצְבָא חֶזְיוֹנוֹת...

הֲלֹא הִיא לְשׁוֹן הַמַּרְאוֹת

(הברכה, חיים נחמן ביאליק)

עשר ספירות בלימה צפייתן כמראה הבזק 
(ספר יצירה פרק א משנה ה)

המספרים מדברים אלינו בשפה של תבניות, שניתן לקרוא לה, בהשאלה מחיים נחמן ביאליק, בשם לשון המראות. מראה שכזה, לדוגמה, הוא שהאחד נמצא במרכזו (M) של כל מספר אי זוגי, 2X+1.

וכך:

3=111= 1M1

5=11111=11M11

7= 1111111=111M111

ומראה נוסף הוא שהמרכז הזה (M) הוא השניים שבשלוש, כי הוא השני מימין, והוא גם השני משמאל

או

3=121=4               M=2

ובאי זוגיים הבאים:

5=11311=7           M=3

7=1114111=10     M=4

9=111151111=13  M=5

ובלי משים תרגמנו את טור האי זוגיים לזרם של ה 147

שמות המספרים בעברית תואמים ברובם לשמות המספרים באכדית

להלן ממצאים מן המילון האכדי:

šinā  - שנים [šanû במשמעות של חזרה]
šittu -שתיים

šalāš-שלוש šalāšat  שלושה

erbē- ארבע. מעניינת הקרבה למילה erbû   שהוא החרק הנקרא בעברית ארבה, שהוא מעין סמל לריבוי כי הוא מופיע בלהקות של מיליונים.

ḫamiš- חמש

šediš- שש, šūš - שישים, šeššeret - שש עשרה, ūm šešše - יום שישי. שש בכתב יתדות: שתי שלשות בשתי שורות

sebē - שבע (קירבה מעניינת לאנגלית seven)

בכתב יתדות שתי שלשות ועוד אחד בשלש שורות.

samānē- שמונה samānšer - שמונה עשרה,  samānā- שמונים

tešē - תשע

ešer- עשר (ašru - מקום!)ešēru - לסדר!

meʾat- מאה

šapattu - יום שבת, בא ממילה שמשמעותה לַשֶבֶת

mīnu- מספר (הצליל של מילה זו דומה למינוי, מנייה, למנות).

lā mīnu - לא ניתן למנייה, לאין מספר.

השפה האכדית נקראת על שם עיר הבירה שלהם אכד שדומה דמיון מפתיע למילה העברית אחד. אכד מוזכרת פעם אחת בתנ"ך: "ותהי ראשית ממלכתו (של נמרוד) בבל וארך ואכד וכלנה בארץ שנער" (בראשית י, י).

מדרשי השמות של שמות המספרים (שנים- שונה, שמונה- שמן וכן הלאה) מעידים על יכולת ההמצאה של הדרשנים, אבל, ככלל, שמות המספרים הם בבחינת מלים מיובאות, שאולי יש להן מובן הולם באכדית, אבל לדוברי עברית הן בבחינת מילים אטומות.  

יחסים בין מספרים - הניגודים שלם וחלק

המספרים נוצרו כמענה לצורך במניית דברים. דברים אלה יכולים להיות מוחשיים כמו אפונים בכפית, או מופשטים כמו הימים שחלפו על רובינזון קרוזו. כשאנחנו חורטים על קליפה של עץ קו במקום יום או במקום אפון, אנחנו עושים הפשטה. הקו המופשט כוחו יפה לכל נספר שנשים במקום האפונה או היום.

*

סימן אחד מייצג דבר אחד, תשעה סימנים מייצגים תשעה דברים. שיטה זו לא נוחה כשצריך לייצג עשרות או מאות או אלפי דברים, ולכן המצאנו סימנים מקצרים, שכל אחד מהם מייצג קבוצה מוסכמת של דברים רבים. וכך אנחנו יכולים ביעילות ובפשטות לסמן עשרה דברים בסימן אחד, ה-X הרומי, או הספרות 10, לסמן מאה דברים בסימן אחר, לסמן אלף דברים בסימן אחר.

השלם 5 יש לו 5 חלקים והוא מייצג אותם, כמו שהשלם עם ישראל יש לו מאה ועשרים חלקים, שמיוצגים על ידי קבוצת החברים המתכנסים בבניין הכנסת. אילו היינו מביאים לשם את כל העם לכל הצבעה מי היה עובד?  מביאים לשם רק 120 איש- פתרון יעיל, פשוט ונוח.

*

כל מספר מייצג קבוצה של דברים. הוא הגבול שמקיף אותם, כמו שקית ניילון שקופה. אם שופכים את קבוצת חמשת האפונים שעל הכפית לסיר, וחוזרים על הפעולה הזאת שוב ושוב, האפונים שהצטברו בסיר יוצרים קבוצה חדשה, וכל הגבולות המופשטים שהיו ביניהם מתבטלים, וכך החמש עשרה הוא קבוצה אחת שמורכבת מהתוכן של שלש שקיות ניילון שקופות שבכל אחת מהן היו חמש אפונים, אבל השקיות נשארו מחוץ לסיר.  זוהי המחשה של פעולת החישוב שנקראת חיבור.

*

שעה היא חלק מיום (שהוא השלם של שעה) שהוא חלק משבוע (שהוא השלם של יום) שהוא  חלק מחודש (שהוא השלם של שבוע) שהוא חלק משנה וכן הלאה. 

אופי של מספר

אחד ותשע הם הגבולות של היחידות ומעבר לגבול - האפס. האחד, כשמוסיפים אותו למספר כלשהו- משנה אותו

1+1=2

2+1=3

אבל התשע כשמוסיפים אותו למספר כלשהו- לא משנה אותו, כשמחברים את ספרותיו מעבר לאפס:

1+9=10=1

2+9=11=2

יש מי שממהרים להסיק מתופעה זו מסקנות מיסטיות על "האופי" של היחידות בכלל ועל "האופי" ההפוך של האחד והתשע בפרט, אבל לדעתי תופעה זו נובעת אך ורק ממיקומם בטור המספרים. אם ממשיכים לבדוק את התופעה לגבי המספר שמונה - כשמוסיפים אותו למספר כלשהו המספר משתנה לכיוון השני, כאילו מפחיתים ממנו אחד:

3+8=11=2

4+8=12=3

וכך גם השבע... כאילו מפחיתים ממנו שניים:

4+7=11=2

5+7=12=3

 וכך גם לגבי שאר המספרים.

המספרים הם ישויות ערומות שמלבישים אותן בכל מיני לבושים. הם כמו נשמות לפני שהן מתגלגלות בגופים. לא פלא שמשתמשים באותו מונח, גלגול, לציון גלגול נשמות ולציון גלגול מספרים, שהוא תוצאה של חיבורם לתשע:

1+9=10

10+9=19

19+9=28

אומרים:

10 הוא הגלגול השני של אחד

19 הוא הגלגול השלישי של אחד

28 הוא הגלגול הרביעי של אחד

נקודות

אפשר לסדר ארבע נקודות בשורה

. . . .

כאשר מסדרים מספר כלשהו בשורה יש לו תמיד נקודה אחרונה, נקודה שלפני האחרונה, נקודה שלפניה וכן הלאה. לפני הנקודה הראשונה אין כלום, ולאין כלום הזה קוראים אפס. אחרי הנקודה האחרונה אין כלום, ולאין כלום הזה קוראים אפס.

כאשר מסדרים מספר נקודות כלשהו במעגל כל נקודה יכולה להיות ראשונה או אחרונה ותמיד יש נקודה לפניה ונקודה אחריה, אבל אין לאפס מקום.

אפשר לסדר ארבע נקודות בעמודה

.

.

.

.

כאשר מסדרים מספר כלשהו בעמודה יש לו תמיד נקודה אחרונה, נקודה שמעליה, נקודה שמעליה וכן הלאה. לפני הנקודה הראשונה אין כלום ולאין כלום הזה קוראים אפס. אחרי הנקודה האחרונה אין כלום ולאין כלום הזה קוראים אפס.

אפשר לסדר ארבע נקודות בשתי שורות

.

. . .

ולהפך

. . .

.

או

. .

. .

כאשר מסדרים מספר כלשהו בשורות כך שמספר נקודותיהן שווה למספר השורה מקבלים את ההמחשה הגרפית לריבוע של המספר
. . .
. . .
. . . 

אנחנו לומדים בעל פה, בלי להבין, מה זה מספר "בריבוע",  אבל זה נראה לגמרי אחרת כשרואים את הריבוע שנוצר מסידור נקודות בשורות שמספרן שווה למספר העמודות.

רבי אברהם אבן עזרא הסביר בעמוד 2 בספרו "ספר המספר" את המונח "בריבוע": "...ותכפול תשעה על עצמו, והטעם להיותו מרובע [המונח העכשווי "בריבוע" נקרא "מרובע" בפי הראב"ע)]- אורכו כרוחבו".

כשמתבוננים בריבוע [הכחול] של השלוש בריבוע רואים שהוא מכיל את הריבוע [האדום] של השניים בריבוע (שבפסקה שמעליו), ואילו הריבוע של השניים בריבוע מכיל את הריבוע של האחד בריבוע שהוא הנקודה האחת השחורה למעלה משמאל. על מנת לעבור מריבוע לריבוע שמעליו צריך רק לצייר נקודות משמאל לריבוע במקביל לנקודות הקיימות, לצייר נקודות מתחת לריבוע במקביל לנקודות הקיימות... ולהוסיף נקודה.

הנה כך:

  ולמרבית הפלא כל המספרים בריבוע מסתדרים להם לאורך חוצה הזווית.
*

כשמציירים את הספרה 1,  מתחילים את הציור מנקודה, שגם היא יכולה לסמן ולייצג דבר אחד. הנקודה היא כמו הולוגרמה של המספר אחד. ומצאתי בעמוד ג בספר 'ברייתא מעשה תורה', המיוחס ליהודה הנשיא עם הוספות של הגאון רבי אליהו מווילנה (הגר"א, 1720-1797):

"אות י הוא היסוד לכל האותיות... כי אי אפשר לכתוב שום אות בלא נקודת היוד תחילה. והוא בכל האותיות. והם בו בכוח... ולכן גם מספר עשר יסוד לכל מספר, כי מספר עשר ממקורו יצא... כשנתפשט היו"ד לאורכו נעשה מהנקודה קו כשהוא צורת ו', וכשנתפשט גם לרוחבו נעשה צורת ד', ומהם נתפשטו ונעשו אותיות של שם הויה ויתר האותיות". 

גימטריה - כוונת מכוון או צירוף מקרים?

נדמה כאילו ההתאמה בין אות לבין ערכה המספרי בגימטריה היא תוצאה של מיקומה בטור האלפבית

אל"ף = 1
בי"ת = 2
... יו"ד = 10
... קו"ף = 100

אבל יש כמה אותיות שיוצאות מן הכלל הזה:

אל"ף בגימטריה 111

א=1

ל=30

פ=80

סה"כ 111
ובארמית אלפא = 1111 כי אל"ף סופית ערכה 1000.

ו"ו בגימטריה שש ועוד שש.

דרך אגב, גם ו"ו וגם שש הן פלינדרומים - מילים שנקראות באותו אופן מימין לשמאל ומשמאל לימין.

יו"ד בגימטריה עשרים (עשר ועוד עשר).

מ"ם בגימטריה ארבעים ועוד ארבעים.

נו"ן בגימטריה חמישים ועוד חמישים (אם לא ממירים את הו"ו למספר אלא מתייחסים אליה כו"ו החיבור).

האם ההתאמה בין שם האות לבין ערכה בגימטריה היא התאמה מקרית או שמא טבועה בה כוונת מכוון?

ואם תאמר כוונת מכוון - מדוע אין התאמה שכזאת באותיות האחרות?

בשלוש האותיות האחרונות נדמה שיש התאמה בין מספר קוויהן לבין הערך המספרי שלהן:

 האות רי"ש מורכבת משני קווים שכל אחד מהם מסמן 100.

האות שי"ן מורכבת משלושה קווים שכל אחד מהם מסמן 100.

האות תי"ו מורכבת מארבעה קווים שכל אחד מהם מסמן 100.

אבל ההתאמה הזאת מתאימה רק לאותיות האלה.
***

במאה החמישית לפני הספירה עברו היוונים לשיטת מספרים דומה לשיטה העברית, שנקבעו בה אותיות  מיוחדות לעשרות ולמאות. האות העשירית שלהם, איוטה, שמקבילה ליו"ד, מייצגת עשר, כמו אצלנו. אלא שביוונית אין ליו"ד מובן, היא מילה שאולה מפיניקית, ואילו בעברית, שקרובה לפיניקית, ניתן להבין שמשמעותה יד. וביד יש כידוע עשר אצבעות, שמהספירה באמצעותן החלה אולי להתפתח השיטה העשרונית.

האותיות העבריות מקורן באלפבית הפיניקי ומשמעותן שם:

אל"ף - שור

בי"ת - בית

גימ"ל - גמל

דל"ת- דלת של בית

ה"א - חלון

ו"ו- וו

זי"ן- נשק

חי"ת- קיר או חצר

טי"ת - גלגל (לא פלא שהוספת 9 למספר כלשהו נקראת "גלגול", אבל מעניין אם הייתה לפיניקים תורת מספרים שכללה את פעולת הגלגול הזאת).

יו"ד- יד

כ"ף= כף יד

למ"ד- מלמד הבקר

מ"ם- מים

נו"ן- נחש ומאוחר יותר לוויתן

סמ"ך - דג

עי"ן- עין

צד"י- ציִיד

קוף- קוף של מחט

רי"ש- ראש

שי"ן- שן

ת"ו - תו (סימן)

המילה גימטרייה מקורה ביוונית ומשמעותה גימ"ל (גמה) היא שלוש (טריה) אחרים אומרים שמקורה בגיאומטריה.  

תרגום יונתן לפסוק "וַיִּתֵּן יוֹאָב אֶת מִסְפַּר מִפְקַד הָעָם..." (שמואל ב כד ט) ויהב יואב חשבן מנין עמא. הרב שמעון בולג בספרו ברכות בחשבון, ירושלים, תשע”ז, עמוד פט, מפנה בהערה לפסוק לעיל לספר הכלבו סימן קכ"ב שלפיו "פירוש גימטריא חשבון, שכן תרגומו המתרגמו את מפקד העם ית גמטור".